Trupmenų dauginimas ir dalijimas.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai...“)

Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primename, kad norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:

Pavyzdžiui:

Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia čia jo...

Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:

Pavyzdžiui:

Jei susiduriate su daugyba ar padalijimu su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:

Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:

Kaip aš galiu konvertuoti šią trupmeną į padoriai atrodantis? Taip, labai paprasta! Naudokite dviejų taškų padalijimą:

Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų trupmenoje nesunku suklysti. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:

Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):

Antroje (išraiška dešinėje):

Ar jaučiate skirtumą? 4 ir 1/9!

Kas lemia padalijimo tvarką? Arba su skliaustais, arba (kaip čia) su horizontalių linijų ilgiu. Lavink akis. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:

tada padalinti ir dauginti eilės tvarka, iš kairės į dešinę!

Ir dar viena labai paprasta ir svarbi technika. Veiksmuose su laipsniais tai bus jums labai naudinga! Padalinkime vieną iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:

Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.

Štai viskas operacijų su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau jis suteikia daugiau nei pakankamai klaidų. Pastaba praktinių patarimų, ir jų (klaidų) bus mažiau!

Praktiniai patarimai:

1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Nėra bendri žodžiai, ne geri linkėjimai! Tai labai reikalinga! Atlikite visus vieningo valstybinio egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, sutelktą ir aiškią. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei sujaukti atliekant protinį skaičiavimą.

2. Pavyzdžiuose su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastas trupmenas.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol jos sustos.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.

Štai užduotys, kurias būtinai turite atlikti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šia tema skirta medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių sugebėjote teisingai išspręsti. Pirmasis kartas! Be skaičiuoklės! Ir padarykite teisingas išvadas...

Atminkite – teisingas atsakymas yra gautas iš antro (ypač trečio) karto nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.

Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, jau pasiruošimas vieningam valstybiniam egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame kitą. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Bet tik Tada pažiūrėk atsakymus.

Apskaičiuoti:

Ar apsisprendei?

Ieškome atsakymų, atitinkančių jūsų. Sąmoningai surašiau juos netvarkingai, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, parašyti kabliataškiais.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko, aš džiaugiuosi už jus! Pagrindiniai skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...

Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Bet tai išsprendžiamas Problemos.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Norėdami išspręsti įvairias matematikos ir fizikos kursų problemas, turite padalyti trupmenas. Tai labai lengva padaryti, jei žinai tam tikros taisyklės atlikti šią matematinę operaciją.

Prieš pereidami prie trupmenų padalijimo taisyklės formulavimo, prisiminkime keletą matematinių terminų:

1. Viršutinė trupmenos dalis vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu.
2. Dalijant skaičiai vadinami taip: dividendas: daliklis = koeficientas

Kaip padalinti trupmenas: paprastosios trupmenos

Norėdami padalinti dvi paprastas trupmenas, padauginkite dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės. Ši trupmena taip pat vadinama apversta, nes ji gaunama sukeitus skaitiklį ir vardiklį. Pavyzdžiui:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kaip padalinti trupmenas: mišrios frakcijos

Jei turime padalyti mišrias trupmenas, tada viskas čia taip pat gana paprasta ir aišku. Pirmiausia verčiame mišri frakcijaį taisyklingą netinkamą trupmeną. Norėdami tai padaryti, padauginkite tokios trupmenos vardiklį iš sveikojo skaičiaus ir pridėkite skaitiklį prie gautos sandaugos. Dėl to gavome naują mišrios trupmenos skaitiklį, tačiau jo vardiklis išliks nepakitęs. Be to, trupmenų padalijimas bus atliekamas lygiai taip pat, kaip ir paprastų trupmenų padalijimas. Pavyzdžiui:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kaip padalyti trupmeną iš skaičiaus

Norint padalyti paprastąją trupmeną iš skaičiaus, pastaroji turėtų būti rašoma trupmena (netaisyklinga). Tai padaryti labai paprasta: vietoje skaitiklio rašomas šis skaičius, o tokios trupmenos vardiklis lygus vienam. Atliekamas tolesnis padalijimas įprastu būdu. Pažvelkime į tai su pavyzdžiu:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kaip padalinti po kablelio

Dažnai suaugusiam žmogui be skaičiuoklės pagalbos sunku padalyti sveiką skaičių ar dešimtainę trupmeną iš dešimtainės trupmenos.

Taigi, norint padalinti po kablelio skaičių, tereikia išbraukti kablelį daliklyje ir nustoti į tai kreipti dėmesį. Dividenduose kablelis turi būti perkeltas į dešinę tiksliai tiek vietų, kiek buvo daliklio trupmeninėje dalyje, prireikus pridedant nulius. Ir tada jie atlieka įprastą padalijimą iš sveikojo skaičiaus. Kad tai būtų aiškiau, apsvarstykite šį pavyzdį.

Trupmena yra viena ar daugiau visumos dalių, kuri paprastai laikoma viena (1). Kaip ir su natūraliaisiais skaičiais, su trupmenomis galite atlikti visas pagrindines aritmetines operacijas (sudėti, atimti, dalyti, dauginti), turite žinoti darbo su trupmenomis ypatybes ir atskirti jų tipus. Yra keletas trupmenų tipų: dešimtainės ir paprastosios arba paprastosios. Kiekvienas trupmenų tipas turi savo specifiką, tačiau gerai supratę, kaip su jais elgtis, galėsite išspręsti bet kokius pavyzdžius su trupmenomis, nes žinosite pagrindinius aritmetinių skaičiavimų su trupmenomis principus. Pažvelkime į pavyzdžius, kaip padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus naudojant skirtingų tipų trupmenas.

Kaip padalyti paprastąją trupmeną iš natūralusis skaičius?
Paprastosios arba paprastosios trupmenos yra parašytos skaičių santykio forma, kai trupmenos viršuje nurodomas dividendas (skaitiklis), o apačioje - trupmenos daliklis (vardiklis). Kaip padalyti tokią trupmeną iš sveikojo skaičiaus? Pažiūrėkime į pavyzdį! Tarkime, kad reikia padalyti 8/12 iš 2.

Norėdami tai padaryti, turime atlikti keletą veiksmų:
Taigi, jei susiduriame su užduotimi padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, sprendimo schema atrodys maždaug taip:

Panašiai galite padalyti bet kurią paprastąją (paprastąją) trupmeną iš sveikojo skaičiaus.

Kaip padalyti dešimtainį skaičių iš sveikojo skaičiaus?
Dešimtainė yra trupmena, kuri gaunama padalijus vienetą į dešimt, tūkstantį ir pan. Aritmetiniai veiksmai su dešimtainėmis trupmenomis yra gana paprasta.

Pažvelkime į pavyzdį, kaip padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus. Tarkime, kad dešimtainę trupmeną 0,925 reikia padalyti iš natūraliojo skaičiaus 5.

Apibendrinant, apsistokime ties dviem pagrindiniais punktais, kurie yra svarbūs atliekant dešimtainių trupmenų padalijimo iš sveikojo skaičiaus operaciją:

• dėl išsiskyrimo dešimtainis Stulpelių padalijimas naudojamas natūraliajam skaičiui;
  
• Kablelis dedamas į dalinį, kai baigiama dalyti visa dividendo dalis.
  

Taikant šiuos paprastos taisyklės, visada galima apsieiti be specialus darbas padalykite bet kurį dešimtainį skaičių arba paprastoji trupmena sveikuoju skaičiumi.

Paskutinį kartą išmokome sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausia tų veiksmų dalis buvo suvesti trupmenas į bendrą vardiklį.

Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar paprastesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirma, panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskirtos sveikojo skaičiaus dalies.

Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.

Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios trupmenos.

Pavadinimas:

Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas redukuojasi iki daugybos. Norėdami „apversti“ trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl per visą pamoką daugiausia svarstysime daugybą.

Dėl dauginimo gali atsirasti redukuojama trupmena (ir dažnai atsiranda) - ji, žinoma, turi būti sumažinta. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, reikia paryškinti visą dalį. Tačiau dauginant tikrai nepavyks, tai sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių veiksnių ir mažiausiai bendrų kartotinių.

Pagal apibrėžimą mes turime:

Trupmenų dauginimas iš sveikųjų dalių ir neigiamų trupmenų

Jei yra trupmenomis visa dalis, jie turi būti konvertuojami į neteisingus ir tik tada padauginami pagal aukščiau pateiktas schemas.

Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:

1. Plius prie minuso duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Kūriniui juos galima apibendrinti, kad vienu metu būtų „sudeginti“ keli trūkumai:

1. Neiginius perbraukiame poromis, kol jie visiškai išnyks. Kraštutiniais atvejais gali išlikti vienas minusas – tas, kuriam nebuvo poros;
2. Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nenubrauktas, nes jam nebuvo poros, išimame jį už daugybos ribų. Rezultatas yra neigiama trupmena.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada iš daugybos išimame minusus. Padauginame tai, kas liko normalios taisyklės. Mes gauname:

Dar kartą priminsiu, kad minusas, esantis prieš trupmeną su paryškinta visa dalimi, konkrečiai reiškia visą trupmeną, o ne tik visą jos dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).

Taip pat atkreipkite dėmesį neigiami skaičiai: Dauginant jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.

Dalių mažinimas skrydžio metu

Daugyba yra labai daug darbo reikalaujanti operacija. Skaičiai čia yra gana dideli, o norėdami supaprastinti problemą, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pagal apibrėžimą mes turime:

Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.

Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vietoj jų lieka vienetai, kurių paprastai nereikia rašyti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.

Tačiau niekada nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:

Jūs negalite to padaryti!

Klaida atsiranda dėl to, kad pridedant trupmenos skaitiklį pasirodo suma, o ne skaičių sandauga. Vadinasi, neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes ši savybė konkrečiai susijusi su skaičių daugyba.

Kitų priežasčių mažinti trupmenas tiesiog nėra, todėl teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip:

Teisingas sprendimas:

Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.

) ir vardiklį pagal vardiklį (gauname sandaugos vardiklį).

Trupmenų dauginimo formulė:

Pavyzdžiui:

Prieš pradėdami dauginti skaitiklius ir vardiklius, turite patikrinti, ar trupmeną galima sumažinti. Jei galite sumažinti trupmeną, jums bus lengviau atlikti tolesnius skaičiavimus.

Paprastosios trupmenos dalijimas iš trupmenos.

Trupmenų, susijusių su natūraliaisiais skaičiais, dalyba.

Tai nėra taip baisu, kaip atrodo. Kaip ir sudėjimo atveju, sveikąjį skaičių paverčiame trupmena, kurios vardiklyje yra vienas. Pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų dauginimas.

Trupmenų (mišrių) dauginimo taisyklės:

• mišrias frakcijas paversti netinkamomis frakcijomis;
• trupmenų skaitiklius ir vardiklius dauginant;
• sumažinti frakciją;
• Jei gausite netinkamą trupmeną, tada netinkamą trupmeną paverčiame mišriąja trupmena.

Pastaba! Norėdami padauginti mišrią frakciją iš kitos mišrios frakcijos, pirmiausia turite jas sudėti į formą netinkamos trupmenos, o tada padauginkite pagal daugybos taisyklę paprastosios trupmenos.

Antrasis būdas padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus.

Gali būti patogiau naudoti antrąjį bendrosios trupmenos padauginimo iš skaičiaus metodą.

Pastaba! Norėdami padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite padalyti trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus ir palikti skaitiklį nepakeistą.

Iš aukščiau pateikto pavyzdžio matyti, kad šią parinktį patogiau naudoti, kai trupmenos vardiklis be liekanos dalijamas iš natūraliojo skaičiaus.

Daugiaaukštės trupmenos.

Vidurinėje mokykloje dažnai susiduriama su trijų aukštų (ar daugiau) trupmenomis. Pavyzdys:

Kad tokia trupmena taptų įprasta forma, naudokite padalijimą iš 2 taškų:

Pastaba! Dalijant trupmenas labai svarbi dalybos tvarka. Būkite atsargūs, čia lengva susipainioti.

Pastaba, Pavyzdžiui:

Padalijus vieną iš bet kurios trupmenos, rezultatas bus ta pati trupmena, tik apversta:

Praktiniai patarimai, kaip dauginti ir dalyti trupmenas:

1. Svarbiausias dalykas dirbant su trupmeninėmis išraiškomis yra tikslumas ir atidumas. Atlikite visus skaičiavimus kruopščiai ir tiksliai, koncentruotai ir aiškiai. Geriau juodraštyje parašyk keletą papildomų eilučių, nei pasiklysti mintyse.

2. Užduotyse su skirtingų tipų trupmenomis pereikite prie paprastųjų trupmenų tipo.

3. Sumažiname visas trupmenas, kol mažinti nebeįmanoma.

4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas paverčiame įprastinėmis, naudodami dalijimą per 2 taškus.

5. Padalinkite vienetą iš trupmenos savo galvoje, paprasčiausiai apversdami trupmeną.