Zoals je weet, tellen hun exponenten altijd op bij het vermenigvuldigen van uitdrukkingen met machten (a b * a c = a b + c). Deze wiskundige wet is afgeleid door Archimedes en later, in de 8e eeuw, creëerde de wiskundige Virasen een tabel met hele indicatoren. Zij waren het die dienden voor de verdere ontdekking van logaritmen. Voorbeelden van het gebruik van deze functie zijn bijna overal te vinden waar u een omslachtige vermenigvuldiging moet vereenvoudigen door eenvoudig optellen. Als je 10 minuten besteedt aan het lezen van dit artikel, leggen we je uit wat logaritmen zijn en hoe je ermee kunt werken. Eenvoudige en toegankelijke taal.

Definitie in de wiskunde

De logaritme is een uitdrukking van de volgende vorm: log ab = c, dat wil zeggen, de logaritme van elk niet-negatief getal (dat wil zeggen, elk positief) "b" op basis van zijn grondtal "a" is de macht "c", waarop de basis "a" moet worden verhoogd, om uiteindelijk de waarde "b" te krijgen. Laten we de logaritme analyseren aan de hand van voorbeelden, er is bijvoorbeeld een uitdrukking log 2 8. Hoe het antwoord te vinden? Het is heel eenvoudig, je moet zo'n graad vinden zodat je van 2 tot de gewenste graad 8 krijgt. Na wat berekeningen in je hoofd te hebben gedaan, krijgen we het nummer 3! En terecht, want 2 tot de macht van 3 geeft het getal 8 in het antwoord.

Soorten logaritmen

Voor veel leerlingen en studenten lijkt dit onderwerp ingewikkeld en onbegrijpelijk, maar in feite zijn logaritmen niet zo eng, het belangrijkste is om hun algemene betekenis te begrijpen en hun eigenschappen en enkele regels te onthouden. Er zijn drie verschillende soorten logaritmische uitdrukkingen:

1. Natuurlijke logaritme ln a, waarbij het grondtal het getal van Euler is (e = 2,7).
2. Decimaal a, grondtal 10.
3. Logaritme van een willekeurig getal b tot grondtal a> 1.

Elk van hen wordt op een standaardmanier opgelost, inclusief vereenvoudiging, reductie en daaropvolgende reductie tot één logaritme met behulp van logaritmische stellingen. Om de juiste waarden van de logaritmen te verkrijgen, moet u hun eigenschappen en de volgorde van acties onthouden bij het oplossen ervan.

Regels en enkele beperkingen

In de wiskunde zijn er verschillende regels-beperkingen die als een axioma worden geaccepteerd, dat wil zeggen dat ze niet onderhandelbaar zijn en waar zijn. U kunt getallen bijvoorbeeld niet door nul delen en u kunt nog steeds geen even wortel van negatieve getallen extraheren. Logaritmen hebben ook hun eigen regels, waardoor u gemakkelijk kunt leren werken, zelfs met lange en ruime logaritmische uitdrukkingen:

• het grondtal "a" moet altijd groter zijn dan nul en tegelijkertijd niet gelijk zijn aan 1, anders verliest de uitdrukking zijn betekenis, omdat "1" en "0" in elke graad altijd gelijk zijn aan hun waarden;
• als a> 0, dan a b> 0, blijkt "c" ook groter dan nul te zijn.

Hoe los je logaritmen op?

Bijvoorbeeld, gegeven de taak om het antwoord op de vergelijking 10 x = 100 te vinden. Het is heel gemakkelijk, je moet zo'n macht kiezen, het getal tien verhogen waar we 100 krijgen. Dit is natuurlijk 10 2 = 100 .

Laten we deze uitdrukking nu weergeven als een logaritmische. We krijgen log 10 100 = 2. Bij het oplossen van logaritmen convergeren alle acties praktisch om de macht te vinden waarvoor het nodig is om het grondtal van de logaritme te introduceren om het gegeven getal te krijgen.

Om de waarde van een onbekende graad nauwkeurig te bepalen, is het noodzakelijk om te leren werken met de tabel met graden. Het ziet er zo uit:

Zoals je kunt zien, kunnen sommige exponenten intuïtief worden geraden als je een technische instelling hebt en kennis hebt van de tafel van vermenigvuldiging. Voor grotere waarden is echter een vermogenstabel vereist. Het kan zelfs worden gebruikt door mensen die helemaal niets weten over complexe wiskundige onderwerpen. De linkerkolom bevat getallen (grondtal a), de bovenste rij getallen is de macht c waartoe het getal a wordt verheven. Op de kruising in de cellen worden de waarden van de getallen gedefinieerd, die het antwoord zijn (a c = b). Neem bijvoorbeeld de allereerste cel met het getal 10 en kwadratisch, we krijgen de waarde 100, die wordt aangegeven op de kruising van onze twee cellen. Alles is zo eenvoudig en gemakkelijk dat zelfs de meest echte humanist het zal begrijpen!

Vergelijkingen en ongelijkheden

Het blijkt dat onder bepaalde omstandigheden de exponent de logaritme is. Daarom kan elke wiskundige numerieke uitdrukking worden geschreven als een logaritmische gelijkheid. 3 4 = 81 kan bijvoorbeeld worden geschreven als de logaritme van 81 tot grondtal 3, gelijk aan vier (log 3 81 = 4). Voor negatieve machten zijn de regels hetzelfde: 2 -5 = 1/32, we schrijven het als een logaritme, we krijgen log 2 (1/32) = -5. Een van de meest fascinerende gebieden van de wiskunde is het onderwerp "logaritmen". We zullen hieronder enkele voorbeelden en oplossingen van vergelijkingen bekijken, onmiddellijk na het bestuderen van hun eigenschappen. Laten we nu eens kijken naar hoe ongelijkheden eruit zien en hoe we ze kunnen onderscheiden van vergelijkingen.

Een uitdrukking van de volgende vorm wordt gegeven: log 2 (x-1)> 3 - het is een logaritmische ongelijkheid, aangezien de onbekende waarde "x" onder het teken van de logaritme staat. En ook in de uitdrukking worden twee waarden vergeleken: de logaritme van het vereiste getal in grondtal twee is groter dan het getal drie.

Het belangrijkste verschil tussen logaritmische vergelijkingen en ongelijkheden is dat vergelijkingen met logaritmen (bijvoorbeeld logaritme 2 x = √9) een of meer specifieke numerieke waarden in het antwoord impliceren, terwijl het oplossen van de ongelijkheid zowel het bereik van toelaatbare waarden bepaalt. ​en de punten die deze functie verbreken. Als gevolg hiervan is het antwoord niet een eenvoudige reeks afzonderlijke getallen zoals in het antwoord op de vergelijking, maar een doorlopende reeks of reeks getallen.

Basisstellingen over logaritmen

Bij het oplossen van primitieve taken om de waarden van de logaritme te vinden, zijn de eigenschappen mogelijk niet bekend. Als het echter gaat om logaritmische vergelijkingen of ongelijkheden, is het allereerst noodzakelijk om alle basiseigenschappen van logaritmen duidelijk te begrijpen en in de praktijk toe te passen. We zullen later kennis maken met voorbeelden van vergelijkingen, laten we eerst elke eigenschap in meer detail analyseren.

1. De hoofdidentiteit ziet er als volgt uit: een logaB = B. Het is alleen van toepassing als a groter is dan 0, niet gelijk aan één, en B groter is dan nul.
2. De logaritme van het product kan worden weergegeven in de volgende formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In dit geval is een voorwaarde: d, s 1 en s 2> 0; een 1. Je kunt deze formule van logaritmen bewijzen, met voorbeelden en een oplossing. Laten loggen als 1 = f 1 en loggen als 2 = f 2, dan is a f1 = s 1, a f2 = s 2. We krijgen dat s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1 + f2 (eigenschappen van machten ), en verder per definitie: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log als 2, wat nodig was om te bewijzen.
3. De logaritme van het quotiënt ziet er als volgt uit: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. De stelling in de vorm van een formule heeft de volgende vorm: log a q b n = n / q log a b.

Deze formule wordt de "eigenschap van de graad van de logaritme" genoemd. Het lijkt op de eigenschappen van gewone graden, en het is niet verwonderlijk, omdat alle wiskunde gebaseerd is op natuurlijke postulaten. Laten we het bewijs eens bekijken.

Laat log a b = t, het blijkt a t = b. Als we beide delen verheffen tot de macht m: a tn = b n;

maar aangezien a tn = (a q) nt / q = b n, log dus a q b n = (n * t) / t, log dan a q b n = n / q log a b. De stelling is bewezen.

Voorbeelden van problemen en ongelijkheden

De meest voorkomende soorten logaritmeproblemen zijn voorbeelden van vergelijkingen en ongelijkheden. Ze zijn te vinden in bijna alle probleemboeken en zijn ook opgenomen in het verplichte deel van examens wiskunde. Om naar de universiteit te gaan of de toelatingsexamens in de wiskunde te halen, moet je weten hoe je dergelijke taken correct kunt oplossen.

Helaas is er geen enkel plan of schema voor het oplossen en bepalen van de onbekende waarde van de logaritme, maar bepaalde regels kunnen worden toegepast op elke wiskundige ongelijkheid of logaritmische vergelijking. Allereerst is het noodzakelijk om uit te zoeken of de uitdrukking kan worden vereenvoudigd of in een algemene vorm kan worden gebracht. U kunt lange logaritmische uitdrukkingen vereenvoudigen als u hun eigenschappen correct gebruikt. Laten we ze snel leren kennen.

Bij het oplossen van logaritmische vergelijkingen is het noodzakelijk om te bepalen wat voor soort logaritme voor ons ligt: ​​een voorbeeld van een uitdrukking kan een natuurlijke logaritme of decimaal bevatten.

Hier zijn voorbeelden ln100, ln1026. Hun oplossing komt erop neer dat je moet bepalen in welke mate de basis 10 gelijk zal zijn aan respectievelijk 100 en 1026. Voor oplossingen van natuurlijke logaritmen moet u logaritmische identiteiten of hun eigenschappen toepassen. Laten we eens kijken naar de voorbeelden van het oplossen van logaritmische problemen van verschillende typen.

Logaritmeformules gebruiken: met voorbeelden en oplossingen

Laten we dus eens kijken naar voorbeelden van het gebruik van de belangrijkste stellingen op logaritmen.

1. De eigenschap van de logaritme van het product kan worden gebruikt in taken waarbij het nodig is om een ​​grote waarde van het getal b te ontleden in eenvoudiger factoren. Bijvoorbeeld log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4 * 128) = log 2 512. Het antwoord is 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - zoals je kunt zien, was het mogelijk om een ​​schijnbaar complexe en onoplosbare uitdrukking op te lossen door de vierde eigenschap van de macht van de logaritme toe te passen. U hoeft alleen de basis in factoren te ontbinden en vervolgens de vermogenswaarden uit het teken van de logaritme te halen.

Taken uit het examen

Logaritmen komen vaak voor bij toelatingsexamens, vooral veel logaritmische problemen bij het Unified State Exam (staatsexamen voor alle afgestudeerden). Meestal zijn deze taken niet alleen aanwezig in deel A (het gemakkelijkste testdeel van het examen), maar ook in deel C (de moeilijkste en meest omvangrijke taken). Het examen veronderstelt een exacte en perfecte kennis van het onderwerp "Natuurlijke logaritmen".

Voorbeelden en oplossingen voor problemen zijn ontleend aan de officiële versies van het Unified State Exam. Laten we eens kijken hoe dergelijke taken worden opgelost.

Gegeven log 2 (2x-1) = 4. Oplossing:
herschrijf de uitdrukking, vereenvoudig het een beetje log 2 (2x-1) = 2 2, door de definitie van de logaritme krijgen we dat 2x-1 = 2 4, dus 2x = 17; x = 8,5.

• Het is het beste om alle logaritmen naar één grondtal te converteren, zodat de oplossing niet omslachtig en verwarrend wordt.
• Alle uitdrukkingen onder het teken van de logaritme worden als positief aangegeven, dus als de exponent van de exponent wordt verwijderd door de factor, die onder het teken van de logaritme staat en als grondtal, moet de resterende uitdrukking onder de logaritme positief zijn .

Logaritme van het getal N door reden een de exponent genoemd NS waarop u wilt bouwen een om het nummer te krijgen N

Mits
,
,

Uit de definitie van de logaritme volgt dat
, d.w.z.
- deze gelijkheid is de fundamentele logaritmische identiteit.

Logaritmen met grondtal 10 worden decimale logaritmen genoemd. In plaats van
schrijven
.

Logaritmen naar grondtal e worden natuurlijk genoemd en worden aangeduid als
.

Basiseigenschappen van logaritmen.

Logaritme van één voor elk grondtal is nul

De logaritme van het product is gelijk aan de som van de logaritmen van de factoren.

3) De logaritme van het quotiënt is gelijk aan het verschil van de logaritmen

Factor
genaamd de overgangsmodulus van logaritmen aan de basis een naar logaritmen op basis B .

Met behulp van eigenschappen 2-5 is het vaak mogelijk om de logaritme van een complexe uitdrukking te reduceren tot het resultaat van eenvoudige rekenkundige bewerkingen over de logaritmen.

Bijvoorbeeld,

Dergelijke transformaties van de logaritme worden de logaritme genoemd. Transformaties omgekeerd aan de logaritme worden potentiëring genoemd.

Hoofdstuk 2. Elementen van hogere wiskunde.

1. Grenzen

Functielimiet
is een eindig getal A als, wanneer neigt xx 0 voor elke voorinstelling
, er is zo'n nummer
die ene keer
, dan
.

Een functie die een limiet heeft, verschilt daarvan met een oneindig kleine hoeveelheid:
, waar is een b.m.v., d.w.z.
.

Voorbeeld. Overweeg de functie:
.

bij het streven
, functie ja neigt naar nul:

1.1. Basisstellingen over limieten.

De limiet van een constante waarde is gelijk aan deze constante waarde

.

De limiet van de som (verschil) van een eindig aantal functies is gelijk aan de som (verschil) van de limieten van deze functies.

De limiet van het product van een eindig aantal functies is gelijk aan het product van de limieten van deze functies.

De quotiëntlimiet van twee functies is gelijk aan het quotiënt van de limieten van deze functies als de noemerlimiet niet nul is.

Prachtige limieten

,
, waar

1.2. Voorbeelden van limietberekeningen

Niet alle limieten zijn echter eenvoudig te berekenen. Vaker komt de berekening van de limiet neer op het onthullen van een onzekerheid zoals: of .

.

2. Afgeleide van de functie

Laten we een functie hebben
continu op het segment
.

Argument heb wat verhoging
... Dan krijgt de functie een verhoging
.

Argumentwaarde komt overeen met de functiewaarde
.

Argumentwaarde
komt overeen met de waarde van de functie.

Vandaar, .

Laten we de limiet van deze verhouding vinden op
... Als deze limiet bestaat, wordt dit de afgeleide van deze functie genoemd.

Definitie 3 Afgeleide van deze functie
door argument wordt de limiet genoemd van de verhouding van de toename van een functie tot de toename van het argument, wanneer de toename van het argument willekeurig naar nul neigt.

Afgeleide van een functie
kan als volgt worden aangeduid:

; ; ; .

Definitie 4 De bewerking van het vinden van de afgeleide van een functie heet differentiatie.

2.1. De mechanische betekenis van de afgeleide.

Beschouw de rechtlijnige beweging van een stijf lichaam of een materieel punt.

Laat op een bepaald moment bewegend punt
was op een afstand vanuit de startpositie
.

Na een bepaalde tijd
ze bewoog een afstand
... Houding =- gemiddelde snelheid van een materieel punt
... Laten we de limiet van deze verhouding vinden, rekening houdend met dat
.

Dientengevolge wordt de bepaling van de momentane bewegingssnelheid van een materieel punt gereduceerd tot het vinden van de afgeleide van het pad in de tijd.

2.2. Afgeleide geometrische waarde

Laten we een grafisch bepaalde functie geven
.

Rijst. 1. Geometrische betekenis van de afgeleide

Indien
wijs dan
, zal langs de curve bewegen en het punt naderen
.

Vandaar
, d.w.z. de waarde van de afgeleide gegeven de waarde van het argument numeriek gelijk aan de raaklijn van de hoek gevormd door de raaklijn op een bepaald punt met de positieve richting van de as
.

2.3. Tabel met basisformules voor differentiatie.

Power functie

Exponentiële functie

Logaritmische functie

Goniometrische functie

Inverse trigonometrische functie

2.4. Differentiatie regels.

afgeleid van

Afgeleide van de som (verschil) van functies

Afgeleide van het product van twee functies

Afgeleide van het quotiënt van twee functies

2.5. Afgeleid van een complexe functie.

Gegeven een functie
zodat het kan worden weergegeven als

en
waar variabel is een tussenargument, dan

De afgeleide van een complexe functie is gelijk aan het product van de afgeleide van deze functie met betrekking tot het tussenargument door de afgeleide van het tussenliggende argument met betrekking tot x.

Voorbeeld 1.

Voorbeeld 2.

3. Differentiële functie.

Laat er zijn
differentieerbaar op een bepaald segment
laat het gaan Bij deze functie heeft een afgeleide

,

dan kunnen we schrijven

(1),

waar - oneindig kleine waarde,

sinds bij

Alle termen van gelijkheid (1) vermenigvuldigen met
wij hebben:

Waar
- b.m.v. hogere orde.

De hoeveelheid
heet het differentieel van de functie
en aangegeven

.

3.1. De geometrische waarde van het differentieel.

Gegeven een functie
.

Fig. 2. De geometrische betekenis van het differentieel.

.

Het is duidelijk dat het differentieel van de functie
is gelijk aan de toename van de ordinaat van de raaklijn op dit punt.

3.2. Derivaten en differentiëlen van verschillende orden.

Als er is
, dan
de eerste afgeleide genoemd.

De afgeleide van de eerste afgeleide wordt de afgeleide van de tweede orde genoemd en wordt geschreven als
.

De afgeleide van de n-de orde van de functie
de afgeleide van de (n-1) -de orde heet en wordt geschreven:

.

Het differentieel van het differentieel van een functie wordt het tweede differentieel of het differentieel van de tweede orde genoemd.

.

.

3.3 Biologische problemen oplossen met differentiatie.

Taak 1. Studies hebben aangetoond dat de groei van een kolonie micro-organismen zich aan de wet houdt
, waar N - het aantal micro-organismen (in duizenden), t –Tijd (dagen).

b) Zal de omvang van de kolonie in deze periode toenemen of afnemen?

Antwoord geven. De kolonie zal in omvang toenemen.

Taak 2. Het water in het meer wordt periodiek getest om het gehalte aan pathogene bacteriën te beheersen. Aan de overkant t dagen na het testen wordt de concentratie van bacteriën bepaald door de verhouding

.

Wanneer komt de minimale concentratie bacteriën in het meer en is het mogelijk om erin te zwemmen?

OPLOSSING Een functie bereikt max of min wanneer zijn afgeleide nul is.

,

Laten we bepalen dat max of min over 6 dagen zal zijn. Hiervoor nemen we de tweede afgeleide.

Antwoord: Na 6 dagen zal er een minimale concentratie bacteriën zijn.

De focus van dit artikel is - logaritme... Hier geven we de definitie van een logaritme, tonen we de geaccepteerde notatie, geven we voorbeelden van logaritmen en vertellen we over natuurlijke en decimale logaritmen. Overweeg daarna de basis logaritmische identiteit.

Paginanavigatie.

Definitie van de logaritme

Het concept van een logaritme ontstaat bij het oplossen van een probleem in een bepaalde zin omgekeerd, wanneer het nodig is om een ​​exponent te vinden volgens een bekende waarde van de graad en een bekende basis.

Maar genoeg voorwoorden, het is tijd om de vraag "wat is een logaritme" te beantwoorden? Laten we een passende definitie geven.

Definitie.

Logaritme grondtal a van b, waarbij a> 0, a ≠ 1 en b> 0 de exponent is waartoe het getal a moet worden verheven om b als resultaat te krijgen.

In dit stadium merken we op dat het gesproken woord "logaritme" onmiddellijk twee resulterende vragen zou moeten oproepen: "welk getal" en "om welke reden". Met andere woorden, er is gewoon geen logaritme, maar er is alleen de logaritme van een getal in een of andere basis.

Onmiddellijk binnen logaritme notatie: logaritme van getal b tot grondtal a wordt meestal aangeduid als log a b. De logaritme van het getal b tot grondtal e en de logaritme tot grondtal 10 hebben hun eigen speciale aanduidingen respectievelijk lnb en lgb, dat wil zeggen, ze schrijven niet log e b, maar lnb, en niet log 10 b, maar lgb.

Nu kunt u meenemen:.
En de records slaat nergens op, want in de eerste onder het teken van de logaritme is er een negatief getal, in de tweede - een negatief getal aan de basis, en in de derde - beide een negatief getal onder het teken van de logaritme en een aan de basis.

Laten we nu zeggen over regels voor het lezen van logaritmen... Log a b leest als "logaritme van b tot basis a". Bijvoorbeeld, log 2 3 is de logaritme van drie met grondtal 2, en is de logaritme van twee hele tweederde grondwortel van vijf. De logaritme grondtal e heet natuurlijke logaritme en lnb leest "natuurlijke logaritme van b". ln7 is bijvoorbeeld de natuurlijke logaritme van zeven en we lezen het als de natuurlijke logaritme van pi. Logaritme met grondtal 10 heeft ook een speciale naam - decimale logaritme, en de lgb-invoer luidt "log decimal b". Bijvoorbeeld, lg1 is de decimale logaritme van één en lg2,75 is de decimale logaritme van twee komma vijfenzeventig honderdsten.

Het is de moeite waard om apart stil te staan ​​bij de voorwaarden a> 0, a ≠ 1 en b> 0, waaronder de definitie van de logaritme wordt gegeven. Laten we uitleggen waar deze beperkingen vandaan komen. Om dit te doen, zullen we worden geholpen door een gelijkheid van de vorm, genaamd, die rechtstreeks volgt uit de hierboven gegeven definitie van de logaritme.

Laten we beginnen met een 1. Aangezien één gelijk is aan één tot elke macht, kan de gelijkheid alleen waar zijn voor b = 1, maar log 1 1 kan elk reëel getal zijn. Om deze dubbelzinnigheid te vermijden, wordt aangenomen dat een ≠ 1.

Laten we de doelmatigheid van de voorwaarde a> 0 rechtvaardigen. Voor a = 0, volgens de definitie van de logaritme, zouden we gelijkheid hebben, wat alleen mogelijk is voor b = 0. Maar dan kan log 0 0 elk niet-nul reëel getal zijn, aangezien nul in elke niet-nul graad nul is. De voorwaarde a ≠ 0 stelt ons in staat om deze dubbelzinnigheid te vermijden. en voor een<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Ten slotte volgt de voorwaarde b> 0 uit de ongelijkheid a> 0, aangezien, en de waarde van de graad met een positief grondtal a is altijd positief.

Ter afsluiting van deze paragraaf zeggen we dat de stemhebbende definitie van de logaritme je in staat stelt om onmiddellijk de waarde van de logaritme aan te geven, wanneer het getal onder het teken van de logaritme een bepaalde graad van het grondtal is. Inderdaad, de definitie van een logaritme stelt ons in staat te stellen dat als b = a p, de logaritme van b tot grondtal a p is. Dat wil zeggen, de gelijkheidslog a a p = p is waar. We weten bijvoorbeeld dat 2 3 = 8, dan log 2 8 = 3. We zullen hier meer over vertellen in het artikel.

Gevolgd uit zijn definitie. En dus de logaritme van het getal B door reden een wordt gedefinieerd als een indicator van de mate waarin het getal moet worden verhoogd een om het nummer te krijgen B(De logaritme bestaat alleen voor positieve getallen).

Uit deze formulering volgt dat de berekening x = log een b, is gelijk aan het oplossen van de vergelijking een x = b. Bijvoorbeeld, logboek 2 8 = 3 omdat 8 = 2 3 ... De formulering van de logaritme maakt het mogelijk om te bewijzen dat als b = een c, dan de logaritme van het getal B door reden een is gelijk aan met... Het is ook duidelijk dat het onderwerp logaritme nauw verwant is aan het onderwerp van de macht van het getal.

Met logaritmen, zoals met alle getallen, kun je doen optellen, aftrekken en transformeren op alle mogelijke manieren. Maar aangezien logaritmen niet helemaal gewone getallen zijn, gelden hier speciale regels, die worden genoemd basiseigenschappen.

Optellen en aftrekken van logaritmen.

Laten we twee logaritmen nemen met dezelfde basen: log een x en log een y... Vervolgens verwijderen is het mogelijk om optellen en aftrekken uit te voeren:

log a x + log a y = log a (x y);

log a x - log a y = log a (x: y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log een x 1 + log een x 2 + log een x 3 + ... + log a x k.

Van quotiënt logaritme stelling je kunt nog een eigenschap van de logaritme krijgen. Het is bekend dat log een 1 = 0, dus

log een 1 /B= log een 1 - log een b= - log een b.

Dus de gelijkheid vindt plaats:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmen van twee onderling inverse getallen op dezelfde basis zullen uitsluitend door teken van elkaar verschillen. Dus:

Stam 3 9 = - stam 3 1/9; log 5 1/125 = -log 5 125.

Laten we beginnen met eigenschappen van de logaritme van één... De formulering is als volgt: de logaritme van één is nul, dat wil zeggen, log een 1 = 0 voor elke a> 0, een 1. Het bewijs is eenvoudig: aangezien a 0 = 1 voor elke a die voldoet aan de bovenstaande voorwaarden a> 0 en a ≠ 1, volgt het bewijzen van de gelijkheidslog a 1 = 0 onmiddellijk uit de definitie van de logaritme.

Laten we voorbeelden geven van de toepassing van de beschouwde eigenschap: log 3 1 = 0, lg1 = 0 en.

Door naar het volgende pand: de logaritme van een grondtal is één, dat is, log a a = 1 voor a> 0, een 1. Inderdaad, aangezien a 1 = a voor elke a, log dan, volgens de definitie van de logaritme, a a = 1.

Voorbeelden van het gebruik van deze eigenschap van logaritmen zijn de gelijkheden log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 en lne = 1.

Bijvoorbeeld log 2 2 7 = 7, lg10 -4 = -4 en .

Logaritme van het product van twee positieve getallen x en y is gelijk aan het product van de logaritmen van deze getallen: log a (x y) = log a x + log a y, a> 0, een 1. Laten we de eigenschap van de logaritme van het product bewijzen. Vanwege de eigenschappen van de graad a log a x + log a y = a log a x a log a y, en aangezien door de hoofdlogaritmische identiteit een log a x = x en een log a y = y, dan is een log a x een log a y = x y. Dus een log a x + log a y = x

Laten we voorbeelden tonen van het gebruik van de eigenschap van de logaritme van het product: log 5 (2 3) = log 5 2 + log 5 3 en .

De eigenschap van de logaritme van het product kan worden gegeneraliseerd naar het product van een eindig getal n van positieve getallen x 1, x 2, ..., x n als log a (x 1 x 2… x n) = log a x 1 + log a x 2 +… + log a x n ... Deze gelijkheid kan zonder problemen worden bewezen.

De natuurlijke logaritme van het product kan bijvoorbeeld worden vervangen door de som van de drie natuurlijke logaritmen van de getallen 4, e en.

Logaritme van het quotiënt van twee positieve getallen x en y is gelijk aan het verschil tussen de logaritmen van deze getallen. De eigenschap van de logaritme van het quotiënt komt overeen met een formule van de vorm, waarbij a> 0, a ≠ 1, x en y enkele positieve getallen zijn. De geldigheid van deze formule is bewezen, evenals de formule voor de logaritme van het product: sinds , dan door de definitie van de logaritme.

Hier is een voorbeeld van het gebruik van deze eigenschap van de logaritme: .

Verder gaan naar eigenschap van de logaritme van de graad... De logaritme van een macht is gelijk aan het product van de exponent door de logaritme van de modulus van het grondtal van deze macht. We schrijven deze eigenschap van de logaritme van de graad in de vorm van de formule: log a b p = p · log a | b |, waarbij a> 0, a ≠ 1, b en p getallen zijn zodat de graad b p logisch is en b p> 0.

Eerst bewijzen we deze eigenschap voor positief b. De belangrijkste logaritmische identiteit stelt ons in staat om het getal b weer te geven als een log a b, dan b p = (a log a b) p, en de resulterende uitdrukking, vanwege de eigenschap van de graad, is gelijk aan a p log a b. Zo komen we tot de gelijkheid b p = a p log a b, waaruit we, door de definitie van de logaritme, afleiden dat log a b p = p log a b.

Het blijft om deze eigenschap voor negatief b te bewijzen. Hier merken we op dat de uitdrukking log a b p voor negatief b alleen zinvol is voor even exponenten p (aangezien de waarde van de exponent b p groter moet zijn dan nul, anders heeft de logaritme geen zin), en in dit geval b p = | b | P. Vervolgens b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, vanwaar log a b p = p · log a | b | ...

Bijvoorbeeld, en ln (-3) 4 = 4 ln | -3 | = 4 ln3.

De vorige eigenschap impliceert eigenschap van de logaritme van de wortel: de logaritme van de n-de wortel is gelijk aan het product van de breuk 1 / n door de logaritme van de radicale uitdrukking, dat wil zeggen, , waarbij a> 0, a ≠ 1, n een natuurlijk getal groter dan één is, b> 0.

Het bewijs is gebaseerd op de gelijkheid (zie), die geldt voor elke positieve b, en de eigenschap van de logaritme van de graad: .

Hier is een voorbeeld waarin deze eigenschap wordt gebruikt: .

Laten we nu bewijzen de formule voor de overgang naar de nieuwe basis van de logaritme vriendelijk ... Hiervoor volstaat het om de gelijkheid log c b = log a b log c a te bewijzen. De hoofdlogaritmische identiteit stelt ons in staat om het getal b weer te geven als a log a b, dan log c b = log ca a log a b. Het blijft om de eigenschap van de logaritme van de graad te gebruiken: log c a log a b = log a b log c a... Zo werd de gelijkheidslog c b = log a b log ca a bewezen, wat betekent dat de formule voor de overgang naar het nieuwe grondtal van de logaritme ook bewezen is.

Laten we een paar voorbeelden laten zien van de toepassing van deze eigenschap van logaritmen: en .

De formule voor de overgang naar een nieuwe basis stelt je in staat om te gaan werken met logaritmen die een "handige" basis hebben. U kunt het bijvoorbeeld gebruiken om naar natuurlijke of decimale logaritmen te gaan, zodat u de waarde van de logaritme kunt berekenen uit de tabel met logaritmen. De formule voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme maakt het in sommige gevallen ook mogelijk om de waarde van een bepaalde logaritme te vinden wanneer de waarden van sommige logaritmen met andere basen bekend zijn.

Een speciaal geval van de formule voor de overgang naar een nieuwe basis van de logaritme voor c = b van de vorm ... Dit laat zien dat log a b en log b a -. Bijvoorbeeld, .

De formule wordt ook vaak gebruikt , wat handig is voor het vinden van de waarden van logaritmen. Om onze woorden te bevestigen, zullen we laten zien hoe het wordt gebruikt om de waarde van de logaritme van de vorm te berekenen. Wij hebben ... Om de formule te bewijzen: het is voldoende om de formule te gebruiken voor de overgang naar de nieuwe basis van de logaritme a: .

Het blijft om de eigenschappen van de vergelijking van logaritmen te bewijzen.

Laten we bewijzen dat voor alle positieve getallen b 1 en b 2, b 1 log a b 2, en voor a> 1, de ongelijkheid log a b 1

Ten slotte moet nog de laatste van de vermelde eigenschappen van logaritmen worden bewezen. We beperken ons tot het bewijs van het eerste deel, dat wil zeggen, we zullen bewijzen dat als een 1> 1, een 2> 1 en een 1 1, log a 1 b> log a 2 b. De rest van de uitspraken van deze eigenschap van logaritmen wordt bewezen door een soortgelijk principe.

Laten we de methode van contradictie gebruiken. Stel dat voor een 1> 1, een 2> 1 en een 1 1 is waar log a 1 b≤log a 2 b. Door de eigenschappen van logaritmen kunnen deze ongelijkheden worden herschreven als en respectievelijk, en daaruit volgt dat respectievelijk log b a 1 ≤log b a 2 en log b a 1 ≥log b a 2. Dan zouden, volgens de eigenschappen van graden met dezelfde basis, de gelijkheden b log b a 1 ≥b log b a 2 en b log b a 1 ≥b log b a 2 moeten gelden, dat wil zeggen, a 1 ≥a 2. Zo kwamen we tot een contradictie met de voorwaarde a 1

Bibliografie.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. en anderen Algebra en het begin van de analyse: leerboek voor 10 - 11 graden van onderwijsinstellingen.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Wiskunde (een gids voor kandidaten voor technische scholen).