Definicija iracionalnog broja

Iracionalni brojevi su oni brojevi koji u decimalnom zapisu predstavljaju beskonačne neperiodične decimale.

Tako, na primjer, brojevi dobiveni uzimanjem kvadratnog korijena prirodni brojevi, su iracionalni i nisu kvadrati prirodnih brojeva. Ali nisu svi iracionalni brojevi dobijeni uzimanjem kvadratnog korijena, jer je broj pi dobiven dijeljenjem također iracionalan, a malo je vjerovatno da ćete ga dobiti pokušajem izvlačenja kvadratnog korijena prirodnog broja.

Svojstva iracionalnih brojeva

Za razliku od brojeva napisanih kao beskonačne decimale, samo iracionalni brojevi se zapisuju kao neperiodične beskonačne decimale.
Zbir dva nenegativna iracionalna broja može na kraju biti racionalan broj.
Iracionalni brojevi definišu Dedekindove rezove u skupu racionalnih brojeva, u čijoj nižoj klasi nema najvećeg, a u višoj klasi nema nižeg.
Svaki pravi transcendentalni broj je iracionalan.
Svi iracionalni brojevi su ili algebarski ili transcendentalni.
Skup iracionalnih brojeva na pravoj je gusto lociran, a između bilo koja dva njegova broja sigurno postoji iracionalan broj.
Skup iracionalnih brojeva je beskonačan, nebrojiv i skup je 2. kategorije.
Prilikom izvođenja bilo koje aritmetička operacija sa racionalnim brojevima, osim kada se dijeli sa 0, rezultat će biti racionalan broj.
Prilikom dodavanja racionalnog broja iracionalnom broju, rezultat je uvijek iracionalan broj.
Kada zbrajamo iracionalne brojeve, možemo završiti sa racionalnim brojem.
Skup iracionalnih brojeva nije paran.

Brojevi nisu iracionalni

Ponekad je prilično teško odgovoriti na pitanje da li je broj iracionalan, posebno u slučajevima kada je broj u obliku decimalnog razlomka ili u obliku brojčanog izraza, korijena ili logaritma.

Stoga neće biti suvišno znati koji brojevi nisu iracionalni. Ako slijedimo definiciju iracionalnih brojeva, tada već znamo da racionalni brojevi ne mogu biti iracionalni.

Iracionalni brojevi nisu:

Prvo, svi prirodni brojevi;
Drugo, cijeli brojevi;
Treće, obični razlomci;
Četvrto, različiti mješoviti brojevi;
Peto, ovo su beskonačni periodični decimalni razlomci.

Pored svega navedenog, iracionalan broj ne može biti nikakva kombinacija racionalnih brojeva koju izvode znaci aritmetičkih operacija, kao što su +, -, , :, jer će i u ovom slučaju rezultat dva racionalna broja biti racionalan broj.

Sada da vidimo koji su brojevi iracionalni:

Znate li za postojanje kluba obožavatelja u kojem obožavatelji ovog misterioznog matematičkog fenomena traže sve više informacija o Pi, pokušavajući da razotkriju njegovu misteriju? Članom ovog kluba može postati svaka osoba koja zna napamet određeni broj Pi brojeva nakon decimalnog zareza;

Da li ste znali da u Njemačkoj, pod zaštitom UNESCO-a, postoji palača Castadel Monte, zahvaljujući čijim proporcijama možete izračunati Pi. Kralj Fridrik II je posvetio čitavu palatu ovom broju.

Ispostavilo se da su pokušali da koriste broj Pi u izgradnji Vavilonske kule. Ali, nažalost, to je dovelo do propasti projekta, jer u to vrijeme tačan izračun vrijednosti Pi nije bio dovoljno proučen.

Pevačica Kejt Buš na svom novom disku snimila je pesmu pod nazivom „Pi“, u kojoj su se čula sto dvadeset četiri broja iz čuvene serije brojeva 3, 141….

Apstraktnost matematičkih pojmova ponekad zrači toliku odvojenost da se nehotice javlja misao: „Zašto je sve ovo?“ Ali, uprkos prvom dojmu, sve teoreme, aritmetičke operacije, funkcije itd. - ništa više od želje da se zadovolje osnovne potrebe. To se posebno jasno vidi na primjeru pojave raznih garnitura.

Sve je počelo pojavom prirodnih brojeva. I, iako je malo vjerovatno da će sada neko moći odgovoriti kako je to tačno, najvjerovatnije noge kraljice nauka rastu odnekud iz pećine. Ovdje, analizirajući broj kože, kamenja i plemena, osoba ima mnogo „brojeva za prebrojavanje“. I to mu je bilo dovoljno. Do nekog trenutka, naravno.

Zatim su se kože i kamenje morali podijeliti i odnijeti. Tako se javila potreba za aritmetičkim operacijama, a sa njima i racionalnim, koje se mogu definirati kao razlomak poput m/n, gdje je npr. m broj koža, n broj suplemenika.

Čini se da je već otkriveni matematički aparat sasvim dovoljan za uživanje u životu. Ali ubrzo se pokazalo da postoje slučajevi kada rezultat ne samo da nije cijeli broj, nego čak ni razlomak! I zaista, kvadratni korijen od dva ne može se izraziti na bilo koji drugi način pomoću brojnika i nazivnika. Ili, na primjer, dobro poznati broj Pi, koji je otkrio starogrčki naučnik Arhimed, također nije racionalan. I s vremenom su takva otkrića postala toliko brojna da su svi brojevi koji se nisu mogli "racionalizirati" kombinirani i nazvani iracionalnim.

Svojstva

Skupovi koji smo ranije razmatrali pripadaju skupu fundamentalnih koncepata matematike. To znači da se oni ne mogu definirati kroz jednostavnije matematičke objekte. Ali to se može učiniti uz pomoć kategorija (od grčkih "izjava") ili postulata. U ovom slučaju, najbolje je naznačiti svojstva ovih skupova.

o Iracionalni brojevi definišu Dedekindove rezove u skupu racionalnih brojeva koji nemaju najveći broj u donjem broju i nemaju najmanji broj u gornjem.

o Svaki transcendentalni broj je iracionalan.

o Svaki iracionalni broj je ili algebarski ili transcendentalan.

o Skup brojeva je gust svuda na brojevnoj pravoj: između bilo kojeg postoji iracionalan broj.

o Skup je nebrojiv i skup je druge Baireove kategorije.

o Ovaj skup je uređen, odnosno za svaka dva različita racionalna broja a i b možete naznačiti koji je manji od drugog.
o Između svaka dva različita racionalna broja postoji barem još jedan, a samim tim i beskonačan broj racionalnih brojeva.

o Aritmetičke operacije(sabiranje, množenje i dijeljenje) nad bilo koja dva racionalna broja su uvijek mogući i rezultiraju određenim racionalnim brojem. Izuzetak je deljenje sa nulom, što je nemoguće.

o Svaki racionalni broj se može predstaviti kao decimalni razlomak (konačan ili beskonačno periodičan).

Skup iracionalnih brojeva obično se označava velikim slovom ja (\displaystyle \mathbb (I) ) u podebljanom stilu bez senčenja. ovako: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), odnosno skup iracionalnih brojeva je razlika između skupova realnih i racionalnih brojeva.

Postojanje iracionalnih brojeva, tačnije segmenata nesamerljivih sa segmentom jedinične dužine, bilo je poznato već starim matematičarima: poznavali su, na primer, nesamerljivost dijagonale i stranice kvadrata, što je ekvivalentno iracionalnosti broj.

Enciklopedijski YouTube

• 1 / 5

  Iracionalni su:

  Primjeri dokaza iracionalnosti

  Koren od 2

  Pretpostavimo suprotno: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionalno, odnosno predstavljeno kao razlomak m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Gdje m (\displaystyle m) je cijeli broj i n (\displaystyle n)- prirodni broj.

  Kvadirajmo pretpostavljenu jednakost:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Strelica desno 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\Rightarrow m^(2)=2n^(2)).

  Priča

  Antika

  Koncept iracionalnih brojeva su implicitno usvojili indijski matematičari u 7. veku pre nove ere, kada je Manava (oko 750 pne - oko 690 pne) shvatio da je kvadratni korijeni Neki prirodni brojevi, kao što su 2 i 61, ne mogu se eksplicitno izraziti [ ] .

  Prvi dokaz postojanja iracionalnih brojeva obično se pripisuje Hipasu od Metaponta (oko 500. pne.), Pitagorejcu. U vrijeme Pitagorejaca vjerovalo se da postoji jedna jedinica dužine, dovoljno mala i nedjeljiva, koja uključuje cijeli broj puta u bilo kojem segmentu [ ] .

  Ne postoje tačni podaci o tome koji je broj Hipas dokazao iracionalnim. Prema legendi, pronašao ga je proučavajući dužine stranica pentagrama. Stoga je razumno pretpostaviti da je to bio zlatni rez [ ] .

  Grčki matematičari su ovaj omjer nesamjerljivih veličina nazvali alogos(neizrecivo), ali prema legendi nisu odali dužno poštovanje Hipasu. Postoji legenda da je Hipas došao do otkrića dok je bio na pomorskom putovanju i da su ga drugi pitagorejci bacili u vodu „zbog stvaranja elementa svemira koji negira doktrinu da se svi entiteti u svemiru mogu svesti na cijele brojeve i njihove omjere“. Otkriće Hipasa predstavljalo je ozbiljan problem za pitagorejsku matematiku, uništavajući temeljnu pretpostavku da su brojevi i geometrijski objekti jedno i neodvojivo.

  Svi racionalni brojevi se mogu predstaviti kao obični razlomak. Ovo se odnosi na cijele brojeve (na primjer, 12, –6, 0), i konačne decimalne razlomke (na primjer, 0,5; –3,8921) i beskonačne periodične decimalne razlomke (na primjer, 0,11(23); –3 ,(87) )).

  kako god beskonačne neperiodične decimale predstavljaju u formi obične frakcije nemoguće. To su oni iracionalni brojevi(tj. iracionalno). Primjer takvog broja je broj π, koji je približno jednak 3,14. Međutim, ne može se utvrditi koliko je to tačno, jer nakon broja 4 postoji beskonačan niz drugih brojeva u kojima se periodi koji se ponavljaju ne mogu razlikovati. Štaviše, iako se broj π ne može precizno izraziti, on ima specifično geometrijsko značenje. Broj π je omjer dužine bilo kojeg kruga i dužine njegovog prečnika. Dakle, iracionalni brojevi zapravo postoje u prirodi, baš kao i racionalni brojevi.

  Drugi primjer iracionalnih brojeva su kvadratni korijeni pozitivnih brojeva. Izdvajanje korijena iz nekih brojeva daje racionalne vrijednosti, iz drugih - iracionalne. Na primjer, √4 = 2, tj. korijen od 4 je racionalan broj. Ali √2, √5, √7 i mnogi drugi rezultiraju iracionalnim brojevima, odnosno mogu se izdvojiti samo aproksimacijom, zaokružujući na određeno decimalno mjesto. U ovom slučaju, razlomak postaje neperiodičan. Odnosno, nemoguće je tačno i definitivno reći šta je koren ovih brojeva.

  Dakle, √5 je broj koji leži između brojeva 2 i 3, jer je √4 = 2 i √9 = 3. Takođe možemo zaključiti da je √5 bliži 2 nego 3, jer je √4 bliži √5 nego √9 do √5. Zaista, √5 ≈ 2,23 ili √5 ≈ 2,24.

  Iracionalni brojevi se takođe dobijaju u drugim proračunima (a ne samo pri vađenju korena) i mogu biti negativni.

  U odnosu na iracionalne brojeve, možemo reći da bez obzira koji jedinični segment uzmemo za mjerenje dužine izražene takvim brojem, nećemo je moći definitivno izmjeriti.

  U aritmetičkim operacijama iracionalni brojevi mogu učestvovati zajedno s racionalnim. Istovremeno, postoji niz pravilnosti. Na primjer, ako su samo racionalni brojevi uključeni u aritmetičku operaciju, onda je rezultat uvijek racionalan broj. Ako u operaciji učestvuju samo iracionalni, onda je nemoguće nedvosmisleno reći da li će rezultat biti racionalan ili iracionalan broj.

  Na primjer, ako pomnožite dva iracionalna broja √2 * √2, dobićete 2 - ovo je racionalan broj. S druge strane, √2 * √3 = √6 je iracionalan broj.

  Ako aritmetička operacija uključuje racionalne i iracionalne brojeve, onda će rezultat biti iracionalan. Na primjer, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.

  Zašto je √17 – 4 iracionalan broj? Zamislimo da dobijemo racionalan broj x. Tada je √17 = x + 4. Ali x + 4 je racionalan broj, jer smo pretpostavili da je x racionalan. Broj 4 je takođe racionalan, pa je x + 4 racionalan. Međutim, racionalan broj ne može biti jednak iracionalnom broju √17. Stoga je pretpostavka da √17 – 4 daje racionalan rezultat netačna. Rezultat aritmetičke operacije bit će iracionalan.

  Međutim, postoji izuzetak od ovog pravila. Ako pomnožimo iracionalan broj sa 0, dobićemo racionalni broj 0.