Apdaila. Armatūra. Remontas. Montavimas. Pasirinkimas. Diafragma
Akivaizdu, kad skaičiai su galiomis gali būti pridedami, kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.
Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2.
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.
Šansai tie patys tų pačių kintamųjų laipsniai galima pridėti arba atimti.
Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2.
Taip pat akivaizdu, kad paėmus du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.
Bet laipsniai skirtingi kintamieji ir įvairaus laipsnio identiški kintamieji, turi būti pridedami pridedant jų ženklus.
Taigi, 2 ir 3 suma yra 2 + 3 suma.
Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas lygus ne dvigubam a kvadratui, o du kartus kubui a.
A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6.
Atimtis laipsniai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atimtojo ženklai turi būti atitinkamai pakeisti.
Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6
Laipsnių dauginimas
Skaičius su laipsniais galima dauginti, kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.
Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.
Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3.
Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.
Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.
Taigi, a n .a m = a m + n.
Jei n, a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek n laipsnis yra lygus;
Ir a m, imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra m galia;
Štai kodėl, laipsnius su tais pačiais kamienais galima padauginti pridedant laipsnius.
Taigi, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Ir x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra neigiamas.
1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5. Tai galima parašyti kaip (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n-m.
3.a -n .a m = a m-n.
Jei a + b padauginama iš a - b, rezultatas yra a 2 - b 2: tai yra
Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.
Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.
Taigi (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 – y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 – y 8.
Laipsnių skirstymas
Laipsnius galima padalyti, kaip ir kitus skaičius, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos forma.
Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 lygus 3.
Arba:
$ \ frac (9a ^ 3y ^ 4) (- 3a ^ 3) = -3y ^ 4 $
$ \ frac (a ^ 2b + 3a ^ 2) (a ^ 2) = \ frac (a ^ 2 (b + 3)) (a ^ 2) = b + 3 $
$ \ frac (d \ cdot (a - h + y) ^ 3) ((a - h + y) ^ 3) = d $
5 padalytas iš 3 atrodo kaip $ \ frac (a ^ 5) (a ^ 3) $. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.
Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..
Taigi, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Tai yra, $ \ frac (yyy) (yy) = y $.
Ir a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Tai yra, $ \ frac (aa ^ n) (a) = a ^ n $.
Arba:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Taisyklė galioja ir skaičiams su neigiamas laipsnių reikšmės.
-5 padalijus iš -3 rezultatas yra -2.
Taip pat $ \ frac (1) (aaaaa): \ frac (1) (aaa) = \ frac (1) (aaaaa). \ Frac (aaa) (1) = \ frac (aaa) (aaaaa) = \ frac (1) (aa) $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 arba $ h ^ 2: \ frac (1) (h) = h ^ 2. \ frac (h) (1) = h ^ 3 $
Būtina labai gerai įsisavinti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje naudojami labai plačiai.
Pavyzdžiai, kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais
1. Sumažinkite eksponentus $ \ frac (5a ^ 4) (3a ^ 2) $ Atsakymas: $ \ frac (5a ^ 2) (3) $.
2. Sumažinkite eksponentus $ \ frac (6x ^ 6) (3x ^ 5) $. Atsakymas: $ \ frac (2x) (1) $ arba 2x.
3. Sumažinkite laipsnius a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir perkelkite juos į bendrą vardiklį.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1, bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 / a -1 ir 1 / a -1.
4. Sumažinkite laipsnius 2a 4 / 5a 3 ir 2 / a 4 ir pridėkite juos prie bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5 / 5a 2.
5. Padauginkite (a 3 + b) / b 4 iš (a - b) / 3.
6. Padauginkite (a 5 + 1) / x 2 iš (b 2 - 1) / (x + a).
7. Padauginkite b 4 / a -2 iš h -3 / x ir a n / y -3.
8. Padalinkite 4 / m. 3 iš 3 / m. 2. Atsakymas: a/y.
9. Padalinkite (h 3 - 1) / d 4 iš (d n + 1) / h.
Kiekvienas aritmetinis veiksmas kartais tampa pernelyg sudėtingas rašyti ir jie bando ją supaprastinti. Anksčiau taip buvo su pridėjimo operacija. Žmonėms reikėjo atlikti kelis tos pačios rūšies papildymus, pavyzdžiui, apskaičiuoti šimto persiškų kilimų, kurių kiekvienas kainuoja po 3 auksines monetas, kainą. 3 + 3 + 3 +… + 3 = 300. Dėl sudėtingumo buvo manoma rekordą sumažinti iki 3 * 100 = 300. Tiesą sakant, įrašas "tris kartus šimtas" reiškia, kad reikia paimti šimtą trigubai ir pridėti kartu. Dauginimasis įsigalėjo ir įgijo bendrą populiarumą. Tačiau pasaulis nestovi vietoje, o viduramžiais tapo būtina atlikti daugybinį to paties tipo dauginimą. Prisimenu seną indų mįslę apie išminčius, kuris paprašė tokio kiekio kviečių grūdų kaip atlygio už savo darbą: už pirmą šachmatų lentos langelį prašė vieno grūdo, už antrą – dviejų, už trečią – keturių, už aštuonių – už. penktasis ir pan. Taip atsirado pirmasis laipsnių padauginimas, nes grūdų skaičius buvo lygus dviem ląstelių skaičiaus laipsniui. Pavyzdžiui, paskutiniame langelyje būtų 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 2 ^ 63 grūdeliai, tai yra 18 simbolių skaičiui, o tai iš tikrųjų yra mįslės prasmė.
Padidinimo į laipsnį operacija įsigalėjo gana greitai, taip pat greitai atsirado būtinybė atlikti laipsnių sudėties, atimties, dalybos ir daugybos veiksmus. Pastarąjį verta apsvarstyti išsamiau. Laipsnių pridėjimo formulės yra paprastos ir lengvai įsimenamos. Be to, labai lengva suprasti, iš kur jie atsiranda, jei galios operaciją pakeičia daugyba. Tačiau pirmiausia turite suprasti pagrindinę terminiją. Išraiška a ^ b (skaitykite "a iki b laipsnio") reiškia, kad skaičius a turi būti padaugintas iš savęs b kartų, o "a" vadinamas laipsnio pagrindu, o "b" vadinamas laipsnio laipsniu. . Jei laipsnių pagrindai yra vienodi, tada formulės išvedamos gana paprastai. Konkretus pavyzdys: raskite išraiškos 2 ^ 3 * 2 ^ 4 reikšmę. Norėdami sužinoti, kas turėtų pasirodyti, prieš pradėdami sprendimą turėtumėte sužinoti atsakymą kompiuteryje. Įdėję šią išraišką į bet kurį internetinį skaičiuotuvą, paieškos variklį, įvedę "laipsnių padauginimas su skirtingomis bazėmis ir tuo pačiu" arba matematinį paketą, išvestis bus 128. Dabar parašysime šią išraišką: 2 ^ 3 = 2 * 2 * 2 ir 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2. Pasirodo, 2 ^ 3 * 2 ^ 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2 ^ 7 = 2 ^ (3 + 4). Pasirodo, kad laipsnių sandauga su tuo pačiu pagrindu yra lygi bazei, pakeltai iki galios, lygios dviejų ankstesnių laipsnių sumai.
Galbūt manote, kad tai nelaimingas atsitikimas, bet ne: bet koks kitas pavyzdys gali tik patvirtinti šią taisyklę. Taigi bendrais bruožais formulė atrodo taip: a ^ n * a ^ m = a ^ (n + m). Taip pat yra taisyklė, kad bet koks skaičius nuliniame laipsnyje yra lygus vienetui. Čia turėtume prisiminti neigiamų galių taisyklę: a ^ (- n) = 1 / a ^ n. Tai yra, jei 2 ^ 3 = 8, tada 2 ^ (- 3) = 1/8. Naudodami šią taisyklę galime įrodyti lygybę a ^ 0 = 1: a ^ 0 = a ^ (nn) = a ^ n * a ^ (- n) = a ^ (n) * 1 / a ^ (n), a ^ (n) gali būti atšauktas ir lieka tik vienas. Iš čia kyla taisyklė, kad laipsnių, turinčių vienodus pagrindus, koeficientas yra lygus šiam pagrindui laipsniui, lygiam dividendo ir daliklio rodiklio koeficientui: a ^ n: a ^ m = a ^ (n-m). Pavyzdys: supaprastinkite išraišką 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0: 2 ^ (- 2). Daugyba yra komutacinė operacija, todėl pirmiausia turite pridėti daugybos rodiklius: 2 ^ 3 * 2 ^ 5 * 2 ^ (- 7) * 2 ^ 0 = 2 ^ (3 + 5-7 + 0) = 2 ^ 1 = 2. Kitas žingsnis yra padalijimas neigiamu eksponentu. Iš dividendo indekso reikia atimti daliklio indeksą: 2 ^ 1: 2 ^ (- 2) = 2 ^ (1 - (- 2)) = 2 ^ (1 + 2) = 2 ^ 3 = 8. Pasirodo, kad dalybos iš neigiamo laipsnio operacija yra identiška daugybos iš panašaus teigiamo laipsnio operacijai. Taigi galutinis atsakymas yra 8.
Yra pavyzdžių, kai vyksta nekanoninis laipsnių dauginimas. Padauginti laipsnius su skirtingais pagrindais labai dažnai yra daug sunkiau, o kartais net neįmanoma. Reikėtų pateikti keletą skirtingų galimų metodų pavyzdžių. Pavyzdys: supaprastinkite išraišką 3 ^ 7 * 9 ^ (- 2) * 81 ^ 3 * 243 ^ (- 2) * 729. Akivaizdu, kad yra galių dauginimas su skirtingais pagrindais. Tačiau reikia pažymėti, kad visos bazės yra skirtingo laipsnio tripleto. 9 = 3 ^ 2,1 = 3 ^ 4,3 = 3 ^ 5,9 = 3 ^ 6. Naudodami taisyklę (a ^ n) ^ m = a ^ (n * m), turėtumėte perrašyti išraišką patogesne forma: 3 ^ 7 * (3 ^ 2) ^ (- 2) * (3 ^ 4) ^ 3 * ( 3 ^ 5) ^ (- 2) * 3 ^ 6 = 3 ^ 7 * 3 ^ (- 4) * 3 ^ (12) * 3 ^ (- 10) * 3 ^ 6 = 3 ^ (7 -4 + 12 -10 + 6) = 3 ^ (11). Atsakymas: 3^11. Tais atvejais, kai yra skirtingi pagrindai, taisyklė a ^ n * b ^ n = (a * b) ^ n tinka vienodiems rodikliams. Pavyzdžiui, 3 ^ 3 * 7 ^ 3 = 21 ^ 3. Priešingu atveju, kai yra skirtingos bazės ir rodikliai, neįmanoma atlikti pilno dauginimo. Kartais galima iš dalies supaprastinti arba pasitelkti kompiuterinių technologijų pagalbą.
Pirmas lygis
Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019 m.)
Kodėl reikalingi laipsniai? Kur jie jums bus naudingi? Kodėl reikia skirti laiko jų studijavimui?
Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias kasdieniame gyvenime, perskaitykite šį straipsnį.
Ir, žinoma, laipsnių žinios priartins prie sėkmingo OGE arba USE išlaikymo ir įstojimo į svajonių universitetą.
Eime... (Eime!)
Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote beprasmybę, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL + F5 („Windows“) arba Cmd + R („Mac“).
PIRMAS LYGIS
Eksponentinis didinimas yra ta pati matematinė operacija kaip sudėtis, atimtis, daugyba ar dalyba.
Dabar viską paaiškinsiu žmonių kalba, naudodamas labai paprastus pavyzdžius. Atkreipk dėmesį. Pavyzdžiai elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.
Pradėkime nuo papildymo.
Nėra ką aiškinti. Jūs jau viską žinote: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek yra kolos? Teisingai – 16 butelių.
Dabar daugyba.
Tas pats kolos pavyzdys gali būti parašytas skirtingai:. Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos raštus, o paskui sugalvoja, kaip juos greitai „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat kolos butelių, ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.
Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę... Žinoma, galite viską daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…
Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.
Ir dar vienas gražesnis:
Kokių dar protingų skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.
Skaičiaus pakėlimas į laipsnį
Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penkto laipsnio yra. Ir tokias problemas jie išsprendžia savo galvose – greičiau, lengviau ir be klaidų.
Viskas, ką jums reikia padaryti, tai prisiminkite, kas paryškinta skaičių galių lentelėje... Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.
Beje, kodėl vadinamas antrasis laipsnis kvadratas skaičiai, o trečias - kubas? Ką tai reiškia? Tai labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.
1 gyvenimo pavyzdys
Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.
Įsivaizduokite kvadratinį metrą po metro baseiną. Baseinas yra jūsų sodyboje. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet ... baseinas be dugno! Baseino dugną būtina iškloti plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.
Galite tiesiog bakstelėdami pirštu suskaičiuoti, kad baseino dugnas susideda iš metras po metro kubelių. Jei turite plytelių metrą po metro, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur jūs matėte tokias plyteles? Tikėtina, kad plytelė bus cm po cm.. Ir tada jus kankins "pirštų skaičius". Tada reikia daugintis. Taigi vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginus iš, gausite plyteles ().
Ar pastebėjote, kad norėdami nustatyti baseino dugno plotą, tą patį skaičių padauginome patys? Ką tai reiškia? Padauginus tą patį skaičių, galime naudoti „eksponentavimo“ techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek juos dauginate arba padidinate iki laipsnio. Bet jei jų turite daug, tada pakelti iki laipsnio yra daug lengviau, be to, skaičiavimuose pasitaiko mažiau klaidų. egzaminą, tai labai svarbu).
Taigi, trisdešimt antrajame laipsnyje bus (). Arba galite pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio atvaizdas.
2 realaus gyvenimo pavyzdys
Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norėdami suskaičiuoti jų skaičių, turite aštuonis padauginti iš aštuonių arba ... jei pastebėsite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tada galite kvadratu aštuoni. Jūs gausite ląstelių. () Taigi?
Gyvenimo pavyzdys Nr.3
Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnė. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Tūriai ir skysčiai, beje, matuojami kubiniais metrais. Keista, ar ne?) Nubraižykite baseiną: dugnas yra metro dydžio ir metro gylio ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubinių metrų po metro pateks į jūsų baseiną.
Rodyk pirštu ir suskaičiuok! Vienas, du, trys, keturi... dvidešimt du, dvidešimt trys... Kiek išėjo? Nepametėte? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia jo ilgį, plotį ir aukštį padauginti vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, tiesa?
Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei jie ir tai supaprastintų. Jie viską suvedė į vieną veiksmą. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius dauginamas iš savęs... Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką kažkada suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kube yra lygūs. Parašyta taip:.
Tai tik lieka prisimink laipsnių lentelę... Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.
Na, o kad pagaliau jus įtikintumėte, jog laipsnius sugalvojo dykinėtojai ir gudruoliai, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne sukurti problemų jums, čia yra dar pora pavyzdžių iš gyvenimo.
Gyvenimo pavyzdys Nr.4
Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje iš kiekvieno milijono uždirbate dar vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir .. kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais – du kart du... antraisiais – tai, kas atsitiko, buvo dar du, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš savęs vieną kartą. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tuos milijonus gaus tas, kuris greičiau suskaičiuos... Ar verta prisiminti skaičių laipsnius, ką manote?
5 realaus gyvenimo pavyzdys
Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje iš kiekvieno milijono uždirbate dar dviem. Puiku, ar ne? Kas milijonas patrigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Suskaičiuokime. Pirmus metus – daugink iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: tris kartus dauginama iš savęs. Taigi ketvirtoji galia yra lygi milijonui. Jums tereikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.
Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios, labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažiūrėkime, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.
Terminai ir sąvokos ... kad nesusipainiotumėte
Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai yra skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet suprantamas ir lengvai įsimenamas ...
Na, tuo pačiu metu toks laipsnio pagrindas? Tai dar paprasčiau – tai skaičius, kuris yra apačioje, prie pagrindo.
Čia yra brėžinys, kad įsitikintumėte.
Na, apskritai, norint apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze "" ir rodikliu "" skaitomas kaip "laipsniais" ir rašomas taip:
Skaičiaus laipsnis su natūraliuoju rodikliu
Tikriausiai jau atspėjote: nes eksponentas yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai yra tie, kurie naudojami skaičiuojant surašant objektus: vienas, du, trys... Skaičiuodami objektus nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis taško, penkios dešimtosios“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?
Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, natūraliems skaičiams priešingus skaičius (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. Ką reiškia neigiami („minuso“) skaičiai? Bet jie buvo sugalvoti pirmiausia norint nurodyti skolas: jei telefone turite rublių, vadinasi, esate skolingas operatoriui rublių.
Bet kokios trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?
Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, begalinė dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.
Santrauka:
Apibrėžkime laipsnio, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (tai yra sveikasis skaičius ir teigiamas), sąvoką.
- Bet kuris skaičius pirmoje laipsnyje yra lygus sau:
- Norėdami padalyti skaičių kvadratu, padauginkite jį iš savęs:
- Skaičius kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:
Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš karto:
.
Galios savybės
Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau parodysiu dabar.
Pažiūrėkime: kas yra ir ?
A prioritetas:
Kiek veiksnių iš viso yra?
Tai labai paprasta: prie daugiklių pridėjome daugiklius, o bendra suma yra daugikliai.
Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra, kaip reikia įrodyti.
Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas:
Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti tuos pačius pagrindus!
Todėl laipsnius deriname su baze, bet lieka atskiras veiksnys:
tik laipsnių sandaugai!
Jokiu būdu negali to rašyti.
2.tai yra - skaičiaus laipsnis
Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:
Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:
Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus kėlimu“. Tačiau niekada neturėtumėte to daryti iš viso:
Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?
Bet tai juk netiesa.
Laipsnis su neigiama baze
Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.
Bet koks turėtų būti pagrindas?
Laipsniais su natūrali norma pagrindas gali būti bet koks skaičius... Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net.
Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių galias?
Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? A? ? Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.
Bet neigiamas yra šiek tiek įdomiau. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minus prie minuso duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, tai veikia.
Pats nuspręskite, kokį ženklą turės šie posakiai:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Ar susitvarkei?
Štai atsakymai: tikimės, kad pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose viskas aišku? Mes tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė – laipsnis lygus, vadinasi, rezultatas visada bus teigiamas.
Na, nebent bazė lygi nuliui. Pamatas nelygus, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).
6 pavyzdys) nebėra taip paprasta!
6 mokymui skirti pavyzdžiai
Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai
Jei nepaisysime aštuntojo laipsnio, ką čia matome? Prisimename 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:
Atidžiai pažvelkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio daugiklių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų pakeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.
Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, labai lengva: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.
Sąlygos stebuklingai apverstos. Šis „reiškinys“ tolygiai pritaikomas bet kuriai išraiškai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose.
Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!
Grįžkime prie pavyzdžio:
Ir vėl formulė:
Visas vadiname jiems priešingus natūraliuosius skaičius (tai yra, paimtus su ženklu "") ir skaičių.
teigiamas sveikasis skaičius, bet jis niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.
Dabar pažvelkime į keletą naujų atvejų. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.
Bet kuris nulinio laipsnio skaičius yra lygus vienetui:
Kaip visada, užduokime sau klausimą: kodėl taip yra?
Apsvarstykite laipsnį su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:
Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, koks buvo -. O kokį skaičių padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, toliau. Reiškia.
Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:
Pakartokime taisyklę:
Bet kuris nulinio laipsnio skaičius yra lygus vienetui.
Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).
Viena vertus, jis turėtų būti lygus bet kokiam laipsniui – kad ir kiek padaugintum iš savęs, vis tiek gausi nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius nuliniame laipsnyje, jis turi būti lygus. Taigi, kas iš to yra tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė pakelti nulį iki nulio. Tai yra, dabar negalime ne tik dalyti iš nulio, bet ir pakelti iki nulio laipsnio.
Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikiesiems skaičiams priklauso ir neigiami skaičiai. Kad suprastume, kas yra neigiama galia, padarykime tą patį, kaip ir praėjusį kartą: padauginkime kokį nors normalų skaičių iš tos pačios neigiamos galios:
Iš čia jau lengva išreikšti tai, ko ieškote:
Dabar išplėsime gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:
Taigi, suformuluokime taisyklę:
Skaičius neigiamoje galioje yra atvirkštinis tam pačiam skaičiui teigiamojoje galioje. Bet tuo pačiu bazė negali būti nulinė:(nes negalima dalyti iš).
Apibendrinkime:
I. Išraiška nenurodyta byloje. Jei tada.
II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:.
III. Skaičius, kuris nėra lygus nuliui, yra neigiamos galios, atvirkščiai, tam pačiam skaičiui teigiamoje galioje:.
Užduotys savarankiškam sprendimui:
Na, ir, kaip įprasta, nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:
Savarankiško sprendimo užduočių analizė:
Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet per egzaminą turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei negalėjote išspręsti, ir sužinosite, kaip lengvai su jais susidoroti per egzaminą!
Ir toliau plėskime skaičių, „tinkamų“ kaip eksponentinį, ratą.
Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?
Atsakymas: visa tai gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai.
Norėdami suprasti, kas yra Trupmeninis laipsnis, apsvarstykite trupmeną:
Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:
Dabar prisiminkime taisyklę apie "laipsnis į laipsnį":
Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?
Ši formuluotė yra šaknies apibrėžimas.
Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.
Tai reiškia, kad th laipsnio šaknis yra atvirkštinė eksponencijos operacija:.
Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad šį konkretų atvejį galima pratęsti:.
Dabar pridedame skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą lengva gauti naudojant laipsnio iki laipsnio taisyklę:
Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.
Nė vienas!
Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai reiškia, kad iš neigiamų skaičių negalima išskirti lyginio laipsnio šaknų!
O tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.
O išraiška?
Tačiau čia ir iškyla problema.
Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, atšaukiamos trupmenos, pavyzdžiui, arba.
Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, bet tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.
Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada gali rašyti. Bet jei rodiklį užrašysime kitaip, ir vėl gausime nemalonumų: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).
Kad išvengtume tokių paradoksų, svarstome tik teigiamas radiksas su trupmeniniu rodikliu.
Taigi, jei:
- - natūralusis skaičius;
- - sveikasis skaičius;
Pavyzdžiai:
Racionalieji eksponentai yra labai naudingi konvertuojant įsišaknijusias išraiškas, pavyzdžiui:
5 mokymų pavyzdžiai
5 mokymo pavyzdžių analizė
O dabar sunkiausia dalis. Dabar analizuosime neracionalus laipsnis.
Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, išskyrus
Iš tiesų, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (ty neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).
Studijuodami laipsnius su natūraliu, visuminiu ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome savotišką „vaizdą“, „analogiją“ ar apibūdinimą labiau pažįstamais terminais.
Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;
...nulinio laipsnio skaičius- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras "tuščias skaičius" “, būtent numeris;
...sveikasis skaičius neigiamas eksponentas– tarsi įvyko kažkoks „atvirkštinis procesas“, tai yra skaičius ne dauginamas iš savęs, o dalinamas.
Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su kompleksiniu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius.
Tačiau mokykloje mes negalvojame apie tokius sunkumus, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.
KUR ESAME TIKRINIAI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))
Pavyzdžiui:
Spręskite patys:
Sprendimų analizė:
1. Pradėkime nuo jau įprastos galios pakėlimo į laipsnį taisyklės:
Dabar pažiūrėkite į indikatorių. Ar jis tau ką nors primena? Primename sutrumpinto daugybos formulę, kvadratų skirtumą:
Tokiu atveju,
Paaiškėjo, kad:
Atsakymas: .
2. Rodiklio trupmenas sudarome ta pačia forma: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Paimkime, pavyzdžiui:
Atsakymas: 16
3. Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:
PAŽEIDĖJANTIS LYGIS
Laipsnio nustatymas
Laipsnis yra formos:, kur:
- — laipsnio pagrindas;
- - eksponentas.
Laipsnis su natūraliuoju rodikliu (n = 1, 2, 3, ...)
Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:
Sveikasis skaičius (0, ± 1, ± 2, ...)
Jei eksponentas yra visas teigiamas numeris:
Erekcija iki nulio laipsnio:
Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kokiu laipsniu - tai, o iš kitos - bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio - tai.
Jei eksponentas yra visas neigiamas numeris:
(nes negalima dalyti iš).
Dar kartą apie nulius: išraiška neapibrėžta atveju. Jei tada.
Pavyzdžiai:
Racionalus pažymys
- - natūralusis skaičius;
- - sveikasis skaičius;
Pavyzdžiai:
Galios savybės
Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.
Pažiūrėkime: kas yra ir?
A prioritetas:
Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gauname tokį produktą:
Tačiau pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su eksponentu galia, ty:
Q.E.D.
Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas : .
Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.
Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti vienodus pagrindus. Todėl laipsnius deriname su baze, bet lieka atskiras veiksnys:
Dar viena svarbi pastaba: ši taisyklė yra tik laipsnių sandaugai!
Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.
Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:
Pertvarkykime šį gabalą taip:
Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:
Iš esmės tai galima pavadinti „indikatoriaus kėlimu“. Tačiau niekada neturėtumėte to daryti iš viso:!
Prisiminkime sutrumpintas daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai juk netiesa.
Laipsnis su neigiama baze.
Iki šiol mes tik diskutavome, kaip turėtų būti indeksas laipsnį. Bet koks turėtų būti pagrindas? Laipsniais su natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .
Iš tiesų, bet kokius skaičius galime padauginti vienas iš kito, nesvarbu, ar jie teigiami, neigiami ar net. Pagalvokime, kurie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių galias?
Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? A? ?
Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas iš kito, rezultatas bus teigiamas.
Bet neigiamas yra šiek tiek įdomiau. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minus prie minuso duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.
Ir taip iki begalybės: su kiekvienu paskesniu dauginimu ženklas keisis. Galite suformuluoti tokias paprastas taisykles:
- net laipsnis, - skaičius teigiamas.
- Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
- Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
- Nulis bet kokiam laipsniui yra lygus nuliui.
Pats nuspręskite, kokį ženklą turės šie posakiai:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Ar susitvarkei? Štai atsakymai:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Mes tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.
5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė – laipsnis lygus, vadinasi, rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent bazė lygi nuliui. Pamatas nelygus, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).
6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimenate, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.
Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:
Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir, padalijame juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:
Prieš nagrinėdami paskutinę taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.
Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:
Sprendimai :
Jei nepaisysime aštuntojo laipsnio, ką čia matome? Prisimename 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai yra sutrumpinto daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!
Mes gauname:
Atidžiai pažvelkime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio daugiklių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų pakeisti, būtų galima taikyti 3 taisyklę. Tačiau kaip tai padaryti? Pasirodo, labai lengva: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.
Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar paaiškėja taip:
Sąlygos stebuklingai apverstos. Šis „reiškinys“ tolygiai pritaikomas bet kuriai išraiškai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose. Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu! Jo negalima pakeisti keičiant tik vieną trūkumą, kurio mes nenorime!
Grįžkime prie pavyzdžio:
Ir vėl formulė:
Taigi dabar paskutinė taisyklė:
Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:
Dabar atidarykime skliaustus. Kiek bus raidžių? kartų pagal daugiklius – kaip tai atrodo? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: buvo tik daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su eksponentu laipsnis:
Pavyzdys:
Neracionalus pažymys
Be informacijos apie tarpinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliuoju rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą iracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalieji skaičiai yra tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).
Studijuodami laipsnius su natūraliu, visuminiu ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome savotišką „vaizdą“, „analogiją“ ar apibūdinimą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik rūšis iš „tuščio numerio“, būtent skaičiaus; laipsnis su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu yra tarsi vykęs kažkoks "atvirkštinis procesas", tai yra skaičius buvo ne dauginamas iš savęs, o dalinamas.
Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Greičiau tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė norėdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.
Beje, moksle dažnai naudojamas laipsnis su kompleksiniu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje mes negalvojame apie tokius sunkumus, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.
Taigi, ką daryti, kai matome neracionalų eksponentą? Iš visų jėgų stengiamės jo atsikratyti! :)
Pavyzdžiui:
Spręskite patys:
| 1) | 2) | 3) |
Atsakymai:
- Primename kvadratų skirtumo formulę. Atsakymas:.
- Trupmenas sudarome į tą pačią formą: arba abu skaitmenis po kablelio, arba abu paprastus. Gauname, pavyzdžiui:.
- Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnio savybes:
SKYRIUS IR PAGRINDINĖS FORMULĖS SANTRAUKA
Laipsnis vadinama formos išraiška:, kur:
Sveikasis laipsnis
laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis ir teigiamas).
Racionalus pažymys
laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.
Neracionalus pažymys
laipsnis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.
Galios savybės
Laipsnių ypatumai.
- Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
- Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
- Teigiamas skaičius bet kokiu laipsniu yra teigiamas skaičius.
- Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
- Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.
DABAR Tavo Žodis...
Kaip jums patinka straipsnis? Komentaruose parašykite patinka ar ne.
Papasakokite apie savo patirtį, susijusią su laipsnio savybėmis.
Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.
Rašyk komentaruose.
Ir sėkmės egzaminuose!
Mokslo ir matematikos straipsniai
Laipsnių su tuo pačiu pagrindu savybės
Yra trys laipsnių savybės, kurių bazės ir gamtinės vertės yra vienodos. tai
Būk atsargus! Taisyklės dėl sudėjimas ir atėmimas laipsnių su tais pačiais pagrindais neegzistuoja.
Parašykime šias savybes-taisykles formulių pavidalu:
Dabar mes juos apsvarstysime konkrečiais pavyzdžiais ir bandysime įrodyti.
5 2 × 5 3 = 5 5 - čia pritaikėme taisyklę; Dabar įsivaizduokime, kaip išspręstume šį pavyzdį, jei nežinotume taisyklių:
5 2 × 5 3 = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 5 5 – penkių kvadratas yra penkis kartus penki, o kubas yra trijų penketukų sandauga. Rezultatas yra penkių penketukų sandauga, bet tai yra kažkas kita, nei nuo penkių iki penktos laipsnio: 5 5.
3 9 ÷ 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Parašykime padalijimą kaip trupmeną:
Jį galima sutrumpinti: 
Dėl to gauname: 
Taigi įrodėme, kad dalijant du laipsnius su tais pačiais pagrindais, jų rodikliai turi būti atimami.
Tačiau dalinant neįmanoma, kad daliklis būtų lygus nuliui (nes negalima dalyti iš nulio). Be to, kadangi laipsnius vertiname tik su natūraliaisiais rodikliais, atėmę rodiklius negalime gauti skaičiaus mažesnio už 1. Todėl formulei am ÷ an = am – n taikomi apribojimai: a ≠ 0 ir m > n.
Pereikime prie trečiosios nuosavybės:
(2 2) 4 = 2 2 × 4 = 2 8
Parašykime išplėstine forma:
(2 2) 4 = (2 × 2) 4 = (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 8
Galite padaryti tokią išvadą ir logiškai samprotauti. Reikia padauginti du kvadratus keturis kartus. Bet kiekviename kvadrate yra du dvejetai, o tai reiškia, kad iš viso bus aštuoni dvejetai.
scienceland.info
Laipsnio savybės
Primename, kad ši pamoka supranta galios savybės su natūraliais rodikliais ir nuliu. Apie racionalius laipsnius ir jų savybes bus kalbama 8 klasės pamokose.
Natūralusis rodiklis turi keletą svarbių savybių, kurios palengvina skaičiavimą eksponentų pavyzdžiuose.
Nuosavybės numeris 1
Laipsnių sandauga
Dauginant laipsnius su tais pačiais pagrindais, bazė lieka nepakitusi, o laipsniai pridedami.
a m · a n = a m + n, kur "a" yra bet koks skaičius, o "m", "n" yra bet kokie natūralūs skaičiai.
Ši laipsnių savybė taip pat turi įtakos trijų ar daugiau laipsnių sandaugai.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Atkreipkite dėmesį, kad nurodytoje savybėje buvo kalbama tik apie galių dauginimą tais pačiais pagrindais.... Tai netaikoma jų papildymui.
Sumos (3 3 + 3 2) negalite pakeisti 3 5. Tai suprantama, jei
skaičiuoti (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ir 3 5 = 243
Nuosavybės numeris 2
Privatūs laipsniai
Dalijant laipsnius su tais pačiais pagrindais, bazė išlieka nepakitusi, o daliklio rodiklis atimamas iš dividendo laipsnio.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 - 3 = (2b) 2
11 3 - 2 4 2 - 1 = 11 4 = 44
Pavyzdys. Išspręskite lygtį. Naudojamės privačių laipsnių nuosavybe.
3 8: t = 3 4
Atsakymas: t = 3 4 = 81
Naudodami savybes # 1 ir # 2, galite lengvai supaprastinti išraiškas ir atlikti skaičiavimus.
- Pavyzdys. Supaprastinkite išraišką.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 - 4 m - 3 = 4 2 m + 5
Pavyzdys. Raskite išraiškos reikšmę naudodami laipsnio savybes.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Atkreipkite dėmesį, kad 2 savybėje kalbėjome tik apie laipsnių padalijimą su tais pačiais pagrindais.
Skirtumo (4 3 −4 2) negalite pakeisti 4 1. Tai suprantama, jei apskaičiuosime (4 3 −4 2) = (64 - 16) = 48 ir 4 1 = 4
Turto numeris 3
Eksponentiškumas
Didinant laipsnį į laipsnį, galios bazė lieka nepakitusi, o laipsniai dauginami.
(a n) m = a n · m, kur "a" yra bet koks skaičius, o "m", "n" yra bet kokie natūralūs skaičiai.
Atminkite, kad 4 savybė, kaip ir kitos galios savybės, taikoma atvirkštine tvarka.
(a n b n) = (a b) n
Tai yra, norint padauginti laipsnius su tais pačiais rodikliais, galite padauginti bazes, o eksponentas gali būti paliktas nepakitęs.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
Sudėtingesniuose pavyzdžiuose gali būti atvejų, kai daugyba ir dalyba turi būti atliekama laipsniais su skirtingais pagrindais ir skirtingais eksponentais. Tokiu atveju patariame elgtis taip.
Pavyzdžiui, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Didinimo iki dešimtainio laipsnio pavyzdys.
4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4
Savybės 5
Dalinio laipsnis (trupmena)
Norėdami padidinti koeficientą iki laipsnio, galite pakelti atskirą dividendą ir šios laipsnio daliklį, o pirmąjį rezultatą padalyti iš antrojo.
(a: b) n = a n: b n, kur „a“, „b“ yra bet kokie racionalūs skaičiai, b ≠ 0, n yra bet koks natūralusis skaičius.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Primename, kad koeficientas gali būti pavaizduotas trupmena. Todėl kitame puslapyje mes išsamiau aptarsime trupmenos pakėlimo į laipsnį temą.
Skaičių daugyba ir dalyba laipsniais
Jei reikia pakelti konkretų skaičių iki laipsnio, algebroje galite naudoti natūraliųjų skaičių nuo 2 iki 25 laipsnių lentelę. Ir dabar mes gyvensime išsamiau laipsnių savybės.
Eksponentiniai skaičiai atveria dideles galimybes, leidžia daugybą paversti sudėjimu, o sudėti daug lengviau nei dauginti. 
Pavyzdžiui, 16 reikia padauginti iš 64. Šių dviejų skaičių sandauga yra 1024. Tačiau 16 yra 4x4, o 64 - 4x4x4. Tai yra, 16 x 64 = 4x4x4x4x4, tai taip pat yra 1024.
Skaičius 16 taip pat gali būti pavaizduotas kaip 2x2x2x2, o 64 - kaip 2x2x2x2x2x2, o jei padauginsime, vėl gausime 1024.
Ir dabar mes naudojame taisyklę, kaip skaičių pakelti į laipsnį. 16 = 4 2 arba 2 4, 64 = 4 3 arba 2 6, tuo pačiu metu 1024 = 6 4 = 4 5 arba 2 10.
Todėl mūsų uždavinys gali būti parašytas skirtingai: 4 2 x4 3 = 4 5 arba 2 4 x2 6 = 2 10, ir kiekvieną kartą gauname 1024.
Galime išspręsti daugybę panašių pavyzdžių ir pamatyti, kad skaičių padauginus iš laipsnių, sumažėja iki eksponentų pridėjimas, arba eksponentinis, žinoma, su sąlyga, kad veiksnių bazės yra vienodos.
Taigi, nedauginant, galime iš karto pasakyti, kad 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.
Ši taisyklė galioja ir dalijant skaičius laipsniais, tačiau šiuo atveju el daliklio rodiklis atimamas iš dividendo rodiklio... Taigi, 2 5: 2 3 = 2 2, kuris įprastais skaičiais yra 32: 8 = 4, tai yra, 2 2. Apibendrinkime:
a m х a n = a m + n, a m: a n = a m-n, kur m ir n yra sveikieji skaičiai.
Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kas yra skaičių daugyba ir dalyba laipsniais nėra labai patogu, nes pirmiausia reikia pavaizduoti skaičių eksponentine forma. Nesunku pavaizduoti skaičius 8 ir 16 tokia forma, ty 2 3 ir 2 4, bet kaip tai padaryti su skaičiais 7 ir 17? Arba ką daryti, kai skaičius gali būti pavaizduotas eksponentine forma, tačiau skaičių eksponentinių išraiškų pagrindai labai skiriasi. Pavyzdžiui, 8 × 9 yra 2 3 × 3 2, tokiu atveju negalime sumuoti eksponentų. Nei 2 5, nei 3 5 nėra atsakymas, taip pat atsakymas nėra intervale tarp šių dviejų skaičių.
Tada ar verta vargti su šiuo metodu? Tikrai verta. Tai suteikia didžiulę naudą, ypač atliekant sudėtingus ir daug laiko reikalaujančius skaičiavimus.
Iki šiol manėme, kad eksponentas yra identiškų veiksnių skaičius. Šiuo atveju minimali eksponento reikšmė yra 2. Tačiau jei atliksime skaičių dalybos operaciją, arba laipsnius atimsime, galime gauti ir mažesnį nei 2 skaičių, vadinasi, senasis apibrėžimas mums nebetiks. Daugiau skaitykite kitame straipsnyje.
Sudėjimas, atimtis, daugyba ir laipsnių padalijimas
Sudėkite ir atimkite galias
Akivaizdu, kad skaičiai su galiomis gali būti pridedami, kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.
Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2.
A 3 - b n ir h 5 -d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4.
Šansai tie patys tų pačių kintamųjų laipsniai galima pridėti arba atimti.
Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2.
Taip pat akivaizdu, kad paėmus du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.
Bet laipsniai skirtingi kintamieji ir įvairaus laipsnio identiški kintamieji, turi būti pridedami pridedant jų ženklus.
Taigi, 2 ir 3 suma yra 2 + 3 suma.
Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas lygus ne dvigubam a kvadratui, o du kartus kubui a.
A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6.
Atimtis laipsniai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atimtojo ženklai turi būti atitinkamai pakeisti.
Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6
Laipsnių dauginimas
Skaičius su laipsniais galima dauginti, kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.
Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.
Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3.
Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.
Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5.
Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.
Taigi, a n .a m = a m + n.
Jei n, a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek n laipsnis yra lygus;
Ir a m, imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra m galia;
Štai kodėl, laipsnius su tais pačiais kamienais galima padauginti pridedant laipsnius.
Taigi, a 2 .a 6 = a 2 + 6 = a 8. Ir x 3 .x 2 .x = x 3 + 2 + 1 = x 6.
Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n + 1
Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra neigiamas.
1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5. Tai galima parašyti kaip (1 / aa). (1 / aaa) = 1 / aaaaa.
2.y -n .y -m = y -n-m.
3.a -n .a m = a m-n.
Jei a + b padauginama iš a - b, rezultatas yra a 2 - b 2: tai yra
Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.
Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.
Taigi (a - y). (A + y) = a 2 - y 2.
(a 2 – y 2) ⋅ (a 2 + y 2) = a 4 – y 4.
(a 4 – y 4) ⋅ (a 4 + y 4) = a 8 – y 8.
Laipsnių skirstymas
Laipsnius galima padalyti, kaip ir kitus skaičius, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos forma.
Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 lygus 3.
5 padalintas iš 3 atrodo kaip $ \ frac $. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.
Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..
Taigi, y 3: y 2 = y 3-2 = y 1. Tai yra, $ \ frac = y $.
Ir a n + 1: a = a n + 1-1 = a n. Tai yra, $ \ frac = a ^ n $.
Arba:
y 2m: y m = y m
8a n + m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3
Taisyklė galioja ir skaičiams su neigiamas laipsnių reikšmės.
-5 padalijus iš -3 rezultatas yra -2.
Taip pat $ \ frac: \ frac = \ frac. \ Frac = \ frac = \ frac $.
h 2: h -1 = h 2 + 1 = h 3 arba $ h ^ 2: \ frac = h ^ 2. \ frac = h ^ 3 $
Būtina labai gerai įsisavinti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje naudojami labai plačiai.
Pavyzdžiai, kaip spręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais
1. Sumažinkite eksponentus $ \ frac $ Atsakymas: $ \ frac $.
2. Sumažinkite eksponentus $ \ frac $. Atsakymas: $ \ frac $ arba 2x.
3. Sumažinkite laipsnius a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir perkelkite juos į bendrą vardiklį.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1, bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 / a -1 ir 1 / a -1.
4. Sumažinkite laipsnius 2a 4 / 5a 3 ir 2 / a 4 ir pridėkite juos prie bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5 / 5a 2.
5. Padauginkite (a 3 + b) / b 4 iš (a - b) / 3.
6. Padauginkite (a 5 + 1) / x 2 iš (b 2 - 1) / (x + a).
7. Padauginkite b 4 / a -2 iš h -3 / x ir a n / y -3.
8. Padalinkite 4 / m. 3 iš 3 / m. 2. Atsakymas: a/y.
Laipsnis ir jo savybės. Vidutinis lygis.
Ar norite išbandyti savo jėgas ir sužinoti, kaip esate pasiruošę vieningam valstybiniam egzaminui ar OGE?
Laipsnis vadinama formos išraiška:, kur: 
Sveikasis laipsnis
laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis ir teigiamas).
Racionalus pažymys
laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.
Neracionalus pažymys
laipsnis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.
Galios savybės
Laipsnių ypatumai.
Koks yra skaičiaus laipsnis?
Eksponentinis didinimas yra ta pati matematinė operacija kaip sudėtis, atimtis, daugyba ar dalyba.
Dabar viską paaiškinsiu žmonių kalba, naudodamas labai paprastus pavyzdžius. Atkreipk dėmesį. Pavyzdžiai elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.
Pradėkime nuo papildymo.
Nėra ką aiškinti. Jūs jau viską žinote: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek yra kolos? Teisingai – 16 butelių.
Dabar daugyba.
Tas pats kolos pavyzdys gali būti parašytas skirtingai:. Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos raštus, o paskui sugalvoja, kaip juos greitai „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat kolos butelių, ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.
Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę... Žinoma, galite viską daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…
Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.
Ir dar vienas gražesnis:
Kokių dar protingų skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.
Skaičiaus pakėlimas į laipsnį.
Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penkto laipsnio yra. Ir tokias problemas jie išsprendžia savo galvose – greičiau, lengviau ir be klaidų.
Viskas, ką jums reikia padaryti, tai prisiminkite, kas paryškinta skaičių galių lentelėje... Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.
Beje, kodėl vadinamas antrasis laipsnis kvadratas skaičiai, o trečias - kubas? Ką tai reiškia? Tai labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.
Pavyzdys iš gyvenimo #1.
Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.
Įsivaizduokite kvadratinį metrą po metro baseiną. Baseinas yra jūsų sodyboje. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet ... baseinas be dugno! Baseino dugną būtina iškloti plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.
Galite tiesiog bakstelėdami pirštu suskaičiuoti, kad baseino dugnas susideda iš metras po metro kubelių. Jei turite plytelių metrą po metro, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur jūs matėte tokias plyteles? Tikėtina, kad plytelė bus cm po cm.. Ir tada jus kankins "pirštų skaičius". Tada reikia daugintis. Taigi vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginus iš, gausite plyteles ().
Ar pastebėjote, kad norėdami nustatyti baseino dugno plotą, tą patį skaičių padauginome patys? Ką tai reiškia? Padauginus tą patį skaičių, galime naudoti „eksponentavimo“ techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek juos dauginate arba padidinate iki laipsnio. Bet jei jų turite daug, tada pakelti iki laipsnio yra daug lengviau, be to, skaičiavimuose pasitaiko mažiau klaidų. egzaminą, tai labai svarbu).
Taigi, trisdešimt antrajame laipsnyje bus (). Arba galite pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio atvaizdas.
2 realaus gyvenimo pavyzdys.
Štai jums užduotis, suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą. Vienoje ląstelių pusėje ir kitoje. Norėdami suskaičiuoti jų skaičių, turite aštuonis padauginti iš aštuonių arba ... jei pastebėsite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tada galite kvadratu aštuoni. Jūs gausite ląstelių. () Taigi?
3 pavyzdys realiame gyvenime.
Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnė. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Tūriai ir skysčiai, beje, matuojami kubiniais metrais. Keista, ar ne?) Nubraižykite baseiną: dugnas yra metro dydžio ir metro gylio ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubinių metrų po metro pateks į jūsų baseiną.
Rodyk pirštu ir suskaičiuok! Vienas, du, trys, keturi... dvidešimt du, dvidešimt trys... Kiek išėjo? Nepametėte? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia jo ilgį, plotį ir aukštį padauginti vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, tiesa?
Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei jie ir tai supaprastintų. Jie viską suvedė į vieną veiksmą. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius dauginamas iš savęs... Ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite pasinaudoti laipsniu. Taigi, ką kažkada suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kube yra lygūs. Parašyta taip:.
Tai tik lieka prisimink laipsnių lentelę... Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.
Na, o kad pagaliau jus įtikintumėte, jog laipsnius sugalvojo dykinėtojai ir gudruoliai, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne sukurti problemų jums, čia yra dar pora pavyzdžių iš gyvenimo.
4 realaus gyvenimo pavyzdys.
Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje iš kiekvieno milijono uždirbate dar vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir .. kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais – du kart du... antraisiais – tai, kas atsitiko, buvo dar du, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš savęs vieną kartą. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tuos milijonus gaus tas, kuris greičiau suskaičiuos... Ar verta prisiminti skaičių laipsnius, ką manote?
5 pavyzdys realiame gyvenime.
Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje iš kiekvieno milijono uždirbate dar dviem. Puiku, ar ne? Kas milijonas patrigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Suskaičiuokime. Pirmus metus – daugink iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: tris kartus dauginama iš savęs. Taigi ketvirtoji galia yra lygi milijonui. Jums tereikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.
Dabar žinote, kad padidinę skaičių iki galios, labai palengvinsite savo gyvenimą. Pažiūrėkime, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.
Terminai ir sąvokos.
Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai yra skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet suprantamas ir lengvai įsimenamas ...
Na, tuo pačiu metu toks laipsnio pagrindas? Tai dar paprasčiau – tai skaičius, kuris yra apačioje, prie pagrindo.
Čia yra brėžinys, kad įsitikintumėte.
Na, apskritai, norint apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze "" ir rodikliu "" skaitomas kaip "laipsniais" ir rašomas taip:
"Skaičiaus su natūraliuoju eksponentu laipsnis"
Tikriausiai jau atspėjote: nes eksponentas yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai yra tie, kurie naudojami skaičiuojant surašant objektus: vienas, du, trys... Skaičiuodami objektus nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Taip pat nesakome: „trečdalis“ arba „nulis taško, penkios dešimtosios“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?
Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, natūraliems skaičiams priešingus skaičius (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. Ką reiškia neigiami („minuso“) skaičiai? Bet jie buvo sugalvoti pirmiausia norint nurodyti skolas: jei telefone turite rublių, vadinasi, esate skolingas operatoriui rublių.
Bet kokios trupmenos yra racionalūs skaičiai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūralių skaičių ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?
Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, begalinė dešimtainė trupmena. Pavyzdžiui, padalijus apskritimo perimetrą iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.
Laipsnis su natūraliu rodikliu
Apibrėžkime laipsnio, kurio eksponentas yra natūralusis skaičius (tai yra sveikasis skaičius ir teigiamas), sąvoką.
- Bet kuris skaičius pirmoje laipsnyje yra lygus sau:
- Norėdami padalyti skaičių kvadratu, padauginkite jį iš savęs:
- Skaičius kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:
Apibrėžimas. Padidinti skaičių iki natūralios laipsnio reiškia skaičių padauginti iš karto:
Su matematikos laipsnio samprata supažindinama 7 klasėje algebros pamokoje. Ir ateityje, per visą matematikos studijų laikotarpį, ši sąvoka aktyviai naudojama įvairiomis formomis. Laipsniai yra gana sudėtinga tema, reikalaujanti įsiminti reikšmes ir mokėti teisingai ir greitai skaičiuoti. Norėdami greičiau ir geriau dirbti su laipsniais, matematikai išrado laipsnio savybes. Jie padeda sumažinti didelių skaičiavimų skaičių, tam tikru mastu paversti didžiulį pavyzdį į vieną skaičių. Savybių nėra tiek daug, ir visas jas lengva prisiminti ir pritaikyti praktikoje. Todėl straipsnyje aptariamos pagrindinės laipsnio savybės, taip pat kur jos taikomos.
Laipsnio savybės
Išnagrinėsime 12 laipsnio savybių, įskaitant laipsnio savybes su tais pačiais pagrindais, ir pateiksime kiekvienos savybės pavyzdį. Kiekviena iš šių savybių padės greičiau išspręsti diplomo užduotis ir sutaupys jus nuo daugybės skaičiavimo klaidų.
1-asis turtas.
Daugelis žmonių labai dažnai pamiršta apie šią savybę, daro klaidas, nulinį skaičių pateikdami kaip nulį.
2-asis turtas.
3 turtas.
Reikia atsiminti, kad ši savybė gali būti taikoma tik dauginant skaičius, ji neveikia su suma! Ir mes neturime pamiršti, kad šios ir kitos savybės galioja tik laipsniams su tomis pačiomis bazėmis.
4-asis turtas.
Jei skaičius vardiklyje padidinamas iki neigiamos laipsnio, tada atimties metu vardiklio laipsnis imamas skliausteliuose, kad tolesniuose skaičiavimuose būtų teisingai pakeistas ženklas.
Turtas veikia tik padalijimui, atimti jis netaikomas!
5-asis turtas.
6-asis turtas.
Ši savybė gali būti taikoma priešinga kryptimi. Vienetas, padalytas iš skaičiaus, tam tikru mastu yra šis skaičius iš minus galios.
7-asis turtas.
Ši savybė negali būti taikoma sumai ir skirtumui! Didinant sumą ar skirtumą iki laipsnio, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės, o ne laipsnio savybės.
8-asis turtas.
9-asis turtas.
Ši savybė tinka bet kokiai trupmeninei galiai, kurios skaitiklis lygus vienetui, formulė bus ta pati, tik šaknies galia keisis priklausomai nuo laipsnio vardiklio.
Be to, ši savybė dažnai naudojama atvirkštine tvarka. Bet kurios skaičiaus laipsnio šaknis galima pavaizduoti kaip skaičių, kurio laipsnis yra vieno laipsnis, padalytas iš šaknies laipsnio. Ši savybė labai naudinga tais atvejais, kai skaičiaus šaknies negalima išgauti.
10-asis turtas.
Ši savybė tinka ne tik kvadratinei šaknis ir antram laipsniui. Jei šaknies laipsnis ir šios šaknies pakėlimo laipsnis sutampa, tada atsakymas bus radikali išraiška.
11-asis turtas.
Priimdami sprendimą turite laiku pamatyti šį turtą, kad apsisaugotumėte nuo didžiulių skaičiavimų.
12-asis turtas.
Kiekviena iš šių savybių su jumis susidurs daugiau nei vieną kartą atliekant užduotis, ji gali būti pateikta gryna forma arba gali prireikti tam tikrų transformacijų ir naudoti kitas formules. Todėl teisingam sprendimui neužtenka žinoti tik savybes, reikia praktikuotis ir susieti likusias matematines žinias.
Laipsnių taikymas ir jų savybės
Jie aktyviai naudojami algebroje ir geometrijoje. Matematikos laipsniai turi atskirą, svarbią vietą. Jų pagalba sprendžiamos eksponentinės lygtys ir nelygybės, o laipsniais dažnai komplikuojasi lygtys ir pavyzdžiai, susiję su kitomis matematikos šakomis. Laipsniai padeda išvengti didelių ir ilgų skaičiavimų, laipsnius lengviau sutrumpinti ir apskaičiuoti. Bet norint dirbti su dideliais laipsniais arba su didelių skaičių galiomis, reikia žinoti ne tik laipsnio savybes, bet ir kompetentingai dirbti su pamatais, mokėti juos išskaidyti, kad palengvintų savo užduotį. Kad būtų patogiau, taip pat turėtumėte žinoti skaičių, pakeltų į laipsnį, reikšmę. Tai sutrumpins jūsų sprendimo priėmimo laiką ir nereikės ilgų skaičiavimų.
Laipsnio sąvoka logaritmuose vaidina ypatingą vaidmenį. Kadangi logaritmas iš esmės yra skaičiaus galia.
Sutrumpintos daugybos formulės yra dar vienas galių naudojimo pavyzdys. Laipsnių savybės juose negali būti taikomos, jie skaidomi pagal specialias taisykles, tačiau laipsniai visada yra kiekvienoje sutrumpinto dauginimo formulėje.
Laipsniai taip pat aktyviai naudojami fizikoje ir informatikoje. Visi vertimai į SI sistemą atliekami naudojant laipsnius, o ateityje, sprendžiant uždavinius, taikomos laipsnio savybės. Informatikos moksle dviejų galios aktyviai naudojamos, kad būtų patogiau skaičiuoti ir supaprastinti skaičių suvokimą. Tolesni matavimo vienetų perskaičiavimo arba uždavinių skaičiavimai, kaip ir fizikoje, atliekami naudojant laipsnio savybes.
Laipsniai labai praverčia ir astronomijoje, kur laipsnio savybių panaudojimą retai randi, tačiau patys laipsniai aktyviai naudojami įvairių dydžių ir atstumų fiksavimui sutrumpinti.
Laipsniai naudojami ir kasdieniame gyvenime, skaičiuojant plotus, tūrius, atstumus.
Padedant laipsnių, visose mokslo srityse fiksuojamos labai didelės ir labai mažos reikšmės.
Eksponentinės lygtys ir nelygybės
Laipsnio savybės užima ypatingą vietą būtent eksponentinėse lygtyse ir nelygybėse. Šios užduotys yra labai dažnos tiek mokyklos kurse, tiek egzaminuose. Visi jie sprendžiami taikant laipsnio savybes. Nežinomybė visada yra pačiame laipsnyje, todėl žinant visas savybes, tokią lygtį ar nelygybę išspręsti nebus sunku.