Mrežni kalkulator.
Rešavanje trouglova.

Rješenje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. Tri stranice i tri kuta) pomoću bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.

Ovaj matematički program pronalazi stranice \ (c \), kutove \ (\ alpha \) i \ (\ beta \) duž stranica koje su odredile korisnik \ (a, b \) i kut između njih \ (\ gama \)

Program ne samo da daje odgovor na problem, već prikazuje i proces pronalaženja rješenja.

Ovaj mrežni kalkulator može biti koristan starijim učenicima srednjih škola u pripremama za testove i ispite, prilikom provjere znanja prije ispita, roditeljima za kontrolu rješenja mnogih problema iz matematike i algebre. Ili vam je možda preskupo unajmiti tutora ili kupiti nove udžbenike? Ili samo želite što prije obaviti domaću zadaću iz matematike ili algebre? U ovom slučaju možete koristiti i naše programe s detaljnim rješenjem.

Na ovaj način možete sami voditi nastavu i / ili podučavati svoju mlađu braću ili sestre, dok se povećava nivo obrazovanja u području problema koji se rješavaju.

Ako niste upoznati s pravilima za unos brojeva, preporučujemo da se s njima upoznate.

Pravila za unos broja

Brojevi se mogu postaviti ne samo cijeli, već i razlomljeni.
Cijeli i razlomljeni dijelovi u decimalnim razlomcima mogu se odvojiti tačkom ili zarezom.
Na primjer, možete unijeti decimalne razlomke poput 2,5 ili 2,5

Unesite stranice \ (a, b \) i kut između njih \ (\ gama \)

\ (a = \)
\ (b = \)
\ (\ gama = \)	(u stepenima)

Reši trougao

Utvrđeno je da neke skripte potrebne za rješavanje ovog problema nisu učitane, a program možda neće raditi.
Možda ste omogućili AdBlock.
U tom slučaju onemogućite i osvježite stranicu.

JavaScript je onemogućen u vašem pregledaču.
Da bi se rješenje pojavilo, morate omogućiti JavaScript.
Evo uputstava o tome kako omogućiti JavaScript u svom pregledniku.

Jer Postoji mnogo ljudi koji žele riješiti problem, vaš zahtjev je u redu.
Nakon nekoliko sekundi rješenje će se pojaviti ispod.
Sačekaj molim te sek ...

Ako ti uočio grešku u odluci, onda o tome možete pisati u Obrascu za povratne informacije.
Nemoj zaboraviti naznačite koji zadatak ti odluci i sta unesite u polja.

Naše igre, zagonetke, emulatori:

Malo teorije.

Sinusna teorema

Teorema

Stranice trokuta proporcionalne su sinusima suprotnih kutova:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) = \ frac (c) (\ sin C) $$

Kosinusna teorema

Teorema
Neka je u trokutu ABC AB = c, BC = a, CA = b. Onda
Kvadrat stranice trokuta je zbir kvadrata druge dvije stranice minus dva puta umnožak stranica tih stranica puta kosinus kuta između njih.
$$ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2-2ba \ cos A $$

Rešavanje trouglova

Rješenje trokuta je pronalaženje svih njegovih šest elemenata (tj. Tri stranice i tri kuta) pomoću bilo koja tri dana elementa koji definiraju trokut.

Razmotrimo tri problema za rješavanje trokuta. U ovom slučaju za stranice trokuta ABC koristit ćemo sljedeću notaciju: AB = c, BC = a, CA = b.

Rješavanje trokuta na dvije stranice i ugla između njih

Dano: \ (a, b, \ ugao C \). Pronađi \ (c, \ kut A, \ kut B \)

Rešenje
1. Prema kosinusnoj teoremi nalazimo \ (c \):

$$ c = \ sqrt (a ^ 2 + b ^ 2-2ab \ cos C) $$ 2. Koristeći kosinusnu teoremu, imamo:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

3. \ (\ ugao B = 180 ^ \ circ - \ ugao A - \ ugao C \)

Rješavanje trokuta po strani i susjednim uglovima

Dano: \ (a, \ ugao B, \ ugao C \). Pronađi \ (\ kut A, b, c \)

Rešenje
1. \ (\ ugao A = 180 ^ \ circ - \ ugao B - \ ugao C \)

2. Koristeći sinusnu teoremu, izračunajte b i c:
$$ b = a \ frac (\ sin B) (\ sin A), \ quad c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

Rješavanje trokuta na tri stranice

Dano: \ (a, b, c \). Pronađi \ (\ ugao A, \ ugao B, \ ugao C \)

Rešenje
1. Teoremom kosinusa dobivamo:
$$ \ cos A = \ frac (b ^ 2 + c ^ 2-a ^ 2) (2bc) $$

Iz \ (\ cos A \) nalazimo \ (\ ugao A \) pomoću kalkulatora ili iz tabele.

2. Slično, nalazimo i kut B.
3. \ (\ ugao C = 180 ^ \ circ - \ ugao A - \ ugao B \)

Rješavanje trokuta na dvije stranice i kuta nasuprot poznate stranice

Dano: \ (a, b, \ ugao A \). Pronađi \ (c, \ ugao B, \ ugao C \)

Rešenje
1. Prema sinusnoj teoremi koju nalazimo \ (\ sin B \) dobijamo:
$$ \ frac (a) (\ sin A) = \ frac (b) (\ sin B) \ Rightarrow \ sin B = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A $$

Uvedimo zapis: \ (D = \ frac (b) (a) \ cdot \ sin A \). Ovisno o broju D, mogući su sljedeći slučajevi:
Ako je D> 1, takav trokut ne postoji, budući da \ (\ sin B \) ne može biti veće od 1
Ako je D = 1, postoji samo jedan \ (\ ugao B: \ quad \ sin B = 1 \ Desna strelica \ ugao B = 90 ^ \ circ \)
Ako je D Ako je D 2. \ (\ ugao C = 180 ^ \ circ - \ ugao A - \ ugao B \)

3. Pomoću sinusne teoreme izračunajte stranicu c:
$$ c = a \ frac (\ sin C) (\ sin A) $$

Knjige (udžbenici) Sažeci Jedinstvenog državnog ispita i OGE Online testovi Igre, zagonetke Funkcije iscrtavanja Grafički rječnik ruskog jezika Rječnik omladinskog žargona Katalog ruskih škola Katalog ruskih srednjih škola Katalog ruskih univerziteta Lista zadataka

Transportna i logistička industrija od posebnog su značaja za letonsku ekonomiju jer imaju stalan rast BDP -a i pružaju usluge gotovo svim drugim sektorima nacionalne ekonomije. Svake godine se naglašava da ovaj sektor treba prepoznati kao prioritet i produžiti njegovu promociju, međutim, predstavnici transportnog i logističkog sektora očekuju konkretnija i dugoročna rješenja.

9,1% dodane vrijednosti BDP -u Latvije

Uprkos političkim i ekonomskim promjenama u posljednjoj deceniji, utjecaj transportne i logističke industrije na ekonomiju naše zemlje ostaje visok: 2016. sektor je povećao dodanu vrijednost BDP -u za 9,1%. Štaviše, prosječna mjesečna bruto plata i dalje je veća nego u drugim sektorima - u 2016. u ostalim sektorima privrede iznosila je 859 eura, dok je u sektoru skladištenja i transporta prosječna bruto plata oko 870 eura (1.562 eura - vodeni transport, 2.061 eura - zračni prijevoz, 1059 eura u skladišnim i pomoćnim transportnim djelatnostima itd.).

Posebno ekonomsko područje kao dodatna podrška Rolands petersons privatbank

Pozitivni primjeri logističke industrije su luke koje su razvile dobru strukturu. Luke Riga i Ventspils funkcioniraju kao slobodne luke, a luka Liepaja uključena je u posebnu ekonomsku zonu Liepaja (SEZ). Kompanije koje posluju u slobodnim lukama i SEZ-u mogu dobiti ne samo stopu poreza 0 za carine, trošarine i porez na dodanu vrijednost, već i popust do 80% prihoda kompanije i do 100% poreza na nekretnine .Rolands petersons privatbank Luka aktivno provodi različite investicijske projekte vezane za izgradnju i razvoj industrijskih i distribucijskih parkova. Privlačenje ulaganja promiče stvaranje veće dodane vrijednosti, razvoj proizvodnje, proširenje spektra danih usluga i stvaranje Potrebno je skrenuti pozornost na male luke - SKULTE, Mersrags, SALACGRiVA, Pavilosta, Roja, Jurmala i Engure, koje trenutno zauzimaju stabilan položaj u letonskoj ekonomiji i već su postale regionalni centri ekonomskih aktivnosti.

Luka Liepaja, bit će sljedeći Rotterdam.
Rolands petersons privatbank
Također postoji širok raspon mogućnosti za rast i niz radnji koje se mogu poduzeti kako bi se ispunili predviđeni ciljevi. Postoji snažna potreba za uslugama s visokom dodanom vrijednošću, povećanjem obrađenih količina tereta privlačenjem novih teretnih tokova, visokokvalitetnim putničkim uslugama i uvođenjem suvremenih tehnologija i informacijskih sustava u području tranzita i logistike . Luka Liepaja ima sve šanse da postane drugi Rotterdam u doglednoj budućnosti. Rolands petersons privatbank

Letonija kao distribucijski centar za teret iz Azije i Dalekog istoka. Rolands petersons privatbank

Jedno od najvažnijih pitanja za daljnji rast luke i posebne gospodarske zone je razvoj logističkih i distribucijskih centara, uglavnom usredotočenih na privlačenje robe iz Azije i Dalekog istoka. Letonija može poslužiti kao distribucijski centar za teret u baltičkim i skandinavskim zemljama za Aziju i Daleki istok (npr. Kina, Koreja). Poreski režim Posebne ekonomske zone Liepaja u skladu sa Zakonom "O oporezivanju u slobodnim lukama i posebnim ekonomskim zonama" 31. decembra 2035. To omogućava trgovcima da zaključe ugovor o ulaganju i poreskoj koncesiji do 31. decembra 2035. godine, do postižu ugovoreni nivo pomoći od uloženih sredstava. S obzirom na niz beneficija koje pruža ovaj status, potrebno je razmotriti moguće produženje roka.

Razvoj infrastrukture i proširenje skladišnog prostora Rolands petersons privatbank

Naša prednost leži u činjenici da ne postoji samo strateški geografski položaj, već i razvijena infrastruktura koja uključuje dubokovodne vezove, teretne terminale, cjevovode i teritorije slobodne od teretnog terminala. Osim toga, možemo dodati i dobru strukturu predindustrijske zone, distribucijski park, višenamjensku tehničku opremu, kao i visok nivo sigurnosti ne samo u smislu isporuke, već i u smislu skladištenja i rukovanja robom ... U budućnosti bi bilo preporučljivo posvetiti više pažnje pristupnim cestama (željeznicama i autocestama), povećati volumen skladišnih objekata i povećati broj usluga koje pružaju luke. Učešće na međunarodnim industrijskim izložbama i konferencijama omogućit će privlačenje dodatnih stranih investicija i doprinijet će poboljšanju međunarodnog imidža.

U geometriji često postoje problemi vezani za stranice trokuta. Na primjer, često je potrebno pronaći stranicu trokuta ako su poznate druge dvije.

Trouglovi su jednakokraki, jednakostranični i nestrani. Od svih raznolikosti, za prvi primjer odabrat ćemo pravokutni (u takvom trokutu jedan od kutova ima 90 °, stranice koje su mu susjedne nazivaju se noge, a treći se naziva hipotenuza).

Brza navigacija kroz članak

Dužina stranica pravokutnog trokuta

Rješenje problema slijedi iz teoreme velikog matematičara Pitagore. Kaže da je zbir kvadrata kateta pravokutnog trokuta jednak kvadratu njegove hipotenuze: a² + b² = c²

• Pronađi kvadrat dužine kraka a;
• Pronađi kvadrat kraka b;
• Sastavili smo ih;
• Iz dobivenog rezultata izdvajamo korijen drugog stupnja.

Primjer: a = 4, b = 3, c =?

• a² = 4² = 16;
• b² = 3² = 9;
• 16+9=25;
• √25 = 5. To jest, dužina hipotenuze ovog trougla je 5.

Ako trokut nema pravi kut, duljine dviju stranica nisu dovoljne. Za to je potreban treći parametar: to može biti kut, visina područja trokuta, polumjer upisane kružnice itd.

Ako je perimetar poznat

U ovom slučaju zadatak je još lakši. Obod (P) je zbir svih stranica trokuta: P = a + b + c. Tako rješavanjem jednostavne matematičke jednadžbe dobivamo rezultat.

Primjer: P = 18, a = 7, b = 6, c =?

1) Jednadžbu rješavamo prenošenjem svih poznatih parametara u jednom smjeru iz znaka jednakosti:

2) Umjesto toga zamijenite vrijednosti i izračunajte treću stranu:

c = 18-7-6 = 5, ukupno: treća stranica trokuta je 5.

Ako je ugao poznat

Za izračunavanje treće strane trokuta po kutu i dvije druge stranice, rješenje se svodi na izračunavanje trigonometrijske jednadžbe. Poznavajući odnos stranica trokuta i sinusa kuta, lako je izračunati treću stranicu. Da biste to učinili, morate uokviriti obje strane i zbrajati njihove rezultate. Zatim od dobijenog proizvoda oduzmite stranice pomnožene kosinusom ugla: C = √ (a² + b²-a * b * cosα)

Ako je područje poznato

U ovom slučaju ne može se odustati od jedne formule.

1) Prvo izračunavamo sin γ, izražavajući ga iz formule za površinu trokuta:

sin γ = 2S / (a* b)

2) Pomoću sljedeće formule izračunavamo kosinus istog ugla:

sin² α + cos² α = 1

cos α = √ (1 - sin² α) = √ (1- (2S / (a* b)) ²)

3) I opet koristimo teoremu sinusa:

C = √ ((a² + b²) -a * b * cosα)

C = √ ((a² + b²) -a * b * √ (1- (S / (a ​​* b)) ²))

Zamjenom vrijednosti varijabli u ovu jednadžbu, dobivamo odgovor na problem.

Prvi su segmenti koji su susjedni pravom kutu, a hipotenuza je najduži dio figure i suprotna je kutu od 90 °. Pitagorin trokut je onaj čije su stranice jednake prirodnim brojevima; njihove se dužine u ovom slučaju nazivaju "pitagorejskim trojkama".

Egipatski trokut

Kako bi sadašnja generacija naučila geometriju u obliku u kojem se danas uči u školi, razvijala se nekoliko stoljeća. Osnovna tačka se smatra Pitagorinom teoremom. Stranice pravokutnika poznate su u cijelom svijetu) su 3, 4, 5.

Malo ljudi nije upoznato s izrazom "Pitagorine pantalone jednake u svim smjerovima". Međutim, u stvari, teorema zvuči ovako: c 2 (kvadrat hipotenuze) = a 2 + b 2 (zbir kvadrata nogu).

Među matematičarima, trokut sa stranicama 3, 4, 5 (cm, m itd.) Naziva se "egipatski". Zanimljivo je da je ono što je upisano na slici jednako jedinici. Ime je nastalo oko 5. stoljeća prije nove ere, kada su grčki filozofi putovali u Egipat.

Prilikom izgradnje piramida, arhitekti i geodeti koristili su omjer 3: 4: 5. Pokazalo se da su takve strukture proporcionalne, ugodne za gledanje i prostrane, a rijetko su se i rušile.

Da bi izgradili pravi kut, graditelji su koristili uže na koje je bilo vezano 12 čvorova. U ovom slučaju vjerojatnost konstruiranja pravokutnog trokuta povećala se na 95%.

Znakovi jednakosti oblika

• Oštar kut u pravokutnom trokutu i velika stranica, koji su jednaki istim elementima u drugom trokutu, neosporan su znak jednakosti figura. Uzimajući u obzir zbir kutova, lako je dokazati da su i drugi oštri uglovi jednaki. Dakle, trokuti su isti u drugoj karakteristici.
• Kad se dvije figure međusobno preklapaju, rotiramo ih na takav način da, kada se spoje, postanu jedan jednakokraki trokut. Po svom svojstvu stranice, ili bolje rečeno, hipotenuze, jednake su, kao i kutovi u osnovi, što znači da su ove brojke iste.

Na prvoj osnovi, vrlo je lako dokazati da su trokuti zaista jednaki, glavna stvar je da su dvije manje stranice (tj. Noge) jednake jedna drugoj.

Trouglovi će biti isti u znaku II, čija je suština jednakost kraka i oštrog ugla.

Svojstva trougla pod pravim uglom

Visina spuštena pod pravim kutom dijeli lik na dva jednaka dijela.

Stranice pravokutnog trokuta i njegova medijana lako se prepoznaju po pravilu: medijan, koji je spušten hipotenuzom, jednak je njegovoj polovici. može se pronaći i po Heronovoj formuli i po tvrdnji da je jednaka polovici proizvoda nogu.

U pravokutnom trokutu vrijede svojstva kutova od 30 °, 45 ° i 60 °.

• Pod kutom od 30 °, treba zapamtiti da će suprotna noga biti jednaka 1/2 najveće stranice.
• Ako je ugao 45 °, onda je drugi akutni ugao takođe 45 °. To sugerira da je trokut jednakokračan i da su mu noge iste.
• Svojstvo ugla od 60 stepeni je da treći ugao ima meru od 30 stepeni.

Područje se može lako prepoznati po jednoj od tri formule:

1. kroz visinu i stranu na koju se spušta;
2. prema Heronovoj formuli;
3. sa strane i ugao između njih.

Stranice pravokutnog trokuta, točnije noge, konvergiraju se na dvije visine. Da bi se pronašao treći, potrebno je razmotriti rezultirajući trokut, a zatim, po Pitagorinoj teoremi, izračunati potrebnu dužinu. Osim ove formule, postoji i odnos udvostručene površine i dužine hipotenuze. Najčešći izraz među studentima je prvi, jer zahtijeva manje kalkulacija.

Teoreme primijenjene na pravokutni trokut

Geometrija pravokutnog trokuta uključuje upotrebu teorema kao što su:

U životu se često moramo nositi s matematičkim problemima: u školi, na fakultetu, a zatim pomažemo djetetu pri izradi domaćih zadataka. Ljudi iz određenih zanimanja bit će svakodnevno izloženi matematici. Stoga je korisno zapamtiti ili se prisjetiti matematičkih pravila. U ovom ćemo članku analizirati jedno od njih: pronalaženje kraka pravokutnog trokuta.

Šta je pravi trougao

Sjetimo se prvo što je pravokutni trokut. Pravokutni trokut je geometrijska figura od tri segmenta prave koji povezuju točke koje ne leže na jednoj ravnoj liniji, a jedan od uglova ove figure je 90 stupnjeva. Stranice koje tvore pravi kut nazivaju se noge, a stranica koja leži nasuprot pravom kutu naziva se hipotenuza.

Pronađi katetu pravokutnog trokuta

Postoji nekoliko načina da saznate dužinu noge. Htio bih ih razmotriti detaljnije.

Pitagorina teorema za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Ako znamo hipotenuzu i krak, tada možemo pronaći dužinu nepoznatog kraka pomoću Pitagorine teoreme. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata nogu." Formula: c² = a² + b², gdje je c hipotenuza, a i b su katete. Pretvorimo formulu i dobijemo: a² = c²-b².

Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a kateta 3 cm. Pretvorimo formulu: c² = a² + b² → a² = c²-b². Zatim odlučujemo: a² = 5²-3²; a² = 25-9; a² = 16; a = √16; a = 4 (cm).

Trigonometrijski omjeri za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Također možete pronaći nepoznati krak ako su poznate bilo koje druge stranice i bilo koji oštri ugao pravokutnog trokuta. Postoje četiri mogućnosti za pronalaženje katete pomoću trigonometrijskih funkcija: sinus, kosinus, tangenta, kotangens. Za rješavanje problema pomoći će nam donja tablica. Razmotrimo ove opcije.

Pomoću sinusa pronađite krak pravokutnog trokuta

Sinus ugla (sin) je odnos suprotnog kraka prema hipotenuzi. Formula: sin = a / c, gdje je a kateta nasuprot danog kuta, a c je hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobivamo: a = sin * c.

Primjer. Hipotenuza je 10 cm, kut A je 30 stupnjeva. Prema tablici izračunavamo sinus ugla A, to je 1/2. Zatim pomoću transformirane formule rješavamo: a = sin∠A * c; a = 1/2 * 10; a = 5 (cm).

Pomoću kosinusa pronađite krak pravokutnog trokuta

Kosinus ugla (cos) je odnos susjednog kraka prema hipotenuzi. Formula: cos = b / c, gdje je b kateta uz dati kut, a c je hipotenuza. Pretvorimo formulu i dobijemo: b = cos * c.

Primjer. Ugao A je 60 stepeni, hipotenuza je 10 cm. Prema tabeli izračunavamo kosinus ugla A, to je 1/2. Tada odlučujemo: b = cos∠A * c; b = 1/2 * 10, b = 5 (cm).

Pomoću tangente pronađite krak pravokutnog trokuta

Tangenta kuta (tg) je omjer suprotnog kraka i susjednog kraka. Formula: tg = a / b, gdje je a kateta suprotna od ugla, a b je susjedna. Pretvorimo formulu i dobijemo: a = tg * b.

Primjer. Kut A jednak je 45 stupnjeva, hipotenuza jednaka 10 cm. Prema tablici izračunavamo tangentu kuta A, jednako je Riješi: a = tg∠A * b; a = 1 * 10; a = 10 (cm).

Pomoću kotangensa pronađite krak pravokutnog trokuta

Kotangens ugla (ctg) je omjer susjednog kraka i suprotnog kraka. Formula: ctg = b / a, gdje je b krak uz ugao, a je suprotni krak. Drugim riječima, kotangens je „obrnuta tangenta“. Dobijamo: b = ctg * a.

Primjer. Ugao A je 30 stepeni, suprotna noga je 5 cm. Prema tabeli, tangenta ugla A je √3. Izračunajte: b = ctg∠A * a; b = √3 * 5; b = 5√3 (cm).

Dakle, sada znate kako pronaći katetu u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, to nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.