Een van de gebieden van de wiskunde waar leerlingen het meest mee worstelen is trigonometrie. Het is niet verrassend: om dit kennisgebied vrijelijk onder de knie te krijgen, heb je ruimtelijk denken nodig, het vermogen om sinussen, cosinussen, raaklijnen, cotangensen te vinden met behulp van formules, uitdrukkingen te vereenvoudigen en het getal pi te kunnen gebruiken in berekeningen. Bovendien moet je trigonometrie kunnen gebruiken bij het bewijzen van stellingen, en dit vereist een ontwikkeld wiskundig geheugen of het vermogen om complexe logische ketens af te leiden.

Oorsprong van trigonometrie

Kennismaken met deze wetenschap zou moeten beginnen met de definitie van sinus, cosinus en tangens van een hoek, maar eerst moet je begrijpen wat trigonometrie in het algemeen doet.

Historisch gezien waren rechthoekige driehoeken het belangrijkste studieobject in deze tak van de wiskundige wetenschap. De aanwezigheid van een hoek van 90 graden maakt het mogelijk om verschillende bewerkingen uit te voeren waarmee je de waarden van alle parameters van de figuur in kwestie kunt bepalen met behulp van twee zijden en één hoek of twee hoeken en één zijde. In het verleden merkten mensen dit patroon op en begonnen het actief te gebruiken bij de constructie van gebouwen, navigatie, astronomie en zelfs in de kunst.

Eerste fase

Aanvankelijk spraken mensen over de relatie tussen hoeken en zijden uitsluitend aan de hand van het voorbeeld van rechthoekige driehoeken. Toen werden er speciale formules ontdekt die het mogelijk maakten de grenzen van het gebruik te verleggen Alledaagse leven deze tak van de wiskunde.

De studie van trigonometrie op school begint vandaag met rechthoekige driehoeken, waarna studenten de opgedane kennis in de natuurkunde gebruiken en abstracte problemen oplossen. goniometrische vergelijkingen, werk waarmee begint op de middelbare school.

Sferische trigonometrie

Later, toen de wetenschap het volgende ontwikkelingsniveau bereikte, begonnen formules met sinus, cosinus, tangens en cotangens te worden gebruikt in de sferische meetkunde, waar verschillende regels van toepassing zijn en de som van de hoeken in een driehoek altijd meer dan 180 graden is. Dit gedeelte wordt niet op school bestudeerd, maar het is in ieder geval noodzakelijk om op de hoogte te zijn van het bestaan ​​ervan aardoppervlak, en het oppervlak van elke andere planeet is convex, wat betekent dat elke oppervlaktemarkering “boogvormig” zal zijn in de driedimensionale ruimte.

Neem de wereldbol en de draad. Bevestig de draad aan twee willekeurige punten op de wereldbol, zodat deze strak staat. Let op: het heeft de vorm van een boog aangenomen. Sferische geometrie houdt zich bezig met dergelijke vormen, die worden gebruikt in de geodesie, astronomie en andere theoretische en toegepaste velden.

Rechte driehoek

Nadat we iets hebben geleerd over de manieren om trigonometrie te gebruiken, gaan we terug naar de basistrigonometrie om beter te begrijpen wat sinus, cosinus en tangens zijn, welke berekeningen met hun hulp kunnen worden uitgevoerd en welke formules we moeten gebruiken.

De eerste stap is het begrijpen van de concepten die verband houden met een rechthoekige driehoek. Ten eerste is de hypotenusa de zijde tegenover de hoek van 90 graden. Het is de langste. We herinneren ons dat volgens de stelling van Pythagoras de numerieke waarde ervan gelijk is aan de wortel van de som van de kwadraten van de andere twee zijden.

Als de twee zijden bijvoorbeeld respectievelijk 3 en 4 centimeter zijn, is de lengte van de hypotenusa 5 centimeter. Trouwens, de oude Egyptenaren wisten hiervan ongeveer vier en een half duizend jaar geleden.

De twee overige zijden, die een rechte hoek vormen, worden benen genoemd. Bovendien moeten we niet vergeten dat de som van de hoeken in een driehoek in een rechthoekig coördinatensysteem gelijk is aan 180 graden.

Definitie

Ten slotte kan men, met een goed begrip van de geometrische basis, zich wenden tot de definitie van sinus, cosinus en tangens van een hoek.

De sinus van een hoek is de verhouding tussen het tegenoverliggende been (dat wil zeggen de zijde tegenover de gewenste hoek) en de hypotenusa. De cosinus van een hoek is de verhouding tussen de aangrenzende zijde en de hypotenusa.

Bedenk dat sinus noch cosinus groter dan één kunnen zijn! Waarom? Omdat de hypotenusa standaard het langst is. Hoe lang het been ook is, het zal korter zijn dan de hypotenusa, wat betekent dat hun verhouding altijd zal zijn minder dan een. Als u dus in uw antwoord op een probleem een ​​sinus of cosinus krijgt met een waarde groter dan 1, zoek dan naar een fout in de berekeningen of redenering. Dit antwoord is duidelijk onjuist.

Ten slotte is de raaklijn van een hoek de verhouding tussen de tegenoverliggende zijde en de aangrenzende zijde. Het delen van de sinus door de cosinus geeft hetzelfde resultaat. Kijk: volgens de formule delen we de lengte van de zijde door de hypotenusa, delen we vervolgens door de lengte van de tweede zijde en vermenigvuldigen we met de hypotenusa. We krijgen dus dezelfde relatie als in de definitie van raaklijn.

Cotangens is dienovereenkomstig de verhouding tussen de zijde grenzend aan de hoek en de tegenoverliggende zijde. We krijgen hetzelfde resultaat door één te delen door de raaklijn.

We hebben dus gekeken naar de definities van wat sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn, en we kunnen verder gaan met formules.

De eenvoudigste formules

In trigonometrie kun je niet zonder formules - hoe vind je sinus, cosinus, tangens, cotangens zonder hen? Maar dit is precies wat nodig is bij het oplossen van problemen.

De eerste formule die je moet kennen als je begint met het bestuderen van trigonometrie, zegt dat de som van de kwadraten van de sinus en cosinus van een hoek gelijk is aan één. Deze formule is een direct gevolg van de stelling van Pythagoras, maar het bespaart tijd als je de grootte van de hoek moet weten in plaats van de zijkant.

Veel studenten kunnen zich de tweede formule niet herinneren, die ook erg populair is bij het oplossen van schoolproblemen: de som van één en het kwadraat van de raaklijn van een hoek is gelijk aan één gedeeld door het kwadraat van de cosinus van de hoek. Kijk eens goed: dit is dezelfde verklaring als in de eerste formule, alleen werden beide zijden van de identiteit gedeeld door het kwadraat van de cosinus. Het blijkt dat een eenvoudige wiskundige bewerking dat wel doet trigonometrische formule volkomen onherkenbaar. Onthoud: als u weet wat sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn, transformatieregels en verschillende basisformules, kunt u op elk moment de vereiste, complexere formules op een vel papier afleiden.

Formules voor dubbele hoeken en optelling van argumenten

Nog twee formules die je moet leren, hebben betrekking op de waarden van sinus en cosinus voor de som en het verschil van hoeken. Ze worden weergegeven in de onderstaande figuur. Houd er rekening mee dat in het eerste geval sinus en cosinus beide keren worden vermenigvuldigd, en in het tweede geval het paarsgewijze product van sinus en cosinus wordt opgeteld.

Er zijn ook formules die verband houden met dubbele-hoekargumenten. Ze zijn volledig afgeleid van de vorige - probeer ze als oefening zelf te verkrijgen door de alfahoek gelijk te stellen aan de bètahoek.

Merk ten slotte op dat formules met dubbele hoeken kunnen worden herschikt om de kracht van sinus, cosinus en tangens alfa te verminderen.

Stellingen

De twee belangrijkste stellingen in de basistrigonometrie zijn de sinusstelling en de cosinusstelling. Met behulp van deze stellingen kun je gemakkelijk begrijpen hoe je de sinus, cosinus en tangens kunt vinden, en dus de oppervlakte van de figuur, en de grootte van elke zijde, enz.

De sinusstelling stelt dat het delen van de lengte van elke zijde van een driehoek door de tegenovergestelde hoek resulteert in hetzelfde getal. Bovendien zal dit getal gelijk zijn aan twee stralen van de omgeschreven cirkel, dat wil zeggen de cirkel die alle punten van een bepaalde driehoek bevat.

De cosinusstelling generaliseert de stelling van Pythagoras en projecteert deze op alle driehoeken. Het blijkt dat je van de som van de vierkanten van de twee zijden hun product aftrekt, vermenigvuldigd met de dubbele cosinus van de aangrenzende hoek - de resulterende waarde zal gelijk zijn aan het kwadraat van de derde zijde. De stelling van Pythagoras blijkt dus een speciaal geval van de cosinusstelling te zijn.

Onzorgvuldige fouten

Zelfs als je weet wat sinus, cosinus en tangens zijn, kun je gemakkelijk een fout maken vanwege verstrooidheid of een fout in de eenvoudigste berekeningen. Laten we, om dergelijke fouten te voorkomen, eens kijken naar de meest populaire.

Ten eerste moet u breuken niet omzetten in decimalen totdat u dat gedaan heeft eindresultaat- je kunt het antwoord achterlaten als gemeenschappelijke fractie, tenzij anders vermeld in de voorwaarden. Een dergelijke transformatie kan geen vergissing worden genoemd, maar er moet aan worden herinnerd dat in elke fase van het probleem nieuwe wortels kunnen verschijnen, die volgens het idee van de auteur moeten worden verminderd. In dit geval verspilt u uw tijd aan onnodige zaken wiskundige bewerkingen. Dit geldt vooral voor waarden als de wortel van drie of de wortel van twee, omdat deze bij elke stap in problemen voorkomen. Hetzelfde geldt voor het afronden van ‘lelijke’ getallen.

Merk verder op dat de cosinusstelling van toepassing is op elke driehoek, maar niet op de stelling van Pythagoras! Als u per ongeluk vergeet tweemaal het product van de zijden af ​​te trekken, vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek ertussen, krijgt u niet alleen een volledig verkeerd resultaat, maar geeft u ook blijk van een volledig gebrek aan begrip van het onderwerp. Dit is erger dan een onzorgvuldige fout.

Ten derde: verwar de waarden voor hoeken van 30 en 60 graden niet voor sinussen, cosinussen, raaklijnen, cotangensen. Onthoud deze waarden, omdat de sinus van 30 graden gelijk is aan de cosinus van 60, en omgekeerd. Het is gemakkelijk om ze te verwarren, waardoor je onvermijdelijk een foutief resultaat krijgt.

Sollicitatie

Veel studenten hebben geen haast om trigonometrie te gaan studeren, omdat ze de praktische betekenis ervan niet begrijpen. Wat is sinus, cosinus, tangens voor een ingenieur of astronoom? Dit zijn concepten waarmee je de afstand tot verre sterren kunt berekenen, de val van een meteoriet kunt voorspellen of een onderzoekssonde naar een andere planeet kunt sturen. Zonder hen is het onmogelijk om een ​​gebouw te bouwen, een auto te ontwerpen, de belasting op een oppervlak of het traject van een object te berekenen. En dit zijn nog maar de meest voor de hand liggende voorbeelden! Trigonometrie in een of andere vorm wordt immers overal gebruikt, van muziek tot medicijnen.

Eindelijk

Dus je bent sinus, cosinus, tangens. Je kunt ze gebruiken bij berekeningen en schoolproblemen met succes oplossen.

Het hele punt van trigonometrie komt neer op het feit dat je met behulp van de bekende parameters van een driehoek de onbekenden moet berekenen. Er zijn in totaal zes parameters: lengte drie zijden en de grootte van drie hoeken. Het enige verschil in de taken ligt in het feit dat er verschillende invoergegevens worden opgegeven.

Je weet nu hoe je sinus, cosinus, tangens kunt vinden op basis van de bekende lengtes van de benen of hypotenusa. Omdat deze termen niets meer betekenen dan een verhouding, en een verhouding een breuk is, is het belangrijkste doel van een trigonometrieprobleem het vinden van de wortels van een gewone vergelijking of een stelsel van vergelijkingen. En hier zal de reguliere schoolwiskunde je helpen.

Instructies

Een driehoek wordt rechthoekig genoemd als een van de hoeken 90 graden is. Het bestaat uit twee poten en een hypotenusa. De hypotenusa wordt genoemd grote kant deze driehoek. Het ligt tegen een rechte hoek. De benen worden daarom de kleinere zijden genoemd. Ze kunnen gelijk aan elkaar zijn of verschillende afmetingen hebben. Gelijkheid van benen is wat je werkt met een rechthoekige driehoek. Het mooie is dat het twee figuren combineert: rechthoekig en gelijkbenige driehoek. Als de benen niet gelijk zijn, is de driehoek willekeurig en volgt hij de basiswet: hoe groter de hoek, hoe meer degene die er tegenover ligt rolt.

Er zijn verschillende manieren om de hypotenusa te vinden via en hoek. Maar voordat u een van deze gebruikt, moet u bepalen welke hoek bekend is. Als je een hoek en een aangrenzende zijde krijgt, is het gemakkelijker om de hypotenusa te vinden met behulp van de cosinus van de hoek. Cosinus van een scherpe hoek (cos a) in rechthoekige driehoek heet de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa. Hieruit volgt dat de hypotenusa (c) gelijk zal zijn aan de verhouding van het aangrenzende been (b) tot de cosinus van hoek a (cos a). Dit kan als volgt worden geschreven: cos a=b/c => c=b/cos a.

Als een hoek en een tegenovergesteld been worden gegeven, moet je werken. De sinus van een scherpe hoek (sin a) in een rechthoekige driehoek is de verhouding van de overstaande zijde (a) tot de hypotenusa (c). Hier is het principe hetzelfde als in het vorige voorbeeld, alleen wordt in plaats van de cosinusfunctie de sinus genomen. zonde a=a/c => c=a/zonde a.

U kunt ook een trigonometrische functie gebruiken, zoals . Maar het vinden van de gewenste waarde zal iets ingewikkelder worden. De raaklijn van een scherpe hoek (tg a) in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het tegenoverliggende been (a) tot het aangrenzende been (b). Nadat je beide benen hebt gevonden, pas je de stelling van Pythagoras toe (het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de vierkanten van de benen) en de grootste zal worden gevonden.

opmerking

Wanneer u met de stelling van Pythagoras werkt, onthoud dan dat u met een diploma te maken heeft. Nadat je de som van de vierkanten van de benen hebt gevonden, moet je de vierkantswortel nemen om het definitieve antwoord te krijgen.

Bronnen:

• hoe je het been en de hypotenusa kunt vinden

De hypotenusa is de zijde van een rechthoekige driehoek die tegenover de hoek van 90 graden ligt. Om de lengte ervan te berekenen, volstaat het om de lengte van een van de benen en de grootte van een van de scherpe hoeken van de driehoek te kennen.

Instructies

Gegeven een bekende en scherpe rechthoekige hoek, zal de grootte van de hypotenusa de verhouding zijn van het been tot/van deze hoek, als deze hoek er tegenovergesteld/aangrenzend aan is:

h = Cl(of C2)/sina;

h = C1 (of C2)/cosα.

Voorbeeld: Geef ABC met hypotenusa AB en C. Stel hoek B 60 graden en hoek A 30 graden. De lengte van been BC is 8 cm. De lengte van de hypotenusa AB is vereist. Om dit te doen, kunt u een van de hierboven voorgestelde methoden gebruiken:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Woord " been" afgeleid van Griekse woorden"loodrecht" of "loodrecht" - dit verklaart waarom beide zijden van een rechthoekige driehoek, die de hoek van negentig graden vormen, zo werden genoemd. Zoek de lengte van een van de been ov is niet moeilijk als de waarde van de aangrenzende hoek en eventuele andere parameters bekend zijn, aangezien in dit geval de waarden van alle drie de hoeken daadwerkelijk bekend zullen worden.

Instructies

Als, naast de waarde van de aangrenzende hoek (β), de lengte van de seconde been a (b), dan de lengte been en (a) kan worden gedefinieerd als het quotiënt van de lengte van het bekende been en onder een bekende hoek: a=b/tg(β). Dit volgt uit de definitie van deze trigonometrie. Je kunt het zonder de raaklijn doen als je de stelling gebruikt. Hieruit volgt dat de lengte van het gewenste tot de sinus van de tegenovergestelde hoek tot de verhouding van de lengte van het bekende been en naar de sinus van een bekende hoek. Tegengesteld aan het gewenste been De scherpe hoek kan worden uitgedrukt via de bekende hoek als 180°-90°-β = 90°-β, aangezien de som van alle hoeken van een driehoek 180° moet zijn, en een van zijn hoeken 90° is. De benodigde lengte dus been en kan worden berekend met behulp van de formule a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Als de waarde van de aangrenzende hoek (β) en de lengte van de hypotenusa (c) bekend zijn, dan is de lengte been en (a) kan worden berekend als het product van de lengte van de hypotenusa en de cosinus van de bekende hoek: a=c∗cos(β). Dit volgt uit de definitie van cosinus as trigonometrische functie. Maar je kunt, net als in de vorige stap, de sinusstelling gebruiken en vervolgens de gewenste lengte been a zal gelijk zijn aan het product van de sinus tussen 90° en de bekende hoek en de verhouding van de lengte van de hypotenusa tot de sinus van de rechte hoek. En aangezien de sinus 90° is gelijk aan één, dan kunnen we het zo schrijven: a=sin(90°-β)∗c.

Praktische berekeningen kunnen bijvoorbeeld worden uitgevoerd met behulp van de softwarecalculator die bij het Windows-besturingssysteem wordt geleverd. Om het uit te voeren, kunt u “Uitvoeren” selecteren in het hoofdmenu op de “Start”-knop, het calc-commando typen en op “OK” klikken. In de eenvoudigste versie van de interface van dit programma, die standaard wordt geopend, zijn er geen trigonometrische functies beschikbaar, dus nadat u het hebt gestart, moet u op het gedeelte 'Bekijken' in het menu klikken en de regel 'Wetenschappelijk' of 'Techniek' selecteren ( afhankelijk van de gebruikte versie besturingssysteem).

Video over het onderwerp

Het woord ‘kathet’ kwam vanuit het Grieks in het Russisch. In exacte vertaling betekent het een loodlijn, dat wil zeggen loodrecht op het aardoppervlak. In de wiskunde zijn benen de zijden die een rechte hoek van een rechthoekige driehoek vormen. De zijde tegenover deze hoek wordt de hypotenusa genoemd. De term "kathet" wordt ook gebruikt in de architectuur en technologie laswerkzaamheden.

Teken een rechthoekige driehoek DIA. Label de poten als a en b, en de hypotenusa als c. Alle zijden en hoeken van een rechthoekige driehoek worden onderling gedefinieerd. De verhouding van het been tegenover een van de scherpe hoeken tot de hypotenusa wordt de sinus van deze hoek genoemd. In deze driehoek sinCAB=a/c. Cosinus is de verhouding tot de hypotenusa van het aangrenzende been, dat wil zeggen cosCAB=b/c. De omgekeerde relaties worden secans en cosecans genoemd.

De secans van deze hoek wordt verkregen door de hypotenusa te delen door het aangrenzende been, dat wil zeggen secCAB = c/b. Het resultaat is het omgekeerde van de cosinus, dat wil zeggen dat het kan worden uitgedrukt met behulp van de formule secCAB=1/cosSAB.
De cosecans is gelijk aan het quotiënt van de hypotenusa gedeeld door de tegenoverliggende zijde en is het omgekeerde van de sinus. Het kan worden berekend met de formule cosecCAB=1/sinCAB

Beide benen zijn met elkaar verbonden en door een cotangens. In dit geval zal de raaklijn de verhouding zijn van zijde a tot zijde b, dat wil zeggen de tegenoverliggende zijde van de aangrenzende zijde. Deze relatie kan worden uitgedrukt door de formule tgCAB=a/b. Dienovereenkomstig zal de inverse verhouding de cotangens zijn: ctgCAB=b/a.

De relatie tussen de afmetingen van de hypotenusa en beide benen werd bepaald door oude Griekse pythagoras. Mensen gebruiken nog steeds de stelling en zijn naam. Er staat dat het kwadraat van de hypotenusa gelijk is aan de som van de kwadraten van de benen, dat wil zeggen c2 = a2 + b2. Dienovereenkomstig zal elk been gelijk zijn aan vierkantswortel uit het verschil tussen de vierkanten van de hypotenusa en het andere been. Deze formule kan worden geschreven als b=√(c2-a2).

De lengte van het been kan ook worden uitgedrukt via de u bekende relaties. Volgens de stellingen van sinus en cosinus, het been gelijk aan het product hypotenusa van een van deze functies. Het kan worden uitgedrukt als en of cotangens. Leg a kan bijvoorbeeld worden gevonden met de formule a = b*tan CAB. Op precies dezelfde manier wordt, afhankelijk van de gegeven raaklijn of , het tweede been bepaald.

De term "kathet" wordt ook gebruikt in de architectuur. Het wordt aangebracht op het Ionische kapiteel en helemaal door het midden van zijn rug. Dat wil zeggen dat in dit geval deze term loodrecht op een bepaalde lijn staat.

In de lastechniek bestaat er een “hoeklasbeen”. Net als in andere gevallen is dit de kortste afstand. Hier hebben we het over de opening tussen een van de onderdelen die worden gelast en de rand van de naad die zich op het oppervlak van het andere onderdeel bevindt.

Video over het onderwerp

Bronnen:

• wat zijn been en hypotenusa in 2019

Wat sinus, cosinus, raaklijn, cotangens van een hoek is, zal je helpen een rechthoekige driehoek te begrijpen.

Hoe heten de zijden van een rechthoekige driehoek? Dat klopt, hypotenusa en benen: de hypotenusa is de zijde die tegenover de rechte hoek ligt (in ons voorbeeld is dit de zijde \(AC\)); benen zijn de twee overgebleven zijden \(AB\) en \(BC\) (die grenzen aan juiste hoek), en als we de benen beschouwen ten opzichte van de hoek \(BC\), dan is het been \(AB\) het aangrenzende been, en het been \(BC\) het tegenovergestelde. Laten we nu de vraag beantwoorden: wat zijn sinus, cosinus, tangens en cotangens van een hoek?

Sinus van hoek– dit is de verhouding van het tegenovergestelde (verre) been tot de hypotenusa.

In onze driehoek:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus van hoek– dit is de verhouding van het aangrenzende (nabije) been tot de hypotenusa.

In onze driehoek:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Raaklijn van de hoek– dit is de verhouding tussen de tegenoverliggende (verre) zijde en de aangrenzende (dichtbij).

In onze driehoek:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Cotangens van hoek– dit is de verhouding tussen het aangrenzende (dichtbij) been en het tegenovergestelde (ver).

In onze driehoek:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Deze definities zijn noodzakelijk herinneren! Om het gemakkelijker te maken om te onthouden welk been je in wat moet verdelen, moet je dat duidelijk begrijpen raaklijn En cotangens alleen de benen zitten en de hypotenusa verschijnt alleen in sinus En cosinus. En dan kun je een keten van associaties bedenken. Deze bijvoorbeeld:

Cosinus → aanraking → aanraking → aangrenzend;

Cotangent → aanraking → aanraking → aangrenzend.

Allereerst moet je onthouden dat sinus, cosinus, raaklijn en cotangens, aangezien de verhoudingen van de zijden van een driehoek niet afhankelijk zijn van de lengtes van deze zijden (onder dezelfde hoek). Niet geloven? Zorg er dan voor dat je naar de foto kijkt:

Beschouw bijvoorbeeld de cosinus van de hoek \(\beta \) . Per definitie, vanuit een driehoek \(ABC\) : \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), maar we kunnen de cosinus van de hoek \(\beta \) berekenen uit de driehoek \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Zie je, de lengtes van de zijden zijn verschillend, maar de waarde van de cosinus van één hoek is hetzelfde. De waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn dus uitsluitend afhankelijk van de grootte van de hoek.

Als je de definities begrijpt, ga je gang en consolideer ze!

Voor de driehoek \(ABC \) in onderstaande figuur vinden we \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0,75\end(matrix) \)

Nou, heb je het begrepen? Probeer het dan zelf: bereken hetzelfde voor de hoek \(\beta \) .

Antwoorden: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Eenheidscirkel (trigonometrische).

Omdat we de concepten graden en radialen begrepen, overwogen we een cirkel met een straal gelijk aan \(1\) . Zo’n cirkel heet enkel. Het zal erg handig zijn bij het bestuderen van trigonometrie. Laten we het daarom wat gedetailleerder bekijken.

Zoals je kunt zien, is deze cirkel opgebouwd Cartesisch systeem coördinaten De straal van de cirkel is gelijk aan één, terwijl het middelpunt van de cirkel op de oorsprong van de coördinaten ligt, de beginpositie van de straalvector ligt vast langs de positieve richting van de \(x\)-as (in ons voorbeeld is dit is de straal \(AB\)).

Elk punt op de cirkel komt overeen met twee getallen: de coördinaat langs de \(x\)-as en de coördinaat langs de \(y\)-as. Wat zijn deze coördinaatnummers? En wat hebben ze in het algemeen met het onderwerp te maken? Om dit te doen, moeten we ons de beschouwde rechthoekige driehoek herinneren. In de afbeelding hierboven zie je twee hele rechthoekige driehoeken. Beschouw de driehoek \(ACG\) . Het is rechthoekig omdat \(CG\) loodrecht staat op de \(x\)-as.

Wat is \(\cos \ \alpha \) uit de driehoek \(ACG \)? Dat is juist \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Bovendien weten we dat \(AC\) de straal is van de eenheidscirkel, wat betekent \(AC=1\) . Laten we deze waarde vervangen door onze formule voor cosinus. Dit is wat er gebeurt:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Waar is \(\sin \ \alpha \) uit de driehoek \(ACG \) gelijk aan? Ja natuurlijk, \(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)\)! Vervang de waarde van de straal \(AC\) in deze formule en krijg:

\(\sin \alpha =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Kun je dus vertellen welke coördinaten het punt \(C\) dat bij de cirkel hoort heeft? Nou ja, echt niet? Wat als je beseft dat \(\cos \ \alpha \) en \(\sin \alpha \) slechts getallen zijn? Met welke coördinaat komt \(\cos \alpha \) overeen? Nou ja, natuurlijk, de coördinaat \(x\)! En met welke coördinaat komt \(\sin \alpha \) overeen? Dat klopt, coördinaat \(y\)! Dus het punt \(C(x;y)=C(\cos \alpha ;\sin \alpha) \).

Waar zijn \(tg \alpha \) en \(ctg \alpha \) dan gelijk aan? Dat klopt, laten we de overeenkomstige definities van raaklijn en cotangens gebruiken en die achterhalen \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

Wat als de hoek groter is? Bijvoorbeeld zoals op deze foto:

Wat is er veranderd in dit voorbeeld? Laten we het uitzoeken. Om dit te doen, gaan we opnieuw naar een rechthoekige driehoek. Beschouw een rechthoekige driehoek \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : hoek (aangrenzend aan hoek \(\beta \) ). Wat is de waarde van sinus, cosinus, tangens en cotangens voor een hoek \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\bèta \ \)? Dat klopt, we houden ons aan de overeenkomstige definities van trigonometrische functies:

\(\begin(matrix)(l)\sin \hoek ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \hoek ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\hoek ((C) )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\hoek ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(matrix) \)

Zoals je kunt zien, komt de waarde van de sinus van de hoek nog steeds overeen met de coördinaat \(y\) ; de waarde van de cosinus van de hoek - coördinaat \(x\) ; en de waarden van raaklijn en cotangens met de overeenkomstige verhoudingen. Deze relaties zijn dus van toepassing op elke rotatie van de straalvector.

Er is al vermeld dat de beginpositie van de straalvector langs de positieve richting van de \(x\)-as ligt. Tot nu toe hebben we deze vector tegen de klok in geroteerd, maar wat gebeurt er als we hem met de klok mee draaien? Niets bijzonders, je krijgt ook een hoek van een bepaalde waarde, maar deze is alleen negatief. Wanneer we de straalvector tegen de klok in draaien, krijgen we dus: positieve hoeken, en bij draaien met de klok mee – negatief.

We weten dus dat de hele omwenteling van de straalvector rond de cirkel \(360()^\circ \) of \(2\pi \) is. Is het mogelijk om de straalvector te roteren met \(390()^\circ \) of met \(-1140()^\circ \)? Nou, natuurlijk kan dat! In het eerste geval, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), dus de straalvector zal één volledige omwenteling maken en stoppen op de positie \(30()^\circ \) of \(\dfrac(\pi )(6) \) .

In het tweede geval \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), dat wil zeggen dat de straalvector drie zal zijn volledige revoluties en stopt op positie \(-60()^\circ \) of \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Uit de bovenstaande voorbeelden kunnen we dus concluderen dat hoeken die verschillen met \(360()^\circ \cdot m \) of \(2\pi \cdot m \) (waarbij \(m \) een geheel getal is), corresponderen met dezelfde positie van de straalvector.

De onderstaande figuur toont de hoek \(\beta =-60()^\circ \) . Hetzelfde beeld komt overeen met de hoek \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) enz. Deze lijst kan voor onbepaalde tijd worden voortgezet. Al deze hoeken kunnen worden geschreven met de algemene formule \(\beta +360()^\circ \cdot m\) of \(\beta +2\pi \cdot m \) (waarbij \(m \) een geheel getal is)

\(\begin(matrix)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(array) \)

Nu ken je de definities van fundamentele trigonometrische functies en gebruik je deze eenheidscirkel, probeer te beantwoorden wat de waarden zijn:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Hier is een eenheidscirkel om je te helpen:

Heeft u problemen? Laten we het dan uitzoeken. Dus we weten dat:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(matrix)\)

Vanaf hier bepalen we de coördinaten van de punten die overeenkomen met bepaalde hoekmetingen. Laten we op volgorde beginnen: de hoek in \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) komt overeen met een punt met coördinaten \(\left(0;1 \right) \) , dus:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Pijl naar rechts \text(tg)\ 90()^\circ \)- bestaat niet;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Verder ontdekken we, volgens dezelfde logica, dat de hoeken naar binnen gaan \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) corresponderen met punten met coördinaten \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \rechts) \) respectievelijk. Als je dit weet, is het eenvoudig om de waarden van trigonometrische functies op de overeenkomstige punten te bepalen. Probeer het eerst zelf en controleer dan de antwoorden.

Antwoorden:

\(\displaystyle \sin \180()^\circ =\sin \ \pi =0 \)

\(\displaystyle \cos \180()^\circ =\cos \ \pi =-1\)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rechtspijl \text(ctg)\ \pi \)- bestaat niet

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Pijl naar rechts \text(tg)\ 270()^\circ \)- bestaat niet

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Pijl naar rechts \text(ctg)\ 2\pi \)- bestaat niet

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Pijl naar rechts \text(tg)\ 450()^\circ \)- bestaat niet

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

Zo kunnen we de volgende tabel maken:

Het is niet nodig om al deze waarden te onthouden. Het is voldoende om de correspondentie te onthouden tussen de coördinaten van punten op de eenheidscirkel en de waarden van trigonometrische functies:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Je moet het onthouden of kunnen weergeven!! \) !}

Maar de waarden van de trigonometrische functies van hoeken in en \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) zoals weergegeven in de onderstaande tabel, moet u het volgende onthouden:

Wees niet bang, nu laten we je een voorbeeld zien van een vrij eenvoudige memorisatie van de overeenkomstige waarden:

Om deze methode te gebruiken, is het essentieel om de sinuswaarden voor iedereen te onthouden drie maatregelen hoek ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), evenals de waarde van de tangens van de hoek in \(30()^\circ \) . Als u deze \(4\)-waarden kent, is het vrij eenvoudig om de hele tabel te herstellen - de cosinuswaarden worden overgedragen in overeenstemming met de pijlen, dat wil zeggen:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(matrix) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \) Als u dit weet, kunt u de waarden voor herstellen \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). De teller "\(1 \)" komt overeen met \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \) en de noemer "\(\sqrt(\text(3)) \)" komt overeen met \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Cotangenswaarden worden overgedragen volgens de pijlen aangegeven in de figuur. Als u dit begrijpt en het diagram met de pijlen onthoudt, is het voldoende om alleen \(4\)-waarden uit de tabel te onthouden.

Coördinaten van een punt op een cirkel

Is het mogelijk om een ​​punt (de coördinaten) op een cirkel te vinden, terwijl je de coördinaten van het middelpunt van de cirkel, de straal en de rotatiehoek kent? Nou, natuurlijk kan dat! Laten we het eruit halen algemene formule om de coördinaten van een punt te vinden. Hier ziet u bijvoorbeeld een cirkel voor ons:

Dat punt is ons gegeven \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- middelpunt van de cirkel. De straal van de cirkel is \(1.5\) . Het is noodzakelijk om de coördinaten van het punt \(P\) te vinden, verkregen door het punt \(O\) met \(\delta \) graden te draaien.

Zoals uit de figuur blijkt, komt de coördinaat \(x\) van het punt \(P\) overeen met de lengte van het segment \(TP=UQ=UK+KQ\) . De lengte van het segment \(UK\) komt overeen met de coördinaat \(x\) van het middelpunt van de cirkel, dat wil zeggen, het is gelijk aan \(3\) . De lengte van het segment \(KQ\) kan worden uitgedrukt met behulp van de definitie van cosinus:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Pijl naar rechts KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Dan hebben we voor het punt \(P\) de coördinaat \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1.5\cdot \cos \ \delta \).

Met dezelfde logica vinden we de waarde van de y-coördinaat voor het punt \(P\) . Dus,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1.5\cdot \sin \delta \).

Dus, binnen algemeen beeld coördinaten van punten worden bepaald door de formules:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(array) \), Waar

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - coördinaten van het middelpunt van de cirkel,

\(r\) - straal van de cirkel,

\(\delta \) - rotatiehoek van de vectorradius.

Zoals je kunt zien, zijn deze formules voor de eenheidscirkel die we overwegen aanzienlijk verminderd, omdat de coördinaten van het centrum gelijk zijn aan nul en de straal gelijk is aan één:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

Javascript is uitgeschakeld in uw browser.
Om berekeningen uit te voeren, moet u ActiveX-besturingselementen inschakelen!

In dit artikel laten we zien hoe je kunt geven definities van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een hoek en getal in trigonometrie. Hier zullen we het hebben over notaties, voorbeelden van inzendingen geven en grafische illustraties geven. Laten we tot slot een parallel trekken tussen de definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens in trigonometrie en geometrie.

Paginanavigatie.

Definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens

Laten we eens kijken hoe het idee van sinus, cosinus, tangens en cotangens wordt gevormd schoolcursus wiskunde. In de meetkundelessen wordt de definitie gegeven van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek. En later wordt trigonometrie bestudeerd, die spreekt over sinus, cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek en getal. Laten we al deze definities presenteren, voorbeelden geven en het nodige commentaar geven.

Scherpe hoek in een rechthoekige driehoek

Uit de cursus meetkunde kennen we de definities van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek. Ze worden gegeven als de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek. Laten we hun formuleringen geven.

Definitie.

Sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa.

Definitie.

Cosinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.

Definitie.

Raaklijn van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek– dit is de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde.

Definitie.

Cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek- dit is de verhouding van de aangrenzende zijde tot de tegenoverliggende zijde.

De aanduidingen voor sinus, cosinus, tangens en cotangens worden daar ook geïntroduceerd: respectievelijk sin, cos, tg en ctg.

Als ABC bijvoorbeeld een rechthoekige driehoek is met een rechte hoek C, dan is de sinus van de scherpe hoek A gelijk aan de verhouding van de tegenoverliggende zijde BC tot de hypotenusa AB, dat wil zeggen sin∠A=BC/AB.

Met deze definities kunt u de waarden van sinus, cosinus, tangens en cotangens van een scherpe hoek berekenen op basis van de bekende lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek, evenals op basis van bekende waarden vind de lengtes van de andere zijden met behulp van sinus, cosinus, raaklijn, cotangens en de lengte van een van de zijden. Als we bijvoorbeeld wisten dat in een rechthoekige driehoek het been AC gelijk is aan 3 en de hypotenusa AB gelijk is aan 7, dan zouden we per definitie de waarde van de cosinus van de scherpe hoek A kunnen berekenen: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Draaihoek

Bij trigonometrie beginnen ze breder naar de hoek te kijken - ze introduceren het concept van rotatiehoek. De grootte van de rotatiehoek is, in tegenstelling tot een scherpe hoek, niet beperkt tot 0 tot 90 graden; de rotatiehoek in graden (en in radialen) kan worden uitgedrukt door elk reëel getal van −∞ tot +∞.

In dit licht worden de definities van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens niet gegeven als een scherpe hoek, maar als een hoek van willekeurige grootte: de rotatiehoek. Ze worden gegeven via de x- en y-coördinaten van het punt A 1, waarnaar het zogenaamde startpunt A(1, 0) gaat na zijn rotatie over een hoek α rond het punt O - het begin van het rechthoekige cartesiaanse coördinatensysteem en het middelpunt van de eenheidscirkel.

Definitie.

Sinus van rotatiehoekα is de ordinaat van punt A 1, dat wil zeggen sinα=y.

Definitie.

Cosinus van de rotatiehoekα wordt de abscis van punt A 1 genoemd, dat wil zeggen cosα=x.

Definitie.

Tangens van rotatiehoekα is de verhouding van de ordinaat van punt A 1 tot zijn abscis, dat wil zeggen tanα=y/x.

Definitie.

Cotangens van de rotatiehoekα is de verhouding van de abscis van punt A 1 tot zijn ordinaat, dat wil zeggen ctgα=x/y.

Sinus en cosinus zijn gedefinieerd voor elke hoek α, omdat we altijd de abscis en de ordinaat van het punt kunnen bepalen, wat wordt verkregen door het startpunt over hoek α te roteren. Maar raaklijn en cotangens zijn voor geen enkele hoek gedefinieerd. De raaklijn is niet gedefinieerd voor hoeken α waarbij het startpunt naar een punt gaat zonder abscis (0, 1) of (0, −1), en dit gebeurt bij hoeken 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Bij dergelijke rotatiehoeken is de uitdrukking tgα=y/x inderdaad niet logisch, omdat deze een deling door nul bevat. Wat de cotangens betreft, deze is niet gedefinieerd voor hoeken α waarbij het startpunt naar het punt gaat met de nulordinaat (1, 0) of (−1, 0), en dit gebeurt voor hoeken 180 ° k, k ∈Z (π·k rad).

Sinus en cosinus zijn dus gedefinieerd voor alle rotatiehoeken, de raaklijn is gedefinieerd voor alle hoeken behalve 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad), en de cotangens is gedefinieerd voor alle hoeken behalve 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

De definities omvatten de aanduidingen die ons al bekend zijn sin, cos, tg en ctg, ze worden ook gebruikt om sinus, cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek aan te duiden (soms kun je de aanduidingen tan en cot vinden die overeenkomen met tangens en cotangens) . De sinus van een rotatiehoek van 30 graden kan dus worden geschreven als sin30°, de invoeren tg(−24°17′) en ctgα komen overeen met de tangens van de rotatiehoek −24 graden 17 minuten en de cotangens van de rotatiehoek α . Bedenk dat bij het schrijven van de radiale maat van een hoek de aanduiding "rad" vaak wordt weggelaten. De cosinus van een rotatiehoek van drie pi rad wordt bijvoorbeeld gewoonlijk aangeduid met cos3·π.

Ter afsluiting van dit punt is het vermeldenswaard dat wanneer het gaat over sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van de rotatiehoek, de uitdrukking "rotatiehoek" of het woord "rotatie" vaak wordt weggelaten. Dat wil zeggen dat in plaats van de uitdrukking “sinus van de alfahoek” gewoonlijk de uitdrukking “sinus van de alfahoek” of zelfs korter, “sinus alfa” wordt gebruikt. Hetzelfde geldt voor cosinus, tangens en cotangens.

We zullen ook zeggen dat de definities van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek consistent zijn met de definities die zojuist zijn gegeven voor sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een rotatiehoek variërend van 0 tot 90 graden. Wij zullen dit rechtvaardigen.

Nummers

Definitie.

Sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal t is een getal dat gelijk is aan respectievelijk de sinus, cosinus, tangens en cotangens van de rotatiehoek in t radialen.

De cosinus van het getal 8·π is bijvoorbeeld per definitie een getal dat gelijk is aan de cosinus van de hoek van 8·π rad. En de cosinus van een hoek van 8·π rad is gelijk aan één, dus de cosinus van het getal 8·π is gelijk aan 1.

Er is een andere benadering voor het bepalen van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal. Het bestaat uit het feit dat elk reëel getal t geassocieerd is met een punt op de eenheidscirkel met het middelpunt in de oorsprong van het rechthoekige coördinatensysteem, en sinus, cosinus, raaklijn en cotangens worden bepaald door de coördinaten van dit punt. Laten we dit in meer detail bekijken.

Laten we laten zien hoe een correspondentie tot stand komt tussen reële getallen en punten op een cirkel:

• het getal 0 krijgt het startpunt A(1, 0);
• het positieve getal t is geassocieerd met een punt op de eenheidscirkel, dat we zullen bereiken als we vanaf het startpunt tegen de klok in langs de cirkel bewegen en een pad met lengte t bewandelen;
• negatief nummer t is geassocieerd met het punt van de eenheidscirkel, dat we zullen bereiken als we vanaf het startpunt met de klok mee langs de cirkel bewegen en een pad met lengte |t| .

Nu gaan we verder met de definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens van het getal t. Laten we aannemen dat het getal t overeenkomt met een punt op de cirkel A 1 (x, y) (het getal &pi/2; komt bijvoorbeeld overeen met het punt A 1 (0, 1) ).

Definitie.

Sinus van het getal t is de ordinaat van het punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal t, dat wil zeggen sint=y.

Definitie.

Cosinus van het getal t wordt de abscis genoemd van het punt van de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal t, dat wil zeggen: kosten = x.

Definitie.

Tangens van het getal t is de verhouding van de ordinaat tot de abscis van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal t, dat wil zeggen tgt=y/x. In een andere equivalente formulering is de tangens van een getal t de verhouding van de sinus van dit getal tot de cosinus, dat wil zeggen tgt=sint/kosten.

Definitie.

Cotangens van het getal t is de verhouding van de abscis tot de ordinaat van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal t, dat wil zeggen ctgt=x/y. Een andere formulering is deze: de raaklijn van het getal t is de verhouding van de cosinus van het getal t tot de sinus van het getal t: ctgt=cost/sint.

Hier merken we op dat de zojuist gegeven definities consistent zijn met de definitie die aan het begin van deze paragraaf is gegeven. Het punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal t valt inderdaad samen met het punt dat wordt verkregen door het beginpunt over een hoek van t radialen te roteren.

Het is nog steeds de moeite waard om dit punt te verduidelijken. Laten we zeggen dat we de invoer sin3 hebben. Hoe kunnen we begrijpen of we het hebben over de sinus van het getal 3 of de sinus van de rotatiehoek van 3 radialen? Dit blijkt meestal uit de context, anders is het waarschijnlijk niet van fundamenteel belang.

Trigonometrische functies van hoekige en numerieke argumenten

Volgens de definities in de vorige paragraaf komt elke rotatiehoek α volledig overeen specifieke waarde sinα is hetzelfde als de waarde van cosα. Bovendien komen alle rotatiehoeken anders dan 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) overeen met tgα-waarden, en andere waarden dan 180°k, k∈Z (πk rad ) – waarden van ctgα. Daarom zijn sinα, cosα, tanα en ctgα functies van de hoek α. Met andere woorden, dit zijn functies van het hoekargument.

We kunnen op dezelfde manier spreken over de functies sinus, cosinus, tangens en cotangens van een numeriek argument. Elk reëel getal t komt immers overeen met een zeer specifieke waarde sint, evenals met de kosten. Bovendien komen alle getallen anders dan π/2+π·k, k∈Z overeen met waarden tgt, en getallen π·k, k∈Z - waarden ctgt.

De functies sinus, cosinus, tangens en cotangens worden genoemd basis trigonometrische functies.

Uit de context blijkt meestal duidelijk of we te maken hebben met goniometrische functies van een hoekargument of een numeriek argument. Anders kunnen we de onafhankelijke variabele beschouwen als zowel een maatstaf voor de hoek (hoekargument) als een numeriek argument.

Op school bestuderen we echter vooral numerieke functies, dat wil zeggen functies waarvan de argumenten, evenals de bijbehorende functiewaarden, getallen zijn. Daarom, als we het specifiek over functies hebben, is het raadzaam om trigonometrische functies te beschouwen als functies van numerieke argumenten.

Relatie tussen definities uit de meetkunde en trigonometrie

Als we de rotatiehoek α beschouwen die varieert van 0 tot 90 graden, dan zijn de definities van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van de rotatiehoek in de context van trigonometrie volledig consistent met de definities van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek, die gegeven worden in de cursus geometrie. Laten we dit rechtvaardigen.

Laten we de eenheidscirkel weergeven in het rechthoekige Cartesiaanse coördinatensysteem Oxy. Laten we het startpunt A(1, 0) markeren. Laten we het draaien over een hoek α variërend van 0 tot 90 graden, we krijgen punt A 1 (x, y). Laten we de loodlijn A 1 H van punt A 1 naar de Ox-as laten vallen.

Het is gemakkelijk te zien dat in een rechthoekige driehoek de hoek A 1 OH gelijk is aan de rotatiehoek α, de lengte van het been OH grenzend aan deze hoek is gelijk aan de abscis van punt A 1, dat wil zeggen |OH |=x, de lengte van het been A 1 H tegenovergesteld aan de hoek is gelijk aan de ordinaat van punt A 1, dat wil zeggen |A 1 H|=y, en de lengte van de hypotenusa OA 1 is gelijk aan één, omdat het de straal van de eenheidscirkel is. Dan is, per definitie vanuit de meetkunde, de sinus van een scherpe hoek α in een rechthoekige driehoek A 1 OH gelijk aan de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa, dat wil zeggen sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= j/1=j. En per definitie vanuit de trigonometrie is de sinus van de rotatiehoek α gelijk aan de ordinaat van punt A 1, dat wil zeggen sinα = y. Hieruit blijkt dat het bepalen van de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek gelijkwaardig is aan het bepalen van de sinus van de rotatiehoek α wanneer α tussen 0 en 90 graden ligt.

Op soortgelijke wijze kan worden aangetoond dat de definities van cosinus, raaklijn en cotangens van een scherpe hoek α consistent zijn met de definities van cosinus, raaklijn en cotangens van de rotatiehoek α.

Bibliografie.

1. Geometrie. 7-9 graden: leerboek voor algemeen vormend onderwijs instellingen / [L. S. Atanasyan, VF Butuzov, S. B. Kadomtsev, enz.]. - 20e druk. M.: Onderwijs, 2010. - 384 p.: ill. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Meetkunde: leerboek. voor 7-9 graden. algemene educatie instellingen / A. V. Pogorelov. - 2e druk - M.: Onderwijs, 2001. - 224 p.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra en elementaire functies: Handleiding voor leerlingen van het 9e leerjaar middelbare school/ ES Kochetkov, ES Kochetkova; Bewerkt door doctor in de fysische en wiskundige wetenschappen O. N. Golovin. - 4e druk. M.: Onderwijs, 1969.
4. Algebra: Leerboek voor het 9e leerjaar. gem. school/Ju. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovski - M.: Education, 1990. - 272 pp.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra en het begin van de analyse: Proc. voor 10-11 klassen. algemene educatie instellingen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn en anderen; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14e druk. - M.: Education, 2004. - 384 pp.: ill. - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Algebra en het begin van analyse. Graad 10. Om 14.00 uur Deel 1: tutorial voor onderwijsinstellingen(profielniveau)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 4e druk, toevoegen. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 p.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra en het begin van wiskundige analyse. 10e leerjaar: leerboek. voor algemeen vormend onderwijs instellingen: basis en profiel. niveaus /[Ju. M. Kolyagin, MV Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; bewerkt door A. B. Zhizhchenko. - 3e druk. - I.: Onderwijs, 2010.- 368 p.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra en het begin van analyse: leerboek. voor 10-11 klassen. gem. school - 3e druk. - M.: Onderwijs, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een handleiding voor degenen die naar een technische school gaan): Proc. toelage.- M.; Hoger school, 1984.-351 p., ill.

Trigonometrie is een tak van de wiskundige wetenschap die goniometrische functies en hun gebruik in de meetkunde bestudeert. De ontwikkeling van trigonometrie begon in het oude Griekenland. Tijdens de middeleeuwen hebben wetenschappers uit het Midden-Oosten en India belangrijke bijdragen geleverd aan de ontwikkeling van deze wetenschap.

Dit artikel is gewijd aan basisconcepten en definities van trigonometrie. Het bespreekt de definities van de fundamentele trigonometrische functies: sinus, cosinus, tangens en cotangens. Hun betekenis wordt uitgelegd en geïllustreerd in de context van de geometrie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aanvankelijk werden de definities van trigonometrische functies waarvan het argument een hoek is, uitgedrukt in termen van de verhouding van de zijden van een rechthoekige driehoek.

Definities van trigonometrische functies

De sinus van een hoek (sin α) is de verhouding van het been tegenover deze hoek tot de hypotenusa.

Cosinus van de hoek (cos α) - de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa.

Hoektangens (t g α) - de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde.

Hoek cotangens (c t g α) - de verhouding van de aangrenzende zijde tot de tegenoverliggende zijde.

Deze definities worden gegeven voor de scherpe hoek van een rechthoekige driehoek!

Laten we een illustratie geven.

In driehoek ABC met rechte hoek C is de sinus van hoek A gelijk aan de verhouding van been BC tot hypotenusa AB.

Met de definities van sinus, cosinus, tangens en cotangens kunt u de waarden van deze functies berekenen op basis van de bekende lengtes van de zijden van de driehoek.

Belangrijk om te onthouden!

Het waardenbereik van sinus en cosinus is van -1 tot 1. Met andere woorden, sinus en cosinus nemen waarden aan van -1 tot 1. Het bereik van waarden van raaklijn en cotangens is de gehele getallenlijn, dat wil zeggen dat deze functies elke waarde kunnen aannemen.

De hierboven gegeven definities zijn van toepassing op scherpe hoeken. In de trigonometrie wordt het concept van een rotatiehoek geïntroduceerd, waarvan de waarde, in tegenstelling tot een scherpe hoek, niet beperkt is tot 0 tot 90 graden. De rotatiehoek in graden of radialen wordt uitgedrukt door een reëel getal van - ∞ tot + ∞ .

In deze context kunnen we sinus, cosinus, tangens en cotangens definiëren van een hoek van willekeurige grootte. Laten we ons een eenheidscirkel voorstellen waarvan het middelpunt de oorsprong is van het cartesiaanse coördinatensysteem.

Het initiële punt A met coördinaten (1, 0) roteert rond het middelpunt van de eenheidscirkel over een bepaalde hoek α en gaat naar punt A 1. De definitie wordt gegeven in termen van de coördinaten van punt A 1 (x, y).

Sinus (sin) van de rotatiehoek

De sinus van de rotatiehoek α is de ordinaat van punt A 1 (x, y). zonde α = y

Cosinus (cos) van de rotatiehoek

De cosinus van de rotatiehoek α is de abscis van punt A 1 (x, y). cos α = x

Raaklijn (tg) van de rotatiehoek

De raaklijn van de rotatiehoek α is de verhouding van de ordinaat van punt A 1 (x, y) tot zijn abscis. tg α = y x

Cotangens (ctg) van de rotatiehoek

De cotangens van de rotatiehoek α is de verhouding van de abscis van punt A 1 (x, y) tot zijn ordinaat. c t g α = x y

Sinus en cosinus worden voor elke rotatiehoek gedefinieerd. Dit is logisch, omdat de abscis en ordinaat van een punt na rotatie onder elke hoek kunnen worden bepaald. De situatie is anders bij raaklijn en cotangens. De raaklijn is ongedefinieerd wanneer een punt na rotatie naar een punt gaat zonder abscis (0, 1) en (0, - 1). In dergelijke gevallen is de uitdrukking voor raaklijn tg α = y x eenvoudigweg niet logisch, omdat deze een deling door nul bevat. De situatie is vergelijkbaar met cotangens. Het verschil is dat de cotangens niet wordt gedefinieerd in gevallen waarin de ordinaat van een punt naar nul gaat.

Belangrijk om te onthouden!

Sinus en cosinus zijn gedefinieerd voor alle hoeken α.

De raaklijn is gedefinieerd voor alle hoeken behalve α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Cotangens is gedefinieerd voor alle hoeken behalve α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Bij het beslissen praktische voorbeelden zeg niet "sinus van de rotatiehoek α". De woorden “rotatiehoek” zijn simpelweg weggelaten, wat impliceert dat uit de context al duidelijk is wat er wordt besproken.

Nummers

Hoe zit het met de definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal, en niet de rotatiehoek?

Sinus, cosinus, tangens, cotangens van een getal

Sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal T is een getal dat respectievelijk gelijk is aan sinus, cosinus, tangens en cotangens T radiaal.

De sinus van het getal 10 π is bijvoorbeeld gelijk aan de sinus van de rotatiehoek van 10 π rad.

Er is een andere benadering voor het bepalen van de sinus, cosinus, tangens en cotangens van een getal. Laten we het eens nader bekijken.

Elk reëel getal T een punt op de eenheidscirkel is geassocieerd met het middelpunt aan de oorsprong van het rechthoekige Cartesiaanse coördinatensysteem. Sinus, cosinus, raaklijn en cotangens worden bepaald door de coördinaten van dit punt.

Het startpunt op de cirkel is punt A met coördinaten (1, 0).

Positief nummer T

Negatief nummer T komt overeen met het punt waarnaar het startpunt zal gaan als het tegen de klok in rond de cirkel beweegt en zal de weg gaan T.

Nu het verband tussen een getal en een punt op een cirkel is gelegd, gaan we verder met de definitie van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens.

Sine (zonde) van t

Sinus van een getal T- ordinaat van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal T. zonde t = y

Cosinus (cos) van t

Cosinus van een getal T- abscis van het punt van de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal T. kosten t = x

Raaklijn (tg) van t

Tangens van een getal T- de verhouding van de ordinaat tot de abscis van een punt op de eenheidscirkel dat overeenkomt met het getal T. t g t = y x = sin t cos t

De meest recente definities zijn in overeenstemming met en zijn niet in tegenspraak met de definitie die aan het begin van deze paragraaf is gegeven. Wijs op de cirkel die overeenkomt met het nummer T, valt samen met het punt waarnaar het startpunt gaat na een hoekverdraaiing T radiaal.

Trigonometrische functies van hoekige en numerieke argumenten

Elke waarde van de hoek α komt overeen met een bepaalde waarde van de sinus en cosinus van deze hoek. Net als alle hoeken α anders dan α = 90 ° + 180 ° k, corresponderen k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) met een bepaalde raakwaarde. Cotangens, zoals hierboven vermeld, wordt gedefinieerd voor alle α behalve α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

We kunnen zeggen dat sin α, cos α, t g α, c t g α functies zijn van de hoek alpha, of functies van het hoekargument.

Op dezelfde manier kunnen we praten over sinus, cosinus, tangens en cotangens als functies van een numeriek argument. Elk reëel getal T komt overeen met een bepaalde waarde van de sinus of cosinus van een getal T. Alle andere getallen dan π 2 + π · k, k ∈ Z komen overeen met een raakwaarde. Cotangens wordt op dezelfde manier gedefinieerd voor alle getallen behalve π · k, k ∈ Z.

Basisfuncties van trigonometrie

Sinus, cosinus, tangens en cotangens zijn de fundamentele trigonometrische functies.

Uit de context blijkt meestal duidelijk welk argument van de goniometrische functie (hoekargument of numeriek argument) we hebben te maken met.

Laten we terugkeren naar de definities die aan het begin zijn gegeven en de alfahoek, die in het bereik van 0 tot 90 graden ligt. De trigonometrische definities van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens zijn volledig consistent met de geometrische definities die worden gegeven door de aspectverhoudingen van een rechthoekige driehoek. Laten we het laten zien.

Laten we een eenheidscirkel nemen met een middelpunt in een rechthoekig Cartesisch coördinatensysteem. Laten we het startpunt A (1, 0) over een hoek van maximaal 90 graden roteren en een loodlijn op de abscis-as tekenen vanaf het resulterende punt A 1 (x, y). In de resulterende rechthoekige driehoek is de hoek A 1 O H gelijk aan de rotatiehoek α, de lengte van het been O H is gelijk aan de abscis van het punt A 1 (x, y). De lengte van het been tegenover de hoek is gelijk aan de ordinaat van het punt A 1 (x, y), en de lengte van de hypotenusa is gelijk aan één, aangezien dit de straal is van de eenheidscirkel.

In overeenstemming met de definitie uit de meetkunde is de sinus van hoek α gelijk aan de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de hypotenusa.

zonde α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Dit betekent dat het bepalen van de sinus van een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek via de aspectverhouding gelijk is aan het bepalen van de sinus van de rotatiehoek α, waarbij alpha in het bereik van 0 tot 90 graden ligt.

Op dezelfde manier kan de overeenkomst van definities worden getoond voor cosinus, tangens en cotangens.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter