Finishing. Dodaci. Repair. Instalacija. Izbor. Otvaranje
Datum: 20.11.2014
Šta je derivat?
Tabela derivata.
Derivat je jedan od glavnih koncepata više matematike. U ovoj lekciji ćemo predstaviti ovaj koncept. Upoznajmo se, bez strogih matematičkih formulacija i dokaza.
Ovo poznanstvo će vam omogućiti da:
Razumjeti suštinu jednostavnih zadataka s izvedenicama;
Uspješno riješite ove najjednostavnije zadatke;
Pripremite se za ozbiljnije lekcije o izvedenicama.
Prvo - prijatno iznenađenje.)
Stroga definicija derivacije zasniva se na teoriji granica i stvar je prilično komplikovana. Ovo je uznemirujuće. Ali praktična primjena derivata, u pravilu, ne zahtijeva tako opsežno i duboko znanje!
Da biste uspješno obavili većinu zadataka u školi i na fakultetu, dovoljno je znati samo nekoliko termina- razumjeti zadatak, i samo nekoliko pravila- da to rešim. To je sve. Ovo me čini srećnim.
Hajde da počnemo da se upoznajemo?)
Termini i oznake.
U osnovnoj matematici postoji mnogo različitih matematičkih operacija. Zbrajanje, oduzimanje, množenje, stepenovanje, logaritam itd. Ako ovim operacijama dodate još jednu operaciju, elementarna matematika postaje viša. Ova nova operacija se zove diferencijaciju. O definiciji i značenju ove operacije raspravljat ćemo u zasebnim lekcijama.
Ovdje je važno razumjeti da je diferencijacija jednostavno matematička operacija nad funkcijom. Uzimamo bilo koju funkciju i, prema određenim pravilima, transformiramo je. Rezultat će biti nova funkcija. Ova nova funkcija se zove: derivat.
Diferencijacija- radnja na funkciji.
Derivat- rezultat ove akcije.
Baš kao što je npr. suma- rezultat sabiranja. Or privatni- rezultat podjele.
Poznavajući pojmove, možete barem razumjeti zadatke.) Formulacije su sljedeće: pronaći derivaciju funkcije; uzeti derivat; razlikovati funkciju; izračunaj derivat i tako dalje. Ovo je sve isto. Naravno, postoje i složeniji zadaci, gdje će nalaženje derivacije (diferencijacije) biti samo jedan od koraka u rješavanju problema.
Izvod je označen crticom u gornjem desnom uglu funkcije. Volim ovo: y" ili f"(x) ili S"(t) i tako dalje.
Čitanje igrik stroke, ef stroke from x, es stroke from te, pa razumes...)
Promet također može ukazivati na derivaciju određene funkcije, na primjer: (2x+3)", (x 3 )" , (sinx)" itd. Često se derivati označavaju pomoću diferencijala, ali nećemo razmatrati takvu notaciju u ovoj lekciji.
Pretpostavimo da smo naučili da razumijemo zadatke. Ostaje samo da naučite kako ih riješiti.) Da vas podsjetim još jednom: pronalaženje derivacije je transformacija funkcije prema određenim pravilima. Iznenađujuće, vrlo je malo ovih pravila.
Da biste pronašli derivaciju funkcije, trebate znati samo tri stvari. Tri stuba na kojima stoji sva diferencijacija. Evo ova tri stuba:
1. Tabela derivacija (formule diferencijacije).
3. Derivat kompleksne funkcije.
Počnimo redom. U ovoj lekciji ćemo pogledati tabelu izvedenica.
Tabela derivata.
U svijetu postoji beskonačan broj funkcija. Među ovim setom nalaze se funkcije koje su najvažnije za praktičnu upotrebu. Ove funkcije se nalaze u svim zakonima prirode. Od ovih funkcija, kao od cigli, možete konstruirati sve ostale. Ova klasa funkcija se zove elementarne funkcije. Upravo se te funkcije izučavaju u školi - linearne, kvadratne, hiperbola itd.
Diferencijacija funkcija "od nule", tj. Na osnovu definicije derivata i teorije granica, ovo je prilično radno intenzivna stvar. I matematičari su ljudi, da, da!) Pa su pojednostavili svoj (i nama) život. Izračunali su izvode elementarnih funkcija prije nas. Rezultat je tabela derivata, gdje je sve spremno.)
Evo ga, ova ploča za najpopularnije funkcije. Na lijevoj strani je elementarna funkcija, na desnoj strani je njen izvod.
| Funkcija y |
Derivat funkcije y y" |
|
| 1 | C (konstantna vrijednost) | C" = 0 |
| 2 | x | x" = 1 |
| 3 | x n (n - bilo koji broj) | (x n)" = nx n-1 |
| x 2 (n = 2) | (x 2)" = 2x | |
 |
||
 |
 |
|
| 4 | sin x | (sin x)" = cosx |
| cos x | (cos x)" = - sin x | |
| tg x |  |
|
| ctg x |  |
|
| 5 | arcsin x |  |
| arccos x |  |
|
| arctan x |  |
|
| arcctg x |  |
|
| 4 | a x |  |
| e x | ||
| 5 | log a x |  |
| ln x ( a = e) |
Preporučujem da obratite pažnju na treću grupu funkcija u ovoj tabeli derivata. Derivat funkcije stepena je jedna od najčešćih formula, ako ne i najčešća! Shvaćate li nagovještaj?) Da, preporučljivo je znati tablicu izvedenica napamet. Usput, ovo nije tako teško kao što se čini. Pokušajte riješiti više primjera, sama tabela će se zapamtiti!)
Pronalaženje tablične vrijednosti derivacije, kao što razumijete, nije najteži zadatak. Stoga vrlo često u takvim zadacima postoje dodatni čipovi. Ili u tekstu zadatka, ili u originalnoj funkciji, koje kao da nema u tabeli...
Pogledajmo nekoliko primjera:
1. Naći derivaciju funkcije y = x 3
Ne postoji takva funkcija u tabeli. Ali postoji derivat funkcije moći u opštem obliku (treća grupa). U našem slučaju n=3. Zato zamjenjujemo tri umjesto n i pažljivo zapisujemo rezultat:
(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2
To je to.
odgovor: y" = 3x 2
2. Pronađite vrijednost izvoda funkcije y = sinx u tački x = 0.
Ovaj zadatak znači da prvo morate pronaći derivaciju sinusa, a zatim zamijeniti vrijednost x = 0 u samu ovu izvedenicu. Upravo tim redosledom! U suprotnom, desi se da odmah zamjene nulu u originalnu funkciju... Od nas se traži da pronađemo ne vrijednost originalne funkcije, već vrijednost njen derivat. Izvod je, da vas podsjetim, nova funkcija.
Pomoću tablete nalazimo sinus i odgovarajuću derivaciju:
y" = (sin x)" = cosx
Zamjenjujemo nulu u izvod:
y"(0) = cos 0 = 1
Ovo će biti odgovor.
3. Razlikujte funkciju:
Šta, nadahnjuje?) Ne postoji takva funkcija u tabeli izvedenica.
Dozvolite mi da vas podsjetim da je diferenciranje funkcije jednostavno pronaći izvod ove funkcije. Ako zaboravite elementarnu trigonometriju, traženje derivacije naše funkcije je prilično problematično. Tabela ne pomaže...
Ali ako vidimo da je naša funkcija kosinus dvostrukog ugla, onda sve ide na bolje odmah!
Da da! Zapamtite to transformiranje originalne funkcije prije diferencijacije sasvim prihvatljivo! I dešava se da život čini mnogo lakšim. Koristeći kosinusnu formulu dvostrukog kuta:
One. naša lukava funkcija nije ništa drugo do y = cosx. A ovo je tabela funkcija. Odmah dobijamo:
odgovor: y" = - sin x.
Primjer za napredne maturante i studente:
4. Pronađite izvod funkcije:
U tabeli derivata, naravno, nema takve funkcije. Ali ako se sjetite elementarne matematike, operacija sa potencijama... Onda je sasvim moguće pojednostaviti ovu funkciju. Volim ovo:
A x na stepen jedne desetine je već tabelarna funkcija! Treća grupa, n=1/10. Pišemo direktno prema formuli:
To je sve. Ovo će biti odgovor.
Nadam se da je sve jasno sa prvim stubom diferencijacije - tabelom izvedenica. Ostaje da se pozabavimo sa dva preostala kita. U sljedećoj lekciji naučit ćemo pravila diferencijacije.
Prvi nivo
Derivat funkcije. Ultimativni vodič (2019.)
Zamislimo ravan put koji prolazi kroz brdsko područje. Odnosno, ide gore-dolje, ali ne skreće desno ili lijevo. Ako je os usmjerena vodoravno duž ceste i okomito, tada će linija ceste biti vrlo slična grafu neke kontinuirane funkcije:
Osa je određeni nivo nulte nadmorske visine; u životu kao nju koristimo nivo mora.
Kako se krećemo naprijed takvim putem, tako se krećemo gore ili dolje. Takođe možemo reći: kada se promijeni argument (kretanje duž ose apscise), mijenja se vrijednost funkcije (kretanje duž ose ordinate). Sada razmislimo o tome kako odrediti "strminu" našeg puta? Kakva bi ovo mogla biti vrijednost? Vrlo je jednostavno: koliko će se visina promijeniti pri kretanju naprijed na određenu udaljenost. Zaista, na različitim dionicama puta, krećući se naprijed (duž x-ose) za jedan kilometar, mi ćemo se podići ili spustiti za različit broj metara u odnosu na nivo mora (duž y-ose).
Označimo napredak (čitaj "delta x").
Grčko slovo (delta) se obično koristi u matematici kao prefiks koji znači "promjena". To jest - ovo je promjena količine, - promjena; šta je onda? Tako je, promjena veličine.
Važno: izraz je jedna cjelina, jedna varijabla. Nikada ne odvajajte “delta” od “x” ili bilo koje drugo slovo! To je, na primjer, .
Dakle, krenuli smo naprijed, horizontalno, mimo. Ako uporedimo liniju puta sa grafom funkcije, kako onda označavamo uspon? Svakako, . Odnosno, kako idemo naprijed, dižemo se više.
Vrijednost je lako izračunati: ako smo na početku bili na visini, a nakon kretanja našli smo se na visini, onda. Ako je krajnja tačka niža od početne, bit će negativna - to znači da se ne penjemo, već se spuštamo.
Vratimo se na "strminu": ovo je vrijednost koja pokazuje koliko (strmo) raste visina kada se kreće naprijed za jednu jedinicu udaljenosti:
Pretpostavimo da se na nekom dijelu puta, pri kretanju naprijed za kilometar, put uzdiže za kilometar. Tada je nagib na ovom mjestu jednak. A ako se put, dok se kreće naprijed za m, spusti za km? Tada je nagib jednak.
Pogledajmo sada vrh brda. Ako uzmete početak dionice pola kilometra prije vrha, a kraj pola kilometra nakon njega, možete vidjeti da je visina gotovo ista.
Odnosno, prema našoj logici, ispada da je nagib ovdje gotovo jednak nuli, što očito nije tačno. Na udaljenosti od nekoliko kilometara mnogo toga se može promijeniti. Potrebno je razmotriti manje površine radi adekvatnije i preciznije procjene strmine. Na primjer, ako izmjerite promjenu visine dok se krećete jedan metar, rezultat će biti mnogo precizniji. Ali ni ta preciznost nam možda neće biti dovoljna – uostalom, ako postoji stub na sredini puta, možemo ga jednostavno proći. Koju udaljenost onda da izaberemo? Centimetar? Milimetar? Manje je bolje!
U stvarnom životu, mjerenje udaljenosti do najbližeg milimetra je više nego dovoljno. Ali matematičari uvijek teže savršenstvu. Stoga je koncept izmišljen infinitezimal, to jest, apsolutna vrijednost je manja od bilo kojeg broja koji možemo imenovati. Na primjer, kažete: trilionti dio! Koliko manje? I podijelite ovaj broj sa - i bit će još manje. I tako dalje. Ako želimo da zapišemo da je veličina beskonačno mala, pišemo ovako: (čitamo „x teži nuli“). Veoma je važno razumjeti da ovaj broj nije nula! Ali vrlo blizu tome. To znači da možete podijeliti s tim.
Koncept suprotan infinitezimalnom je beskonačno velik (). Vjerovatno ste već naišli na to kada ste radili na nejednačinama: ovaj broj je modulo veći od bilo kojeg broja kojeg možete zamisliti. Ako dođete do najvećeg mogućeg broja, samo ga pomnožite sa dva i dobit ćete još veći broj. A beskonačnost je čak i veća od onoga što se dešava. U stvari, beskonačno veliki i beskonačno mali su inverzni jedno drugom, to jest at, i obrnuto: at.
Sada se vratimo na naš put. Idealno izračunati nagib je nagib izračunat za beskonačno mali segment puta, odnosno:
Napominjem da će s beskonačno malim pomakom promjena visine također biti beskonačno mala. Ali da vas podsjetim da infinitezimalno ne znači jednako nuli. Ako podijelite beskonačno male brojeve jedni s drugima, možete dobiti potpuno običan broj, na primjer, . To jest, jedna mala vrijednost može biti tačno puta veća od druge.
čemu sve ovo? Put, strmina... Ne idemo na auto rally, ali predajemo matematiku. A u matematici je sve potpuno isto, samo se drugačije zove.
Koncept derivata
Derivat funkcije je omjer prirasta funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta.
Postepeno u matematici nazivaju promjenom. Poziva se stepen do kojeg se argument () mijenja dok se kreće duž ose povećanje argumenta i označen je. Koliko se funkcija (visina) promijenila pri pomicanju naprijed duž ose za rastojanje naziva se povećanje funkcije i određen je.
Dakle, derivacija funkcije je omjer kada. Izvod označavamo istim slovom kao i funkcija, samo sa prostim brojem u gornjem desnom uglu: ili jednostavno. Dakle, napišimo formulu derivacije koristeći ove oznake:
Kao iu analogiji sa cestom, i ovdje kada se funkcija povećava, derivacija je pozitivna, a kada se smanjuje negativna.
Može li izvod biti jednak nuli? Svakako. Na primjer, ako vozimo po ravnom horizontalnom putu, strmina je nula. I istina je, visina se uopšte ne menja. Tako je i sa izvodom: izvod konstantne funkcije (konstante) jednak je nuli:
budući da je prirast takve funkcije jednak nuli za bilo koju.
Sjetimo se primjera na vrhu brda. Pokazalo se da je moguće rasporediti krajeve segmenta na suprotnim stranama vrha na takav način da visina na krajevima bude ista, odnosno da je segment paralelan s osi:
Ali veliki segmenti su znak netačnog mjerenja. Naš segment ćemo podići paralelno sa sobom, a zatim će se njegova dužina smanjiti.
Na kraju, kada smo beskonačno blizu vrha, dužina segmenta će postati beskonačno mala. Ali u isto vrijeme, ostao je paralelan s osom, odnosno razlika u visinama na njegovim krajevima jednaka je nuli (ne teži, već je jednaka). Dakle, derivat
Ovo se može shvatiti ovako: kada stojimo na samom vrhu, mali pomak ulijevo ili udesno neznatno mijenja našu visinu.
Postoji i čisto algebarsko objašnjenje: lijevo od vrha funkcija raste, a desno opada. Kao što smo ranije saznali, kada se funkcija povećava, izvod je pozitivan, a kada se smanjuje negativan. Ali mijenja se glatko, bez skokova (pošto put nigdje naglo ne mijenja nagib). Stoga mora postojati između negativnih i pozitivnih vrijednosti. To će biti tamo gdje se funkcija niti povećava niti smanjuje - u točki vrha.
Isto vrijedi i za korito (područje gdje se funkcija s lijeve strane smanjuje, a na desnoj povećava):
Još malo o inkrementima.
Dakle, mijenjamo argument u veličinu. Mi mijenjamo od koje vrijednosti? Šta je to (argument) sada postalo? Možemo izabrati bilo koju tačku, a sada ćemo plesati iz nje.
Zamislite tačku sa koordinatama. Vrijednost funkcije u njemu je jednaka. Zatim radimo isti inkrement: povećavamo koordinatu za. Šta je sada argument? Vrlo jednostavno: . Koja je sada vrijednost funkcije? Gdje ide argument, ide i funkcija: . Šta je sa povećanjem funkcije? Ništa novo: ovo je još uvijek iznos za koji se funkcija promijenila:
Vježbajte pronalaženje inkremenata:
- Pronađite prirast funkcije u tački kada je prirast argumenta jednak.
- Isto vrijedi i za funkciju u jednoj tački.
rješenja:
U različitim točkama s istim prirastom argumenta, inkrement funkcije će biti različit. To znači da je derivacija u svakoj tački različita (o tome smo razgovarali na samom početku - strmina puta je različita u različitim tačkama). Stoga, kada pišemo derivat, moramo naznačiti u kojoj točki:
Funkcija napajanja.
Funkcija snage je funkcija u kojoj je argument u određenoj mjeri (logičan, zar ne?).
Štaviše - u bilo kojoj mjeri: .
Najjednostavniji slučaj je kada je eksponent:
Nađimo njen derivat u jednoj tački. Prisjetimo se definicije derivata:
Dakle, argument se mijenja od do. Koliki je prirast funkcije?
Prirast je ovo. Ali funkcija u bilo kojoj tački jednaka je svom argumentu. Zbog toga:
Izvod je jednak:
Derivat od je jednak:
b) Sada razmotrite kvadratnu funkciju (): .
A sada da se prisjetimo toga. To znači da se vrijednost prirasta može zanemariti, jer je beskonačno mala, a samim tim i beznačajna na pozadini drugog pojma:
Dakle, došli smo do još jednog pravila:
c) Nastavljamo logički niz: .
Ovaj izraz se može pojednostaviti na različite načine: otvoriti prvu zagradu koristeći formulu za skraćeno množenje kocke zbira, ili faktorizirati cijeli izraz koristeći formulu razlike kocki. Pokušajte to učiniti sami koristeći bilo koju od predloženih metoda.
Dakle, dobio sam sledeće:
I opet da se prisjetimo toga. To znači da možemo zanemariti sve pojmove koji sadrže:
Dobijamo: .
d) Slična pravila se mogu dobiti za velike snage:
e) Ispada da se ovo pravilo može generalizirati za funkciju stepena s proizvoljnim eksponentom, čak ni cijelim brojem:
| (2) |
Pravilo se može formulirati riječima: "stepen se iznosi naprijed kao koeficijent, a zatim se smanjuje za ."
Ovo pravilo ćemo dokazati kasnije (skoro na samom kraju). Pogledajmo sada nekoliko primjera. Pronađite izvod funkcija:
- (na dva načina: formulom i korištenjem definicije derivacije - izračunavanjem prirasta funkcije);
- . Vjerovali ili ne, ovo je funkcija snage. Ako imate pitanja poput „Kako je ovo? Gdje je diploma?”, zapamtite temu “”!
Da, da, korijen je također stepen, samo razlomak: .
To znači da je naš kvadratni korijen samo potencija s eksponentom:
.
Izvod tražimo koristeći nedavno naučenu formulu:Ako u ovom trenutku ponovo postane nejasno, ponovite temu “”!!! (otprilike stepen sa negativnim eksponentom)
- . Sada eksponent:
A sada kroz definiciju (jeste li već zaboravili?):
;
.
Sada, kao i obično, zanemarujemo pojam koji sadrži:
. - . Kombinacija prethodnih slučajeva: .
Trigonometrijske funkcije.
Ovdje ćemo koristiti jednu činjenicu iz više matematike:
Sa izrazom.
Dokaz ćete naučiti na prvoj godini instituta (a da biste tamo stigli, potrebno je dobro položiti Jedinstveni državni ispit). Sada ću to samo grafički prikazati:
Vidimo da kada funkcija ne postoji - tačka na grafu je izrezana. Ali što je bliže vrijednosti, to je funkcija bliža. To je ono što „cilj“.
Osim toga, ovo pravilo možete provjeriti pomoću kalkulatora. Da, da, ne stidite se, uzmite kalkulator, nismo još na Jedinstvenom državnom ispitu.
Dakle, pokušajmo: ;
Ne zaboravite da prebacite svoj kalkulator u način rada radijana!
itd. Vidimo da što je manji, to je bliža vrijednost omjera.
a) Razmotrite funkciju. Kao i obično, pronađimo njegov prirast:
Pretvorimo razliku sinusa u proizvod. Da bismo to učinili, koristimo formulu (zapamtite temu “”): .
Sada derivat:
Napravimo zamjenu: . Tada je za infinitezimalno također infinitezimalno: . Izraz za ima oblik:
I sada se toga sećamo sa izrazom. I takođe, šta ako se beskonačno mala količina može zanemariti u zbiru (to jest, at).
Dakle, dobijamo sledeće pravilo: derivacija sinusa je jednaka kosinsu:
Ovo su osnovne (“tabelarne”) izvedenice. Evo ih na jednoj listi:
Kasnije ćemo im dodati još nekoliko, ali ovo su najvažnije, jer se najčešće koriste.
vježbajte:
- Pronađite derivaciju funkcije u tački;
- Pronađite izvod funkcije.
rješenja:
- Prvo, pronađimo izvod u općem obliku, a zatim zamijenimo njegovu vrijednost:
;
. - Ovdje imamo nešto slično funkciji snage. Pokušajmo je dovesti do toga
normalan pogled:
.
Odlično, sada možete koristiti formulu:
.
. - . Eeeeeee….. Šta je ovo????
Dobro, u pravu ste, još ne znamo kako pronaći takve derivate. Ovdje imamo kombinaciju nekoliko vrsta funkcija. Da biste radili s njima, morate naučiti još nekoliko pravila:
Eksponent i prirodni logaritam.
U matematici postoji funkcija čiji je izvod za bilo koju vrijednost u isto vrijeme jednak vrijednosti same funkcije. Zove se “eksponent” i eksponencijalna je funkcija
Osnova ove funkcije - konstanta - je beskonačan decimalni razlomak, odnosno iracionalni broj (kao što je). Zove se "Eulerov broj", zbog čega je označen slovom.
Dakle, pravilo:
Vrlo lako za pamćenje.
Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:
U našem slučaju, osnova je broj:
Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.
Čemu je to jednako? Naravno, .
Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:
primjeri:
- Pronađite izvod funkcije.
- Što je derivacija funkcije?
odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.
Pravila diferencijacije
Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...
Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije.
To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.
Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:
Postoji ukupno 5 pravila.
Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.
Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.
Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .
Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.
Primjeri.
Pronađite izvode funkcija:
- u jednom trenutku;
- u jednom trenutku;
- u jednom trenutku;
- u tački.
rješenja:
- (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);
Derivat proizvoda
Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:
Derivat:
primjeri:
- Naći izvode funkcija i;
- Pronađite izvod funkcije u tački.
rješenja:
Derivat eksponencijalne funkcije
Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).
Dakle, gdje je neki broj.
Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:
Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo: . onda:
Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.
Desilo se?
Evo, uvjerite se sami:
Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.
primjeri:
Pronađite izvode funkcija:
odgovori:
Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.
Derivat logaritamske funkcije
Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:
Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:
Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:
Tek sada ćemo umjesto toga napisati:
Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:
Derivati eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.
Derivat kompleksne funkcije.
Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i bit će vam dobro), ali s matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.
Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.
Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.
Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.
Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .
Za prvi primjer, .
Drugi primjer: (ista stvar). .
Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).
Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:
odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji
- Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
A originalna funkcija je njihov sastav: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: . - Interni: ; eksterno: .
Ispitivanje: .
Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.
Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:
Drugi primjer:
Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:
Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:
Čini se jednostavno, zar ne?
Provjerimo na primjerima:
rješenja:
1) Interni: ;
Vanjski: ;
2) Interni: ;
(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)
3) Interni: ;
Vanjski: ;
Odmah je jasno da se radi o kompleksnoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavljamo čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.
Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.
U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:
Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:
Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.
1. Radikalni izraz. .
2. Root. .
3. Sinus. .
4. Kvadrat. .
5. Stavljajući sve zajedno:
DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA
Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:
Osnovni derivati:
Pravila diferencijacije:
Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:
Derivat sume:
Derivat proizvoda:
Derivat količnika:
Derivat kompleksne funkcije:
Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:
- Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
- Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
- Množimo rezultate prve i druge tačke.
Izračunavanje derivata se često nalazi u zadacima Jedinstvenog državnog ispita. Ova stranica sadrži listu formula za pronalaženje izvoda.
Pravila diferencijacije
- (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Derivat kompleksne funkcije. Ako je y=F(u) i u=u(x), onda se funkcija y=f(x)=F(u(x)) naziva kompleksnom funkcijom od x. Jednako y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Derivat implicitne funkcije. Funkcija y=f(x) naziva se implicitna funkcija definisana relacijom F(x,y)=0 ako je F(x,f(x))≡0.
- Derivat inverzne funkcije. Ako je g(f(x))=x, onda se funkcija g(x) naziva inverznom funkcijom funkcije y=f(x).
- Derivat parametarski definirane funkcije. Neka su x i y specificirani kao funkcije varijable t: x=x(t), y=y(t). Kažu da je y=y(x) parametarski definirana funkcija na intervalu x∈ (a;b), ako se na tom intervalu jednačina x=x(t) može izraziti kao t=t(x) i funkcija y=y(t(x))=y(x).
- Derivat eksponencijalne funkcije stepena. Nalazi se uzimanjem logaritma u bazu prirodnog logaritma.
Ako slijedite definiciju, onda je derivacija funkcije u tački granica omjera prirasta funkcije Δ y na prirast argumenta Δ x:
Čini se da je sve jasno. Ali pokušajte koristiti ovu formulu da izračunate, recimo, derivaciju funkcije f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x grijeh x. Ako sve radite po definiciji, onda ćete nakon nekoliko stranica proračuna jednostavno zaspati. Stoga postoje jednostavniji i efikasniji načini.
Za početak, napominjemo da iz čitavog niza funkcija možemo razlikovati takozvane elementarne funkcije. Riječ je o relativno jednostavnim izrazima čiji su derivati odavno izračunati i tabelarizirani. Takve funkcije je prilično lako zapamtiti - zajedno sa njihovim derivatima.
Derivati elementarnih funkcija
Osnovne funkcije su sve one navedene u nastavku. Izvodi ovih funkcija moraju se znati napamet. Štaviše, nije ih uopće teško zapamtiti - zato su elementarni.
Dakle, derivati elementarnih funkcija:
| Ime | Funkcija | Derivat |
| Konstantno | f(x) = C, C ∈ R | 0 (da, nula!) |
| Potencija s racionalnim eksponentom | f(x) = x n | n · x n − 1 |
| Sinus | f(x) = grijeh x | cos x |
| Kosinus | f(x) = cos x | −sin x(minus sinus) |
| Tangenta | f(x) = tg x | 1/cos 2 x |
| Kotangens | f(x) = ctg x | − 1/grijeh 2 x |
| Prirodni logaritam | f(x) = log x | 1/x |
| Proizvoljni logaritam | f(x) = log a x | 1/(x ln a) |
| Eksponencijalna funkcija | f(x) = e x | e x(ništa se nije promijenilo) |
Ako se elementarna funkcija pomnoži sa proizvoljnom konstantom, onda se derivacija nove funkcije također lako izračunava:
(C · f)’ = C · f ’.
Generalno, konstante se mogu izvući iz predznaka izvoda. Na primjer:
(2x 3)’ = 2 · ( x 3)’ = 2 3 x 2 = 6x 2 .
Očigledno, elementarne funkcije se mogu dodavati jedna drugoj, množiti, dijeliti - i još mnogo toga. Tako će se pojaviti nove funkcije, više ne posebno elementarne, ali i diferencirane po određenim pravilima. Ova pravila su razmotrena u nastavku.
Derivat zbira i razlike
Neka su funkcije zadane f(x) I g(x), čiji su nam derivati poznati. Na primjer, možete uzeti elementarne funkcije o kojima smo gore govorili. Tada možete pronaći derivaciju zbira i razlike ovih funkcija:
- (f + g)’ = f ’ + g ’
- (f − g)’ = f ’ − g ’
Dakle, derivacija zbira (razlike) dvije funkcije jednaka je zbiru (razlici) izvoda. Možda ima više termina. Na primjer, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.
Strogo govoreći, u algebri ne postoji koncept „oduzimanja“. Postoji koncept „negativnog elementa“. Stoga razlika f − g može se prepisati kao zbir f+ (−1) g, a onda ostaje samo jedna formula - derivacija sume.
f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.
Funkcija f(x) je zbir dvije elementarne funkcije, dakle:
f ’(x) = (x 2 + sin x)’ = (x 2)’ + (grijeh x)’ = 2x+ cos x;
Slično razmišljamo o funkciji g(x). Samo što već postoje tri pojma (sa stanovišta algebre):
g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).
odgovor:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x
2 + 1).
Derivat proizvoda
Matematika je logička nauka, tako da mnogi ljudi vjeruju da ako je derivacija sume jednaka zbroju izvoda, onda derivacija proizvoda štrajk">jednak umnošku derivata. Ali jebi se! Derivat proizvoda se računa po potpuno drugoj formuli. Naime:
(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’
Formula je jednostavna, ali se često zaboravlja. I ne samo školarci, već i studenti. Rezultat su pogrešno riješeni problemi.
Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .
Funkcija f(x) je proizvod dvije elementarne funkcije, tako da je sve jednostavno:
f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)’ cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 (3cos x − x grijeh x)
Funkcija g(x) prvi množitelj je malo složeniji, ali se opća shema ne mijenja. Očigledno, prvi faktor funkcije g(x) je polinom i njegov izvod je izvod zbira. Imamo:
g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)’ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .
odgovor:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x grijeh x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e
x
.
Imajte na umu da je u posljednjem koraku izvod faktoriziran. Formalno, to ne treba da se radi, ali većina derivata se ne izračunavaju sami, već da se ispita funkcija. To znači da će se dalje derivacija izjednačiti sa nulom, odrediti njeni predznaci i tako dalje. Za takav slučaj, bolje je imati izraz faktoriziran.
Ako postoje dvije funkcije f(x) I g(x), i g(x) ≠ 0 na skupu koji nas zanima, možemo definirati novu funkciju h(x) = f(x)/g(x). Za takvu funkciju možete pronaći i izvod:
Nije slabo, ha? Odakle minus? Zašto g 2? I ovako! Ovo je jedna od najsloženijih formula - ne možete je shvatiti bez boce. Stoga ga je bolje proučavati na konkretnim primjerima.
Zadatak. Pronađite derivate funkcija:
Brojnik i nazivnik svakog razlomka sadrže elementarne funkcije, tako da sve što nam treba je formula za izvod količnika:
Prema tradiciji, hajde da faktorizujemo brojilac - ovo će uvelike pojednostaviti odgovor:
Složena funkcija nije nužno formula duga pola kilometra. Na primjer, dovoljno je uzeti funkciju f(x) = grijeh x i zamijenite varijablu x, recimo, na x 2 + ln x. To će uspjeti f(x) = grijeh ( x 2 + ln x) - ovo je složena funkcija. Takođe ima derivat, ali ga neće biti moguće pronaći koristeći pravila o kojima smo gore govorili.
Sta da radim? U takvim slučajevima, zamjena varijable i formule za izvod složene funkcije pomaže:
f ’(x) = f ’(t) · t', Ako x je zamijenjen sa t(x).
U pravilu je situacija s razumijevanjem ove formule još tužnija nego s izvodom količnika. Stoga je bolje i to objasniti na konkretnim primjerima, sa detaljnim opisom svakog koraka.
Zadatak. Pronađite derivate funkcija: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = grijeh ( x 2 + ln x)
Imajte na umu da ako je u funkciji f(x) umjesto izraza 2 x+ 3 će biti lako x, tada dobijamo elementarnu funkciju f(x) = e x. Stoga pravimo zamjenu: neka 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Tražimo derivat kompleksne funkcije koristeći formulu:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’
A sada - pažnja! Vršimo obrnutu zamjenu: t = 2x+ 3. Dobijamo:
f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3
Pogledajmo sada funkciju g(x). Očigledno ga treba zamijeniti x 2 + ln x = t. Imamo:
g ’(x) = g ’(t) · t’ = (grijeh t)’ · t’ = cos t · t ’
Obrnuta zamjena: t = x 2 + ln x. onda:
g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)’ = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).
To je sve! Kao što se može vidjeti iz posljednjeg izraza, cijeli problem je sveden na izračunavanje sume derivata.
odgovor:
f ’(x) = 2 · e
2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).
Vrlo često u svojim lekcijama umjesto izraza „derivat“ koristim riječ „prime“. Na primjer, hod zbroja jednak je zbroju poteza. Je li to jasnije? Pa, to je dobro.
Dakle, izračunavanje derivata se svodi na oslobađanje od tih istih poteza prema gore navedenim pravilima. Kao konačni primjer, vratimo se na derivirani stepen s racionalnim eksponentom:
(x n)’ = n · x n − 1
Malo ljudi to zna u ulozi n može biti razlomak. Na primjer, korijen je x 0.5. Šta ako postoji nešto fensi ispod korijena? Opet, rezultat će biti složena funkcija - oni vole da daju takve konstrukcije na testovima i ispitima.
Zadatak. Pronađite derivaciju funkcije:
Prvo, prepišimo korijen kao stepen s racionalnim eksponentom:
f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .
Sada pravimo zamjenu: neka x 2 + 8x − 7 = t. Izvod pronalazimo pomoću formule:
f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)’ · t’ = 0,5 · t−0,5 · t ’.
Uradimo obrnutu zamjenu: t = x 2 + 8x− 7. Imamo:
f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)’ = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .
Konačno, povratak korijenima:
