Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Nadam se da ste već čitali o brojevnom krugu i znate zašto se zove brojevni krug, gdje je na njemu ishodište koordinata i koja je strana pozitivni smjer. Ako ne, onda bježi! Ako ćete, naravno, pronaći bodove na brojčani krug.

Označavamo brojeve \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2)\)

Kao što znate iz prethodnog članka, polumjer kružnice s brojevima je \(1\). To znači da je obim jednak \(2π\) (izračunato pomoću formule \(l=2πR\)). Uzimajući to u obzir, označavamo \(2π\) na brojevnom krugu. Da bismo označili ovaj broj, moramo ići od \(0\) duž brojevne kružnice do udaljenosti jednake \(2π\) u pozitivnom smjeru, a pošto je dužina kruga \(2π\), on se okreće to ćemo uraditi puni okret. To jest, broj \(2π\) i \(0\) odgovaraju istoj tački. Ne brinite, višestruke vrijednosti za jednu tačku su normalne za brojčani krug.

Označimo sada broj \(π\) na brojevnom krugu. \(π\) je polovina od \(2π\). Dakle, da biste označili ovaj broj i odgovarajuću tačku, morate prijeći pola kruga od \(0\) u pozitivnom smjeru.

Označimo tačku \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) je polovina \(π\), stoga, da biste označili ovaj broj, morate ići od \(0\) u pozitivnom smjeru na udaljenost jednaku polovini \( π\), to je četvrtina kruga.

Označimo tačke na kružnici \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Krećemo se na istoj udaljenosti kao prošli put, ali u negativnom smjeru.

Stavimo \(-π\). Da bismo to učinili, prijeđimo udaljenost jednaku pola kruga u negativnom smjeru.

Pogledajmo sada složeniji primjer. Označimo broj \(\frac(3π)(2)\) na krugu. Da bismo to učinili, prevodimo razlomak \(\frac(3)(2)\) u \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), tj. e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . To znači da nam treba od \(0\) do pozitivnu stranu hodati na udaljenosti od pola kruga i još jedne četvrtine.

Vježba 1. Označite tačke \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) na brojevnoj kružnici.

Označavamo brojeve \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)

Iznad smo pronašli vrijednosti u tačkama presjeka brojevne kružnice sa osovinama \(x\) i \(y\). Sada odredimo položaj međutačaka. Prvo, nacrtajmo tačke \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) i \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) je polovina \(\frac(π)(2)\) (to jest, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , pa je udaljenost \(\frac(π)(4)\) pola četvrtine kruga.

\(\frac(π)(4)\) je trećina \(π\) (drugim riječima,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), tako da udaljenost \ (\frac(π)(3)\) je trećina polukruga.

\(\frac(π)(6)\) je polovina \(\frac(π)(3)\) (na kraju krajeva, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) tako da je udaljenost \(\frac(π)(6)\) polovina udaljenosti \(\frac(π)(3)\) .

Ovako su locirani jedni u odnosu na druge:

komentar: Lokacija tačaka sa vrijednošću \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) bolje je samo zapamtiti. Bez njih, brojčani krug, poput računara bez monitora, izgleda kao korisna stvar, ali je krajnje nezgodan za korištenje.

Označimo sada tačku na kružnici \(\frac(7π)(6)\) , da bismo to uradili izvodimo sljedeće transformacije: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . Iz ovoga možemo vidjeti da od nule u pozitivnom smjeru trebamo prijeći udaljenost \(π\), a zatim još jednu \(\frac(π)(6)\) .

Označite tačku \(-\)\(\frac(4π)(3)\) na kružnici. Transformacija: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . To znači da od \(0\) trebamo ići u negativnom smjeru udaljenost \(π\) i također \(\frac(π)(3)\) .

Nacrtajmo tačku \(\frac(7π)(4)\) , da bismo to učinili transformiramo \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . To znači da da biste postavili tačku sa vrijednošću \(\frac(7π)(4)\), morate ići od tačke s vrijednošću \(2π\) na negativnu stranu na udaljenosti \(\ frac(π)(4)\) .

Zadatak 2. Označite tačke \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) na brojčani krug (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .

Označavamo brojeve \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)

Zapišimo \(10π\) u obliku \(5 \cdot 2π\). Sjećamo se da je \(2π\) rastojanje jednako dužini kruga, tako da da biste označili tačku \(10π\), morate ići od nule do udaljenosti jednake \(5\) krugova. Nije teško pretpostaviti da ćemo se ponovo naći u tački \(0\), samo napravite pet okretaja.

Iz ovog primjera možemo zaključiti:

Brojevi s razlikom od \(2πn\), gdje \(n∈Z\) (tj. \(n\) je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istoj tački.

To jest, da biste stavili broj čija je vrijednost veća od \(2π\) (ili manja od \(-2π\)), potrebno je iz njega izdvojiti paran broj \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) i odbaciti. Tako ćemo ukloniti „prazne obrtaje“ iz brojeva koji ne utiču na poziciju tačke.

Još jedan zaključak:

Tačka kojoj odgovara \(0\) takođe odgovara svim parnim veličinama \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Sada primijenimo \(-3π\) na krug. \(-3π=-π-2π\), što znači da su \(-3π\) i \(–π\) na istom mjestu u krugu (pošto se razlikuju po “praznom okretu” u \(-2π \)).

Usput, svi neparni \(π\) će također biti tamo.

Tačka kojoj odgovara \(π\) takođe odgovara svim neparnim veličinama \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Sada označimo broj \(\frac(7π)(2)\) . Kao i obično, transformiramo: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . Odbacujemo dva pi, i ispada da za označavanje broja \(\frac(7π)(2)\) morate ići od nule u pozitivnom smjeru na udaljenost jednaku \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (tj. pola kruga i još jedna četvrtina).

Prilikom izučavanja trigonometrije u školi, svaki učenik se susreće sa veoma zanimljivim konceptom „brojevnog kruga“. Koliko će učenik kasnije naučiti trigonometriju zavisi od sposobnosti nastavnika da objasni šta je to i zašto je potrebna. Nažalost, ne može svaki nastavnik jasno objasniti ovaj materijal. Kao rezultat toga, mnogi učenici su zbunjeni čak i oko toga kako označiti tačke na brojevnom krugu. Ako pročitate ovaj članak do kraja, naučit ćete kako to učiniti bez problema.

Pa počnimo. Nacrtajmo krug čiji je poluprečnik 1. Označimo „krajnju desnu“ tačku ove kružnice slovom O:

Čestitamo, upravo ste nacrtali jedinični krug. Budući da je polumjer ovog kruga 1, njegova dužina je .

Svaki realan broj može biti povezan sa dužinom putanje duž brojevne kružnice od tačke O. Smjer kretanja suprotno od kazaljke na satu uzima se kao pozitivan smjer. Za negativ – u smjeru kazaljke na satu:

Položaj tačaka na brojevnom krugu

Kao što smo već primijetili, dužina brojevnog kruga (jediničnog kruga) je jednaka . Gdje će se onda broj nalaziti na ovom krugu? Očigledno, sa tačke gledišta O u smjeru suprotnom od kazaljke na satu trebamo prijeći pola dužine kruga i naći ćemo se na željenoj tački. Označimo ga slovom B:

Imajte na umu da se do iste tačke može doći hodanjem polukruga u negativnom smjeru. Zatim bismo ucrtali broj na jedinični krug. Odnosno, brojevi odgovaraju istoj tački.

Štaviše, ova ista točka također odgovara brojevima , , , i, općenito, beskonačnom skupu brojeva koji se mogu napisati u obliku , gdje , odnosno pripada skupu cijelih brojeva. Sve ovo jer iz tačke B možete napraviti “okolo svijeta” u bilo kojem smjeru (dodati ili oduzeti obim) i doći do iste točke. Dobijamo važan zaključak koji treba razumjeti i zapamtiti.

Svaki broj odgovara jednoj tački na brojevnom krugu. Ali svaka tačka na brojevnoj kružnici odgovara beskonačnom broju brojeva.

Podijelimo sada gornji polukrug brojevnog kruga na lukove jednake dužine točkom C. Lako je vidjeti da je dužina luka O.C. jednak . Hajde da sada odložimo sa tačke C luk iste dužine u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Kao rezultat toga, doći ćemo do stvari B. Rezultat je sasvim očekivan, budući da . Hajde da ponovo postavimo ovaj luk u istom pravcu, ali sada iz tačke B. Kao rezultat toga, doći ćemo do stvari D, što će već odgovarati broju:

Imajte na umu još jednom da ova tačka ne odgovara samo broju, već i, na primjer, broju, jer se do te točke može doći udaljavanjem od točke Očetvrtina kruga u smjeru kazaljke na satu (negativan smjer).

I, općenito, opet napominjemo da ova tačka odgovara beskonačno mnogo brojeva koji se mogu napisati u obliku . Ali mogu se pisati i u obliku . Ili, ako želite, u obliku . Svi ovi zapisi su apsolutno ekvivalentni i mogu se dobiti jedan od drugog.

Podijelimo sada luk na O.C. pola tačke M. Sada odredite koja je dužina luka OM? Tako je, pola luka O.C.. To je . Kojim brojevima odgovara tačka? M na brojčani krug? Siguran sam da ćete sada shvatiti da se ovi brojevi mogu napisati kao .

Ali to se može učiniti drugačije. Hajde da uzmemo. Onda to shvatamo . Odnosno, ovi brojevi se mogu napisati u obliku . Isti rezultat se može dobiti korištenjem brojčanog kruga. Kao što sam već rekao, oba zapisa su ekvivalentna i mogu se dobiti jedan od drugog.

Sada možete lako dati primjer brojeva kojima odgovaraju tačke N, P I K na brojčani krug. Na primjer, brojevi , i :

Često se za označavanje odgovarajućih tačaka na brojevnom krugu uzimaju minimalni pozitivni brojevi. Iako to uopšte nije neophodno, tačka N, kao što već znate, odgovara beskonačnom broju drugih brojeva. Uključujući, na primjer, broj.

Ako prekinete luk O.C. u tri jednaka luka sa tačkama S I L, tako da je to poenta S ležati između tačaka O I L, zatim dužina luka OSće biti jednak , i dužina luka OLće biti jednako . Koristeći znanje koje ste stekli u prethodnom dijelu lekcije, lako možete shvatiti kako su se pokazale preostale točke na brojevnom krugu:

Brojevi koji nisu višekratnici broja π na brojevnom krugu

Postavimo sebi pitanje: gde na brojevnoj pravoj treba da označimo tačku koja odgovara broju 1? Da biste to učinili, morate početi od "najdesnije" točke jediničnog kruga O nacrtati luk čija bi dužina bila jednaka 1. Možemo samo približno naznačiti lokaciju željene tačke. Nastavimo na sljedeći način.

>> Brojčani krug

Prilikom učenja predmeta algebra za 7-9 razred, do sada smo se bavili algebarske funkcije, tj. funkcije definirane analitički izrazima u kojima su korištene algebarske operacije nad brojevima i varijablama (sabiranje, oduzimanje, množenje, divizije, eksponencijacija, ekstrakcija kvadratni korijen). Ali matematički modeli stvarnih situacija često se povezuju sa funkcijama drugačijeg tipa, a ne algebarskim. U ovom poglavlju ćemo se upoznati sa prvim predstavnicima klase nealgebarskih funkcija - trigonometrijskih funkcija. U srednjoj školi ćete detaljnije proučavati trigonometrijske funkcije i druge vrste nealgebarskih funkcija (eksponencijalne i logaritamske).
Za uvod trigonometrijske funkcije trebat će nam novi matematički model- brojevni krug sa kojim se još niste susreli, ali vam je brojevna prava veoma poznata. Podsjetimo da je brojevna prava prava na kojoj su date početna tačka O, skala (jedinični segment) i pozitivan smjer. Možemo uporediti bilo koji realan broj sa tačkom na pravoj i obrnuto.

Kako pronaći odgovarajuću tačku M na pravoj pomoću broja x? Broj 0 odgovara početnoj tački O. Ako je x > 0, tada, krećući se duž prave linije od tačke 0 u pozitivnom smjeru, trebate ići n^-tu dužinu x; kraj ove staze će biti željena tačka M(x). Ako je x< 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

A kako smo riješili inverzni problem, tj. Kako ste pronašli x koordinatu date tačke M na brojevnoj pravoj? Pronašli smo dužinu segmenta OM i uzeli ga sa znakom “+” ili * - “u zavisnosti na kojoj strani tačke O se tačka M nalazi na pravoj liniji.

Ali unutra pravi zivot Morate se kretati ne samo pravolinijski. Vrlo često, kretanje krug. Evo konkretan primjer. Smatrajmo stazu za trčanje na stadionu kao krug (u stvari, to, naravno, nije krug, ali zapamtite, kako sportski komentatori obično kažu: „trkač je pretrčao krug“, „ostalo je pola kruga trčati prije cilja” itd.), njegova dužina je 400 m. Start je označen - tačka A (Sl. 97). Trkač iz tačke A kreće se po krugu suprotno od kazaljke na satu. Gdje će on biti za 200 m? u 400 m? u 800 m? na 1500 m? Gdje bi trebao povući cilj ako trči maratonsku distancu od 42 km 195 m?

Nakon 200 m on će se naći u tački C, dijametralno suprotno od tačke A (200 m je dužina polovine trake za trčanje, odnosno dužina pola kruga). Nakon trčanja 400 m (tj. „jedan krug“, kako kažu sportisti), vraća se u tačku A. Nakon trčanja 800 m (tj. „dva kruga“), ponovo će biti u tački A. Šta je 1500 m. ? Ovo su “tri kruga” (1200 m) plus još 300 m, tj. 3

Traka za trčanje - završetak ove udaljenosti će biti u tački 2) (Sl. 97).

Samo moramo da se nosimo sa maratonom. Nakon istrčanih 105 krugova, atletičar će preći razdaljinu od 105-400 = 42.000 m, tj. 42 km. Do cilja je ostalo 195 m, što je 5 m manje od polovine obima. To znači da će cilj maratonske distance biti u tački M, koja se nalazi blizu tačke C (Sl. 97).

Komentar. Vi, naravno, razumijete konvenciju posljednjeg primjera. Niko ne trči maratonsku distancu oko stadiona, maksimum je 10.000 m, tj. 25 krugova.

Možete trčati ili hodati bilo kojom dužinom duž trake za trčanje na stadionu. To znači da bilo koji pozitivan broj odgovara nekoj tački - "kraju udaljenosti". Štaviše, svako može negativan broj spojite tačku na krugu: samo trebate natjerati sportistu da trči u suprotnom smjeru, tj. početi od tačke A ne u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, već u smjeru kazaljke na satu. Tada se staza za trčanje na stadionu može smatrati brojčanim krugom.

U principu, bilo koji krug se može smatrati numeričkim krugom, ali u matematici je dogovoreno da se u tu svrhu koristi jedinični krug - krug poluprečnika 1. Ovo će biti naš “ traka za trčanje" Dužina b kruga poluprečnika K izračunava se po formuli Dužina polukruga je n, a dužina četvrtine kruga je AB, BC, SB, DA na sl. 98 - jednako Dogovorimo se da luk AB nazovemo prvom četvrtinom jediničnog kruga, luk BC drugom četvrtinom, luk CB trećom četvrtinom, luk DA četvrtinom (Sl. 98). U ovom slučaju obično govorimo o otvorenom luku, tj. o luku bez njegovih krajeva (nešto kao interval na brojevnoj pravoj).

Definicija. Dat je jedinični krug, a na njemu je označena početna tačka A - desni kraj horizontalnog prečnika (sl. 98). Pridružimo svakom realnom broju I tačku na kružnici prema sljedećem pravilu:

1) ako je x > 0, tada ćemo, krećući se od tačke A u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (pozitivan smjer obilaska kružnice), opisati putanju duž kružnice s dužinom i krajnja točka M ove staze će biti željena tačka: M = M(x);

2) ako je x< 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

Povežimo tačku A sa 0: A = A(0).

Jedinični krug sa utvrđenom korespondencijom (između realnih brojeva i tačaka na kružnici) zvaće se brojevni krug.
Primjer 1. Pronađite na brojčanom krugu
Budući da je prvih šest od datih sedam brojeva pozitivnih, onda da biste pronašli odgovarajuće tačke na kružnici, morate proći stazom date dužine duž kružnice, krećući se od tačke A u pozitivnom smjeru. Uzmimo to u obzir

Broj 2 odgovara tački A, pošto je, prošavši duž kružnice, put dužine 2, tj. tačno jedan krug, opet ćemo doći do početne tačke A Dakle, A = A(2).
Šta se desilo To znači da krećete od tačke A u pozitivnom smjeru, morate proći kroz cijeli krug.

Komentar. Kad smo u 7. i 8. razredu radio sa brojevnom pravom, onda smo se dogovorili, radi sažetosti, da se ne kaže „tačka na pravoj koja odgovara broju x“, već da se kaže „tačka x“. Pridržavat ćemo se potpuno istog dogovora kada radimo s brojčanim krugom: “tačka f” - to znači da govorimo o tački na krugu koja odgovara broju
Primjer 2.
Podijelivši prvu četvrtinu AB na tri jednaka dijela tačkama K i P, dobijamo:

Primjer 3. Pronađite tačke na brojevnom krugu koje odgovaraju brojevima
Izradićemo konstrukcije koristeći sl. 99. Odlaganjem luka AM (njegova dužina je -) iz tačke A pet puta u negativnom pravcu, dobijamo tačku!, - sredinu luka BC. dakle,

Komentar. Obratite pažnju na neke od sloboda koje uzimamo u korištenju matematičkog jezika. Jasno je da su luk AK i dužina luka AK različite stvari (prvi koncept je geometrijska figura, a drugi koncept je broj). Ali oba su označena na isti način: AK. Štaviše, ako su tačke A i K povezane segmentom, tada se i rezultujući segment i njegova dužina označavaju na isti način: AK. Obično je iz konteksta jasno koje je značenje u oznaci (luk, dužina luka, segment ili dužina segmenta).

Stoga će nam dvobrojni krugovi biti vrlo korisni.

PRVI IZGLED
Svaka od četiri četvrtine brojevnog kruga podijeljena je na dva jednaka dijela, a u blizini svake od dostupnih osam tačaka ispisana su njihova „imena“ (Sl. 100).

DRUGI IZGLED Svaka od četiri četvrtine brojevnog kruga podijeljena je na tri jednaka dijela, a u blizini svake od dostupnih dvanaest tačaka ispisana su njihova „imena“ (slika 101).

Imajte na umu da na oba izgleda možemo dodijeliti druga „imena“ datim točkama.
Jeste li primijetili da u svim analiziranim primjerima dužina luka
izraženo nekim razlomcima broja n? To nije iznenađujuće: na kraju krajeva, dužina jedinične kružnice je 2n, a ako krug ili njegovu četvrtinu podijelimo na jednake dijelove, dobićemo lukove čije su dužine izražene u razlomcima broja i. Mislite li da je moguće pronaći tačku E na jediničnom krugu tako da je dužina luka AE jednaka 1? Hajde da shvatimo:

Raspravljajući na sličan način, zaključujemo da se na jediničnom krugu može naći tačka Eg, za koju je AE = 1, i tačka E2, za koju je AEr = 2, i tačka E3, za koju je AE3 = 3, i tačka E4, za koja je AE4 = 4, i tačka Eb, za koju je AEb = 5, i tačka E6, za koju je AE6 = 6. Na sl. 102 označene su odgovarajuće tačke (približno) (za orijentaciju, svaka od četvrtina jediničnog kruga je podijeljena crticama na tri jednaka dijela).

Primjer 4. Pronađite tačku na brojevnom krugu koja odgovara broju -7.

Trebamo, počevši od tačke A(0) i krećući se u negativnom smjeru (smjer kazaljke na satu), ići duž kruga dužine 7. Ako prođemo kroz jedan krug, dobićemo (približno) 6,28, što znači da još uvijek trebamo proći (u istom smjeru) putanju dužine 0,72. Kakav je ovo luk? Nešto manje od pola četvrtine kruga, tj. njegova dužina je manja od broja -.

Dakle, na brojevnom krugu, kao na brojevnoj pravoj, svaki realan broj odgovara jednoj tački (samo ga je, naravno, lakše pronaći na pravoj nego na kružnici). Ali za pravu liniju važi i suprotno: svaka tačka odgovara jednina. Za brojčani krug takva izjava nije tačna; to smo više puta vidjeli gore. Sljedeća izjava je tačna za brojčani krug.
Ako tačka M brojevnog kruga odgovara broju I, onda odgovara i broju oblika I + 2k, gdje je k bilo koji cijeli broj (k e 2).

U stvari, 2n je dužina brojčanog (jediničnog) kruga, a cijeli broj |th| može se smatrati brojem kompletnih krugova kruga u jednom ili drugom smjeru. Ako je, na primjer, k = 3, onda to znači da pravimo tri kruga kruga u pozitivnom smjeru; ako je k = -7, onda to znači da radimo sedam (| k | = | -71 = 7) krugova kruga u negativnom smjeru. Ali ako smo u tački M(1), onda, nakon što smo izvršili i | do | punim krugovima oko kruga, opet ćemo se naći u tački M.

A.G. Mordkovich algebra 10. razred

Sadržaj lekcije beleške sa lekcija podrška okvirnoj prezentaciji lekcija metode ubrzanja interaktivne tehnologije Vježbajte zadaci i vježbe radionice za samotestiranje, obuke, slučajevi, potrage pitanja za raspravu o domaćim zadacima retorička pitanja od studenata Ilustracije audio, video i multimedija fotografije, slike, grafike, tabele, dijagrami, humor, anegdote, vicevi, stripovi, parabole, izreke, ukrštene reči, citati Dodaci sažetakačlanci trikovi za radoznale jaslice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku, elementi inovacije u lekciji, zamjena zastarjelog znanja novim Samo za nastavnike savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice diskusioni programi Integrisane lekcije

Ako postavite krug sa brojem jedinice koordinatna ravan, tada se mogu naći koordinate za njegove tačke. Brojčani krug je postavljen tako da se njegovo središte poklapa sa ishodištem ravni, odnosno tačkom O (0; 0).

Obično su na kružnici sa brojem jedinice označene tačke koje odgovaraju ishodištu kruga

• četvrtine - 0 ili 2π, π/2, π, (2π)/3,
• srednje četvrtine - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• trećine četvrtina - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.

Na koordinatnoj ravni, sa gornjom lokacijom jedinične kružnice na njoj, možete pronaći koordinate koje odgovaraju ovim tačkama kružnice.

Koordinate krajeva četvrti je vrlo lako pronaći. U tački 0 kružnice, x koordinata je 1, a y koordinata je 0. Možemo je označiti kao A (0) = A (1; 0).

Kraj prve četvrtine će se nalaziti na pozitivnoj y-osi. Dakle, B (π/2) = B (0; 1).

Kraj druge četvrtine je na negativnoj poluosi: C (π) = C (-1; 0).

Kraj treće četvrtine: D ((2π)/3) = D (0; -1).

Ali kako pronaći koordinate sredina četvrtina? Za ovo grade pravougaonog trougla. Njegova hipotenuza je segment od središta kruga (ili ishodišta) do sredine četvrtine kruga. Ovo je polumjer kružnice. Pošto je kružnica jedinična, hipotenuza je jednaka 1. Zatim povucite okomicu iz tačke na kružnici na bilo koju os. Neka je prema x osi. Rezultat je pravokutni trokut čije su dužine kateta koordinate x i y tačke na kružnici.

Četvrtina kruga je 90º. A pola četvrtine je 45º. Pošto je hipotenuza povučena do sredine kvadranta, ugao između hipotenuze i kraka koji se proteže od početka je 45º. Ali zbir uglova bilo kojeg trougla je 180º. Posljedično, ugao između hipotenuze i drugog kraka također ostaje 45º. Ovo rezultira jednakokračnim pravokutnim trouglom.

Iz Pitagorine teoreme dobijamo jednačinu x 2 + y 2 = 1 2. Pošto je x = y i 1 2 = 1, jednačina se pojednostavljuje na x 2 + x 2 = 1. Rješavajući je, dobijamo x = √½ = 1/√2 = √2/2.

Dakle, koordinate tačke M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).

U koordinatama tačaka središta ostalih četvrti, samo će se predznaci promijeniti, a moduli vrijednosti će ostati isti, jer će se pravokutni trokut samo preokrenuti. Dobijamo:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M 3 ((5π)/4) = M 3 (-√2/2; -√2/2)
M 4 ((7π)/4) = M 4 (√2/2; -√2/2)

Prilikom određivanja koordinata trećih dijelova četvrtine kruga konstruiše se i pravokutni trokut. Ako uzmemo tačku π/6 i povučemo okomicu na x-osu, tada će ugao između hipotenuze i kraka koji leži na x-osi biti 30º. Poznato je da je krak koji leži nasuprot ugla od 30º jednak polovini hipotenuze. To znači da smo pronašli y koordinatu, ona je jednaka ½.

Znajući dužine hipotenuze i jednog od kateta, pomoću Pitagorine teoreme nalazimo drugu nogu:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

Tako je T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).

Za tačku druge trećine prve četvrtine (π/3) bolje je povući okomitu na osu na osu y. Tada će i ugao na početku biti 30º. Ovdje će x koordinata biti jednaka ½, a y, respektivno, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).

Za ostale točke treće četvrtine promijenit će se predznaci i redoslijed vrijednosti koordinata. Sve tačke koje su bliže x osi imaće vrednost modula x koordinata jednaku √3/2. One tačke koje su bliže y osi imaće vrednost modula y jednaku √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)