De videocursus "Get an A" bevat alle onderwerpen die nodig zijn voor het succesvol behalen van het examen wiskunde met 60-65 punten. Volledig alle taken 1-13 van het profiel GEBRUIK in de wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basis GEBRUIK in de wiskunde. Als je het examen met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het examen voor de klassen 10-11, evenals voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het examen wiskunde (de eerste 12 opgaven) en opgave 13 (driehoeksmeting) op te lossen. En dit is meer dan 70 punten op het Unified Staatsexamen, en noch een honderdpuntige student noch een humanist kan zonder.

Alle benodigde theorie. Snelle oplossingen, valstrikken en geheimen van het examen. Alle relevante taken van deel 1 van de Bank of FIPI-taken zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van de USE-2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanuit het niets gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden examentaken. Tekstproblemen en kansrekening. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten USE-taken. Stereometrie. Sluwe trucs voor het oplossen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeeldingskracht. Trigonometrie van nul tot taak 13. Begrijpen in plaats van proppen. Visuele uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Basis voor het oplossen van complexe problemen van het 2e deel van het examen.

Vandaag zullen we een geometrische figuur beschouwen - een vierhoek. Uit de naam van deze figuur wordt al duidelijk dat deze figuur vier hoeken heeft. Maar de rest van de kenmerken en eigenschappen van deze figuur zullen we hieronder bespreken.

Wat is een vierhoek?

Een vierhoek is een veelhoek die bestaat uit vier punten (hoekpunten) en vier segmenten (zijden) die deze punten in paren verbinden. De oppervlakte van een vierhoek is de helft van het product van de diagonalen en de hoek ertussen.

Een vierhoek is een veelhoek met vier hoekpunten, waarvan er drie niet op dezelfde lijn liggen.

Soorten vierhoeken

• Een vierhoek waarvan de overstaande zijden paarsgewijs evenwijdig zijn, wordt een parallellogram genoemd.
• Een vierhoek waarin twee overstaande zijden evenwijdig zijn en de andere twee niet, wordt een trapezium genoemd.
• Een vierhoek met alle rechte hoeken is een rechthoek.
• Een vierhoek waarvan alle zijden gelijk zijn, is een ruit.
• Een vierhoek waarvan alle zijden gelijk zijn en alle hoeken gelijk, noemen we een vierkant.

De vierhoek kan zijn:

zichzelf snijdend

niet-convex

convex

Zelfsnijdende vierhoek is een vierhoek waarvan een van de zijden een snijpunt heeft (in blauw in de afbeelding).

Niet-convexe vierhoek is een vierhoek waarin een van de interne hoeken meer dan 180 graden is (in de afbeelding in oranje aangegeven).

Som van hoeken elke vierhoek die zichzelf niet snijdt, is altijd gelijk aan 360 graden.

Speciale soorten vierhoeken

Vierhoeken kunnen extra eigenschappen hebben en speciale soorten geometrische vormen vormen:

• Parallellogram
• Rechthoek
• Plein
• Trapeze
• deltaspier
• Tegenparallelogram

Vierhoek en cirkel

Een vierhoek ingeschreven rond een cirkel (een cirkel ingeschreven in een vierhoek).

De belangrijkste eigenschap van de omgeschreven vierhoek:

Een vierhoek kan om een ​​cirkel worden beschreven als en alleen als de som van de lengtes van overstaande zijden gelijk is.

Vierhoek ingeschreven in een cirkel (cirkel ingeschreven rond een vierhoek)

Hoofdeigenschap van een ingeschreven vierhoek:

Een vierhoek kan in een cirkel worden ingeschreven als en alleen als de som van de overstaande hoeken 180 graden is.

Eigenschappen van de lengte van vierzijdige zijden

Verschilmodulus van twee zijden van een vierhoek niet groter is dan de som van de andere twee zijden.

|a - b| ≤ c + d

|a - c| ≤ b + d

|a - d| ≤ b + c

|b - c| a + d

|b - d| a + b

|c - d| a + b

Belangrijk. De ongelijkheid geldt voor elke combinatie van zijden van een vierhoek. De afbeelding is uitsluitend bedoeld voor het gemak van begrip.

In elke vierhoek de som van de lengtes van de drie zijden is niet minder dan de lengte van de vierde zijde.

Belangrijk. Bij het oplossen van problemen binnen het schoolcurriculum kun je een strikte ongelijkheid (<). Равенство достигается только в случае, если четырехугольник является "вырожденным", то есть три его точки лежат на одной прямой. То есть эта ситуация не попадает под классическое определение четырехугольника.

Javascript is uitgeschakeld in uw browser.
ActiveX-besturingselementen moeten zijn ingeschakeld om berekeningen te kunnen maken!

Vierhoek ABCD Een figuur wordt een figuur genoemd die bestaat uit vier punten A, B, C, D, elk drie, niet liggend op één rechte lijn, en vier segmenten AB, BC, CD en AD die deze punten verbinden.

De figuren tonen vierhoeken.

Punten A, B, C en D heten hoekpunten van de vierhoek, en de segmenten AB, BC, CD en AD - feestjes. De hoekpunten A en C, B en D heten tegenovergestelde hoekpunten. Zijden AB en CD, BC en AD worden genoemd tegenovergestelde kanten.

Er zijn vierhoeken convex(in de afbeelding - links) en niet-convex(in de afbeelding - rechts).

elke diagonaal convexe vierhoek verdeelt het in twee driehoeken(diagonaal AC verdeelt ABCD in twee driehoeken ABC en ACD; diagonaal BD verdeelt in twee driehoeken BCD en BAD). Bij niet-convexe vierhoek slechts één van de diagonalen verdeelt het in twee driehoeken(diagonaal AC verdeelt ABCD in twee driehoeken ABC en ACD; diagonaal BD niet).

Beschouwen belangrijkste soorten vierhoeken, hun eigenschappen, oppervlakteformules:

Parallellogram

Parallellogram heet een vierhoek waarvan de overstaande zijden paarsgewijs evenwijdig zijn.

Eigenschappen:

Kenmerken van een parallellogram:

1. Als in een vierhoek twee zijden gelijk en evenwijdig zijn, dan is deze vierhoek een parallellogram.
2. Als in een vierhoek de overstaande zijden paarsgewijs gelijk zijn, dan is deze vierhoek een parallellogram.
3. Als in een vierhoek de diagonalen elkaar snijden en het snijpunt in tweeën wordt gedeeld, dan is deze vierhoek een parallellogram.

Parallellogramgebied:

Trapeze

Trapeze Een vierhoek wordt een vierhoek genoemd waarin twee zijden evenwijdig zijn en de andere twee zijden niet evenwijdig.

gronden evenwijdige zijden worden genoemd, en de andere twee zijden worden genoemd zijkanten.

midden lijn Een trapezium wordt een segment genoemd dat de middelpunten van zijn zijden verbindt.

STELLING.

De middenlijn van het trapezium is evenwijdig aan de bases en gelijk aan de helft van hun som.

Trapezium gebied:

Ruit

Ruit Een parallellogram wordt genoemd als alle zijden gelijk zijn.

Eigenschappen:

Ruit gebied:

Rechthoek

Rechthoek Er wordt een parallellogram genoemd waarin alle hoeken gelijk zijn.

Eigenschappen:

Rechthoek teken:

Als de diagonalen van een parallellogram gelijk zijn, dan is het parallellogram een ​​rechthoek.

Rechthoek gebied:

Plein

Plein Er wordt een rechthoek genoemd waarin alle zijden gelijk zijn.

Eigenschappen:

Een vierkant heeft alle eigenschappen van een rechthoek en een ruit (een rechthoek is een parallellogram, dus een vierkant is een parallellogram met alle zijden gelijk, dus een ruit).

Vierkant gebied:

Een van de meest interessante onderwerpen in de meetkunde van de schoolcursus is "Quadangles" (graad 8). Welke soorten van dergelijke figuren zijn er, welke bijzondere eigenschappen hebben ze? Wat is er uniek aan vierhoeken met hoeken van negentig graden? Laten we dit allemaal onderzoeken.

Welke geometrische figuur wordt een vierhoek genoemd?

Veelhoeken, die uit vier zijden en respectievelijk uit vier hoekpunten (hoeken) bestaan, worden in de Euclidische meetkunde vierhoeken genoemd.

De geschiedenis van de naam van dit soort figuren is interessant. In de Russische taal wordt het zelfstandig naamwoord "vierhoek" gevormd uit de uitdrukking "vier hoeken" (net als "driehoek" - drie hoeken, "vijfhoek" - vijf hoeken, enz.).

In het Latijn (waardoor veel geometrische termen naar de meeste talen van de wereld kwamen), wordt het echter vierhoek genoemd. Dit woord wordt gevormd uit het cijfer quadri (vier) en het zelfstandig naamwoord latus (zijde). We kunnen dus concluderen dat bij de Ouden deze veelhoek alleen "vierzijdig" werd genoemd.

Overigens is zo'n naam (met de nadruk op de aanwezigheid van vier zijden in plaats van hoeken in dit soort figuren) bewaard gebleven in sommige moderne talen. Bijvoorbeeld in het Engels - vierhoek en in het Frans - quadrilatère.

Tegelijkertijd wordt in de meeste Slavische talen het beschouwde type figuren nog steeds geïdentificeerd door het aantal hoeken en niet door zijden. In het Slowaaks (štvoruholník), in het Bulgaars ("chetirigalnik"), in het Wit-Russisch ("chatyrokhkutnik"), in het Oekraïens ("chotirikutnik"), in het Tsjechisch (čtyřúhelník), maar in het Pools wordt de vierhoek genoemd door het aantal kanten - czworoboczny.

Welke soorten vierhoeken worden bestudeerd in het schoolcurriculum?

In de moderne meetkunde zijn er 4 soorten polygonen met vier zijden.

Vanwege de te complexe eigenschappen van sommige ervan, maken schoolkinderen in meetkundelessen echter kennis met slechts twee soorten.

• Parallellogram. De overstaande zijden van zo'n vierhoek zijn paarsgewijs evenwijdig aan elkaar en zijn dus ook paarsgewijs gelijk.
• Trapeze (trapezium of trapezium). Deze vierhoek bestaat uit twee overstaande zijden evenwijdig aan elkaar. Het andere paar zijden heeft deze eigenschap echter niet.

Soorten vierhoeken die niet zijn bestudeerd in de cursus geometrie op school

Naast het bovenstaande zijn er nog twee soorten vierhoeken waar schoolkinderen vanwege hun bijzondere complexiteit niet mee kennismaken in meetkundelessen.

• deltaspier (vlieger)- een figuur waarin elk van twee paar aangrenzende zijden even lang is. Zo'n vierhoek kreeg zijn naam vanwege het feit dat hij qua uiterlijk vrij sterk lijkt op de letter van het Griekse alfabet - "delta".
• Antiparallelogram- dit cijfer is zo complex als zijn naam. Daarin zijn twee tegenoverliggende zijden gelijk, maar tegelijkertijd zijn ze niet evenwijdig aan elkaar. Bovendien snijden de lange tegenoverliggende zijden van deze vierhoek elkaar, evenals de verlengingen van de andere twee kortere zijden.

Soorten parallellogram

Na de belangrijkste soorten vierhoeken te hebben behandeld, is het de moeite waard aandacht te schenken aan zijn ondersoorten. Dus alle parallellogrammen zijn op hun beurt ook verdeeld in vier groepen.

• Klassiek parallellogram.
• ruit (ruit)- een vierhoekige figuur met gelijke zijden. De diagonalen snijden elkaar in een rechte hoek en verdelen de ruit in vier gelijke rechthoekige driehoeken.
• Rechthoek. De naam spreekt voor zich. Omdat het een vierhoek is met rechte hoeken (elk is gelijk aan negentig graden). De tegenoverliggende zijden zijn niet alleen evenwijdig aan elkaar, maar ook gelijk.
• Vierkant (vierkant). Net als een rechthoek is het een vierhoek met rechte hoeken, maar alle zijden zijn gelijk aan elkaar. Dit cijfer ligt dicht bij een ruit. Men kan dus stellen dat een vierkant een kruising is tussen een ruit en een rechthoek.

Rechthoek Speciale eigenschappen

Gezien figuren waarin elk van de hoeken tussen de zijden gelijk is aan negentig graden, is het de moeite waard om nader op de rechthoek te blijven stilstaan. Dus, welke speciale kenmerken heeft het die het onderscheidt van andere parallellogrammen?

Om te beweren dat het beschouwde parallellogram een ​​rechthoek is, moeten de diagonalen gelijk zijn aan elkaar en moet elk van de hoeken gelijk zijn. Bovendien moet het kwadraat van zijn diagonalen overeenkomen met de som van de kwadraten van twee aangrenzende zijden van deze figuur. Met andere woorden, de klassieke rechthoek bestaat uit twee rechthoekige driehoeken, en daarin fungeert, zoals bekend, de diagonaal van de beschouwde vierhoek als de hypotenusa.

De laatste van de vermelde tekens van deze figuur is ook zijn speciale eigenschap. Daarnaast zijn er nog andere. Bijvoorbeeld het feit dat alle zijden van de bestudeerde vierhoek met rechte hoeken tegelijkertijd zijn hoogten hebben.

Als bovendien een cirkel rond een rechthoek wordt getekend, is de diameter gelijk aan de diagonaal van de ingeschreven figuur.

Onder andere eigenschappen van deze vierhoek, dat deze plat is en niet bestaat in niet-Euclidische meetkunde. Dit komt door het feit dat er in een dergelijk systeem geen vierhoekige figuren zijn waarvan de som van de hoeken gelijk is aan driehonderdzestig graden.

Vierkant en zijn kenmerken

Nadat we de tekens en eigenschappen van een rechthoek hebben behandeld, is het de moeite waard om aandacht te besteden aan de tweede vierhoek die de wetenschap kent met rechte hoeken (dit is een vierkant).

Omdat het in feite dezelfde rechthoek is, maar met gelijke zijden, heeft deze figuur al zijn eigenschappen. Maar anders dan dit, is het vierkant aanwezig in niet-euclidische meetkunde.

Bovendien heeft dit cijfer nog andere onderscheidende kenmerken. Bijvoorbeeld het feit dat de diagonalen van een vierkant niet alleen gelijk aan elkaar zijn, maar elkaar ook in een rechte hoek snijden. Dus, net als een ruit, bestaat een vierkant uit vier rechthoekige driehoeken, waarin het wordt gedeeld door diagonalen.

Bovendien is deze figuur de meest symmetrische van alle vierhoeken.

Wat is de som van de hoeken van een vierhoek?

Gezien de kenmerken van de vierhoeken van de Euclidische geometrie, is het de moeite waard om op hun hoeken te letten.

Dus in elk van de bovenstaande figuren, of het nu rechte hoeken heeft of niet, is hun totale som altijd hetzelfde - driehonderdzestig graden. Dit is een uniek onderscheidend kenmerk van dit type figuur.

Omtrek van vierhoeken

Als je hebt uitgezocht wat de som van de hoeken van een vierhoek is en andere speciale eigenschappen van figuren van dit type, is het de moeite waard om te weten welke formules het beste kunnen worden gebruikt om hun omtrek en oppervlakte te berekenen.

Om de omtrek van een vierhoek te bepalen, hoeft u alleen de lengte van alle zijden bij elkaar op te tellen.

In het KLMN-cijfer kan de omtrek bijvoorbeeld worden berekend met behulp van de formule: P \u003d KL + LM + MN + KN. Als je de getallen hier vervangt, krijg je: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

In het geval dat de figuur in kwestie een ruit of een vierkant is, om de omtrek te vinden, kunt u de formule vereenvoudigen door eenvoudig de lengte van een van de zijden met vier te vermenigvuldigen: P \u003d KL x 4. Bijvoorbeeld: 6 x 4 \u003d 24 (cm).

Oppervlakte vierhoek formules

Als je hebt uitgezocht hoe je de omtrek van een figuur met vier hoeken en zijkanten kunt vinden, is het de moeite waard om de meest populaire en eenvoudige manieren te overwegen om het gebied te vinden.

Andere eigenschappen van vierhoeken: ingeschreven en omgeschreven cirkels

Na de kenmerken en eigenschappen van een vierhoek als een figuur van Euclidische geometrie te hebben overwogen, is het de moeite waard aandacht te schenken aan het vermogen om cirkels erin te beschrijven of erin te schrijven:

• Als de som van de overstaande hoeken van de figuur elk honderdtachtig graden zijn en paarsgewijs gelijk zijn aan elkaar, dan kan een cirkel vrij rond zo'n vierhoek worden beschreven.
• Volgens de stelling van Ptolemaeus, als een cirkel is beschreven buiten een veelhoek met vier zijden, dan is het product van zijn diagonalen gelijk aan de som van de producten van overstaande zijden van de gegeven figuur. De formule ziet er dus als volgt uit: KM x LN \u003d KL x MN + LM x KN.
• Als je een vierhoek construeert waarin de sommen van overstaande zijden gelijk zijn aan elkaar, dan kan daarin een cirkel worden ingeschreven.

Als je hebt uitgezocht wat een vierhoek is, welke soorten er bestaan, welke alleen rechte hoeken hebben tussen de zijkanten en welke eigenschappen ze hebben, is het de moeite waard om al dit materiaal te onthouden. In het bijzonder de formules voor het vinden van de omtrek en het gebied van de beschouwde polygonen. Cijfers van deze vorm zijn tenslotte een van de meest voorkomende, en deze kennis kan nuttig zijn voor berekeningen in het echte leven.

Een convexe vierhoek is een figuur bestaande uit vier zijden die op de hoekpunten met elkaar zijn verbonden en samen met de zijden vier hoeken vormen, terwijl de vierhoek zelf altijd in hetzelfde vlak ligt ten opzichte van de rechte lijn waarop een van zijn zijden ligt. Met andere woorden, de hele figuur bevindt zich aan één kant van een van zijn zijden.

Zoals je kunt zien, is de definitie vrij gemakkelijk te onthouden.

Basiseigenschappen en typen

Vrijwel alle bij ons bekende figuren, bestaande uit vier hoeken en zijden, zijn toe te schrijven aan convexe vierhoeken. Het volgende kan worden onderscheiden:

1. parallellogram;
2. plein;
3. rechthoek;
4. trapezium;
5. ruit.

Al deze figuren zijn niet alleen verenigd door het feit dat ze vierhoekig zijn, maar ook door het feit dat ze ook convex zijn. Kijk maar naar het schema:

De afbeelding toont een convex trapezium. Hier kun je zien dat het trapezium zich in hetzelfde vlak of aan één kant van het segment bevindt. Als je vergelijkbare acties uitvoert, kun je ontdekken dat in het geval van alle andere zijden het trapezium convex is.

Is een parallellogram een ​​convexe vierhoek?

Hierboven ziet u een afbeelding van een parallellogram. Zoals uit de figuur blijkt, parallellogram is ook convex. Als je naar de figuur kijkt ten opzichte van de lijnen waarop de segmenten AB, BC, CD en AD liggen, wordt duidelijk dat het vanaf deze lijnen altijd in hetzelfde vlak ligt. De belangrijkste kenmerken van een parallellogram zijn dat de zijden paarsgewijs evenwijdig en gelijk zijn op dezelfde manier als overstaande hoeken gelijk zijn aan elkaar.

Stel je nu een vierkant of een rechthoek voor. Volgens hun belangrijkste eigenschappen zijn ze ook parallellogrammen, dat wil zeggen dat al hun zijden in paren parallel zijn gerangschikt. Alleen bij een rechthoek kan de lengte van de zijden verschillen en zijn de hoeken goed (gelijk aan 90 graden), een vierkant is een rechthoek waarvan alle zijden gelijk zijn en de hoeken ook gelijk zijn, terwijl de lengtes van de zijden en hoeken van een parallellogram kunnen verschillen.

Als resultaat is de som van alle vier de hoeken van de vierhoek moet gelijk zijn aan 360 graden. De eenvoudigste manier om dit te bepalen is door een rechthoek: alle vier de hoeken van de rechthoek zijn goed, dat wil zeggen, gelijk aan 90 graden. De som van deze hoeken van 90 graden geeft 360 graden, met andere woorden, als je 4 keer 90 graden optelt, krijg je het gewenste resultaat.

Eigenschap van de diagonalen van een convexe vierhoek

De diagonalen van een convexe vierhoek snijden elkaar. Dit fenomeen kan inderdaad visueel worden waargenomen, kijk maar naar de figuur:

De figuur links toont een niet-convexe vierhoek of vierhoek. Zoals je wenst. Zoals je kunt zien, kruisen de diagonalen elkaar niet, althans niet allemaal. Aan de rechterkant is een convexe vierhoek. Hier wordt de eigenschap van diagonalen om te snijden al waargenomen. Dezelfde eigenschap kan worden beschouwd als een teken van de convexiteit van de vierhoek.

Andere eigenschappen en tekenen van convexiteit van een vierhoek

Concreet is het volgens deze term erg moeilijk om specifieke eigenschappen en kenmerken te noemen. Het is gemakkelijker te isoleren volgens verschillende soorten vierhoeken van dit type. U kunt beginnen met een parallellogram. We weten al dat dit een vierhoekige figuur is, waarvan de zijden paarsgewijs evenwijdig en gelijk zijn. Tegelijkertijd omvat dit ook de eigenschap van de diagonalen van een parallellogram om elkaar te snijden, evenals het teken van de convexiteit van de figuur zelf: het parallellogram bevindt zich altijd in hetzelfde vlak en aan één kant ten opzichte van een willekeurige van zijn kanten.

Dus, de belangrijkste kenmerken en eigenschappen zijn bekend:

1. de som van de hoeken van een vierhoek is 360 graden;
2. de diagonalen van de figuren snijden elkaar in één punt.

Rechthoek. Deze figuur heeft dezelfde eigenschappen en kenmerken als een parallellogram, maar alle hoeken zijn gelijk aan 90 graden. Vandaar de naam rechthoek.

Vierkant, hetzelfde parallellogram, maar de hoeken zijn goed, als een rechthoek. Hierdoor wordt een vierkant zelden een rechthoek genoemd. Maar het belangrijkste onderscheidende kenmerk van een vierkant, naast de hierboven genoemde, is dat alle vier de zijden gelijk zijn.

De trapezium is een zeer interessante figuur.. Dit is ook een vierhoek en ook convex. In dit artikel is al aan de trapezium gedacht aan de hand van het voorbeeld van een tekening. Het is duidelijk dat ze ook convex is. Het belangrijkste verschil, en dus een teken van een trapezium, is dat de zijkanten absoluut niet gelijk kunnen zijn aan elkaar in lengte, evenals in waarde van de hoeken. In dit geval blijft de figuur altijd op hetzelfde vlak ten opzichte van een van de rechte lijnen die twee van zijn hoekpunten langs de segmenten die de figuur vormen met elkaar verbinden.

Rhombus is een even interessante figuur. Gedeeltelijk kan een ruit als een vierkant worden beschouwd. Een teken van een ruit is het feit dat de diagonalen niet alleen elkaar kruisen, maar ook de hoeken van de ruit in tweeën delen, en de diagonalen zelf snijden loodrecht, dat wil zeggen, ze staan ​​loodrecht op elkaar. Als de lengtes van de zijden van de ruit gelijk zijn, dan worden de diagonalen ook doormidden gedeeld op het snijpunt.

Deltoids of convexe rhomboids (ruiten) kan verschillende zijlengtes hebben. Maar tegelijkertijd zijn zowel de belangrijkste eigenschappen en kenmerken van de ruit zelf als de kenmerken en eigenschappen van convexiteit nog steeds behouden. Dat wil zeggen, we kunnen zien dat de diagonalen de hoeken halveren en elkaar loodrecht snijden.

De taak van vandaag was om te overwegen en te begrijpen wat convexe vierhoeken zijn, wat ze zijn en hun belangrijkste kenmerken en eigenschappen. Aandacht! Het is de moeite waard er nogmaals aan te herinneren dat de som van de hoeken van een convexe vierhoek 360 graden is. De omtrek van figuren is bijvoorbeeld gelijk aan de som van de lengtes van alle segmenten die de figuur vormen. De formules voor het berekenen van de omtrek en het gebied van vierhoeken zullen in de volgende artikelen worden besproken.