Քառակուսի հավասարման արմատների ձեւը: Քառակուսի հավասարման ժամանակացույցը բազմապատկիչների համար

Բաց անել

Տեսանյութի ձեռնարկ 2: Քառակուսի հավասարումների լուծում

Դասախոսություն: Քառանիշների հավասարումներ

Հավասարումը

Հավասարումը - Սա որոշակի հավասարություն է, որի արտահայտություններում կա փոփոխական:

Լուծել հավասարումը - Նշանակում է գտնել այնպիսի փոփոխականի փոխարեն, որը կբերի այն իրական հավասարության:

Հավասարումը կարող է ունենալ մեկ լուծում կամ մի քանիսը, թե ընդհանրապես չունենալ:

Any անկացած հավասարություն լուծելու համար այն պետք է հեշտությամբ պարզեցվի ձեւին.

Գծային: A * x \u003d b;

Հրապարակ. a * x 2 + b * x + c \u003d 0:

Այսինքն, ցանկացած հավասարություն, նախքան լուծումը պետք է վերածվի ստանդարտ տեսակների:

Any անկացած հավասարություն կարող է լուծվել երկու եղանակով, վերլուծական եւ գրաֆիկական:

Գծապատկերում հավասարումը լուծելով, դիտվում են միավորներ, որոնցում ժամանակացույցը հատում է առանցքը Օ Oh:

Քառանիշների հավասարումներ

Հավասարումը կարելի է անվանել հրապարակ, եթե այն տեսքը ձեռք է բերում, երբ պարզեցված է.

a * x 2 + b * x + c \u003d 0:

Ուր Ա, բ, գ հավասարության գործակիցներ են, որոնք տարբերվում են զրոյից: Բայց «X» - հավասարման արմատ: Համարվում է, որ քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի, կամ կարող է ընդհանրապես լուծումներ չունենալ: Արդյունքում ստացված արմատները կարող են նույնը լինել:

«Բայց» - գործակիցը, որը կանգնած է քառակուսի արմատից առաջ:

«Բ» - Դա առաջին աստիճանի անհայտ է:

«ից» - հավասարման անվճար անդամ:

Եթե, օրինակ, մենք ունենք ձեւի հավասարումը.

2x 2 -5x + 3 \u003d 0

Դրանում «2» -ը գործակից է հավասարման ավագ անդամի, «-5» - երկրորդ գործակիցը եւ «3» -ը `ազատ անդամ:

Քառակուսի հավասարման լուծում

Քառակուսի հավասարումը լուծելու համար կան հսկայական ձեւեր: Այնուամենայնիվ, մաթեմատիկայի դպրոցական կուրսում լուծումը ուսումնասիրվում է Վիետայի տեսականում, ինչպես նաեւ խտրականության օգնությամբ:

Որոշում `խտրականության վերաբերյալ.

Այս մեթոդի օգտագործմամբ, անհրաժեշտ է ձեւակերպել խտրականությունը բանաձեւով.

Եթե, երբ հաշվարկներ եք ստացել, ապա ստացաք, որ խտրականությունը զրոյից պակաս է, նշանակում է, որ այս հավասարումը լուծում չունի:

Եթե \u200b\u200bխտրականությունը զրո է, հավասարումը երկու նույնական լուծում ունի: Այս դեպքում բազմաբնույթը կարող է փլուզվել կրճատ բազմապատկման բանաձեւով `գումարի կամ տարբերության հրապարակում: Դրանից հետո այն լուծելու համար, որպես գծային հավասարություն: Կամ օգտվել բանաձեւից.

Եթե \u200b\u200bխտրականը զրոյից մեծ է, ապա անհրաժեշտ է օգտագործել հետեւյալ մեթոդը.

Վիետա Թեորեմ

Եթե \u200b\u200bհավասարումը տրվի, այսինքն, ավագ անդամի գործակիցը հավասար է մեկին, ապա կարող եք օգտագործել Վիետա Թեորեմ.

Այսպիսով, ենթադրենք, որ հավասարումը նման է.

Հավասարման արմատները հետեւյալն են.

Անավարտ քառակուսի հավասարումը

Թերի քառակուսի հավասարություն ստանալու համար կան մի քանի տարբերակներ, որոնց տեսակը կախված է գործակիցների առկայությունից:

1. Եթե \u200b\u200bերկրորդ եւ երրորդ գործակիցը զրոյական է (B \u003d 0, C \u003d 0)Քառակուսի հավասարումը կանդրադառնա.

Այս հավասարումը կունենա մեկ լուծում: Հավասարությունը ճիշտ կլինի միայն այն դեպքում, երբ հավասարումը զրոյական է որպես լուծում:

Քառակուսի հավասարումը `դա պարզապես լուծված է: * Հաջորդը «KU» տեքստում:Ընկերները, կարծես, մաթեմատիկայում կարող էին ավելի հեշտ լինել, քան նման հավասարման լուծում: Բայց ինչ-որ բան ինձ առաջարկեց, որ շատերը նրա հետ խնդիրներ ունեն: Որոշեցի տեսնել, թե ամսական քանի տպավորություններ են տալիս ըստ ամսական: Դա տեղի ունեցավ, տես.

Ինչ է դա նշանակում? Սա նշանակում է, որ մոտ 70,000 մարդ ամսական փնտրում է այս տեղեկատվությունը, որն է այս ամառ, եւ ինչը կլինի ուսումնական տարվա շարքում `պահանջները երկու անգամ ավելի շատ կլինեն: Զարմանալի չէ, քանի որ այն տղաներն ու աղջիկները, ովքեր վաղուց ավարտել են դպրոցը եւ պատրաստվում են քննությանը, նրանք փնտրում են այս տեղեկատվությունը, եւ դպրոցականները ձգտում են թարմացնել այն հիշողության մեջ:

Չնայած այն հանգամանքին, որ կան բազմաթիվ կայքեր, որտեղ նկարագրվում է, թե ինչպես լուծել այս հավասարումը, ես որոշեցի իմ ներդրումը կատարել եւ հրապարակել նյութը: Նախ, ես ուզում եմ գալ իմ կայք, այս խնդրանքով, եւ այցելուները եկել են իմ կայք; Երկրորդ, այլ հոդվածներում, երբ «Կու» -ի ելույթը հղում կտա այս հոդվածին. Երրորդ, ես ձեզ կասեմ նրա որոշման մասին մի փոքր ավելին, քան սովորաբար սահմանվում է այլ կայքերում: ԲացիանՀոդվածի բովանդակությունը.

Քառակուսի հավասարումը ձեւի հավասարությունն է.

որտեղ գործակիցները աԲ եւ կամայական թվերով, ինչ-որ բան ≠ 0:

Դպրոցական դասընթացում նյութը տրվում է հետեւյալ ձեւով. Երեք դասերի հավասարումների տարանջատումը պայմանականորեն կատարվում է.

1. Երկու արմատ ունեն:

2. * Կան միայն մեկ արմատ:

3. Արմատներ չունեք: Այստեղ հարկ է նշել, որ նրանք չունեն վավեր արմատներ

Ինչպես են հաշվարկվում արմատները: Պարզապես

Հաշվարկել խտրականությունը: Այս «սարսափելի» բառի տակ ստում են բավականին պարզ բանաձեւ.

Արմատային բանաձեւերը ունեն հետեւյալ ձեւը.

* Այս բանաձեւերը պետք է իմանան սրտով:

Կարող եք անմիջապես գրել եւ որոշում կայացնել.

Օրինակ:

1. Եթե D\u003e 0, հավասարումը երկու արմատ ունի:

2. Եթե D \u003d 0, հավասարումը ունի մեկ արմատ:

3. Եթե Դ.< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Եկեք նայենք հավասարմանը.

Այս առիթով, երբ խտրականությունը զրո է, դպրոցական դասընթացում ասվում է, որ մեկ արմատն ստացվում է, այստեղ այն հավասար է ինը: Դա ճիշտ է, եւ կա, բայց ...

Այս տեսակետը որոշ չափով սխալ է: Իրականում ձեռք են բերվում երկու արմատ: Այո, մի զարմացեք, ձեռք են բերվում երկու հավասար արմատ, եւ եթե մաթեմատիկորեն ճշգրիտ եք, ապա պատասխանը պետք է գրանցվի երկու արմատ:

x 1 \u003d 3 x 2 \u003d 3

Բայց սա այնքան թեթեւ նահանջ է: Դպրոցում կարող են գրել եւ ասել, որ արմատը մեկն է:

Այժմ հետեւյալ օրինակը հետեւյալն է.

Ինչպես գիտենք, բացասական համարի արմատը չի հանվում, ուստի այս դեպքում լուծումներ չկան:

Դա ամբողջ լուծման գործընթացն է:

Քառանկյուն գործառույթ:

Այստեղ ցույց է տրված, թե ինչպես լուծումը երկրաչափական է թվում: Դա չափազանց կարեւոր է հասկանալ (ապագայում հոդվածներից մեկում մենք մանրամասնորեն կբախմատենք քառակուսի անհավասարության լուծումը):

Սա ձեւի գործառույթն է.

որտեղ X եւ Y- ն փոփոխականներ են

a, B, C - սահմանեք համարներ, ինչով `0

Ժամանակացույցը պարաբոլա է.

Այսինքն, ստացվում է, որ քառակուսի հավասարումը «Y» հավասարեցումը հավասար է զրոյի, մենք գտնում ենք պարաբոլայի խաչմերուկի կետը Axis- ի հետ Axis- ով: Այս կետերը կարող են լինել երկուսը (խտրականություն դրական), մեկը (խտրականություն է զրոյական), եւ ոչ միայն (բացասական խորակարգ): Մանրամասներ քառակուսի գործառույթի մասին Կարող եք դիտել Իննա Ֆելդմանի հոդված:

Դիտարկենք օրինակներ.

Օրինակ 1. Լուծել 2x 2 +8 x.–192=0

a \u003d 2 B \u003d 8 C \u003d -192

D \u003d B. 2 -4ac \u003d 8 2 -4 ∙ 2 ∙ (-192) \u003d 64 + 1536 \u003d 1600

Պատասխան, x 1 \u003d 8 x 2 \u003d -12

* Հնարավոր էր անհապաղ լինել 2-րդ բաժանման հավասարման ձախ եւ աջ, դա պարզեցնելու համար: Հաշվարկները ավելի հեշտ կլինեն:

Օրինակ 2. Որոշել x 2–22 x + 121 \u003d 0

a \u003d 1 B \u003d -22 C \u003d 121

D \u003d B 2 -4ac \u003d (- 22) 2 -4 ∙ 1 ∙ 121 \u003d 484-484 \u003d 0

Ստացված է այդ x 1 \u003d 11 եւ x 2 \u003d 11

Ի պատասխան, թույլատրելի է գրել x \u003d 11:

Պատասխան, x \u003d 11

Օրինակ 3: Որոշել x 2 -8x + 72 \u003d 0

a \u003d 1 B \u003d -8 C \u003d 72

D \u003d B 2 -4ac \u003d (- 8) 2 -4 ∙ 1 ∙ 72 \u003d 64-288 \u003d -224

Խտրականությունը բացասական է, վավեր թվերով լուծումներ չկան:

Պատասխան. Լուծումներ չկան

Խտրականը բացասական է: Լուծումը:

Այստեղ կքննարկվի այդ դեպքում հավասարումը լուծելու մասին, երբ ձեռք է բերվում բացասական խտրականություն: Դուք գիտեք որեւէ բան ինտեգրված համարների մասին: Ես մանրամասն չեմ խոսի այն մասին, թե ինչու եւ որտեղ են դրանք ծագել, եւ որն է նրանց առանձնահատուկ դերը եւ մաթեմատիկայի անհրաժեշտությունը `մեծ առանձին հոդվածի համար թեման է:

Բարդ համարի հայեցակարգը:

Մի քիչ տեսություն:

Բարդ համարը Z կոչվում է տեսակների քանակը

z \u003d A + BI

Որտեղ եւ B- ն վավեր համարներ են, ես `այսպես կոչված երեւակայական միավորը:

a + BI. - Սա մեկ թիվ է, այլ ոչ թե լրացում:

Երեւակայական միավորը հավասար է մինուս միավորների արմատին.

Հիմա հաշվի առեք հավասարումը.

Ստացել են երկու կոնյուկատիվ արմատ:

Թերի քառակուսի հավասարումը:

Դիտարկենք մասնավոր դեպքերը, սա այն դեպքում, երբ «B» գործակիցը կամ «C» -ը զրոյական է (կամ երկուսն էլ զրո են): Դրանք հեշտությամբ լուծվում են առանց որեւէ խտրականության:

Գործ 1. Գործակիցը B \u003d 0:

Հավասարումը ձեռք է բերում ձեւը.

Մենք վերափոխում ենք.

Օրինակ:

4x 2 -16 \u003d 0 \u003d\u003e 4x 2 \u003d 16 \u003d\u003e x 2 \u003d 4 \u003d\u003e x 1 \u003d 2 x 2 \u003d -2

Գործ 2. C \u003d 0 գործակից:

Հավասարումը ձեռք է բերում ձեւը.

Մենք վերափոխվում ենք, դնում ենք բազմապատկիչների վրա.

* Աշխատանքը զրո է, երբ առնվազն բազմապատկերից մեկը զրո է:

Օրինակ:

9x 2 -45x \u003d 0 \u003d\u003e 9x (x-5) \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d 0 կամ x-5 \u003d 0

x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5

Գործ 3. Գործակիցները b \u003d 0 եւ c \u003d 0:

Այստեղ պարզ է, որ հավասարման լուծումը միշտ կլինի x \u003d 0:

Գործակիցների օգտակար հատկություններ եւ ձեւեր:

Կան հատկություններ, որոնք թույլ են տալիս լուծել հավասարումները մեծ գործակիցների հետ:

բայցx. 2 + bx.+ Գ.=0 Հավասարությունը կատարվում է

Ա + Բ + C \u003d 0,որ

- Եթե հավասարման գործակիցների համար բայցx. 2 + bx.+ Գ.=0 Հավասարությունը կատարվում է

Ա + C \u003d.Բ, որ

Այս հատկությունները օգնում են լուծել որոշակի տեսակի հավասարման:

Օրինակ 1. 5001 x. 2 –4995 x. – 6=0

Գործակիցների գումարը 5001+ է ( – 4995)+(– 6) \u003d 0, նշանակում է

Օրինակ 2. 2501 x. 2 +2507 x.+6=0

Հավասարությունը կատարվում է Ա + C \u003d.Բ, Այսպես

Գործակիցների օրենքներ:

1. Եթե կացինում 2 + Bx + C \u003d 0 հավասարման դեպքում «B» գործակիցը հավասար է (A 2 +1), իսկ «C» գործակիցը թվայինորեն հավասար է «ա» գործակիցին, նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (A 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d -a x 2 \u003d -1 / ա.

Օրինակ. Դիտարկենք 6x 2 + 37x + 6 \u003d 0 հավասարումը:

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6:

2. Եթե կացինում 2 - Bx + C \u003d 0 հավասարումը, «B» գործակիցը հավասար է (եւ 2 +1), իսկ «C» գործակիցը հավասար է «ա» գործակիցին, նրա արմատները հավասար են

ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x \u003d A x 2 \u003d 1 / A.

Օրինակ. Հաշվի առեք 15x 2 -226X +15 \u003d 0 հավասարումը:

x 1 \u003d 15 x 2 \u003d 1/15:

3. Եթե հավասարման մեջaX 2 + BX - C \u003d 0 Գործակիցը «B»: հավասար (ա 2) - 1) եւ գործակից «C» գործակիցը Թվայինորեն հավասար է «ա» գործակիցին, Այնուհետեւ նրա արմատները հավասար են

ax 2 + (A 2 -1) ∙ x - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - A x 2 \u003d 1 / A.

Օրինակ. Դիտարկենք 17x 2 + 288x- ի հավասարումը `17 \u003d 0:

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17:

4. Եթե կացինում 2 - Bx - C \u003d 0 հավասարումը, «B» գործակիցը հավասար է (A 2 - 1), իսկ գործակիցը հավասար է «Ա» -ի գործակիցին, նրա արմատները հավասար են

aX 2 - (A 2 -1) ∙ x - A \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d A x 2 \u003d - 1 / A:

Օրինակ. Դիտարկենք 2-րդ հավասարումը 10x 2 - 99x -10 \u003d 0:

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

Վիետա Թեորեմ:

Վիետա Թեորեմը կոչվում է ֆրանսիական հայտնի մաթեմատիկայի անունով Ֆրանսուա Վիետա անունով: Օգտագործելով Վիետա Թեորեմը, դուք կարող եք արտահայտել իր գործակիցների միջոցով կամայական KU- ի արմատների քանակը եւ արտադրանքը:

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

Գումարում, 14-րդ համարը տրվում է ընդամենը 5 եւ 9: Սրանք արմատներ են: Որոշակի հմտությամբ, օգտագործելով շատ քառակուսի հավասարումներով ներկայացված թեորեմը, կարող եք որոշում կայացնել, թե արդյոք կան բանավոր:

Վիետա Թեորեմը, բացի այդ: Դա հարմար է, քանի որ քառակուսի հավասարումը սովորական ձեւով լուծելուց հետո (խտրականության միջոցով) ձեռք բերված արմատները կարող են ստուգվել: Ես խորհուրդ եմ տալիս դա միշտ անել:

Անցման մեթոդ

Այս մեթոդով «Ա» գործակիցը բազմապատկվում է ազատ անդամի կողմից, ասես «շարժվում է» նրան, ուստի այն կոչվում է «Տրանզիտի» մեթոդը:Այս մեթոդը օգտագործվում է այն ժամանակ, երբ հեշտությամբ կարող եք գտնել հավասարման արմատները `օգտագործելով Վիետա Թեորեմը եւ, ամենակարեւորը, երբ խտրականությունը ճշգրիտ հրապարակ է:

Եթե բայց± Բ + Գ.≠ 0, ապա ընդունումը օգտագործվում է, օրինակ.

2Հ. 2 – 11x +.5 = 0 (1) => Հ. 2 – 11x +.10 = 0 (2)

Վիետա Թեորեմի հավասարման մեջ (2) Հեշտ է որոշելը, որ x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Հավասարի ձեռքբերված արմատները պետք է բաժանվեն 2-ի (ինչպես երկու անգամ, X 2-ից «տեղափոխվել է», մենք ձեռք ենք բերում

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5:

Որն է հիմնավորումը: Տեսեք, թե ինչ է պատահում:

Խտրականություն հավասարումները (1) եւ (2) հավասար են.

Եթե \u200b\u200bնայեք հավասարումների արմատներին, ապա ձեռք են բերվում միայն տարբեր դավանիչներ, եւ արդյունքը կախված է X 2-ի գործակիցից.

Երկրորդ (ձեւափոխված) արմատները ձեռք են բերվում 2 անգամ ավելին:

Հետեւաբար, արդյունքը եւ բաժանեք 2-ով:

* Եթե մենք ուղեւորություն ենք նետում, ապա արդյունքը առանձնացված է 3-ով եւ այլն:

Պատասխան, x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5

Քահանա Ur-ye and ege.

Ես համառոտ կասեմ նրա կարեւորության մասին. Դուք պետք է կարողանաք արագ եւ առանց մտածել, արմատների ձեւակերպումները եւ խտրականությունը, դուք պետք է իմանաք սրտով: Օգտագործման առաջադրանքներում ներառված շատ առաջադրանքներ կրճատվում են քառակուսի հավասարման լուծման համար (երկրաչափություն, ներառյալ):

Ինչ տոնել:

1. Ձայնագրման հավասարման ձեւը կարող է լինել «ենթադրյալ»: Օրինակ, այս գրառումը հնարավոր է.

15+ 9x 2 - 45x \u003d 0 կամ 15x + 42 + 9x 2 - 45x \u003d 0 կամ 15 -5x + 10x 2 \u003d 0:

Դուք պետք է այն բերեք ստանդարտ ձեւին (որպեսզի լուծելիս շփոթվել):

2. Հիշեք, որ X- ը անհայտ արժեք է եւ այն կարելի է նշել ցանկացած այլ տառով `T, Q, P, H եւ այլ:

Առաջին մակարդակը

Քառանկյուն հավասարումներ: Սպառիչ ուղեցույց (2019)

«Քառակուսի հավասարման» առումով բանալին «հրապարակ» բառն է: Սա նշանակում է, որ փոփոխականը պետք է առկա լինի հրապարակում հավասարման (նույն IX) հավասարման մեջ, եւ երրորդ (եւ ավելի մեծ) աստիճանի ICS չպետք է լինի ICS:

Շատ հավասարումների լուծումը կրճատվում է ճշգրիտ քառակուսի հավասարումների լուծման համար:

Եկեք սովորենք, թե ինչպես որոշել, որ ունենք քառակուսի հավասարություն, եւ ոչ այլ ոչ:

Օրինակ 1.

Դենոմինատորի եւ դոմենարիայի հավասարման յուրաքանչյուր անդամ կազատվեն

Մենք ամեն ինչ փոխանցում ենք ձախ եւ անդամներին տեղադրում ենք ԻԿԱ-ի աստիճանի իջնող կարգով

Այժմ դուք կարող եք վստահորեն ասել, որ այս հավասարումը քառակուսի է:

Օրինակ 2.

Ներքին ձախ եւ աջ կողմում.

Այս հավասարումը, չնայած այն ի սկզբանե դրանում էր, քառակուսի չէ:

Օրինակ 3.

Գմբեթավորելով բոլորը.

Վախկոտ? Չորրորդ եւ երկրորդ աստիճանը ... Այնուամենայնիվ, եթե մենք փոխարինենք, ապա կտեսնենք, որ մենք ունենք պարզ քառակուսի հավասարություն.

Օրինակ 4.

Թվում է, թե լինեն, բայց եկեք ուշադիր նայենք: Մենք ամեն ինչ ձախ ենք փոխանցում.

Տեսեք, նվազել, եւ այժմ դա պարզ գծային հավասարություն է:

Հիմա փորձեք որոշել, թե հետեւյալ հավասարումներից որն է քառակուսի, իսկ որը ոչ:

Օրինակներ.

Պատասխանները:

հրապարակ;
հրապարակ;
ոչ հրապարակ;
ոչ հրապարակ;
ոչ հրապարակ;
հրապարակ;
ոչ հրապարակ;
Քառակուսի

Մաթեմատիկան պայմանականորեն բաժանեք բոլոր քառակուսի հավասարումները `տեսակից.

Լրիվ քառակուսի հավասարումներ - հավասարումներ, որոնց գործակիցները եւ, ինչպես նաեւ ազատ անդամը հավասար չեն զրոյի (ինչպես օրինակ): Բացի այդ, ամբողջ քառակուսի հավասարումների շրջանում հատկացվում է Ներկայացվել է - Սրանք հավասարումներ են, որոնցում գործակիցը (օրինակից հավասարումը ոչ միայն ավարտված չէ, այլեւ տրվում է):

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ - հավասարումներ, որոնցում գործակիցը եւ ազատ անդամը զրո են.
Անավարտ, որովհետեւ նրանց պակասում է մի տեսակ իրը: Բայց հավասարումը միշտ պետք է ներկա լինի հրապարակում !!! Հակառակ դեպքում, այն չի լինի քառակուսի, բայց մի քանի այլ հավասարություն:

Ինչու եք եկել նման բաժանման: Թվում է, թե հրապարակում կա X, եւ լավ: Նման բաժանումը պայմանավորված է լուծումների մեթոդներով: Հաշվի առեք նրանցից յուրաքանչյուրը ավելի մանրամասն:

Թերի քառակուսի հավասարումների որոշում

Սկսելու համար մենք կդադարենք լուծել թերի քառակուսի հավասարումները. Դրանք շատ ավելի պարզ են:

Անավարտ քառակուսի հավասարումները տեսակներն են.

Այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է:
Այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է:
Այս հավասարման մեջ գործակիցը եւ ազատ անդամը հավասար են:

1. եւ. Ինչպես գիտենք, թե ինչպես հանել քառակուսի արմատ, եկեք արտահայտենք այս հավասարումից

Արտահայտությունը կարող է լինել ինչպես բացասական, այնպես էլ դրական: Քառակուսի մեջ տեղադրված համարը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվով բազմապատկելը. Արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ, որպեսզի եթե հավասարումը լուծումներ չունեն:

Եվ եթե երկու արմատ եք ստանում: Այս բանաձեւերը պետք չէ անգիր անել: Հիմնական բանը, որ դուք պետք է իմանաք եւ հիշեք միշտ, որ այն կարող է ավելի քիչ լինել:

Փորձենք լուծել մի քանի օրինակ:

Օրինակ 5:

Որոշեք հավասարումը

Այժմ մնում է հեռացնել ձախ եւ աջ կողմից: Ի վերջո, հիշում եք, թե ինչպես արմատներ հանել:

Պատասխան:

Երբեք մի մոռացեք բացասական նշանով արմատների մասին !!!

Օրինակ 6:

Որոշեք հավասարումը

Պատասխան:

Օրինակ 7:

Որոշեք հավասարումը

Հա Համարի հրապարակը չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է հավասարություն

Ոչ մի արմատ չկա:

Նման հավասարումների համար, որոնցում արմատներ չկան, մաթեմատիկան հանդես եկավ հատուկ պատկերակով `(դատարկ հավաքածու): Եվ պատասխանը կարող է գրվել որպես.

Պատասխան:

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի: Այստեղ սահմանափակումներ չկան, քանի որ մենք արմատը չենք հանել:
Օրինակ 8:

Որոշեք հավասարումը

Ես ամփոփելու եմ փակագծերը.

Այս կերպ,

Այս հավասարումը երկու արմատ ունի:

Պատասխան:

Անավարտ քառակուսի հավասարումների ամենադյուրին տեսակը (չնայած դրանք բոլորը պարզ են, ճիշտ են): Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Այստեղ մենք կանենք առանց օրինակների:

Լիարժեք քառակուսի հավասարումների լուծում

Հիշեցնում ենք, որ ամբողջ քառակուսի հավասարումը հավասարման հավասարումը է, որտեղ

Լրիվ քառակուսի հավասարումների լուծումը մի փոքր ավելի բարդ է (շատ փոքր-ինչ), քան վերը նշվածը:

Հիշեք, square անկացած քառակուսի հավասարումը կարող է լուծվել `խտրականության օգնությամբ: Նույնիսկ թերի:

Մնացած եղանակները կօգնեն այն ավելի արագ դարձնել, բայց եթե քառակուսի հավասարումների հետ կապված խնդիրներ ունեք, սկսեք լուծումը `խտրականության օգնությամբ:

1. Քառակուսի հավասարումների լուծումը `խտրականության օգնությամբ:

Քառակուսի հավասարումների լուծումը այս եղանակը շատ պարզ է, գլխավորը `հիշել գործողությունների հաջորդականությունը եւ մի քանի բանաձեւ:

Եթե \u200b\u200bհավասարումը առանձնահատուկ ուշադրություն է դարձնում քայլ կատարելու համար: Խտրականություն () մեզ ցույց է տալիս հավասարման արմատների քանակը:

Եթե, ապա բանաձեւը կրճատվում է: Այսպիսով, հավասարումը կունենա մի ամբողջ արմատ:
Եթե, մենք չենք կարողանա արմատից հանել արմատը խտրականությունից: Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատ չունի:

Եկեք վերադառնանք մեր հավասարումներին եւ հաշվի առնենք մի քանի օրինակներ:

Օրինակ 9:

Որոշեք հավասարումը

Քայլ 1 Մենք բաց ենք թողնում:

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք, որ խտրականություն.

Այսպիսով, հավասարումը երկու արմատ ունի:

Քայլ 3.

Պատասխան:

Օրինակ 10:

Որոշեք հավասարումը

Հավասարումը ներկայացված է ստանդարտ ձեւով, այնպես որ Քայլ 1 Մենք բաց ենք թողնում:

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք, որ խտրականություն.

Այսպիսով, հավասարումը ունի մեկ արմատ:

Պատասխան:

Օրինակ 11:

Որոշեք հավասարումը

Հավասարումը ներկայացված է ստանդարտ ձեւով, այնպես որ Քայլ 1 Մենք բաց ենք թողնում:

Քայլ 2.

Մենք գտնում ենք, որ խտրականություն.

Դա չի կարողանա արմատը հանել խտրականությունից: Հավասարման արմատները գոյություն չունեն:

Այժմ մենք գիտենք, թե ինչպես ճիշտ գրել այդպիսի պատասխաններ:

Պատասխան:Ոչ մի արմատ

2. Քառակուսի հավասարումների լուծում `օգտագործելով Վիետա Թեորեմը:

Եթե \u200b\u200bհիշում եք, այսինքն, այսպիսի մի տեսակ հավասարումներ, որոնք կոչվում են ներկայացված (երբ գործակիցը հավասար է).

Նման հավասարումները շատ հեշտ են լուծել `օգտագործելով Վիետա Թեորեմը.

Արմատների գումարը Նշված Քառակուսի հավասարումը հավասար է, իսկ արմատների արտադրանքը հավասար է:

Օրինակ 12:

Որոշեք հավասարումը

Այս հավասարումը հարմար է Վիետա Թեորեմի օգտագործմամբ լուծելու համար, քանի որ ,

Հավասարման արմատների քանակը հավասար է, ես: Մենք ստանում ենք առաջին հավասարումը.

Եվ աշխատանքը հետեւյալն է.

Մենք նույնպես կորոշենք համակարգը.

Եվ Գումարը հավասար է.
Եվ Գումարը հավասար է.
Եվ Գումարը հավասար է:

եւ համակարգի լուծումն են.

Պատասխան: ; .

Օրինակ 13:

Որոշեք հավասարումը

Պատասխան:

Օրինակ 14:

Որոշեք հավասարումը

Հավասարումը տրվում է, ուստի.

Պատասխան:

Քառանկյուն հավասարումներ: Միջին մակարդակ

Ինչ է քառակուսի հավասարումը:

Այլ կերպ ասած, քառակուսի հավասարումը այն տեսակների հավասարությունն է, որտեղ անհայտը որոշ թվեր է, եւ:

Համարը կոչվում է Երեց կամ Առաջին գործակիցը Քառակուսի հավասարումը - Երկրորդ գործակիցը, բայց - free Member.

Ինչու Քանի որ եթե հավասարումը անմիջապես դառնում է գծային, որովհետեւ անհետանալ:

Միեւնույն ժամանակ եւ կարող է լինել զրո: Այս աթոռում հավասարումը կոչվում է թերի: Եթե \u200b\u200bբոլոր բաղադրիչները տեղում են, այսինքն, հավասարությունն ավարտված է:

Քառակուսի հավասարումների տարբեր տեսակների լուծումներ

Թերի քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

Սկսելու համար մենք կվերլուծենք թերի քառակուսի հավասարումների լուծումների մեթոդները `դրանք ավելի հեշտ են:

Կարող եք ընտրել նման հավասարումների տեսակը.

Ես, այս հավասարումում, գործակիցը եւ ազատ անդամը հավասար են:

II. Այս հավասարման մեջ գործակիցը հավասար է:

III. Այս հավասարման մեջ ազատ անդամը հավասար է:

Հիմա հաշվի առեք այս ենթատեսակներից յուրաքանչյուրի լուծումը:

Ակնհայտ է, որ այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ.

Քառակուսի մեջ տեղադրված թիվը չի կարող բացասական լինել, քանի որ երկու բացասական կամ երկու դրական թվով բազմապատկելով, արդյունքը միշտ կլինի դրական թիվ: Հետեւաբար.

Եթե \u200b\u200bհավասարումը լուծումներ չունի.

Եթե \u200b\u200bմենք երկու արմատ եմ սովորել

Այս բանաձեւերը պետք չէ անգիր անել: Հիմնական բանը `հիշել, որ այն կարող է պակաս լինել:

Օրինակներ.

Լուծումներ.

Պատասխան:

Երբեք մի մոռացեք արմատների մասին բացասական նշանով:

Համարի հրապարակը չի կարող բացասական լինել, ինչը նշանակում է հավասարություն

Ոչ մի արմատ չկա:

Հակիրճ արձանագրել, որ առաջադրանքը լուծում չունի, օգտագործեք դատարկ հավաքածու պատկերակ:

Պատասխան:

Այսպիսով, այս հավասարումը երկու արմատ ունի. Եւ.

Պատասխան:

Ես գործարանը կամփոփեմ փակագծերի համար.

Ապրանքը զրո է, եթե բազմապատկերից առնվազն մեկը զրո է: Սա նշանակում է, որ հավասարումը լուծում ունի, երբ.

Այսպիսով, այս քառակուսի հավասարումը երկու արմատ ունի. Եւ.

Օրինակ:

Որոշեք հավասարումը:

Որոշում.

Տարածեք գործարանի հավասարման ձախ մասը եւ գտեք արմատները.

Պատասխան:

Լրիվ քառակուսի հավասարումների լուծման մեթոդներ.

1. Խտրականություն

Քառակուսի հավասարումների լուծումն այս եղանակով հեշտ է, գլխավորը `հիշել գործողությունների հաջորդականությունը եւ մի քանի բանաձեւեր: Հիշեք, որ ցանկացած քառակուսի հավասարումը կարող է լուծվել խտրականության օգնությամբ: Նույնիսկ թերի:

Նկատել եք արմատի բանաձեւում խտրականության արմատը: Բայց խտրականությունը կարող է բացասական լինել: Ինչ անել? Մենք պետք է հատուկ ուշադրություն դարձնենք քայլին 2. Խտրականը մեզ ցույց է տալիս հավասարման արմատների քանակը:

Եթե \u200b\u200bհավասարումը արմատ ունի.
Եթե \u200b\u200bհավասարումը նույն արմատն ունի, եւ իրականում, մեկ արմատ:
Նման արմատները կոչվում են կրկնակի:
Եթե, խտրականության արմատը չի հանվում: Սա ցույց է տալիս, որ հավասարումը արմատ չունի:

Ինչու է հնարավոր տարբեր թվով արմատներ: Եկեք դիմենք հրապարակի հավասարման երկրաչափական իմաստին: Գործառույթի գրաֆիկը պարաբոլա է.

Որոշակի դեպքում, որը քառակուսի հավասարություն է: Եվ սա նշանակում է, որ քառակուսի հավասարման արմատները խաչմերուկի կետերն են `Abscissa (առանցքի) առանցքի հետ: Պարաբոլան կարող է ընդհանրապես առանցքը չանցնել, կամ անցնել այն մեկում (երբ պարաբոլայի գագաթը գտնվում է առանցքի վրա) կամ երկու միավոր:

Բացի այդ, գործակիցը պատասխանատու է պարաբոլայի ճյուղերի ուղղության համար: Եթե, պարաբոլայի մասնաճյուղերը ուղղված են դեպի վեր, եւ եթե այն իջնի:

Օրինակներ.

Լուծումներ.

Պատասխան:

Այսպիսով, լուծումներ չկան:

Պատասխան:

2. Վիետա Թեորեմ

Վիետայի թեորեմը շատ հեշտ է օգտագործել. Դուք պարզապես անհրաժեշտ է վերցնել այդպիսի մի քանի թվեր, որի արտադրանքը հավասար է հավասարման ազատ անդամի, իսկ գումարի չափը `հակառակ նշանով վերցված երկրորդ գործակիցը:

Կարեւոր է հիշել, որ Վիետայի թեորեմը կարող է օգտագործվել միայն Նվազեցված քառակուսի հավասարումներ ():

Դիտարկենք մի քանի օրինակ.

Օրինակ 1:

Որոշեք հավասարումը:

Որոշում.

Այս հավասարումը հարմար է Վիետա Թեորեմի օգտագործմամբ լուծելու համար, քանի որ , Մնացած գործակիցները. ,

Հավասարման արմատների չափը հետեւյալն է.

Եվ աշխատանքը հետեւյալն է.

Մենք կընտրենք այդպիսի զույգ թվեր, որի արտադրանքը հավասար է, եւ ստուգեք, թե արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

Եվ Գումարը հավասար է.
Եվ Գումարը հավասար է.
Եվ Գումարը հավասար է:

եւ համակարգի լուծումն են.

Այսպիսով, մեր հավասարման արմատները:

Պատասխան: ,

Օրինակ 2-րդ օրինակ.

Որոշում.

Մենք կընտրենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնք տրված են աշխատանքում, այնուհետեւ ստուգեք, արդյոք դրանց գումարը հավասար է.

Եւ. Այն գումարի չափով:

Եւ. Այն գումարի չափով: Բավականին բավարար չափով պարզապես փոխելու ենթադրյալ արմատների նշանները. Եւ, քանի որ աշխատանքը:

Պատասխան:

Օրինակ, թիվ 3:

Որոշում.

Հավասարման անվճար անդամը բացասական է, ինչը նշանակում է արմատների արտադրանք `բացասական թիվ: Դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, եթե արմատներից մեկը բացասական է, իսկ մյուսը դրական է: Հետեւաբար արմատների քանակը հավասար է Իրենց մոդուլների տարբերությունները.

Մենք կընտրենք այնպիսի զույգ թվեր, որոնք տրված են աշխատանքում, եւ որի տարբերությունը հավասար է.

եւ. դրանց տարբերությունը հավասար է `հարմար չէ.

եւ. - հարմար չէ.

Եւ. - հարմար: Մնում է միայն հիշել, որ արմատներից մեկը բացասական է: Քանի որ դրանց գումարը պետք է հավասար լինի, ապա բացասականը պետք է լինի ավելի փոքր արմատային մոդուլ: Ստուգեք.

Պատասխան:

Օրինակ, թիվ 4:

Որոշեք հավասարումը:

Որոշում.

Հավասարումը տրվում է, ուստի.

Ազատ անդամը բացասական է, եւ, հետեւաբար, արմատների արտադրանքը բացասական է: Եվ դա հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ հավասարման մեկ արմատը բացասական է, իսկ մյուսը դրական է:

Մենք կընտրենք այդպիսի զույգ թվեր, որի արտադրանքը հավասար է, եւ հետո մենք սահմանում ենք, թե որ արմատները պետք է ունենան բացասական նշան.

Ակնհայտ է, որ միայն արմատները հարմար են առաջին վիճակի համար եւ.

Պատասխան:

Օրինակ 5:

Որոշեք հավասարումը:

Որոշում.

Հավասարումը տրվում է, ուստի.

Արմատների քանակը բացասական է, ինչը նշանակում է, որ արմատներից գոնե մեկը բացասական է: Բայց քանի որ նրանց աշխատանքը դրական է, նշանակում է երկու արմատներ `մինուս նշանով:

Մենք կընտրենք այդպիսի զույգ թվեր, որի արտադրանքը հետեւյալն է.

Ակնհայտ է, որ արմատները համարներ են եւ:

Պատասխան:

Համաձայնեք, դա շատ հարմար է `արմատներ հորինել բանավոր, փոխարենը հաշվի առնելով այս տհաճ խտրականություն: Փորձեք հնարավորինս օգտագործել Վիետայի թեորեմը:

Բայց Վիետա Թեորեմը անհրաժեշտ է արմատների հայտնաբերումը հեշտացնելու եւ արագացնելու համար: Այն օգտագործելու համար այն, դուք պետք է գործողություն բերեք ավտոմատիզմի: Եվ դրա համար զրպարտեք ավելի շատ կրունկներ օրինակներ: Բայց ոչ թե մասշտաբում. Խտրականը չի կարող օգտագործվել: Միայն Վիետա Թեորեմ.

Անկախ աշխատանքի համար առաջադրանքի լուծումներ.

Առաջադրանք 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Վիետա Թեորեմի վրա.

Ինչպես միշտ, մենք սկսում ենք աշխատանքի ընտրությունը.

Չի տեղավորվում, քանի որ գումարը.

Գումար - այն, ինչ ձեզ հարկավոր է:

Պատասխան: ,

Առաջադրանք 2.

Եվ կրկին, մեր սիրած Վիետա Թեորեմը. Գումարի մեջ պետք է ստացվի, եւ աշխատանքը հավասար է:

Բայց քանի որ այն չպետք է լինի, բայց փոխեք արմատների նշանները. Եւ (Գումարի մեջ):

Պատասխան: ,

Առաջադրանք 3.

Հմմ ... եւ որտեղ է:

Անհրաժեշտ է բոլոր ժամկետները փոխանցել մեկ մասում.

Արմատների քանակը հավասար է, աշխատանքը:

Այսպիսով, կանգ առեք: Հավասարումը չի տրվում: Բայց Վիետա Թեորեմը կիրառելի է միայն վերը նշված հավասարումներում: Այսպիսով, նախ պետք է բերել հավասարումը: Եթե \u200b\u200bդուք չեք աշխատում, նետեք այս գաղափարը եւ որոշեք այլ կերպ (օրինակ, խտրականության միջոցով): Հիշեցնեմ ձեզ, որ քառակուսի հավասարումը բերում է. Դա նշանակում է ավագ գործակիցը դարձնել.

Գերազանց Այնուհետեւ արմատների քանակը հավասար է, իսկ աշխատանքը:

Այստեղ ավելի հեշտ է պարզ վերցնել. Ի վերջո, պարզ համար (կներեք տաուտոլոգիայի համար):

Պատասխան: ,

Առաջադրանք 4.

Անվճար անդամը բացասական է: Ինչն է առանձնահատուկ: Եվ այն փաստը, որ արմատները տարբեր նշաններ կլինեն: Եվ հիմա ընտրության ընթացքում մենք չենք ստուգում արմատների քանակը, բայց դրանց մոդուլների տարբերությունը. Այս տարբերությունը հավասար է, եւ աշխատանքը:

Այնպես որ, արմատները հավասար են եւ, բայց դրանցից մեկը մինուսով: Վիետա Թեորեմը մեզ ասում է, որ արմատների քանակը հավասար է երկրորդ գործակիցին հակառակ նշանով, այսինքն: Այնպես որ, մինուսը կլինի ավելի փոքր արմատում. Եւ, քանի որ:

Պատասխան: ,

Առաջադրանք 5.

Ինչ է պետք անել նախ: Right իշտ է, բերեք հավասարումը.

Կրկին. Մենք ընտրում ենք համարի բազմապատկերը, եւ դրանց տարբերությունը պետք է հավասար լինի.

Արմատները հավասար են եւ, բայց դրանցից մեկը մինուսով: Ինչ? Նրանց գումարը պետք է լինի հավասար, նշանակում է, որ մինուսը ավելի մեծ արմատ կլինի:

Պատասխան: ,

Ես ամփոփեմ.

Վիետա Թեորեմը օգտագործվում է միայն տվյալ քառակուսի հավասարումներում:
Օգտագործելով Վիետա Թեորեմը, կարող եք գտնել արմատները ընտրության, բանավոր:
Եթե \u200b\u200bհավասարումը չի տրված, կամ չկա ազատ անդամի համապատասխան զույգ, ինչը նշանակում է, որ ոչ մի ամբողջ արմատ չկա, եւ անհրաժեշտ է լուծել մեկ այլ մեթոդ (օրինակ, խտրականության միջոցով):

3. Ամբողջ հրապարակ բաշխման եղանակը

Եթե \u200b\u200bբոլոր պայմանները, որոնք կապված են անհայտ, գումարի կամ տարբերության կրճատման բաղադրիչների բաղադրիչների տեսքով, ապա փոփոխականները փոխարինելուց հետո կարող է ներկայացվել տիպի թերի հավասարության տեսքով հավասարումը ,

Օրինակ:

Օրինակ 1.

Որոշեք հավասարումը.

Որոշում.

Պատասխան:

Օրինակ 2.

Որոշեք հավասարումը.

Որոշում.

Պատասխան:

Ընդհանրապես, վերափոխումը նման կլինի.

Սա ենթադրում է.

Ոչինչ չի հիշեցնում: Սա խտրական է: Դա այն է, խտրականության եւ ստացված բանաձեւը:

Քառանկյուն հավասարումներ: Հակիրճ հիմնական բանի մասին

Քառանկյուն հավասարումը- Սա տեսակների հավասարությունն է, որտեղ `անհայտ, - հրապարակի հավասարման գործակիցները ազատ անդամ են:

Ամբողջ քառակուսի հավասարումը - հավասարումը, որում գործակիցները հավասար չեն զրոյի:

Նվազեցված քառակուսի հավասարումը - հավասարումը, որում գործակիցը հետեւյալն է.

Անավարտ քառակուսի հավասարումը - հավասարումը, որում գործակիցը եւ ազատ անդամը զրոյի է.

Եթե \u200b\u200bգործակիցը, հավասարումը հետեւյալն է.
Եթե \u200b\u200bազատ անդամ, հավասարումը ձեւ է,
Եթե \u200b\u200bհավասարումը ձեւը ունի.

1. Ալգորիթմի լուծում անավարտ քառակուսի հավասարումներ

1.1. Անավարտ քառակուսի հավասարումը, որտեղ, որտեղ,

1) արտահայտել անհայտը.

2) արտահայտման նշանի ստուգում.

Եթե \u200b\u200bհավասարումը լուծումներ չունի,
Եթե \u200b\u200bհավասարումը երկու արմատ ունի:

1.2. Անավարտ քառակուսի հավասարումը, որտեղ, որտեղ,

1) Ես կամփոփեմ գործարանը փակագծերի համար.

2) Ապրանքը զրո է, եթե Multiplier- ի գոնե մեկը զրո է: Հետեւաբար, հավասարումը երկու արմատ ունի.

1.3. Տեսակների թերի քառակուսի հավասարումը, որտեղ.

Այս հավասարումը միշտ ունի միայն մեկ արմատ:

2. Ալգորիթմ `տեսակների ամբողջական քառակուսի հավասարումների լուծման համար, որտեղ

2.1. Լուծում `խտրականության օգնությամբ

1) հավասարումը տալիս ենք ստանդարտ ձեւին.

2) Հաշվարկեք խտրականությունը ըստ բանաձեւի, ինչը ցույց է տալիս հավասարման արմատների քանակը.

3) գտեք հավասարման արմատները.

Եթե \u200b\u200bհավասարումը ունի մի արմատ, որը բանաձեւում է.
Եթե \u200b\u200bհավասարումը ունի արմատը, որը բանաձեւով է.
Եթե \u200b\u200bհավասարումը արմատներ չունի:

2.2. Լուծում, օգտագործելով Վիետա Թեորեմը

Նվազեցված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը (ձեւի հավասարումը, որտեղ) հավասար է, եւ արմատների արտադրանքը հավասար է, ես: , բայց.

2.3. Լիալ հրապարակի լուծման մեթոդի մեթոդ

Պարզապես Ըստ բանաձեւերի եւ հստակ պարզ կանոնների: Առաջին փուլում

Անհրաժեշտ է, որ նշված հավասարումը տանի ստանդարտ ձեւին, այսինքն: Մտածել.

Եթե \u200b\u200bհավասարումը տրված է այս ձեւով, առաջին փուլը անհրաժեշտ չէ: Ամենակարեւորը ճիշտ է

Որոշեք բոլոր գործակիցները բայց, Բ մի քանազոր Գ..

Քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու բանաձեւը:

Արմատի նշանի տակ նշված արտահայտությունը կոչվում է խտրականություն , Ինչպես տեսնում եք, IQUA- ն գտնելու համար մենք

Թեթլ Միայն A, B եւ հետ. Նրանք: Գործակիցներ Քառակուսի հավասարումը, Պարզապես կոկիկորեն փոխարինված

Արժեքներ ա, բ եւ հետ Այս բանաձեւում եւ մենք համարում ենք: Փոխարինել այդպես Չարակամ Նշաններ:

օրինակ, հավասարման մեջ.

բայց =1; Բ = 3; Գ. = -4.

Մենք փոխարինում ենք արժեքներին եւ գրում.

Օրինակ, գործնականում լուծվում է.

Սա է պատասխանը:

Ամենատարածված սխալները `խառնաշփոթ արժեքների նշաններով Ա, Բ.մի քանազոր դեպի, Փոխարենը, փոխարինմամբ

Արմատների հաշվարկման բանաձեւում բացասական արժեքներ: Այստեղ DEPASS բանաձեւի մանրամասն մուտք

Հատուկ թվերով: Եթե \u200b\u200bկան հաշվարկների հետ կապված խնդիրներ, դա արեք:

Ենթադրենք, որ անհրաժեշտ է նման օրինակ լուծել.

Այստեղ Ա = -6; Բ = -5; Գ. = -1

Մենք ամեն ինչ մանրամասն նկարագրում ենք, ուշադիր, ես ոչինչ չեմ կարոտում բոլոր նշաններով եւ փակագծերով.

Հաճախ քառակուսի հավասարումները մի փոքր այլ տեսք ունեն: Օրինակ, այսպես.

Եվ այժմ հաշվի առեք գործնական տեխնիկայի մասին, որոնք կտրուկ նվազեցնում են սխալների քանակը:

Ընդունելությունը նախ, Նախկինում մի ծույլ եղիր Քառակուսի հավասարումը լուծելով բերեք այն ստանդարտ ձեւին:

Ինչ է սա նշանակում?

Ենթադրենք, բոլոր վերափոխումներից հետո դուք ստացել եք այդպիսի հավասարություն.

Մի շտապեք գրել արմատային բանաձեւը: Գրեթե հավանաբար, դուք շփոթում եք գործակիցներին Ա, Բ եւ Ս.

Ճիշտ օրինակ կառուցեք: Նախ, X- ը հրապարակում է, ապա առանց քառակուսի, ապա ազատ դիկ: Սրա նման:

Ազատվել մինուսից: Ինչպես Անհրաժեշտ է բազմապատկել ամբողջ հավասարումը -1-ին: Մենք ստանում ենք.

Բայց հիմա կարող եք ապահով կերպով արձանագրել արմատների բանաձեւը, հաշվի առեք խտրական եւ օրինակը:

Նստեք ինքներդ: Դուք պետք է ունենաք 2 եւ -1 արմատներ:

Ընդունում երկուսը: Ստուգեք արմատները: Միջոցով Վիետա Թեորեմ.

Լռելյայն քառակուսի հավասարումները լուծելու համար: Եթե \u200b\u200bգործակիցը

x 2 + bx + c \u003d 0,

ապա x 1 x 2 \u003d C

x 1 + x 2 \u003d -Բ

Ամբողջական քառակուսի հավասարման համար, որի մեջ Ա ≠ 1::

x 2 +:Բx +.Գ.=0,

Մենք բոլոր հավասարումը բաժանում ենք բայց

→ →

Որտեղ x 1 մի քանազոր x. 2 - արմատների հավասարումը:

Վերցնելով երրորդը, Եթե \u200b\u200bձեր հավասարման մեջ կան կոտորակային գործակիցներ, - Ազատեք ֆրակցիաներից: Գակայություն

Հավասարումը ընդհանուր նշանակողի վրա:

Արդյունք Գործնական խորհուրդներ.

1. Լուծելուց առաջ մենք քառակուսի հավասարություն ենք տալիս ստանդարտ ձեւին, կառուցենք այն ճիշտ.

2. Եթե բացասական գործակիցը կանգնած է քառակուսի հրապարակում գտնվող հրապարակում, վերացրեք այն բազմապատկելով

Հավասարումներ -1-ի վրա:

3. Եթե կոտորակային գործակիցները վերացնում են մասնաբաժինը `բազմապատկելով համապատասխան հավասարումը համապատասխան

Գործոն:

4. Եթե x- ը քառակուսի է - մաքուր, գործակիցը հավասար է մեկին, լուծումը կարող է հեշտությամբ ստուգվել

Քառակուսի հավասարումները ուսումնասիրվում են 8-րդ դասարանում, այնպես որ այստեղ դժվար չկա: Դրանք լուծելու ունակությունը բացարձակապես անհրաժեշտ է:

Քառակուսի հավասարումը AX 2 + Bx + C \u003d 0-ի ձեւի հավասարումը է, որտեղ գործակիցները A, B եւ C գործակիցները կամայական համարներ են, իսկ ≠ 0:

Որոշումների հատուկ մեթոդներ ուսումնասիրելուց առաջ մենք նշում ենք, որ բոլոր քառակուսի հավասարումները կարելի է բաժանել երեք դասի.

Արմատներ չունեն.
Ունեն որոշակի մեկ արմատ;
Ունեն երկու տարբեր արմատներ:

Սա կարեւոր տարբերություն է գծային հավասարումների միջեւ, որտեղ արմատը միշտ գոյություն ունի եւ եզակի է: Ինչպես որոշել, թե քանի արմատ ունի հավասարումը: Դրա համար կա հիանալի բան - խտրականություն.

Խտրականություն

Թող քառակուսի հավասարումը կացինը 2 + bx + c \u003d 0. Այնուհետեւ խտրականությունը պարզապես D \u003d B 2 - 4Ac է:

Այս բանաձեւը պետք է հայտնի լինի սրտով: Որտեղ նա վերցնում է. Հիմա նշանակություն չունի: Այլ Դա կարեւոր է. Խտրականի նշանը կարող է որոշվել, թե քանի արմատ ունի քառակուսի հավասարություն: Այսինքն:

Եթե \u200b\u200bդ< 0, корней нет;
Եթե \u200b\u200bD \u003d 0, կա ճիշտ մեկ արմատ;
Եթե \u200b\u200bD\u003e 0, կլինեն երկու արմատ:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ. Խտրականը ցույց է տալիս արմատների քանակը, եւ ընդհանրապես ոչ նրանց նշանների վրա, ինչ-ինչ պատճառներով շատերը կարծում են: Նայեք օրինակներին. Եւ դուք կհասկանաք ամեն ինչ.

Առաջադրանք: Քանի արմատ կա քառակուսի հավասարումներ.

x 2 - 8x + 12 \u003d 0;

5x 2 + 3x + 7 \u003d 0;

x 2 - 6x + 9 \u003d 0:

Մենք առաջացնում ենք գործակիցներին առաջին հավասարման համար եւ գտնում ենք, որ խտրականությունը.
a \u003d 1, B \u003d -8, C \u003d 12;
D \u003d (-8) 2 - 4 · 1 12 \u003d 64 - 48 \u003d 16

Այսպիսով, խտրականությունը դրական է, ուստի հավասարումը երկու տարբեր արմատ ունի: Նմանապես, ապամոնտաժել երկրորդ հավասարումը.
a \u003d 5; բ \u003d 3; C \u003d 7;
D \u003d 3 2 - 4 · 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131:

Խտրականությունը բացասական է, ոչ արմատ: Վերջին հավասարումը մնում է.
a \u003d 1; B \u003d -6; C \u003d 9;
D \u003d (-6) 2 - 4 · 1 9 \u003d 36 - 36 \u003d 0:

Խտրուկը զրո է. Արմատը կլինի մեկը:

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ յուրաքանչյուր հավասարման համար գործակիցները լիցքաթափվել են: Այո, երկար ժամանակ է, այո, դա հոգնեցուցիչ է, բայց դուք չեք շփոթի գործակիցներին եւ թույլ չեք տալիս հիմար սխալներ թույլ տալ: Ընտրեք ինքներդ ձեզ, արագություն կամ որակ:

Ի դեպ, եթե «ձեռքը լցնեք», մի որոշ ժամանակ անց այլեւս անհրաժեշտ չէ գրել բոլոր գործակիցները: Նման գործողություններ, որոնք դուք կկատարվեն ձեր գլխում: Մարդկանց մեծամասնությունը սկսում է դա անել, որ ինչ-որ տեղ 50-70-ից հետո լուծված հավասարումներ. Ընդհանրապես, ոչ այնքան:

Արմատների քառակուսի հավասարումը

Մենք հիմա հերթը դառնում ենք, ըստ որոշման: Եթե \u200b\u200bխտրականություն d\u003e 0, արմատները կարելի է գտնել բանաձեւերով.

Քառակուսի հավասարման արմատների հիմնական բանաձեւը

Երբ D \u003d 0, դուք կարող եք օգտագործել այս բանաձեւերից որեւէ մեկը `դա կլինի նույն թիվը, որը կլինի պատասխանը: Վերջապես, եթե դ< 0, корней нет — ничего считать не надо.

x 2 - 2x - 3 \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x 2 + 12x + 36 \u003d 0:

Առաջին հավասարումը.
x 2 - 2x - 3 \u003d 0 ⇒ A \u003d 1; B \u003d -2; C \u003d -3;
D \u003d (-2) 2 - 4 · 1 (-3) \u003d 16:

D\u003e 0 ⇒ Հավասարումը երկու արմատ ունի: Գտիր նրանց:

Երկրորդ հավասարումը.
15 - 2x - x 2 \u003d 0 ⇒ A \u003d -1; B \u003d -2; C \u003d 15;
D \u003d (-2) 2 - 4 · (-1) · 15 \u003d 64:

D\u003e 0 ⇒ Հավասարումը կրկին ունի երկու արմատ: Մենք գտնում ենք դրանք

\\ [\\ bliness (հավասարեցնել) & ((x) _ (1)) \u003d \\ frac (2+ \\ sqrt (64)) (2 \\ CDOT \\ ձախ (-1 \\ աջ)) \u003d - 5; \\\\ & ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2- \\ sqrt (64)) (2 \\ CDOT \\ ձախ (-1 \\ աջ)) \u003d 3. \\\\ \\ end (հավասարեցնել) \\]

Վերջապես, երրորդ հավասարումը.
x 2 + 12x + 36 \u003d 0 ⇒ A \u003d 1; B \u003d 12; C \u003d 36;
D \u003d 12 2 - 4 · 1 36 \u003d 0:

D \u003d 0 ⇒ Հավասարումը մեկ արմատ ունի: Կարող եք օգտագործել ցանկացած բանաձեւ: Օրինակ, առաջինը.

Ինչպես երեւում է օրինակներից, ամեն ինչ շատ պարզ է: Եթե \u200b\u200bդուք գիտեք բանաձեւը եւ կկարողանաք հաշվի առնել, խնդիրներ չեն լինի: Ամենից հաճախ սխալները տեղի են ունենում փոխարինման ընթացքում բացասական գործակիցների բանաձեւում: Այստեղ, կրկին նկարագրված ընդունելությունը կօգնի. Բառացիորեն նայեք բանաձեւին, նկարեք ամեն քայլափոխի եւ շատ շուտով ազատվեք սխալներից:

Անավարտ քառակուսի հավասարումներ

Պատահում է, որ քառակուսի հավասարումը փոքր-ինչ տարբերվում է սահմանումից տրվածից: Օրինակ:

x 2 + 9x \u003d 0;
x 2 - 16 \u003d 0:

Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարումներում տերմիններից մեկը չկա: Նման քառակուսի հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են, քան ստանդարտ. Նրանք նույնիսկ կարիք չունեն դիտարկել խտրականությունը: Այսպիսով, մենք ներկայացնում ենք նոր հայեցակարգ.

Կացինը 2 + bx + c \u003d 0 հավասարումը կոչվում է թերի քառակուսի հավասարություն, եթե B \u003d 0 կամ C \u003d 0, I.E: Փոփոխական x կամ անվճար տարրի գործակիցը զրոյական է:

Իհարկե, բոլորովին բարդ դեպք հնարավոր է, երբ այս գործակիցներն էլ զրո են. B \u003d C \u003d 0. Այս դեպքում հավասարումը վերցնում է կացինը 2 \u003d 0. Նման հավասարումը ունի մեկ արմատ, x \u003d 0 ,

Դիտարկենք մնացած դեպքերը: Թող B \u003d 0 լինի 0, ապա մենք ստանում ենք թերի քառակուսի, կացին 2 + C \u003d 0. 0. Մենք մի փոքր վերափոխենք:

Քանի որ թվաբանական քառակուսի արմատը գոյություն ունի միայն ոչ բացասական թվից, վերջին հավասարությունը իմաստ ունի բացառապես (-C / A) ≥ 0. Եզրակացություն.

Եթե \u200b\u200bAx 2 + C \u003d 0 ձեւի թերի քառակուսի հավասարման դեպքում կատարվում է ≥ 0-ը, կլինի երկու արմատ: Բանաձեւը տրված է վերեւում.
Եթե \u200b\u200b(-C / ա)< 0, корней нет.

Ինչպես տեսնում եք, խտրականությունը կարիք չուներ `թերի քառակուսի հավասարումներ չկան բարդ հաշվարկներ: Իրականում, նույնիսկ անհրաժեշտ չէ հիշել անհավասարությունը (-C / ա) ≥ 0. Բավական է արտահայտել x 2-ի արժեքը եւ տեսնել, թե ինչն է կանգնած հավասարության նշանի մյուս կողմում: Եթե \u200b\u200bկա դրական թիվ, արմատները երկուսն են լինելու: Եթե \u200b\u200bբացասական - արմատները ընդհանրապես չեն լինի:

Այժմ մենք կհասկանանք Ax 2 + Bx \u003d 0-ի հավասարումների հետ, որոնցում անվճար տարրը զրո է: Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. Արմատները միշտ երկուսն են լինելու: Բավական է քայքայվել բազմապատկերի բազմամյա.

Բլոկատի բազմապատկիչ

Աշխատանքը զրո է, երբ առնվազն բազմապատկերից մեկը զրո է: Այստեղից կան արմատներ: Եզրափակելով, մենք վերլուծելու ենք մի քանի նման հավասարումներ.