Afwerking. Uitrusting. Reparatie. Montage. Keuze. Opening
Online rekenmachine.
Driehoeken oplossen.
De oplossing van een driehoek is het vinden van al zijn zes elementen (d.w.z. drie zijden en drie hoeken) door drie gegeven elementen die de driehoek definiëren.
Dit rekenprogramma vindt zijde \ (c \), hoeken \ (\ alpha \) en \ (\ beta \) langs door de gebruiker opgegeven zijden \ (a, b \) en de hoek daartussen \ (\ gamma \)
Het programma geeft niet alleen een antwoord op het probleem, maar toont ook het proces van het vinden van een oplossing.
Deze online rekenmachine kan handig zijn voor ouderejaarsstudenten van middelbare scholen ter voorbereiding op toetsen en examens, bij het controleren van kennis voor het examen, voor ouders om de oplossing van veel problemen in wiskunde en algebra te beheersen. Of is het misschien te duur voor je om een bijlesdocent in te huren of nieuwe studieboeken te kopen? Of wil je gewoon zo snel mogelijk je huiswerk voor wiskunde of algebra af hebben? In dit geval kunt u onze programma's ook gebruiken met een gedetailleerde oplossing.
Op deze manier kunt u uw eigen onderwijs geven en/of het onderwijs van uw jongere broers en zussen geven, terwijl het opleidingsniveau op het gebied van de op te lossen problemen stijgt.
Als u niet bekend bent met de regels voor het invoeren van cijfers, raden wij u aan om u ermee vertrouwd te maken.
Regels voor het invoeren van nummers
Getallen kunnen niet alleen geheel, maar ook breuken worden ingesteld.
De gehele en gebroken delen in decimale breuken kunnen worden gescheiden door een punt of een komma.
U kunt bijvoorbeeld decimale breuken invoeren zoals 2,5 of zo 2,5
Er is vastgesteld dat sommige scripts die nodig zijn om dit probleem op te lossen, niet zijn geladen en dat het programma mogelijk niet werkt.
Misschien heb je AdBlock ingeschakeld.
Schakel het in dit geval uit en vernieuw de pagina.
Om de oplossing te laten verschijnen, moet u JavaScript inschakelen.
Hier zijn instructies voor het inschakelen van JavaScript in uw browser.
Omdat Er zijn veel mensen die het probleem willen oplossen, uw verzoek staat in de wachtrij.
Na een paar seconden verschijnt de oplossing hieronder.
Wacht, alsjeblieft sec ...
als jij een fout opgemerkt in de oplossing, dan kunt u hierover schrijven in het Feedbackformulier.
Vergeet niet aangeven welke taak jij bepaalt en wat? vul de velden in.
Onze spellen, puzzels, emulators:
Een beetje theorie.
sinusstelling
Stelling
De zijden van de driehoek zijn evenredig met de sinussen van de overstaande hoeken:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$
Cosinus stelling
Stelling
Laat in driehoek ABC AB = c, BC = a, CA = b. Vervolgens
Het kwadraat van de zijde van een driehoek is de som van de kwadraten van de andere twee zijden min tweemaal het product van die zijden maal de cosinus van de hoek ertussen.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$
Driehoeken oplossen
De oplossing van een driehoek is het vinden van al zijn zes elementen (d.w.z. drie zijden en drie hoeken) door drie gegeven elementen die de driehoek definiëren.
Beschouw drie problemen voor het oplossen van een driehoek. In dit geval gebruiken we de volgende notatie voor de zijden van de driehoek ABC: AB = c, BC = a, CA = b.
Een driehoek aan twee kanten oplossen en een hoek ertussen
Gegeven: \ (a, b, \ hoek C \). Vind \ (c, \ hoek A, \ hoek B \)
Oplossing
1. Met de cosinusstelling vinden we \ (c \):
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$
3. \ (\ hoek B = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek C \)
Een driehoek oplossen aan een zijde en aangrenzende hoeken
Gegeven: \ (a, \ hoek B, \ hoek C \). Vind \ (\ hoek A, b, c \)
Oplossing
1. \ (\ hoek A = 180 ^ \ cirkel - \ hoek B - \ hoek C \)
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A), \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$
Een driehoek aan drie kanten oplossen
Gegeven: \ (a, b, c \). Vind \ (\ hoek A, \ hoek B, \ hoek C \)
Oplossing
1. Met de cosinusstelling verkrijgen we:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$
2. Op dezelfde manier vinden we de hoek B.
3. \ (\ hoek C = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek B \)
Een driehoek aan twee zijden oplossen en een hoek tegenover een bekende zijde
Gegeven: \ (a, b, \ hoek A \). Vind \ (c, \ hoek B, \ hoek C \)
Oplossing
1. Door de sinusstelling vinden we \ (\ sin B \) krijgen we:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Pijl naar rechts \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$
Laten we de notatie introduceren: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). Afhankelijk van het nummer D zijn de volgende gevallen mogelijk:
Als D> 1 bestaat zo'n driehoek niet, aangezien \ (\ sin B \) kan niet groter zijn dan 1
Als D = 1, is er maar één \ (\ hoek B: \ quad \ sin B = 1 \ Pijl naar rechts \ hoek B = 90 ^ \ circ \)
Als D Als D 2. \ (\ hoek C = 180 ^ \ cirkel - \ hoek A - \ hoek B \)
3. Bereken met behulp van de sinusstelling de zijde c:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$
De transport- en logistieke sector is van bijzonder belang voor de Letse economie, aangezien ze een gestage groei van het BBP hebben en diensten verlenen aan vrijwel alle andere sectoren van de nationale economie. Elk jaar wordt benadrukt dat deze sector als een prioriteit moet worden erkend en de promotie ervan moet uitbreiden, maar de vertegenwoordigers van de transport- en logistieke sector kijken uit naar meer concrete en langetermijnoplossingen.
9,1% van de toegevoegde waarde aan het BBP van Letland
Ondanks de politieke en economische veranderingen van het laatste decennium blijft de invloed van de transport- en logistieke sector op de economie van ons land groot: in 2016 verhoogde de sector de toegevoegde waarde aan het BBP met 9,1%. Bovendien is het gemiddelde bruto maandloon nog steeds hoger dan in andere sectoren - in 2016 was het in andere sectoren van de economie 859 euro, terwijl in de opslag- en transportsector het gemiddelde brutoloon ongeveer 870 euro is (1.562 euro - vervoer over water, 2.061 euro - luchttransport, 1059 euro in de opslag- en hulptransportactiviteiten, enz.).
Bijzonder economisch gebied als extra steun Rolands petersons privatbank
De positieve voorbeelden van de logistieke sector zijn de havens die een goede structuur hebben ontwikkeld. De havens van Riga en Ventspils fungeren als vrije havens en de haven van Liepaja is opgenomen in de speciale economische zone van Liepaja (SEZ). Bedrijven die actief zijn in vrijhavens en SEZ kunnen niet alleen het 0-belastingtarief voor douane, accijnzen en belasting over de toegevoegde waarde ontvangen, maar ook een korting tot 80% van het bedrijfsinkomen en tot 100% van de onroerendgoedbelasting .Rolands petersons privatbank De haven voert actief verschillende investeringsprojecten uit met betrekking tot de bouw en ontwikkeling van industrie- en distributieparken. Het aantrekken van investeringen bevordert de creatie van een hogere toegevoegde waarde, de ontwikkeling van de productie, de uitbreiding van een spectrum van bepaalde diensten en de creatie van Het is noodzakelijk om de kleine havens onder de aandacht te brengen - SKULTE, Mersrags, SALACGRiVA, Pavilosta, Roja, Jurmala en Engure, die momenteel een stabiele positie innemen in de Letse economie en al regionale economische activiteitencentra zijn geworden.
Haven van Liepaja, wordt de volgende Rotterdam.
Rolands Petersons Privatbank
Er is ook een breed scala aan groeimogelijkheden en een aantal acties die kunnen worden ondernomen om de geprojecteerde doelstellingen te halen. Er is een sterke behoefte aan de diensten met hoge toegevoegde waarde, het vergroten van de verwerkte hoeveelheden vracht door het aantrekken van nieuwe goederenstromen, hoogwaardige passagiersservice en een introductie van moderne technologieën en informatiesystemen op het gebied van doorvoer en logistiek . De haven van Liepaja heeft alle kansen om binnen afzienbare tijd de tweede Rotterdam te worden. Rolands Petersons Privatbank
Letland als distributiecentrum voor ladingen uit Azië en het Verre Oosten. Rolands Petersons Privatbank
Een van de belangrijkste aandachtspunten voor de verdere groei van de haven en de speciale economische zone is de ontwikkeling van logistieke en distributiecentra, waarbij de nadruk vooral ligt op het aantrekken van goederen uit Azië en het Verre Oosten. Letland kan dienen als distributiecentrum voor ladingen in de Baltische en Scandinavische landen voor Azië en het Verre Oosten (o.a. China, Korea). Het belastingregime van de speciale economische zone van Liepaja in overeenstemming met de wet "Belastingheffing in vrijhavens en speciale economische zones" van 31 december 2035. Hierdoor kunnen handelaren een overeenkomst sluiten over investeringen en belastingvoordelen tot 31 december 2035, tot zij bereiken een contractueel niveau van bijstand door de gedane investeringen. Gezien het scala aan voordelen die deze status biedt, is het noodzakelijk om de mogelijke verlenging van de termijn te overwegen.
Infrastructuurontwikkeling en uitbreiding magazijnruimte Rolands petersons privatbank
Ons voordeel ligt in het feit dat er niet alleen een strategische geografische ligging is, maar ook een ontwikkelde infrastructuur met diepwaterligplaatsen, vrachtterminals, pijpleidingen en gebieden die vrij zijn van de vrachtterminal. Daarnaast kunnen we een goede structuur van pre-industriële zone, distributiepark, multifunctionele technische uitrusting toevoegen, evenals het hoge beveiligingsniveau, niet alleen wat betreft levering, maar ook wat betreft de opslag en behandeling van goederen ... In de toekomst is het raadzaam om meer aandacht te besteden aan toegangswegen (spoor en snelwegen), het volume van de opslagfaciliteiten te vergroten en het aantal diensten van havens te vergroten. Deelname aan internationale vakbeurzen en congressen maakt het mogelijk om extra buitenlandse investeringen aan te trekken en draagt bij aan de verbetering van het internationale imago.
In de meetkunde zijn er vaak problemen met de zijden van driehoeken. Het is bijvoorbeeld vaak nodig om de zijde van een driehoek te vinden als de andere twee bekend zijn.
Driehoeken zijn gelijkbenig, gelijkzijdig en niet-zijdig. Van alle variëteiten zullen we voor het eerste voorbeeld een rechthoekige kiezen (in zo'n driehoek is een van de hoeken 90 °, de aangrenzende zijden worden benen genoemd en de derde wordt de hypotenusa genoemd).
Snelle navigatie door het artikel
De lengte van de zijden van een rechthoekige driehoek
De oplossing voor het probleem volgt uit de stelling van de grote wiskundige Pythagoras. Er staat dat de som van de kwadraten van de benen van een rechthoekige driehoek gelijk is aan het kwadraat van zijn schuine zijde: a² + b² = c²
- Vind het kwadraat van de beenlengte a;
- Vind het kwadraat van het been b;
- We zetten ze bij elkaar;
- Uit het verkregen resultaat halen we de wortel van de tweede graad.
Voorbeeld: a = 4, b = 3, c =?
- a² = 4² = 16;
- b² = 3² = 9;
- 16+9=25;
- √25 = 5. Dat wil zeggen, de lengte van de hypotenusa van deze driehoek is 5.
Als de driehoek geen rechte hoek heeft, zijn de lengtes van de twee zijden niet voldoende. Dit vereist een derde parameter: het kan de hoek zijn, de hoogte van het gebied van de driehoek, de straal van de erin ingeschreven cirkel, enz.
Als de omtrek bekend is
In dit geval is de taak nog eenvoudiger. De omtrek (P) is de som van alle zijden van de driehoek: P = a + b + c. Dus door een eenvoudige wiskundige vergelijking op te lossen, krijgen we het resultaat.
Voorbeeld: P = 18, a = 7, b = 6, c =?
1) We lossen de vergelijking op door alle bekende parameters in één richting over te brengen van het gelijkteken:
2) Vervang de waarden in plaats daarvan en bereken de derde zijde:
c = 18-7-6 = 5, totaal: de derde zijde van de driehoek is 5.
Als de hoek bekend is
Om de derde zijde van een driehoek te berekenen door de hoek en twee andere zijden, wordt de oplossing gereduceerd tot het berekenen van de trigonometrische vergelijking. Als u de relatie tussen de zijden van de driehoek en de sinus van de hoek kent, is het gemakkelijk om de derde zijde te berekenen. Om dit te doen, moet u beide zijden vierkant maken en hun resultaten bij elkaar optellen. Trek vervolgens af van het resulterende product van de zijden vermenigvuldigd met de cosinus van de hoek: C = √ (a² + b²-a * b * cosα)
Als het gebied bekend is
In dit geval kan niet worden afgezien van één formule.
1) Eerst berekenen we sin γ, uitgedrukt in de formule voor de oppervlakte van een driehoek:
sin γ = 2S / (a *b)
2) Met behulp van de volgende formule berekenen we de cosinus van dezelfde hoek:
sin² α + cos² α = 1
cos α = √ (1 - sin² α) = √ (1- (2S / (a * b)) ²)
3) En opnieuw gebruiken we de stelling van sinussen:
C = √ ((a² + b²) -a * b * cosα)
C = √ ((a² + b²) -a * b * √ (1- (S / (a * b)) ²))
Door de waarden van de variabelen in deze vergelijking in te vullen, krijgen we het antwoord op het probleem.
De eerste zijn de segmenten die grenzen aan de rechte hoek, en de hypotenusa is het langste deel van de figuur en ligt tegenover de hoek van 90 °. Een Pythagoras driehoek is er een waarvan de zijden gelijk zijn aan natuurlijke getallen; hun lengtes in dit geval worden "Pythagoras triplets" genoemd.
Egyptische driehoek
Om de huidige generatie meetkunde te laten leren in de vorm waarin het nu op school wordt onderwezen, heeft het zich gedurende verschillende eeuwen ontwikkeld. Het fundamentele punt wordt beschouwd als de stelling van Pythagoras. De zijden van de rechthoek zijn over de hele wereld bekend) zijn 3, 4, 5.
Weinig mensen zijn niet bekend met de uitdrukking "Pythagoras-broeken zijn in alle richtingen gelijk." In feite klinkt de stelling echter als volgt: c 2 (het kwadraat van de hypotenusa) = a 2 + b 2 (de som van de kwadraten van de benen).
Onder wiskundigen wordt een driehoek met zijden 3, 4, 5 (cm, m, enz.) "Egyptisch" genoemd. Het interessante is dat wat in de figuur is ingeschreven gelijk is aan één. De naam is ontstaan rond de 5e eeuw voor Christus, toen Griekse filosofen naar Egypte reisden.
Bij het bouwen van de piramides gebruikten architecten en landmeters een verhouding van 3: 4: 5. Dergelijke constructies bleken proportioneel, aangenaam om naar te kijken en ruim, en stortten ook zelden in.
Om een rechte hoek te bouwen, gebruikten de bouwers een touw met 12 knopen vastgebonden. In dit geval nam de kans op het construeren van een rechthoekige driehoek toe tot 95%.
Tekenen van gelijkheid van vormen
- Een scherpe hoek in een rechthoekige driehoek en een grote zijde, die gelijk zijn aan dezelfde elementen in de tweede driehoek, zijn een onbetwistbaar teken van gelijkheid van figuren. Rekening houdend met de som van de hoeken, is het gemakkelijk te bewijzen dat de tweede scherpe hoeken ook gelijk zijn. De driehoeken zijn dus hetzelfde in het tweede kenmerk.
- Wanneer twee figuren op elkaar worden geplaatst, roteren we ze zodat ze, wanneer ze worden gecombineerd, één gelijkbenige driehoek worden. Door zijn eigenschap zijn de zijkanten, of liever, de hypotenusa, gelijk, evenals de hoeken aan de basis, wat betekent dat deze figuren hetzelfde zijn.
Op de eerste basis is het heel gemakkelijk om te bewijzen dat de driehoeken echt gelijk zijn, het belangrijkste is dat de twee kleinere zijden (d.w.z. de benen) gelijk aan elkaar zijn.
De driehoeken zullen hetzelfde zijn in teken II, waarvan de essentie de gelijkheid van het been en de scherpe hoek is.
Eigenschappen van rechthoekige driehoek
De hoogte die uit de rechte hoek valt, splitst de figuur in twee gelijke delen.
De zijden van een rechthoekige driehoek en zijn mediaan zijn gemakkelijk te herkennen aan de regel: de mediaan, die wordt verlaagd door de hypotenusa, is gelijk aan de helft. kan zowel worden gevonden door de formule van Heron als door de bewering dat het gelijk is aan de helft van het product van de benen.
In een rechthoekige driehoek zijn de eigenschappen van hoeken van 30°, 45° en 60° van kracht.
- Bij een hoek van 30 ° moet eraan worden herinnerd dat het andere been gelijk zal zijn aan de helft van de grootste zijde.
- Als de hoek 45° is, dan is de tweede scherpe hoek ook 45°. Dit suggereert dat de driehoek gelijkbenig is en dat de poten hetzelfde zijn.
- De eigenschap van een hoek van 60° is dat de derde hoek een graadmaat van 30° heeft.
Het gebied kan gemakkelijk worden herkend aan een van de volgende drie formules:
- door de hoogte en de zijde waarnaar het afdaalt;
- volgens de formule van Heron;
- aan de zijkanten en de hoek ertussen.
De zijden van een rechthoekige driehoek, of liever de benen, komen op twee hoogten samen. Om de derde te vinden, is het noodzakelijk om de resulterende driehoek te beschouwen en vervolgens, volgens de stelling van Pythagoras, de vereiste lengte te berekenen. Naast deze formule is er ook de verhouding van het verdubbelde oppervlak en de lengte van de hypotenusa. De meest voorkomende uitdrukking onder studenten is de eerste, omdat er minder berekeningen voor nodig zijn.
Stellingen toegepast op een rechthoekige driehoek
De geometrie van een rechthoekige driehoek omvat het gebruik van stellingen zoals:
In het leven hebben we vaak te maken met rekenproblemen: op school, op de universiteit, en dan ons kind helpen met huiswerk. Mensen in bepaalde beroepen zullen dagelijks in aanraking komen met wiskunde. Daarom is het handig om wiskundige regels te onthouden of op te roepen. In dit artikel zullen we er een analyseren: het vinden van het been van een rechthoekige driehoek.
Wat is een rechthoekige driehoek?
Laten we eerst onthouden wat een rechthoekige driehoek is. Een rechthoekige driehoek is een geometrische figuur van drie lijnsegmenten die punten verbinden die niet op één rechte lijn liggen, en een van de hoeken van deze figuur is 90 graden. De zijden die een rechte hoek vormen, worden benen genoemd en de zijde die tegenover de rechte hoek ligt, wordt de hypotenusa genoemd.
Vind het been van een rechthoekige driehoek
Er zijn verschillende manieren om de lengte van het been te achterhalen. Ik zou ze graag nader willen bekijken.
Stelling van Pythagoras om het been van een rechthoekige driehoek te vinden
Als we de hypotenusa en het been kennen, kunnen we de lengte van het onbekende been vinden met behulp van de stelling van Pythagoras. Het klinkt als volgt: "Het kwadraat van de hypotenusa is gelijk aan de som van de kwadraten van de benen." Formule: c² = a² + b², waarbij c - hypotenusa, a en b - benen. We transformeren de formule en krijgen: a² = c²-b².
Voorbeeld. De hypotenusa is 5 cm en het been is 3 cm We transformeren de formule: c² = a² + b² → a² = c²-b². Dan beslissen we: a² = 5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; een = √16; a = 4 (cm).
Trigonometrische verhoudingen om het been van een rechthoekige driehoek te vinden
Je kunt ook een onbekend been vinden als er een andere zijde en elke scherpe hoek van een rechthoekige driehoek bekend is. Er zijn vier opties om een been te vinden met behulp van trigonometrische functies: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Om problemen op te lossen, zal de onderstaande tabel ons helpen. Laten we deze opties eens bekijken.
Vind het been van een rechthoekige driehoek met sinus
De sinus van de hoek (sin) is de verhouding van het tegenoverliggende been tot de hypotenusa. Formule: sin = a / c, waarbij a het been tegenover een bepaalde hoek is, en c de hypotenusa is. Vervolgens transformeren we de formule en krijgen: a = sin * c.
Voorbeeld. De hypotenusa is 10 cm, de hoek A is 30 graden. Volgens de tabel berekenen we de sinus van hoek A, deze is gelijk aan 1/2. Vervolgens lossen we met behulp van de getransformeerde formule op: a = sin∠А * c; een = 1/2 * 10; a = 5 (cm).
Vind het been van een rechthoekige driehoek met behulp van de cosinus
De cosinus van de hoek (cos) is de verhouding van het aangrenzende been tot de hypotenusa. Formule: cos = b / c, waarbij b het been is dat grenst aan de gegeven hoek, en c de hypotenusa is. Laten we de formule transformeren en krijgen: b = cos * c.
Voorbeeld. Hoek A is 60 graden, de hypotenusa is 10 cm. Volgens de tabel berekenen we de cosinus van hoek A, deze is 1/2. Dan beslissen we: b = cos∠A * c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).
Vind het been van een rechthoekige driehoek met behulp van de tangens
De tangens van de hoek (tg) is de verhouding van het tegenoverliggende been tot het aangrenzende been. Formule: tg = a / b, waarbij a het been tegenover de hoek is en b het aangrenzende been. We transformeren de formule en krijgen: a = tg * b.
Voorbeeld. Hoek A is gelijk aan 45 graden, hypotenusa is gelijk aan 10 cm Volgens de tabel berekenen we de tangens van hoek A, deze is gelijk aan Oplossen: a = tg∠A * b; een = 1 * 10; a = 10 (cm).
Vind het been van een rechthoekige driehoek met behulp van de cotangens
De cotangens van de hoek (ctg) is de verhouding van het aangrenzende been tot het tegenoverliggende been. Formule: ctg = b / a, waarbij b het been is dat grenst aan de hoek, a het tegenoverliggende been is. Met andere woorden, een cotangens is een "omgekeerde tangens". We krijgen: b = ctg * a.
Voorbeeld. Hoek A is 30 graden, het andere been is 5 cm. Volgens de tabel is de raaklijn van hoek A √3. Bereken: b = ctg∠A * a; b = √3 * 5; b = 5√3 (cm).
Dus nu weet je hoe je een been in een rechthoekige driehoek kunt vinden. Zoals je kunt zien, is dit niet zo moeilijk, het belangrijkste is om de formules te onthouden.