Etterbehandling. Beslag. Reparere. Montering. Valg. Blenderåpning
Polyhedra
Hovedformålet med å studere stereometri er romlige kropper. Kropp er en del av rommet avgrenset av en bestemt overflate.
Polyeder kalles et legeme, hvis overflate består av et begrenset antall flate polygoner. Et polyeder kalles konveks hvis det er plassert på den ene siden av planet til hver flat polygon på overflaten. Den vanlige delen av et slikt plan og overflaten på et polyeder kalles kant... Ansiktene til en konveks polytop er flate konvekse polygoner. Sidene av ansiktene kalles kantene på et polyeder og hjørnene er toppunktene til polyederet.
For eksempel består en kube av seks firkanter som er dens ansikter. Den inneholder 12 kanter (sidene på rutene) og 8 hjørner (toppen av rutene).
De enkleste polyeder er prismer og pyramider, som vi vil studere videre.
Prisme
Definisjon og egenskaper til et prisme
Prisme kalles et polyeder som består av to plane polygoner som ligger i parallelle plan kombinert med en parallell translasjon, og alle segmenter som forbinder de tilsvarende punktene til disse polygonene. Polygoner kalles prisme baser, og segmentene som forbinder de tilsvarende toppunktene til polygonene er sidekanter av prismen.
Prismenes høyde er avstanden mellom planene til basene (). Et segment som forbinder to hjørner av et prisme som ikke tilhører samme ansikt kalles diagonal prisme(). Prismen kalles n-vinkel hvis det er en n-gon ved basen.
Enhver prisme har følgende egenskaper, som følge av at prismenes baser er justert ved parallell overføring:
1. Grunnlaget for prismen er like.
2. Sidekantene på prismen er parallelle og like.
Overflaten på prismen består av baser og sideflate... Prismens sideoverflate består av parallellogram (dette følger av prismenes egenskaper). Arealet av prisma på sideflaten er summen av sidene av sideflatene.
Rett prisme
Prismen kalles rett hvis sidekantene er vinkelrett på basene. Ellers kalles prismen skrå.
Ansiktene til et rett prisme er rektangler. Høyden på et rett prisme er lik sideflatene.
Full prismeoverflate kalt summen av det laterale overflatearealet og områdene til basene.
Riktig prisme kalt et rett prisme med en vanlig polygon ved basen.
Teorem 13.1... Arealet av sideflaten til et rett prisme er lik produktet av omkretsen med prismenes høyde (eller, som er den samme, ved sidekanten).
Bevis. Sidefladene til et rett prisme er rektangler, hvis baser er polygonens sider ved prismen, og høyden er prismenes sidekanter. Så, per definisjon, er det laterale overflatearealet:
,
hvor er omkretsen av bunnen av det rette prismen.
Parallellpiped
Hvis det er parallellogrammer i prismenes baser, kalles det parallellpiped... Alle ansikter på en parallellpiped er parallellogram. I dette tilfellet er de motsatte sidene til parallelepiped parallelle og like.
Teorem 13.2... Parallellpipedens diagonaler krysser på ett punkt og skjæringspunktet halveres.
Bevis. Tenk for eksempel på to vilkårlige diagonaler og. Fordi ansiktene til parallellepiperte er parallellogram, da og, og derfor, ifølge T omtrent to rette linjer parallelt med den tredje. I tillegg betyr dette at linjene og ligger i samme plan (plan). Dette planet skjærer parallelle plan og langs parallelle linjer og. Dermed er en firkant et parallellogram, og ved egenskapen til et parallellogram, er dets diagonaler og skjæringspunkt og skjæringspunktet delt i to, noe vi måtte bevise.
En rektangulær parallellpiped hvis base er et rektangel kalles rektangulær parallellpiped... Alle flater på en rektangulær parallellpiped er rektangler. Lengden på de ikke-parallelle kantene til en rektangulær parallellpiped kalles dens lineære dimensjoner (målinger). Det er tre slike størrelser (bredde, høyde, lengde).
Teorem 13.3... I en rektangulær parallellpiped er kvadratet på en hvilken som helst diagonal lik summen av kvadratene i de tre dimensjonene 
(bevist ved hjelp av en todelt applikasjon av T Pythagoras).
En rektangulær parallellpiped med alle kanter like kalles terning.
Oppgaver
13.1 Hvor mange diagonaler gjør n- vinkelprisme
13.2 I et skrått trekantet prisme er avstandene mellom sidebordene 37, 13 og 40. Finn avstanden mellom den større sidekanten og den motsatte sidekanten.
13.3 Gjennom siden av den nedre basen av et vanlig trekantet prisme, tegnes et plan som skjærer sideflater langs segmentene, vinkelen mellom. Finn helningsvinkelen til dette planet til prismen.
Definisjon 1. Prismatisk overflate
Teorem 1. På parallelle deler av en prismatisk overflate
Definisjon 2. Vinkelrett snitt av en prismatisk overflate
Definisjon 3. Prisme
Definisjon 4. Prismehøyde
Definisjon 5. Rett prisme
Setning 2. Arealet av sideflaten til et prisme
Parallellpiped:
Definisjon 6. Boks
Teorem 3. På skjæringspunktet mellom diagonalene til en parallellpiped
Definisjon 7. Høyre parallellpiped
Definisjon 8. Rektangulær parallellpiped
Definisjon 9. Målinger av en parallellpiped
Definisjon 10. Kube
Definisjon 11. Rhombohedron
Setning 4. På diagonalene til en rektangulær parallellpiped
Teorem 5. Volum av et prisme
Teorem 6. Volum av et rett prisme
Teorem 7. Volum av en rektangulær parallellpiped
Prisme kalles et polyeder der to flater (baser) ligger i parallelle plan, og kantene som ikke ligger i disse flatene er parallelle med hverandre.
Andre ansikter enn baser kalles lateralt.
Sidene på sideflater og baser kalles prisme ribber, endene av ribbeina kalles toppen av prismen. Side ribber kanter som ikke tilhører basene kalles. Foreningen av sideflater kalles sideoverflaten av prismen, og foreningen av alle ansikter kalles full prismeoverflate. Prismenes høyde kalles vinkelrett droppet fra punktet på den øvre basen til planet til den nedre basen eller lengden på denne vinkelrett. 
Rett prisme kalt et prisme der sidekantene er vinkelrett på basene. 
Riktig kalt et rett prisme (fig. 3), ved basen som er en vanlig polygon.
Legende:
l - lateral ribbe;
P er omkretsen av basen;
S o - grunnareal;
H - høyde;
P ^ - omkretsen av den vinkelrette seksjonen;
S b - lateralt overflateareal;
V er volumet;
S p - arealet av hele prismen.
|
V = SH |
*Det antas at hvert annet påfølgende fly krysser hverandre og at det siste planet skjærer det første
Setning 1 ... Snitt av en prismatisk overflate med plan parallelt med hverandre (men ikke parallelt med kantene) er like polygoner.
La ABCDE og A "B" C "D" E "være deler av en prismatisk overflate med to parallelle plan. For å sikre at disse to polygonene er like, er det nok å vise at trekanter ABC og A" B "C er like og har samme rotasjonsretning og at det samme gjelder trekantene ABD og A "B" D ", ABE og A" B "E". Men de tilsvarende sidene av disse trekantene er parallelle (for eksempel AC parallelt med A "C") som skjæringslinjer for et bestemt plan med to parallelle plan; det følger at disse sidene er like (for eksempel AC er lik A "C") som motsatte sider av parallellogrammet og at vinklene som dannes av disse sidene er like og har samme retning.
Definisjon 2 ... Den vinkelrette delen av en prismatisk overflate kalles delen av denne overflaten med et plan vinkelrett på kantene. Basert på forrige setning vil alle vinkelrette seksjoner av den samme prismatiske overflaten være like polygoner.
Definisjon 3
... Et prisme er et polyeder begrenset av en prismatisk overflate og to plan parallelt med hverandre (men ikke parallelt med kantene på den prismatiske overflaten)
Ansiktene som ligger i disse siste flyene kalles prisme baser; ansikter som tilhører en prismatisk overflate - side ansikter; kantene på en prismatisk overflate - sidekanter av prismen... I kraft av det forrige teoremet er prismenes grunnlag like polygoner... Alle siderne av prismen - parallellogram; alle sidekanter er like.
Tydeligvis, hvis du får grunnlaget for prismen ABCDE og en av kantene AA "i størrelse og retning, kan du bygge et prisme ved å tegne kantene BB", CC ", .., like og parallelle med kanten AA ".
Definisjon 4 ... Prismenes høyde er avstanden mellom planene på basene (HH ").
Definisjon 5
... Et prisme kalles rett hvis dets baser er vinkelrette seksjoner av en prismatisk overflate. I dette tilfellet er prismen naturligvis dens høyde side ribbe; side ansikter vil rektangler.
Prismer kan klassifiseres etter antall sideflater lik antall sider av polygonen som fungerer som basen. Dermed kan prismer være trekantede, firkantede, femkantede, etc.
Setning 2
... Arealet av prismeens sideoverflate er lik produktet av lateral ribbe ved omkretsen av den vinkelrette seksjonen.
La ABCDEA "B" C "D" E " - dette prismen og abcde - dets vinkelrette snitt, slik at segmentene ab, bc, .. er vinkelrett på sidekantene. Ansiktet ABA" B "er et parallellogram; dets område er lik produktet av basen AA "til en høyde som sammenfaller med ab; arealet av BCB "C" -flaten er lik produktet av basen BB "med høyden bc, etc. Derfor er sideflaten (det vil si summen av sideflateområdene) lik produktet med lateral ribbe, med andre ord, den totale lengden på segmentene AA ", BB", .., for mengden ab + bc + cd + de + ea.
I skolens læreplan for stereometri -kurset begynner studiet av volumetriske figurer vanligvis med en enkel geometrisk kropp - et polyeder av et prisme. Basenes rolle utføres av 2 like polygoner som ligger i parallelle plan. Et spesialtilfelle er et vanlig firkantet prisme. Basene er to identiske vanlige firkanter, som lateralsidene er vinkelrett på, i form av parallellogram (eller rektangler, hvis prismen ikke er tilbøyelig).
Hvordan et prisme ser ut
Et vanlig firkantet prisme kalles en sekskant, ved basene som det er 2 firkanter, og sideflatene er representert med rektangler. Et annet navn på denne geometriske figuren er en rett parallellpiped.
En tegning som viser et firkantet prisme er vist nedenfor.
Bildet viser også de viktigste elementene som utgjør en geometrisk kropp... Det er vanlig å referere til dem:
Noen ganger kan man i problemer med geometri finne konseptet med en seksjon. Definisjonen vil lyde slik: et snitt er alle punkter i et volumetrisk legeme som tilhører et skjæreplan. Snittet er vinkelrett (det skjærer kantene på figuren i en vinkel på 90 grader). For et rektangulært prisme er det også vurdert en diagonal seksjon (det maksimale antall seksjoner som kan bygges er 2) som går gjennom 2 kanter og diagonaler på basen.
Hvis seksjonen er tegnet slik at skjæreplanet ikke er parallelt med hverken basene eller sideflatene, blir resultatet et avkortet prisme.
Ulike relasjoner og formler brukes for å finne de reduserte prismatiske elementene. Noen av dem er kjent fra planimetriforløpet (for eksempel for å finne arealet til et prisme er det nok å huske formelen for arealet til et kvadrat).
Overflate og volum
For å bestemme volumet av et prisme ved hjelp av formelen, må du kjenne området til basen og høyden:
V = S hoved h
Siden basen av et vanlig tetrahedrisk prisme er en firkant med en side en, du kan skrive formelen mer detaljert:
V = a² t
Hvis vi snakker om en terning - et vanlig prisme med like lengde, bredde og høyde, beregnes volumet som følger:
For å forstå hvordan du finner området på et prisme på siden av et prisme, må du forestille deg hvordan det utspiller seg.
Tegningen viser at sideflaten består av 4 like rektangler. Arealet beregnes som produktet av basens omkrets og figurens høyde:
Siden = P hoved h
Tatt i betraktning at omkretsen av kvadratet er P = 4a, formelen har formen:
Siden = 4a h
For en terning:
Side = 4a²
For å beregne det totale overflatearealet til prismen, legg til 2 grunnarealer til sidearealet:
S full = S side + 2S hoved
I forhold til et firkantet vanlig prisme er formelen:
S totalt = 4a · h + 2a²
For overflaten på en kube:
S totalt = 6a²
Når du kjenner volumet eller overflatearealet, kan du beregne de enkelte elementene i den geometriske kroppen.
Finne prismeelementer
Ofte er det problemer der et volum er gitt eller verdien av sideflaten er kjent, hvor det er nødvendig å bestemme lengden på siden av basen eller høyden. I slike tilfeller kan formlene avledes:
- sokkel lengde: a = S side / 4h = √ (V / t);
- lengde på høyde eller side ribbe: h = Sideside / 4a = V / a²;
- grunnareal: Sosn = V / t;
- side ansikt område: S side. gr = S side / 4.
For å finne ut hvilket område en diagonal seksjon har, må du vite lengden på diagonalen og høyden på figuren. For en firkant d = a√2. Derfor:
Sdiag = ah√2
For å beregne diagonal for prismen, bruk formelen:
dprize = √ (2a² + h²)
For å forstå hvordan du bruker ovennevnte forhold, kan du øve på og løse noen få enkle oppgaver.
Eksempler på oppgaver med løsninger
Her er noen av oppgavene som finnes i delstatens avsluttende eksamener i matematikk.
Oppgave 1.
Sand helles i en eske i form av et vanlig firkantet prisme. Høyden på nivået er 10 cm. Hva blir sandnivået hvis du flytter den inn i en beholder med samme form, men med en grunnlengde 2 ganger lengre?
Det bør begrunnes som følger. Mengden sand i den første og andre beholderen endret seg ikke, det vil si at volumet i dem faller sammen. Du kan angi lengden på basen for en... I dette tilfellet, for den første boksen, vil volumet av stoffet være:
V₁ = ha² = 10a²
For den andre boksen er grunnlengden 2a, men høyden på sandnivået er ukjent:
V₂ = h (2a) ² = 4ha²
I den grad V₁ = V₂, kan du likestille uttrykk:
10a² = 4ha²
Etter å ha kansellert begge sider av ligningen med a², får vi:
Som et resultat vil det nye sandnivået bli h = 10/4 = 2,5 cm.
Oppgave 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ er riktig prisme. Det er kjent at BD = AB₁ = 6√2. Finn kroppens totale overflateareal.
For å gjøre det lettere å forstå hvilke elementer som er kjent, kan du skildre en figur.
Siden vi snakker om riktig prisme, kan vi konkludere med at ved basen er det en firkant med en diagonal på 6√2. Diagonalen på sideflaten har samme størrelse, derfor har sideflaten også formen på en firkant som er lik basen. Det viser seg at alle tre dimensjonene - lengde, bredde og høyde - er like. Vi kan konkludere med at ABCDA₁B₁C₁D₁ er en terning.
Lengden på en hvilken som helst kant bestemmes gjennom den kjente diagonalen:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Det totale overflatearealet er funnet ved formelen for en kube:
Sful = 6a² = 6 6² = 216
Oppgave 3.
Rommet blir renovert. Det er kjent at gulvet er i form av et torg med et areal på 9 m². Høyden på rommet er 2,5 m. Hva er den laveste kostnaden for å tapetsere et rom hvis 1 m² koster 50 rubler?
Siden gulv og tak er firkanter, det vil si vanlige firkanter, og veggene er vinkelrett på horisontale overflater, kan vi konkludere med at det er et vanlig prisme. Det er nødvendig å bestemme området på sideflaten.
Lengden på rommet er a = √9 = 3 m.
Området vil bli dekket med tapet Sideside = 4 · 3 · 2,5 = 30 m².
Den laveste kostnaden for tapet for dette rommet vil være 50 30 = 1500 rubler.
For å løse problemer på et rektangulært prisme er det derfor nok å kunne beregne arealet og omkretsen til et kvadrat og et rektangel, samt egne formler for å finne volum og overflateareal.
Hvordan finne arealet til en kube
En gren av matematikk som omhandler studiet av egenskapene til forskjellige former (punkter, linjer, vinkler, todimensjonale og tredimensjonale objekter), deres størrelse og relative posisjon. For enkelhets skyld er undervisning inndelt i planimetri og stereometri. V…… Colliers encyklopedi
Geometri av dimensjonsrom større enn tre; begrepet brukes på de mellomrommene, hvis geometri opprinnelig ble utviklet for tre dimensjoner og først deretter generalisert til antall dimensjoner n> 3, først og fremst det euklidiske rommet, ... ... Encyclopedia of matematikk
N dimensjonal euklidisk geometri er en generalisering av euklidisk geometri til et rom med flere dimensjoner. Selv om det fysiske rommet er tredimensjonalt, og menneskelige sanser er designet for å oppfatte tre dimensjoner, er N dimensjonal ... ... Wikipedia
Dette begrepet har andre betydninger, se Pyramidatsu (betydninger). Ektheten til denne delen av artikkelen er blitt stilt spørsmål ved. Du bør kontrollere nøyaktigheten av fakta i denne delen. Det kan være forklaringer på diskusjonssiden ... Wikipedia
- (Constructive Solid Geometry, CSG) teknologi som brukes i solid modellering. Strukturell blokkgeometri er ofte, men ikke alltid, en måte å modellere på i 3D og CAD. Den lar deg lage en kompleks scene eller ... Wikipedia
Constructive Solid Geometry (CSG) er en teknologi som brukes i solid modellering. Strukturell blokkgeometri er ofte, men ikke alltid, en måte å modellere på i 3D og CAD. Hun ... ... Wikipedia
Dette begrepet har andre betydninger, se omfang (betydninger). Volum er en additiv funksjon av settet (mål) som kjennetegner kapasiteten til det romområdet det opptar. Oppsto opprinnelig og ble brukt uten strenge ... ... Wikipedia
Kubetype Vanlig polyeder Ansikt firkantet Vertices Kanter Ansikter ... Wikipedia
Volum er en additiv funksjon av settet (mål) som kjennetegner kapasiteten til det romområdet det opptar. I utgangspunktet oppsto det og ble brukt uten en streng definisjon i forhold til tredimensjonale legemer i tredimensjonalt euklidisk rom. ... ... Wikipedia
En del av rommet avgrenset av en samling av et begrenset antall flate polygoner (se GEOMETRI) koblet på en slik måte at hver side av en polygon er en side av nøyaktig en annen polygon (kalt ... ... Colliers encyklopedi
Bøker
- Et sett med bord. Geometri. Klasse 10. 14 tabeller + metodikk ,. Bordene er trykt på tykt polygrafisk papp 680 x 980 mm i størrelse. Pakken inneholder en brosjyre med retningslinjer for læreren. Utdanningsalbum på 14 ark. ...
Ulike prismer er ikke like. Samtidig har de mye til felles. For å finne området til basis av et prisme, må du finne ut hva slags det har.
Generell teori
Et prisme er et hvilket som helst polyeder, hvis sider er i form av et parallellogram. Videre kan ethvert polyeder være i basen - fra en trekant til en n -gon. Dessuten er prismenes grunnlag alltid lik hverandre. Det gjelder ikke sideflatene - de kan variere betydelig i størrelse.
Når du løser problemer, oppdages ikke bare området på basis av prismen. Kunnskap om sideoverflaten, det vil si alle flater som ikke er baser, kan være nødvendig. Hele overflaten vil allerede være foreningen av alle ansiktene som utgjør prismen.
Noen ganger inkluderer oppgavene høyde. Det er vinkelrett på basene. Diagonalen til et polyeder er et segment som to og to forbinder to hjørner som ikke tilhører samme ansikt.
Det skal bemerkes at området på basen til et rett eller skrått prisme ikke avhenger av vinkelen mellom dem og sideflatene. Hvis de har de samme formene øverst og nederst, vil arealene være like.
Trekantet prisme
Den har en figur med tre hjørner, det vil si en trekant. Det er kjent for å være annerledes. Hvis det er nok å huske at området er bestemt av halve benproduktet.
Den matematiske notasjonen ser slik ut: S = ½ av.
For å finne ut arealet av basen i generell form, er formlene nyttige: Heron og den der halvparten av siden er tatt til høyden trukket til den.
Den første formelen skal skrives slik: S = √ (p (p-a) (p-c) (p-c)). I denne posten er det en halvperimeter (p), det vil si summen av de tre sidene delt på to.
For det andre: S = ½ n a * a.
Hvis du vil kjenne området til bunnen av et trekantet prisme, som er vanlig, viser trekanten seg å være likesidet. Det er en formel for det: S = ¼ a 2 * √3.
Firkantet prisme
Basen er en av de kjente firkantene. Det kan være et rektangel eller firkant, parallellpiped eller rombe. I hvert tilfelle trenger du en annen formel for å beregne arealet til prismen.
Hvis basen er et rektangel, bestemmes arealet slik: S = ab, hvor a, b er sidene av rektanglet.
Når det gjelder et firkantet prisme, beregnes basisarealet til et vanlig prisme ved hjelp av formelen for et kvadrat. For det er han som viser seg å være på bunnen. S = a 2.
I tilfellet når basen er parallellpiped, vil følgende likhet være nødvendig: S = a * na. Det hender at siden av parallelepiped og ett av hjørnene er gitt. For å beregne høyden må du deretter bruke en tilleggsformel: n a = b * sin A. Videre er vinkelen A ved siden av "b", og høyden er n motsatt til denne vinkelen.
Hvis det er en rombe ved foten av prismen, vil den samme formelen være nødvendig for å bestemme arealet som for et parallellogram (siden det er det spesielle tilfellet). Men du kan også bruke dette: S = ½ d 1 d 2. Her er d 1 og d 2 to diagonaler av romben.
Vanlig femkantet prisme
Denne saken innebærer å dele polygonen i trekanter, hvis områder er lettere å finne ut. Selv om det hender at tallene kan være med et annet antall hjørner.
Siden grunnlaget for prismen er en vanlig femkant, kan den deles i fem likesidede trekanter. Deretter er arealet av prismens base lik arealet til en slik trekant (formelen kan ses ovenfor), multiplisert med fem.
Vanlig sekskantet prisme
I henhold til prinsippet beskrevet for et femkantet prisme, er det mulig å dele den grunnleggende sekskanten i 6 likesidede trekanter. Formelen for basisarealet for et slikt prisme er lik den forrige. Bare i det skal multipliseres med seks.
Formelen vil se slik ut: S = 3/2 og 2 * √3.
Oppgaver
№ 1. Gitt en riktig rett linje. Diagonalet er 22 cm, høyden på polyederet er 14 cm. Beregn arealet av prismen og hele overflaten.
Løsning. Basen på prismen er en firkant, men siden er ikke kjent. Du kan finne verdien fra diagonalen til kvadratet (x), som er relatert til prismen (d) og dens høyde (h). x 2 = d 2 - n 2. På den annen side er dette segmentet "x" en hypotenuse i en trekant, hvis ben er lik siden av firkanten. Det vil si x 2 = a 2 + a 2. Dermed viser det seg at a 2 = (d 2 - n 2) / 2.
Erstatt 22 i stedet for d, og erstatt "n" med verdien - 14, så viser det seg at siden av firkanten er 12 cm. Finn nå ut arealet av basen: 12 * 12 = 144 cm 2 .
For å finne ut arealet av hele overflaten må du legge til to ganger grunnarealet og firedoble siden. Sistnevnte finner du enkelt ved å bruke formelen for et rektangel: multipliser høyden på polyederet og siden av basen. Det vil si 14 og 12, dette tallet vil være 168 cm 2. Prismens totale overflateareal er 960 cm 2.
Svar. Basarealet til prismen er 144 cm 2. Hele overflaten er 960 cm 2.
№ 2. Dana Ved basen ligger en trekant med en side på 6 cm. I dette tilfellet er diagonalen på sideflaten 10 cm. Beregn områdene: base og sideflate.
Løsning. Siden prismen er vanlig, er basen en likesidet trekant. Derfor er arealet lik 6 kvadrat, multiplisert med ¼ og kvadratroten til 3. En enkel beregning fører til resultatet: 9√3 cm 2. Dette er området til en base av prismen.
Alle sideflater er like og er rektangler med sider på 6 og 10 cm. For å beregne arealene er det nok å multiplisere disse tallene. Multipliser dem deretter med tre, fordi det er nøyaktig så mange sideflater av prismen. Da viser det laterale overflatearealet seg å være 180 cm 2 sår.
Svar. Områder: base - 9√3 cm 2, prisma på siden - 180 cm 2.