Ako postavite krug sa brojem jedinice koordinatna ravan, tada se mogu naći koordinate za njegove tačke. Brojčani krug je postavljen tako da se njegovo središte poklapa sa ishodištem ravni, odnosno tačkom O (0; 0).

Obično su na kružnici sa brojem jedinice označene tačke koje odgovaraju ishodištu kruga

• četvrtine - 0 ili 2π, π/2, π, (2π)/3,
• srednje četvrtine - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• trećine četvrtina - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Na koordinatnoj ravni sa gornjom lokacijom na njoj jedinični krug možete pronaći koordinate koje odgovaraju ovim tačkama na kružnici.

Koordinate krajeva četvrti je vrlo lako pronaći. U tački 0 kružnice, x koordinata je 1, a y koordinata je 0. Možemo je označiti kao A (0) = A (1; 0).

Kraj prve četvrtine će se nalaziti na pozitivnoj y-osi. Dakle, B (π/2) = B (0; 1).

Kraj druge četvrtine je na negativnoj poluosi: C (π) = C (-1; 0).

Kraj treće četvrtine: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ali kako pronaći koordinate sredina četvrtina? Za ovo grade pravougaonog trougla. Njegova hipotenuza je segment od središta kruga (ili ishodišta) do sredine četvrtine kruga. Ovo je polumjer kružnice. Pošto je kružnica jedinična, hipotenuza je jednaka 1. Zatim povucite okomicu iz tačke na kružnici na bilo koju os. Neka je prema x osi. Rezultat je pravokutni trokut čije su dužine kateta koordinate x i y tačke na kružnici.

Četvrtina kruga je 90º. A pola četvrtine je 45º. Pošto je hipotenuza povučena do sredine kvadranta, ugao između hipotenuze i kraka koji se proteže od početka je 45º. Ali zbir uglova bilo kojeg trougla je 180º. Posljedično, ugao između hipotenuze i drugog kraka također ostaje 45º. Ovo rezultira jednakokračnim pravokutnim trouglom.

Iz Pitagorine teoreme dobijamo jednačinu x 2 + y 2 = 1 2. Pošto je x = y i 1 2 = 1, jednačina se pojednostavljuje na x 2 + x 2 = 1. Rješavajući je, dobijamo x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Dakle, koordinate tačke M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

U koordinatama tačaka središta ostalih četvrti, samo će se predznaci promijeniti, a moduli vrijednosti će ostati isti, jer će se pravokutni trokut samo preokrenuti. Dobijamo:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Prilikom određivanja koordinata trećih dijelova četvrtine kruga konstruiše se i pravokutni trokut. Ako uzmemo tačku π/6 i povučemo okomicu na x-osu, tada će ugao između hipotenuze i kraka koji leži na x-osi biti 30º. Poznato je da je krak koji leži nasuprot ugla od 30º jednak polovini hipotenuze. To znači da smo pronašli y koordinatu, ona je jednaka ½.

Znajući dužine hipotenuze i jednog od kateta, pomoću Pitagorine teoreme nalazimo drugu nogu:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Tako je T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Za tačku druge trećine prve četvrtine (π/3) bolje je povući okomitu na osu na osu y. Tada će i ugao na početku biti 30º. Ovdje će x koordinata biti jednaka ½, a y, respektivno, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Za ostale točke treće četvrtine promijenit će se predznaci i redoslijed vrijednosti koordinata. Sve tačke koje su bliže x osi imaće vrednost modula x koordinata jednaku √3/2. One tačke koje su bliže y osi imaće vrednost modula y jednaku √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)

Video lekcija “Definicija sinusa i kosinusa na jediničnom krugu” pruža vizuelni materijal za lekciju na relevantnu temu. Tokom lekcije razmatraju se pojmovi sinusa i kosinusa za brojeve koji odgovaraju tačkama na jediničnom krugu, a opisuju se i mnogi primjeri koji razvijaju sposobnost rješavanja zadataka u kojima se koristi ova interpretacija pojmova. Zgodne i razumljive ilustracije rješenja, detaljan tok zaključivanja pomažu u brzom postizanju ciljeva učenja i povećanju učinkovitosti lekcije.

Video lekcija počinje uvođenjem teme. Na početku demonstracije data je definicija sinusa i kosinusa broja. Na ekranu je prikazan jedinični krug sa centrom u početku koordinata, označene su tačke preseka jedinične kružnice sa koordinatnim osovinama A, B, C, D. U okviru je istaknuta definicija koja kaže da ako tačka M koja pripada jediničnom krugu odgovara određenom broju t, tada je apscisa ove tačke kosinus broja t i označava se cos t, ordinata tačke je sinus i označava se sin t. Izraz definicije je popraćen slikom tačke M na jediničnom krugu, što ukazuje na njenu apscisu i ordinatu. Kratka notacija je predstavljena upotrebom oznake da je za M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t. Naznačena su ograničenja nametnuta vrijednosti kosinusa i sinusa broja. Prema pregledanim podacima, -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.

Sa slike je također lako vidjeti kako se predznak funkcije mijenja ovisno o tome u kojoj se četvrtini nalazi tačka. Na ekranu se sastavlja tabela u kojoj je za svaku funkciju naznačen njen znak u zavisnosti od četvrtine. Predznak cos t je plus u prvoj i četvrtoj četvrtini i minus u drugoj i trećoj četvrtini. Znak sin t je plus u prvoj i drugoj četvrtini, minus u trećoj i četvrtoj četvrtini.

Učenici se podsjećaju na jednadžbu jediničnog kruga x 2 + y 2 = 1. Primjećuje se da nakon zamjene umjesto koordinata odgovarajućih funkcija dobijamo cos 2 t+ sin 2 t=1 - glavni trigonometrijski identitet. Koristeći metodu pronalaženja sin t i cos t pomoću jediničnog kruga, popunite tabelu osnovnih vrijednosti sinusa i kosinusa za brojeve od 0 do 2π u koracima od π/4 i za brojeve od π/6 do 11π /6 u koracima od π/6. Ove tabele su prikazane na ekranu. Koristeći ih i crtež, nastavnik može provjeriti koliko je dobro savladano gradivo i koliko učenici razumiju porijeklo sin t i cos t vrijednosti.

Razmatran je primjer u kojem se sin t i cos t izračunavaju za t=41π/4. Rješenje je ilustrovano slikom koja prikazuje jedinični krug sa središtem u ishodištu. Na njemu je označena tačka 41π/4. Primećuje se da se ova tačka poklapa sa položajem tačke π/4. To se dokazuje predstavljanjem ovog razlomka kao mješoviti razlomak 41π/4=π/4+2π·5. Koristeći tablicu kosinusnih vrijednosti, dobijamo vrijednosti cos π/4=√2/2 i sinπ/4=√2/2. Iz dobijenih informacija proizilazi da je cos 41π/4=√2/2 i sin 41π/4=√2/2.

U drugom primjeru potrebno je izračunati sin t i cos t za t=-25π/3. Na ekranu se prikazuje jedinični krug sa označenom tačkom t=-25π/3. Prvo, da bi se riješio problem, broj -25π/3 je predstavljen kao mješoviti razlomak kako bi se otkrilo kojoj tabličnoj vrijednosti će odgovarati njegovi sin t i cos t. Nakon transformacije dobijamo -25π/3=-π/3+2π·(-4). Očigledno, t=-25π/3 će se poklopiti na kružnici sa tačkom -π/3 ili 5π/3. Iz tabele biramo odgovarajuće vrednosti sinusa i kosinusa cos 5π/3=1/2 i sin 5π/3=-√3/2. Ove vrijednosti će biti tačne za broj u pitanju cos (-25π/3)=1/2 i sin (-25π/3)=-√3/2. Problem je riješen.

Slično je riješen i primjer 3, u kojem je potrebno izračunati sin t i cos t za t=37π. Da bi se riješio primjer, broj 37π je proširen, izolujući π i 2π. U ovom prikazu ispada 37π=π+2π·18. Na jediničnom krugu, koji je prikazan pored rješenja, ova tačka je označena na presjeku negativnog dijela ordinatne ose i jedinične kružnice - tačke π. Očigledno je da će se vrijednosti sinusa i kosinusa broja poklopiti s tabličnim vrijednostima π. Iz tabele nalazimo vrijednosti sin π=-1 i cos π=0. Shodno tome, ove iste vrijednosti su željene, odnosno sin 37π=-1 i cos 37π=0.

U primjeru 4 potrebno je izračunati sin t i cos t pri t=-12π. Broj predstavljamo kao -12π=0+2π·(-6). Prema tome, tačka -12π se poklapa sa tačkom 0. Kosinusne i sinusne vrijednosti ove tačke su sin 0=1 i cos 0=0. Ove vrijednosti su tražene sin (-12π)=1 i cos (-12π)=0.

U petom primjeru morate riješiti jednačinu sin t=√3/2. U rješavanju jednadžbe koristi se koncept sinusa broja. Pošto predstavlja ordinatu tačke M(t), potrebno je pronaći tačku sa ordinatom √3/2. Slika uz rješenje pokazuje da ordinata √3/2 odgovara dvije tačke - prvoj π/3 i drugoj 2π/3. Uzimajući u obzir periodičnost funkcije, primjećujemo da je t=π/3+2πk i t= 2π/3+2πk za cijeli broj k.

U primjeru 6 riješena je jednadžba sa kosinusom - cos t=-1/2. U traženju rješenja jednadžbe nalazimo tačke na jediničnom krugu sa apscisom 2π/3. Na ekranu se prikazuje figura na kojoj je označena apscisa -1/2. Odgovara dvije tačke na kružnici - 2π/3 i -2π/3. Uzimajući u obzir periodičnost funkcija, pronađeno rješenje se zapisuje u obliku t=2π/3+2πk i t=-2π/3+2πk, gdje je k cijeli broj.

U primjeru 7 riješena je jednačina sin t-1=0. Da bi se pronašlo rješenje, jednačina se transformira u sin t=1. Sinus 1 odgovara broju π/2. Uzimajući u obzir periodičnost funkcije, pronađeno rješenje se zapisuje u obliku t=π/2+2πk, gdje je k cijeli broj. Slično, u primjeru 8 riješena je jednadžba cos t+1=0. Transformirajmo jednačinu u oblik cos t=-1. Tačka čija je apscisa -1 odgovara broju π. Ova tačka je označena na jediničnom krugu prikazanom pored tekstualnog rješenja. Prema tome, rješenje ove jednačine je broj t=π+2πk, gdje je k cijeli broj. Nije teže riješiti jednačinu cos t+1=1 u primjeru 9. Transformacijom jednačine dobijamo cos t=0. Na jediničnom krugu prikazanom pored rješenja, označavamo tačke -π/2 i -3π/2, u kojima kosinus poprima vrijednost 0. Očigledno, rješenje ove jednadžbe će biti niz vrijednosti t= π/2+πk, gdje je k cijeli broj.

U primjeru 10 upoređuju se vrijednosti sin 2 i cos 3. Da bi rješenje bilo jasno prikazana je figura gdje su označene tačke 2 i 3. Znajući da je π/2≈1,57, procjenjujemo udaljenost tačaka od toga. Na slici se vidi da je tačka 2 udaljena 0,43 od π/2, dok je 3 udaljena 1,43, tako da tačka 2 ima veću apscisu od tačke 3. To znači sin 2>cos 3.

Primjer 11 opisuje izračunavanje izraza sin 5π/4. Pošto je 5π/4 π/4+π, korišćenjem redukcionih formula, izraz se može transformisati u - sin π/4. Iz tabele biramo njegovu vrijednost - sin π/4=-√2/2. Slično, u primjeru 12 pronađena je vrijednost izraza cos7π/6. Transformirajući ga u oblik cos(π/6+π), dobijamo izraz - cos π/6. Vrijednost tabele je cos π/6=-√3/2. Ova vrijednost će biti rješenje.

Zatim se predlaže zapamtiti važne jednakosti koje pomažu u rješavanju problema - to su sin(-t)= -sin t i cos (-t)=cos t. U stvari, ovaj izraz odražava jednakost kosinusa i neparnost sinusa. Na slici jediničnog kruga pored jednakosti možete vidjeti kako ove jednakosti funkcioniraju na koordinatnoj ravni. Predstavljene su i dvije jednakosti koje odražavaju periodičnost funkcija koje su važne za rješavanje problema sin(t+2πk)= sin t i cos (t+2πk)=cos t. Demonstrirane su jednakosti koje odražavaju simetričan raspored tačaka na jediničnom krugu sin(t+π)= -sin t i cos (t+π)=-cos t. Pored jednakosti se konstruiše slika koja prikazuje lokaciju ovih tačaka na jediničnom krugu. I posljednje predstavljene jednakosti sin(t+π/2)= cos t i cos (t+π/2)=- sin t.

Video lekcija "Definicija sinusa i kosinusa na jediničnom krugu" preporučuje se za korištenje u tradicionalnoj školskoj lekciji matematike kako bi se povećala njena učinkovitost i osigurala jasnoća objašnjenja nastavnika. U istu svrhu, materijal se može koristiti tokom učenja na daljinu. Priručnik može biti koristan i za razvijanje odgovarajućih vještina rješavanja problema kod učenika pri samostalnom savladavanju gradiva.

DEKODIRANJE TEKSTA:

"Definicija sinusa i kosinusa na jediničnom krugu."

Definirajmo sinus i kosinus broja

DEFINICIJA: ako tačka M numeričke jedinične kružnice odgovara broju t(te), tada se apscisa tačke M naziva kosinus broja t(te) i označava trošak, a ordinata tačke M naziva se sinus broja t(te) i označava se sint(sl.).

To znači da ako je M(t) = M (x,y)(em iz te je jednako em sa koordinatama x i y), tada je x = cijena, y= sint (x je jednako kosinsu od te, y je jednako sinusu od te).Shodno tome, - 1≤ trošak ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (kosinus te je veći ili jednak minus jedan, ali manji ili jednak jedan; sinus te je veći ili jednak na minus jedan, ali manje od ili jednako jedan). Znajući da svaka tačka na brojevnoj kružnici ima xOy sistem ima svoje koordinate, možete napraviti tablicu vrijednosti sinusa i kosinusa po četvrtinama kruga, gdje je vrijednost kosinusa pozitivna u prvom i četvrtom kvartalu i, shodno tome, negativna u drugom i trećem kvartalu.

Vrijednost sinusa je pozitivna u prvom i drugom kvartalu i, shodno tome, negativna u trećem i četvrtom kvartalu. (prikaži na crtežu)

Pošto jednadžba brojevnog kruga ima oblik x 2 + y 2 = 1 (x kvadrat plus y kvadrat je jednako jedan), tada dobijamo jednakost:

(kosinus na kvadrat te plus sinus na kvadrat te je jednak jedan).

Na osnovu tabela koje smo sastavili prilikom određivanja koordinata tačaka na numeričkom krugu, sastavit ćemo tabele za koordinate tačaka na numeričkom krugu za vrijednosti cijene i sinta.

Pogledajmo primjere.

PRIMJER 1. Izračunajte cos t i sin t ako je t = (te je jednako četrdeset jedan pi preko četiri).

Rješenje. Broj t = odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj, pošto je = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (četrdeset jedan pi puta četiri jednako je zbiru pi puta četiri i proizvod dva pi puta pet). A za tačku t = prema tabeli vrijednost kosinusa 1 imamo cos = i sin =. dakle,

PRIMJER 2. Izračunajte cos t and grijeh t, ako je t = (te jednako minus dvadeset pet pi preko tri).

REŠENJE: Broj t = odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj, pošto je = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (minus dvadeset pet pi na tri jednako zbir minus pi preko tri i proizvod dva pi puta minus četiri). I broj odgovara istoj tački na brojevnom krugu kao i broj. A za tačku t = prema tabeli 2 imamo cos = i sin =. Dakle, cos () = i sin () =.

PRIMJER 3. Izračunajte cos t i sin t ako je t = 37π; (te jednako trideset sedam pi).

RJEŠENJE: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. To znači da broj 37π odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj π. A za tačku t = π, prema tabeli 1, imamo cos π = -1, sin π = 0. To znači cos37π = -1, sin37π = 0.

PRIMJER 4. Izračunajte cos t i sin t ako je t = -12π (jednako minus dvanaest pi).

RJEŠENJE: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), odnosno broj - 12π odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj nula. A za tačku t = 0, prema tabeli 1, imamo cos 0 = 1, sin 0 = 0. To znači cos(-12π) =1, sin(-12π) =0.

PRIMJER 5. Riješite jednačinu sin t = .

Rješenje. S obzirom da je sin t ordinata tačke M(t) (em iz te) brojevnog kruga, naći ćemo tačke sa ordinatom na brojevnoj kružnici i zapisati kojim brojevima t odgovaraju. Jedna tačka odgovara broju, a time i bilo kojem broju oblika + 2πk. Druga tačka odgovara broju, a time i bilo kojem broju oblika + 2πk. Odgovor: t = + 2πk, gdje je kϵZ (ka pripada zet), t= + 2πk, gdje je kϵZ (ka pripada zet).

PRIMJER 6. Riješite jednačinu cos t = .

Rješenje. S obzirom da je cos t apscisa tačke M(t) (em od te) brojevne kružnice, naći ćemo tačke sa apscisom na brojevnoj kružnici i zapisati kojim brojevima t odgovaraju. Jedna tačka odgovara broju, a time i bilo kojem broju oblika + 2πk. A druga tačka odgovara broju ili, a samim tim i bilo kojem broju oblika + 2πk ili + 2πk.

Odgovor: t = + 2πk, t=+ 2πk (ili ± + 2πk (plus minus dva pi sa tri plus dva pi ka), gdje je kϵZ (ka pripada zet).

PRIMJER 7. Riješite jednačinu cos t = .

Rješenje. Slično kao u prethodnom primjeru, potrebno je pronaći tačke sa apscisom na brojevnoj kružnici i zapisati kojim brojevima t odgovaraju.

Slika pokazuje da dvije tačke E i S imaju apscisu, ali još ne možemo reći kojim brojevima odgovaraju. Kasnije ćemo se vratiti na ovo pitanje.

PRIMJER 8. Riješite jednačinu sin t = - 0,3.

Rješenje. Na brojevnom krugu nalazimo tačke sa ordinatom - 0,3 i zapisujemo kojim brojevima t odgovaraju.

Ordinata - 0,3 ima dvije tačke P i H, ali još ne možemo reći kojim brojevima odgovaraju. Kasnije ćemo se također vratiti na ovo pitanje.

PRIMJER 9. Riješite jednačinu sin t -1 =0

Rješenje. Pomerimo minus jedan na desnu stranu jednačine, dobićemo da je sinus te jednak jedan (sin t = 1). Na brojevnoj kružnici trebamo pronaći tačku čija je ordinata jednaka jedan. Ova tačka odgovara broju, a time i svim brojevima oblika + 2πk (pi puta dva plus dva vrha).

Odgovor: t = + 2πk, kϵZ(ka pripada zet).

PRIMJER 10. Riješite jednačinu cos t + 1 = 0.

Pomerimo jedan na desnu stranu jednačine, dobićemo kosinus te je jednak minus jedan (cos t = - 1). Apscisa minus jedan ima tačku na brojevnoj kružnici koja odgovara broju π, a to znači da je sve brojevi oblika π+2πk. Odgovor: t = π+ 2πk, kϵZ.

PRIMJER 11. Riješite jednačinu cos t + 1 = 1.

Pomerimo jedinicu na desnu stranu jednačine, dobićemo kosinus te jednak nuli (cos t = 0).Nulta apscisa ima tačke B i D (slika 1), koje odgovaraju brojevima itd. Ovi brojevi se mogu napisati kao + πk. Odgovor: t = + πk, kϵZ.

PRIMJER 12. Koji je od dva broja veći, cos 2 ili cos 3? (kosinus od dva ili kosinus od tri)

Rješenje. Preformulirajmo pitanje drugačije: na brojevnom krugu su označene tačke 2 i 3. Koja od njih ima veću apscisu?

Na brojevnom krugu označite tačke 2 i 3. Zapamtite to. To znači da je tačka 2 uklonjena iz kruga za približno 0,43 (nula tačka četrdeset i tri stotinke) (2 -≈ 2 - 1,57 = 0,43), a tačka 3 za 1,43 (jedan bod četrdeset tri stotinke). Dakle, tačka 2 je bliža tački od tačke 3, pa ima veću apscisu (uzeli smo u obzir da su obe apscise negativne).

Odgovor: cos 2 > cos 3.

PRIMJER 13. Izračunajte sin (sinus pet pi puta četiri)

Rješenje. sin(+ π) = - sin = (sinus pet pi preko četiri je jednak zbiru pi preko četiri i pi jednako minus sinus pi preko četiri jednako je minus korijen dva preko dva).

PRIMJER 14. Izračunajte cos (kosinus od sedam pi sa šest).

cos(+ π) = - cos =. (predstavili smo sedam pi preko šest kao zbir pi preko šest i pi i primijenili treću jednakost).

Za sinus i kosinus dobijamo neke važne formule.

1. Za bilo koju vrijednost t su tačne sljedeće jednakosti:

sin (-t) = -sin t

cos (-t) = cos t

Sinus od minus te jednak je minus sinus od te

Kosinus od min te jednak je kosinus od te.

Slika pokazuje da tačke E i L, simetrične u odnosu na osu apscise, imaju istu apscisu, što znači

cos(-t) = cijena, ali ordinate su jednake po veličini i suprotne po predznaku (to znači sin(- t) = - sint.

2. Za bilo koju vrijednost t vrijede sljedeće jednakosti:

sin (t+2πk) = sin t

cos (t+2πk) = cos t

Sinus od te plus dva pi jednak je sinusu od te

Kosinus od te plus dva pi jednak je kosinsu od te

To je tačno, jer brojevi t i t+2πk odgovaraju istoj tački.

3. Za bilo koju vrijednost t vrijede sljedeće jednakosti:

sin (t+π) = -sin t

cos (t+π) = -cos t

Sinus od te plus pi je jednak minus sinus od te

kosinus od te plus pi jednako je minus kosinus od te

Neka broj t odgovara tački E brojevnog kruga, tada broj t+π odgovara tački L, koja je simetrična tački E u odnosu na ishodište. Slika pokazuje da su u ovim tačkama apscisa i ordinata jednake po veličini i suprotne po predznaku. Ovo znači,

cos(t +π)= - trošak;

sin(t +π)= - sint.

4. Za bilo koju vrijednost t vrijede sljedeće jednakosti:

sin(t+) = cos t

cos(t+) = -sin t

Sinus te plus pi za dva je kosinus te

Kosinus te plus pi sa dva je jednako minus sinus te.

U petom veku pre nove ere, starogrčki filozof Zenon iz Eleje formulisao je svoje čuvene aporije, od kojih je najpoznatija aporija „Ahilej i kornjača“. Evo kako to zvuči:

Recimo, Ahil trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči ovu udaljenost, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahil pretrči stotinu koraka, kornjača puzi još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti do beskonačnosti, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo razmišljanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert... Svi su oni na ovaj ili onaj način smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju do danas; naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao opšteprihvaćeno rešenje problema..."[Vikipedija, "Zenonova aporija". Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu se sastoji obmana.

Sa matematičke tačke gledišta, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa kvantiteta na . Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto stalnih. Koliko sam shvatio, matematički aparat za korištenje varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, zbog inercije mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročnu vrijednost. Sa fizičke tačke gledišta, ovo izgleda kao da se vrijeme usporava dok se potpuno ne zaustavi u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može pobjeći od kornjače.

Ako okrenemo svoju uobičajenu logiku, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept „beskonačnosti“, tada bi bilo ispravno reći „Ahilej će beskonačno brzo sustići kornjaču“.

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne jedinice. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača će puzati stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati stotinu koraka. Sada je Ahil osam stotina koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o neodoljivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji „Ahilej i kornjača“. Ostaje nam da proučimo, preispitamo i riješimo ovaj problem. A rješenje se mora tražiti ne u beskonačno velikim brojevima, već u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je prevaziđen vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama u prostoru, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Da biste utvrdili da li se automobil kreće, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali ne možete odrediti udaljenost od njih. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u jednom trenutku, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći ). Ono na šta želim da skrenem posebnu pažnju je da su dve tačke u vremenu i dve tačke u prostoru različite stvari koje ne treba mešati, jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.

Srijeda, 04.07.2018

Razlike između skupa i multiseta su vrlo dobro opisane na Wikipediji. da vidimo.

Kao što vidite, "ne mogu postojati dva identična elementa u skupu", ali ako postoje identični elementi u skupu, takav skup se naziva "multiset". Razumna bića nikada neće razumjeti takvu apsurdnu logiku. Ovo je nivo govornih papagaja i dresiranih majmuna, koji nemaju inteligenciju od riječi "potpuno". Matematičari se ponašaju kao obični treneri, propovijedajući nam svoje apsurdne ideje.

Nekada su inženjeri koji su gradili most bili u čamcu ispod mosta dok su testirali most. Ako se most sruši, osrednji inženjer je umro pod ruševinama svoje kreacije. Ako je most mogao izdržati opterećenje, talentirani inženjer je izgradio druge mostove.

Bez obzira na to koliko se matematičari kriju iza fraze „pamet, ja sam u kući“, odnosno „matematika proučava apstraktne pojmove“, postoji jedna pupčana vrpca koja ih neraskidivo povezuje sa stvarnošću. Ova pupčana vrpca je novac. Primijenimo matematičku teoriju skupova na same matematičare.

Odlično smo učili matematiku i sada sjedimo na kasi i izdajemo plate. Dakle, matematičar dolazi kod nas po svoj novac. Odbrojavamo mu cijeli iznos i slažemo ga na našem stolu u različite hrpe, u koje stavljamo novčanice istog apoena. Zatim uzimamo po jedan račun sa svake gomile i dajemo matematičaru njegov „matematički skup plaće“. Objasnimo matematičaru da će preostale račune dobiti tek kada dokaže da skup bez identičnih elemenata nije jednak skupu sa identičnim elementima. Ovdje zabava počinje.

Prije svega, funkcionirat će logika poslanika: „Ovo se može primijeniti na druge, ali ne i na mene!“ Tada će nas početi uvjeravati da novčanice istog apoena imaju različite brojeve novčanica, što znači da se ne mogu smatrati istim elementima. Dobro, računajmo plate u kovanicama - na kovanicama nema brojeva. Ovdje će matematičar početi mahnito da se prisjeća fizike: različiti novčići imaju različite količine prljavštine, kristalna struktura i raspored atoma je jedinstven za svaki novčić...

I sada imam najzanimljivije pitanje: gdje je linija iza koje se elementi multiskupa pretvaraju u elemente skupa i obrnuto? Takva linija ne postoji - o svemu odlučuju šamani, nauka ovdje nije ni blizu da leži.

Pogledati ovdje. Odabiremo fudbalske stadione sa istom površinom terena. Površine polja su iste - što znači da imamo višestruki skup. Ali ako pogledamo imena tih istih stadiona, dobijamo mnogo, jer su imena različita. Kao što vidite, isti skup elemenata je i skup i multiskup. Šta je tačno? I ovdje matematičar-šaman-oštrica izvlači keca aduta iz rukava i počinje nam pričati ili o setu ili o multisetu. U svakom slučaju, on će nas uvjeriti da je u pravu.

Da bismo razumjeli kako moderni šamani operiraju teorijom skupova, vezujući je za stvarnost, dovoljno je odgovoriti na jedno pitanje: kako se elementi jednog skupa razlikuju od elemenata drugog skupa? Pokazaću vam, bez ikakvog "zamislivog kao nijedna celina" ili "nezamislivog kao jedinstvene celine".

Nedjelja, 18.03.2018

Zbir cifara broja je ples šamana s tamburom, koji nema nikakve veze s matematikom. Da, na časovima matematike nas uče da pronađemo zbir cifara broja i da ga koristimo, ali zato su oni šamani, da svoje potomke uče svojim vještinama i mudrosti, inače će šamani jednostavno izumrijeti.

Treba li vam dokaz? Otvorite Wikipediju i pokušajte pronaći stranicu "Zbroj cifara broja." Ona ne postoji. U matematici ne postoji formula koja se može koristiti za pronalaženje zbira cifara bilo kojeg broja. Na kraju krajeva, brojevi su grafički simboli kojima pišemo brojeve, a na jeziku matematike zadatak zvuči ovako: „Pronađi zbir grafičkih simbola koji predstavljaju bilo koji broj. Matematičari ne mogu riješiti ovaj problem, ali šamani to mogu lako.

Hajde da shvatimo šta i kako radimo da bismo pronašli zbir cifara datog broja. I tako, neka nam je broj 12345. Šta treba uraditi da bi se našao zbir cifara ovog broja? Razmotrimo redom sve korake.

1. Zapišite broj na komad papira. Šta smo uradili? Broj smo pretvorili u grafički simbol broja. Ovo nije matematička operacija.

2. Jednu rezultirajuću sliku izrežemo na nekoliko slika koje sadrže pojedinačne brojeve. Rezanje slike nije matematička operacija.

3. Pretvorite pojedinačne grafičke simbole u brojeve. Ovo nije matematička operacija.

4. Dodajte dobijene brojeve. Ovo je sada matematika.

Zbir cifara broja 12345 je 15. Ovo su „tečajevi krojenja i šivanja“ koje podučavaju šamani koje koriste matematičari. Ali to nije sve.

Sa matematičke tačke gledišta, nije bitno u kom sistemu brojeva zapisujemo broj. Dakle, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja će biti različit. U matematici, sistem brojeva je označen kao indeks desno od broja. Sa velikim brojem 12345, ne želim da se zavaravam, razmislimo o broju 26 iz članka o. Zapišimo ovaj broj u binarnom, oktalnom, decimalnom i heksadecimalnom brojevnom sistemu. Nećemo svaki korak posmatrati pod mikroskopom; to smo već uradili. Pogledajmo rezultat.

Kao što vidite, u različitim brojevnim sistemima zbir cifara istog broja je različit. Ovaj rezultat nema nikakve veze sa matematikom. To je isto kao da odredite površinu pravokutnika u metrima i centimetrima, dobili biste potpuno drugačije rezultate.

Nula izgleda isto u svim brojevnim sistemima i nema zbir cifara. Ovo je još jedan argument u prilog činjenici da. Pitanje za matematičare: kako se u matematici označava nešto što nije broj? Šta, za matematičare ne postoji ništa osim brojeva? Mogu to dozvoliti za šamane, ali ne i za naučnike. Realnost nije samo u brojevima.

Dobijeni rezultat treba smatrati dokazom da su sistemi brojeva mjerne jedinice za brojeve. Uostalom, ne možemo porediti brojeve sa različitim mernim jedinicama. Ako iste radnje s različitim mjernim jedinicama iste količine dovode do različitih rezultata nakon poređenja, onda to nema nikakve veze s matematikom.

Šta je prava matematika? To je kada rezultat matematičke operacije ne ovisi o veličini broja, korištenoj mjernoj jedinici i o tome ko izvodi ovu radnju.

Potpis na vratima Otvara vrata i kaže:

Oh! Nije li ovo ženski toalet?
- Mlada žena! Ovo je laboratorija za proučavanje nedefilske svetosti duša tokom njihovog uspona na nebo! Halo na vrhu i strelica gore. Koji drugi toalet?

Žensko... Oreol na vrhu i strelica dole su muški.

Ako vam takvo dizajnersko djelo bljesne pred očima nekoliko puta dnevno,

Onda nije iznenađujuće da iznenada nađete čudnu ikonu u svom automobilu:

Lično se trudim da vidim minus četiri stepena kod osobe koja kaki (jedna slika) (kompozicija od nekoliko slika: znak minus, broj četiri, oznaka stepeni). I ne mislim da je ova devojka budala koja ne zna fiziku. Ona samo ima jak stereotip o percepciji grafičkih slika. A matematičari nas tome stalno uče. Evo primjera.

1A nije "minus četiri stepena" ili "jedan a". Ovo je "pooping man" ili broj "dvadeset i šest" u heksadecimalnom zapisu. Oni ljudi koji stalno rade u ovom brojevnom sistemu automatski percipiraju broj i slovo kao jedan grafički simbol.

Lekcija i prezentacija na temu: "Brojčani krug na koordinatnoj ravni"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za 10. razred od 1C
Algebarski zadaci sa parametrima, razredi 9–11
Rješavanje zadataka iz geometrije. Interaktivni građevinski zadaci za 7-10 razred

Šta ćemo proučavati:
1. Definicija.
2. Važne koordinate brojevnog kruga.
3. Kako pronaći koordinate brojevnog kruga?
4. Tabela glavnih koordinata brojevnog kruga.
5. Primjeri rješavanja problema.

Definicija brojevnog kruga na koordinatnoj ravni

Postavimo brojčani krug u koordinatnu ravan tako da se središte kruga poklopi sa ishodištem koordinata, a njegov radijus uzmemo kao jedinični segment. Početna tačka brojevnog kruga A se kombinuje sa tačkom (1;0).

Svaka tačka na brojevnoj kružnici ima svoje x i y koordinate u koordinatnoj ravni, i:
1) za $x > 0$, $y > 0$ - u prvoj četvrtini;
2) za $x 0$ - u drugom kvartalu;
3) za $x 4) za $x > 0$, $y
Za bilo koju tačku $M(x; y)$ na brojevnoj kružnici zadovoljene su sljedeće nejednakosti: $-1
Zapamtite jednadžbu brojevnog kruga: $x^2 + y^2 = 1$.

Za nas je važno da naučimo kako pronaći koordinate tačaka na brojevnom krugu prikazanom na slici.

Nađimo koordinate tačke $\frac(π)(4)$

Tačka $M(\frac(π)(4))$ je sredina prve četvrtine. Ispustimo okomicu MR iz tačke M na pravu OA i razmotrimo trougao OMP.Pošto je luk AM polovina luka AB, onda je $∠MOP=45°$.
To znači da je trougao OMP jednakokraki pravougaoni trokut i $OP=MP$, tj. u tački M apscisa i ordinata su jednake: $x = y$.
Pošto koordinate tačke $M(x;y)$ zadovoljavaju jednačinu brojevnog kruga, onda da biste ih pronašli morate riješiti sistem jednačina:
$\begin (slučajevi) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \end (slučajevi)$
Odlučivši ovaj sistem, dobijamo: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
To znači da će koordinate tačke M koje odgovaraju broju $\frac(π)(4)$ biti $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Koordinate tačaka prikazanih na prethodnoj slici izračunavaju se na sličan način.

Koordinate tačaka na brojevnom krugu

Pogledajmo primjere

Primjer 1.
Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: $P(45\frac(π)(4))$.

Rješenje:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
To znači da broj $45\frac(π)(4)$ odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj $\frac(5π)(4)$. Gledajući vrijednost tačke $\frac(5π)(4)$ u tabeli, dobijamo: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.

Primjer 2.
Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: $P(-\frac(37π)(3))$.

Rješenje:

Jer brojevi $t$ i $t+2π*k$, gdje je k cijeli broj, odgovaraju istoj tački na brojevnoj kružnici tada:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
To znači da broj $-\frac(37π)(3)$ odgovara istoj tački na brojevnoj kružnici kao i broj $–\frac(π)(3)$, a broj –$\frac(π) (3)$ odgovara istoj tački kao i $\frac(5π)(3)$. Gledajući vrijednost tačke $\frac(5π)(3)$ u tabeli, dobijamo:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.

Primjer 3.
Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom $y =\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju?

Rješenje:
Prava linija $y =\frac(1)(2)$ seče brojevnu kružnicu u tačkama M i P. Tačka M odgovara broju $\frac(π)(6)$ (iz podataka tabele). To znači bilo koji broj u obliku: $\frac(π)(6)+2π*k$. Tačka P odgovara broju $\frac(5π)(6)$, a samim tim i bilo kojem broju oblika $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Dobili smo, kako se često kaže u takvim slučajevima, dvije serije vrijednosti:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ i $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Odgovor: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ i $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.

Primjer 4.
Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa apscisom $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.

Rješenje:

Prava linija $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ seče brojevnu kružnicu u tačkama M i P. Nejednakost $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ odgovara do tačaka luka PM. Tačka M odgovara broju $3\frac(π)(4)$ (iz podataka iz tabele). To znači bilo koji broj oblika $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Tačka P odgovara broju $-\frac(3π)(4)$, a samim tim i bilo kojem broju oblika $-\frac(3π)(4) +2π*k$.

Tada dobijamo $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Odgovor: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.

Problemi koje treba riješiti samostalno

1) Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: $P(\frac(61π)(6))$.
2) Pronađite koordinatu tačke na brojevnoj kružnici: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom $y = -\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.
4) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa ordinatom $y ≥ -\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.
5) Pronađite tačke na brojevnoj kružnici sa apscisom $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.