Vektorski proizvod vektora. Mješoviti proizvod vektora

U ovoj lekciji ćemo pogledati još dvije vektorske operacije: vektorski proizvod vektora i mješoviti proizvod vektora (odmah link, kome treba)... U redu je, ponekad se dogodi da za potpunu sreću, pored tačkasti proizvod vektora, potrebno je sve više i više. Takva je ovisnost o vektorima. Mogao bi se steći dojam da ulazimo u džunglu analitičke geometrije. Ovo nije istina. U ovom odjeljku više matematike općenito nema dovoljno drva za ogrjev, osim što ima dovoljno za Buratina. Zapravo, materijal je vrlo uobičajen i jednostavan - jedva kompliciraniji od istog skalarni proizvod, čak će i tipični zadaci biti manji. Glavna stvar u analitičkoj geometriji, kako će se mnogi uvjeriti ili su već bili uvjereni, NE SMIJE GREŠITI U IZRAČUNIMA. Ponovite kao čaroliju i bit ćete sretni =)

Ako vektori svjetlucaju negdje daleko, poput munje na horizontu, nije važno, počnite s lekcijom Vektori za lutke da povrati ili povrati osnovno znanje o vektorima. Pripremljeniji čitatelji mogu se selektivno upoznati s informacijama, pokušao sam prikupiti najpotpuniju zbirku primjera koji se često nalaze u praktičnim radovima

Kako vam odmah ugoditi? Kad sam bio mali, znao sam žonglirati s dvije ili čak tri loptice. Spretno se ispostavilo. Sada više nećete morati žonglirati, jer ćemo razmotriti samo prostorni vektori, a ravni vektori sa dvije koordinate će biti izostavljeni. Zašto? Tako su nastale te radnje - vektorski i mješoviti proizvod vektora su definirani i djeluju u trodimenzionalnom prostoru. Već je lakše!

Ova operacija, na isti način kao u dot proizvodu, uključuje dva vektora... Neka ovo budu neprolazna slova.

Sama radnja označeno na sledeći način:. Postoje i druge opcije, ali ja sam tako označavao vektorski proizvod vektora, u uglastim zagradama s križem.

I to odmah pitanje: ako je unutra tačkasti proizvod vektora dva vektora su uključena, pa se i ovdje množe dva vektora koja je razlika?? Očigledna razlika je, prije svega, u REZULTATU:

Rezultat tačkastog proizvoda vektora je BROJ:

Vektorski proizvod vektora rezultira VEKTOROM:, to jest, množimo vektore i ponovo dobijamo vektor. Zatvoreni klub. Zapravo, otuda i naziv operacije. U različitoj obrazovnoj literaturi oznake se mogu razlikovati, upotrijebit ću slovo.

Definicija unakrsnog proizvoda

Prvo će biti definicija sa slikom, zatim komentari.

Definicija: Vektorski proizvod nekolinearno vektori, uzeti ovim redosledom, pod nazivom VECTOR, dužine koji brojčano jednaka površini paralelograma izgrađeno na ovim vektorima; vektor ortogonalne na vektore, i usmjeren je tako da osnova ima pravu orijentaciju:

Analiziramo definiciju prema kostima, ima mnogo zanimljivih stvari!

Dakle, mogu se istaknuti sljedeće bitne točke:

1) Originalni vektori, po definiciji označeni crvenim strelicama nije kolinearno... Primjer kolinearnih vektora bit će prikladno razmotriti malo kasnije.

2) Vektori su uzeti po strogo definisanom redosledu: – "A" se množi sa "bh", a ne "bae" na "a". Rezultat množenja vektora je VECTOR, koji je označen plavom bojom. Ako se vektori pomnože obrnutim redoslijedom, dobit ćemo vektor jednake dužine i suprotnog smjera (grimizna boja). Odnosno, jednakost je tačna .

3) Sada se upoznajmo s geometrijskim značenjem vektorskog proizvoda. Ovo je veoma važna tačka! DUŽINA plavog vektora (i, prema tome, grimiznog vektora) numerički je jednaka PODRUČJU paralelograma izgrađenog na vektorima. Na slici je ovaj paralelogram zasjenjen crnom bojom.

Bilješka : crtež je shematski i, naravno, nominalna dužina poprečnog proizvoda nije jednaka površini paralelograma.

Prisjećamo se jedne od geometrijskih formula: površina paralelograma jednaka je umnošku susjednih stranica na sinus kuta između njih... Stoga, na temelju gore navedenog, vrijedi formula za izračunavanje DUŽINE vektorskog proizvoda:

Naglašavam da u formuli govorimo o DUŽINI vektora, a ne o samom vektoru. Koja je praktična poenta? Značenje je da se u problemima analitičke geometrije područje paralelograma često nalazi kroz koncept vektorskog proizvoda:

Uzmimo drugu važnu formulu. Dijagonala paralelograma (crvena isprekidana linija) dijeli ga na dva jednaka trokuta. Stoga se površina trokuta izgrađena na vektorima (crveno sjenčanje) može pronaći po formuli:

4) Jednako važna činjenica je da je vektor ortogonalan na vektore, tj ... Naravno, suprotno usmjereni vektor (grimizna strelica) također je ortogonalan originalnim vektorima.

5) Vektor je usmjeren tako da osnovu Ima desno orijentacija. U lekciji o prelazak na novu osnovu Govorio sam dovoljno detaljno o tome ravninska orijentacija, a sada ćemo shvatiti koja je orijentacija prostora. Objasniću vam na prstima desna ruka... Mentalno kombinovati kažiprst sa vektorom i srednji prst sa vektorom. Prstenjak i ružičasti prst pritisnite na dlan. Kao rezultat thumb 10,50m;- unakrsni proizvod će pogledati gore. Ovo je desno orijentisana osnova (na slici je to to). Sada promijenite vektore ( kažiprst i srednji prst) na mjestima, kao rezultat toga, palac će se otvoriti, a križni proizvod će već gledati prema dolje. Ovo je također osnova orijentirana na desno. Možda imate pitanje: što je osnova lijeve orijentacije? "Dodijeli" istim prstima lijeva ruka vektora, te dobiti lijevu osnovu i lijevu orijentaciju prostora (u ovom slučaju palac će se nalaziti u smjeru donjeg vektora)... Slikovito rečeno, ove baze "uvijaju" ili orijentiraju prostor u različitim smjerovima. I ovaj koncept ne treba smatrati nečim previše naumljenim ili apstraktnim - na primjer, orijentaciju prostora mijenja najobičnije ogledalo, a ako „odbijeni objekt izvučete iz ogledala“, općenito će nije moguće kombinirati s "originalom". Usput, donesite tri prsta do ogledala i analizirajte odraz ;-)

... koliko je dobro što sada znate orjentisano desno i lijevo baze, jer su izjave nekih predavača o promjeni orijentacije strašne =)

Ukršteni proizvod kolinearnih vektora

Definicija je detaljno analizirana, ostaje da se ustanovi što se događa kada su vektori kolinearni. Ako su vektori kolinearni, tada se mogu nalaziti na jednoj pravoj liniji, a naš paralelogram se također "presavija" u jednu ravnu liniju. Područje takvih, kako kažu matematičari, degeneriran paralelogram je nula. Isto slijedi iz formule - sinus od nule ili 180 stupnjeva jednak je nuli, što znači da je područje nula.

Dakle, ako, onda ... Strogo govoreći, sam unakrsni proizvod jednak je nultom vektoru, ali u praksi se to često zanemaruje i piše da je jednostavno jednako nuli.

Poseban slučaj je vektorski proizvod vektora sam po sebi:

Pomoću unakrsnog proizvoda možete provjeriti kolinearnost trodimenzionalnih vektora, a mi ćemo, između ostalih, analizirati i ovaj problem.

Za rješavanje praktičnih primjera možda će vam trebati trigonometrijska tablica da biste iz njega pronašli sinusne vrijednosti.

Pa, zapalimo vatru:

Primjer 1

a) Nađi dužinu vektorskog proizvoda vektora ako

b) Nađi površinu paralelograma izgrađenog na vektorima ako

Rešenje: Ne, ovo nije pravopisna greška, namjerno sam učinio početne podatke u odredbama istim. Zato što će dizajn rješenja biti drugačiji!

a) Prema stanju, potrebno je pronaći Dužina vektor (vektorski proizvod). Prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Budući da je postavljeno pitanje o dužini, tada u odgovoru označavamo dimenziju - jedinice.

b) Prema uslovima, potrebno je pronaći kvadrat paralelogram izgrađen na vektorima. Površina ovog paralelograma je numerički jednaka dužini vektorskog proizvoda:

Odgovor:

Imajte na umu da u odgovoru o vektorskom proizvodu uopće nema pitanja o kojem smo pitani područje figure, dimenzija je kvadratna jedinica.

Uvijek gledamo ŠTA je potrebno da bi se utvrdilo uslovom i na osnovu toga formuliramo jasno odgovor. Možda se čini kao doslovnost, ali među nastavnicima ima dovoljno literalista, pa će se zadatak sa dobrim šansama vratiti na reviziju. Iako ovo nije posebno zategnuto - ako je odgovor netočan, čini se da osoba ne razumije jednostavne stvari i / ili ne razumije suštinu zadatka. Ovaj trenutak se uvijek mora držati pod kontrolom, rješavajući bilo koji problem iz više matematike, ali i iz drugih predmeta.

Gdje je nestalo veliko slovo "en"? U principu, moglo bi se dodatno zaglaviti u rješenju, ali da skratim snimanje, nisam. Nadam se da svi to razumiju i da je to oznaka iste stvari.

Popularni primjer rješenja "uradi sam":

Primjer 2

Nađi površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Formula za pronalaženje površine trokuta kroz umreženi proizvod data je u komentarima na definiciju. Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

U praksi, zadatak je zaista vrlo čest, trokuti vas općenito mogu mučiti.

Za rješavanje drugih problema potrebno nam je:

Svojstva vektorskih proizvoda

Već smo razmotrili neka svojstva unakrsnog proizvoda, međutim, uključit ću ih u ovaj popis.

Za proizvoljne vektore i proizvoljan broj vrijede sljedeća svojstva:

1) U drugim izvorima informacija ova stavka obično nije istaknuta u svojstvima, ali je vrlo važna u praktičnom smislu. Neka bude.

2) - o nekretnini se također govori gore, ponekad se naziva antikomutativnost... Drugim riječima, redoslijed vektora je bitan.

3) - kombinacija ili asocijativan zakoni vektorskog proizvoda. Konstante se neprimjetno uklanjaju izvan vektorskog proizvoda. Zaista, šta bi tamo trebali učiniti?

4) - distribucija ili distributivni zakoni vektorskog proizvoda. Nema problema ni sa proširenjem zagrada.

Kao demonstraciju, razmislite o kratkom primjeru:

Primjer 3

Pronađi ako

Rešenje: Prema uslovu, ponovo je potrebno pronaći dužinu poprečnog proizvoda. Napisimo svoju sličicu:

(1) Prema asocijativnim zakonima pomičemo konstante izvan podjele vektorskog proizvoda.

(2) Pomaknite konstantu iz modula, dok modul "jede" znak minus. Dužina ne može biti negativna.

(3) Ono što slijedi je jasno.

Odgovor:

Vrijeme je da stavite malo drva na vatru:

Primjer 4

Izračunajte površinu trokuta izgrađenog na vektorima ako

Rešenje: Površina trokuta se nalazi po formuli ... Kvaka je u tome što su vektori "tse" i "de" sami predstavljeni kao zbroji vektora. Ovdje je algoritam standardni i donekle podsjeća na primjere 3 i 4 lekcije Tačkasti proizvod vektora... Radi jasnoće, podijelimo rješenje u tri faze:

1) U prvom koraku izražavamo vektorski proizvod u smislu vektorskog proizvoda, u stvari, izrazite vektor u terminima vektora... O dužinama još ni riječi!

(1) Zamjenski vektorski izrazi.

(2) Koristeći distributivne zakone, proširujemo zagrade prema pravilu množenja polinoma.

(3) Koristeći asocijativne zakone, pomičemo sve konstante izvan vektorskih proizvoda. Uz malo iskustva, radnje 2 i 3 mogu se izvoditi istovremeno.

(4) Prvi i posljednji član jednaki su nuli (nulti vektor) zbog ugodnog svojstva. U drugom terminu koristimo svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda:

(5) Predstavljamo slične pojmove.

Kao rezultat toga, vektor je izražen u smislu vektora, što je bilo potrebno postići:

2) U drugom koraku pronalazimo dužinu vektorskog proizvoda koji nam je potreban. Ova radnja sliči primjeru 3:

3) Pronađite površinu traženog trokuta:

Faze 2-3 se mogu dovršiti u jednom retku.

Odgovor:

Razmatrani problem je prilično čest u ispitnim radovima, evo primjera za neovisno rješenje:

Primjer 5

Pronađi ako

Kratko rješenje i odgovor na kraju vodiča. Da vidimo koliko ste bili pažljivi pri proučavanju prethodnih primjera ;-)

Vektorski proizvod vektora u koordinatama

dato na ortonormalnoj osnovi, izraženo formulom:

Formula je zaista jednostavna: u gornji red odrednice upisujemo koordinatne vektore, u drugi i treći red "stavljamo" koordinate vektora i stavljamo po strogom redu- prvo koordinate vektora "ve", zatim koordinate vektora "double-ve". Ako je potrebno vektore pomnožiti različitim redoslijedom, potrebno je zamijeniti redove:

Primjer 10

Provjerite jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:
a)
b)

Rešenje: Provjera se zasniva na jednoj od izjava u ovoj lekciji: ako su vektori kolinearni, tada je njihov umreženi proizvod jednak nuli (vektor nule): .

a) Pronađite unakrsni proizvod:

Dakle, vektori nisu kolinearni.

b) Pronađite unakrsni proizvod:

Odgovor: a) nije kolinearno, b)

Ovdje su, možda, svi osnovni podaci o vektorskom proizvodu vektora.

Ovaj odjeljak neće biti velik, jer postoji nekoliko zadataka u kojima se koristi mješoviti vektorski proizvod. Zapravo, sve će počivati na definiciji, geometrijskom značenju i par radnih formula.

Mješoviti proizvod vektora je proizvod tri vektora:

Pa su se postrojili s malim vlakom i čekaju, jedva čekaju da ih saznaju.

Prvo, opet definicija i slika:

Definicija: Mješoviti rad nekoplanarno vektori, uzeti ovim redosledom se zove zapremina paralelopipeda, izgrađen na datim vektorima, opremljen znakom “+” ako je osnova desna i znakom “-” ako je osnova lijeva.

Dovršimo crtež. Nama nevidljive linije iscrtane su isprekidanom linijom:

Zaronimo u definiciju:

2) Vektori su uzeti određenim redosledom, odnosno permutacija vektora u proizvodu, kao što možete pretpostaviti, ne prolazi bez posljedica.

3) Prije nego što komentiram geometrijsko značenje, primijetit ću očitu činjenicu: mješoviti proizvod vektora je BROJ:. U obrazovnoj literaturi dizajn može biti nešto drugačiji, navikao sam označavati mješovito djelo kroz, a rezultat proračuna slovom "pe".

A-priorat mješoviti proizvod je volumen paralelepipeda izgrađeno na vektorima (slika je nacrtana crvenim vektorima i crnim linijama). Odnosno, broj je jednak volumenu ovog paralelepipeda.

Bilješka : crtež je shematski.

4) Nemojmo se opet znojiti s konceptom orijentacije osnove i prostora. Značenje posljednjeg dijela je da se volumenu može dodati znak minus. Jednostavnim riječima, mješovito djelo može biti negativno :.

Formula za izračunavanje zapremine paralelepipeda izgrađenog na vektorima slijedi direktno iz definicije.

7.1. Definicija unakrsnog proizvoda

Tri nekoplanarna vektora a, b i c, uzeti u naznačenom redoslijedu, tvore desnu trojku, ako se s kraja trećeg vektora c vidi najkraća rotacija od prvog vektora a do drugog vektora b u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a lijevo, ako je u smjeru kazaljke na satu (vidi sliku 16).

Vektorski proizvod vektora a pomoću vektora b je vektor c, koji:

1. Okomito na vektore a i b, odnosno c ^ a i c ^ b;

2. Ima dužinu numerički jednaku površini paralelograma izgrađenog na vektorima a ib kao i sa strane (vidi sliku 17), tj.

3. Vektori a, b i c tvore desnu trojku.

Ukršteni proizvod označava se a x b ili [a, b]. Definicija vektorskog proizvoda direktno implicira sljedeće relacije između vektora i, j i k(vidi sliku 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažimo, na primjer, to i hj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) | k | = 1, ali | i x j| = | i | | J | sin (90 °) = 1;

3) vektore i, j i kčine desnu trojku (vidi sliku 16).

7.2. Svojstva vektorskih proizvoda

1. Kada se faktori preurede, vektorski proizvod mijenja znak; a hb = (b ha) (vidi sliku 19).

Vektori a xb i b su kolinearni, imaju iste module (područje paralelograma ostaje nepromijenjeno), ali suprotnih smjerova (trojke a, b, a xb i a, b, b x a suprotne orijentacije). To je a xb = -(b xa).

2. Vektorski proizvod posjeduje kombinacijsko svojstvo u odnosu na skalarni faktor, to jest, l (a hb) = (l a) h b = a h (l b).

Neka je l> 0. Vektor l (a xb) je okomit na vektore a i b. Vektor ( l sjekira b je također okomit na vektore a i b(vektori a, l i leže u istoj ravni). Otuda i vektori l(a xb) i ( l sjekira b collinear. Očigledno, njihovi smjerovi se podudaraju. Imaju istu dužinu:

Zbog toga l(a hb) = l a xb. Slično se može dokazati za l<0.

3. Dva ne nula vektora a i b kolinearne ako i samo ako je njihov umreženi proizvod jednak nultom vektoru, tj. a || b<=>a xb = 0.

Konkretno, i * i = j * j = k * k = 0.

4. Vektorski proizvod ima svojstvo distribucije:

(a + b) xc = a xc + b xc.

Prihvatićemo to bez dokaza.

7.3. Izražavanje unakrsnog proizvoda u smislu koordinata

Koristit ćemo tablicu unakrsnih proizvoda vektora i, j i k:

ako se smjer najkraće staze od prvog vektora do drugog poklapa sa smjerom strelice, tada je proizvod jednak trećem vektoru, ako nije, treći vektor se uzima sa znakom minus.

Neka su data dva vektora a = a x i + a y j+ a z k i b = b x i+ b y j+ b z k... Pronađimo umreženi proizvod ovih vektora, množeći ih kao polinome (prema svojstvima unakrsnog proizvoda):

Dobivena formula može se napisati još kraće:

budući da desna strana jednakosti (7.1) odgovara proširenju odrednice trećeg reda u smislu elemenata prvog reda, jednakost (7.2) je lako zapamtiti.

7.4. Neke aplikacije vektorskog rada

Uspostavljanje kolinearnih vektora

Pronalaženje površine paralelograma i trokuta

Prema definiciji vektorskog proizvoda vektora a i b | a xb | =| a | * | b | sin g, odnosno S parovi = | a x b |. Dakle, D S = 1/2 | a x b |.

Određivanje momenta sile u odnosu na tačku

Neka se sila primijeni u točki A F = AB pusti to O- neku tačku u prostoru (vidi sliku 20).

Iz fizike je poznato da moment sile F u odnosu na tačku O naziva se vektor M, koja prolazi kroz tačku O i:

1) okomito na ravninu koja prolazi kroz tačke O, A, B;

2) brojčano jednak umnošku sile po ramenu

3) čini desnu trojku s vektorima OA i AB.

Stoga je M = OA x F.

Pronalaženje linearne brzine rotacije

Brzina v tačka M krutog tijela koje se okreće kutnom brzinom w oko fiksne osi, određuje se Eulerovom formulom v = w hr, gdje je r = OM, gdje je O neka fiksna točka osi (vidi sliku 21).

Konačno sam se dočepao opsežne i dugo očekivane teme analitička geometrija... Prvo, malo o ovom odjeljku više matematike ... Sigurno se sada podsjećate na školski tečaj geometrije s brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Šta skrivati, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Analitička geometrija, začudo, može izgledati zanimljivija i pristupačnija. Šta znači pridjev analitički? Odmah mi padaju na pamet dva matematička zavoja: "metoda grafičkog rješenja" i "metoda analitičkog rješenja". Grafička metoda, naravno, povezano je s konstrukcijom grafikona, crteža. Analitički isto metoda uključuje rješavanje problema pretežno kroz algebarske radnje. S tim u vezi, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan, često je dovoljno samo pažljivo primijeniti potrebne formule - i odgovor je spreman! Ne, naravno, uopće neće proći bez crteža, osim toga, radi boljeg razumijevanja materijala, pokušat ću ih navesti izvan potrebe.

Otvoreni kurs lekcija iz geometrije ne pretenduje na teoretsku potpunost, fokusiran je na rješavanje praktičnih problema. U svoja predavanja uvrstiću samo ono što je, sa moje tačke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako vam je potrebna potpunija pomoć u bilo kojem pododjeljku, preporučujem sljedeću lako dostupnu literaturu:

1) Stvar s kojom je, bez šale, upoznato nekoliko generacija: Školski udžbenik geometrije, autori - L.S. Atanasyan i kompanija... Ova vješalica školske svlačionice već je izdržala 20 (!) Reprinta, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma... Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T... Ovo je srednjoškolska literatura, trebat će vam prvi tom... Rijetki zadaci mogu mi pasti s vidika, a ovaj vodič bit će od neprocjenjive pomoći.

Obje knjige se mogu besplatno preuzeti na Internetu. Osim toga, moju arhivu možete koristiti s gotovim rješenjima koja se mogu pronaći na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Iz priručnika ponovo predlažem vlastiti razvoj - softverski paket o analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitatelj upoznat s osnovnim geometrijskim pojmovima i oblicima: točkom, linijom, ravninom, trokutom, paralelogramom, paralelepipedom, kockom itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorinu teoremu, zdravo ponavljačima)

A sada ćemo sekvencijalno razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, koordinate vektora. Nadalje preporučujem čitanje ključni članak Tačkasti proizvod vektora i takođe Vektorski i mješoviti proizvod vektora... Lokalni zadatak - podjela segmenta u tom pogledu također neće biti suvišna. Na osnovu gore navedenih podataka možete savladati jednačina prave linije na ravni sa najjednostavniji primjeri rješenjašto će omogućiti naučiti rješavati probleme iz geometrije... Sledeći članci su takođe od pomoći: Jednačina ravni u prostoru, Jednačine prave linije u prostoru, Osnovni zadaci na liniji i ravni, drugi dijelovi analitičke geometrije. Naravno, usput će razmotriti tipične zadatke.

Vektorski koncept. Free Vector

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vector pozvao režirano segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

U ovom slučaju početak segmenta je točka, kraj segmenta je točka. Sam vektor se označava sa. Smjer bitno je, ako strelicu preuredite na drugi kraj segmenta, dobit ćete vektor, a to je već potpuno drugačiji vektor... Zgodno je izjednačiti pojam vektora s kretanjem fizičkog tijela: morate se složiti, ulazak na vrata instituta ili napuštanje vrata instituta potpuno su različite stvari.

Pogodno je pojedine tačke ravni, prostor smatrati tzv nulti vektor... Takav vektor ima isti kraj i početak.

!!! Bilješka: U nastavku možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravnini ili pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština prikazanog materijala vrijedi i za ravninu i za prostor.

Legenda: Mnogi su odmah primijetili štapić bez strelice u oznaci i rekli da su na isto mjesto stavili strelicu na vrh! Istina, možete pisati sa strelicom :, ali je takođe moguće unos koji ću koristiti u budućnosti... Zašto? Očigledno, takva se navika razvila iz praktičnih razloga, moji strijelci su se pokazali previše šarolikim i čupavim u školi i na fakultetu. U obrazovnoj literaturi ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pismom, već označavaju slova podebljanim:, čime se implicira da je to vektor.

To je bio stil, ali sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati s dva velika latinična slova:
itd. U ovom slučaju prvo slovo obavezno označava početnu točku vektora, a drugo slovo označava krajnju točku vektora.

2) Vektori se takođe pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor se može preurediti za sažetost malim latiničnim slovom.

Dužina ili modul ne nula vektor je dužina segmenta. Dužina nultog vektora je nula. Logično je.

Dužina vektora označena je znakom modula :,

Nešto kasnije ćemo naučiti (ili ponoviti, za koga kako) kako pronaći dužinu vektora.

To su bile osnovne informacije o vektoru, poznate svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv besplatni vektor.

Ako je sasvim jednostavno - vektor se može odgoditi sa bilo koje tačke:

Nekad smo takve vektore nazivali jednakima (definicija jednakih vektora bit će navedena u nastavku), ali sa čisto matematičkog stajališta to je JEDAN I ISTI VEKTOR ili besplatni vektor... Zašto besplatno? Zato što u toku rješavanja problema možete "pričvrstiti" ovaj ili onaj vektor na BILO KOJU tačku ravni ili prostora koji vam je potreban. Ovo je jako cool imanje! Zamislite vektor proizvoljne dužine i smjera - on se može "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj tački prostora, ustvari, postoji SVOJU GDJE. Postoji student koji kaže: Svaki predavač ima jebeni vektor. Uostalom, ne samo duhovita rima, sve je matematički ispravno - vektor se također može pričvrstiti tamo. Ali ne žurite s veseljem, sami učenici češće pate =)

Dakle, besplatni vektor- ovo je mnogo identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, data na početku odlomka: "Vektor se naziva usmjereni segment ...", podrazumijeva specifično usmjereni segment preuzet iz datog skupa, koji je vezan za određenu tačku u ravni ili prostoru.

Treba napomenuti da je sa stanovišta fizike koncept slobodnog vektora općenito netačan, a tačka primjene vektora je važna. Zaista, direktan udarac iste sile po nosu ili čelu bit će dovoljan za razvoj mog glupog primjera koji povlači različite posljedice. Kako god, nije besplatno vektori se takođe nalaze u toku srednje škole (ne idite tamo :)).

Radnje sa vektorima. Kolinearni vektori

U školskom tečaju geometrije razmatraju se brojne radnje i pravila s vektorima: sabiranje prema pravilu trokuta, sabiranje prema pravilu paralelograma, pravilo vektorske razlike, množenje vektora brojem, skalarni proizvod vektora itd. Za sjeme ćemo ponoviti dva pravila koja su posebno relevantna za rješavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo sabiranja vektora prema pravilu trouglova

Razmotrimo dva proizvoljna ne nula vektora i:

Potrebno je pronaći zbir ovih vektora. Budući da se svi vektori smatraju slobodnima, odbacujemo vektor iz kraj vektori:

Zbir vektora je vektor. Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je u to unijeti fizičko značenje: neka neko tijelo napravi putanju duž vektora, a zatim duž vektora. Tada je zbir vektora vektor rezultirajuće putanje s početkom na polaznoj točki i završetkom na točki dolaska. Slično pravilo formulirano je za zbir bilo kojeg broja vektora. Kao što se kaže, tijelo može krenuti snažno duž cik -cak, a možda i na autopilotu - prema rezultirajućem vektoru zbroja.

Usput, ako je vektor odgođen iz start vektor, dobijate ekvivalent pravilo paralelograma dodavanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se zovu collinear ako leže na jednoj pravoj liniji ili na paralelnim linijama. Grubo govoreći, govorimo o paralelnim vektorima. Ali u odnosu na njih, uvijek se koristi pridjev "kolinearni".

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, tada se takvi vektori pozivaju ko-režija... Ako su strelice usmjerene u različitim smjerovima, tada će vektori biti suprotan smjer.

Legenda: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenim simbolom paralelizma :, dok su moguće pojedinosti: (vektori su ko-usmjereni) ili (vektori su usmjereni suprotno).

Po proizvodu broj različit od nule je takav vektor čija je dužina jednaka, a vektori su usmjereni i suprotno usmjereni.

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti pomoću slike:

Shvatimo detaljnije:

1) Pravac. Ako je faktor negativan, tada je vektor menja smer na suprotno.

2) Dužina. Ako je faktor unutar ili, tada je dužina vektora opada... Dakle, dužina vektora je polovina dužine vektora. Ako je modul veći od jedan, tada je dužina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok je jedan vektor izražen drugim putem, na primjer ,. I obrnuto je tačno: ako se jedan vektor može izraziti pomoću drugog, onda su takvi vektori nužno kolinearni. Dakle: pomnožimo li vektor s brojem, dobit ćemo kolinearnost(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kodirekcijski. Vektori su takođe kodirekcijski. Bilo koji vektor prve grupe je suprotno usmjeren u odnosu na bilo koji vektor druge grupe.

Koji vektori su jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su kodirekcijski i imaju istu dužinu... Imajte na umu da kodirekcionalnost podrazumijeva kolinearne vektore. Definicija će biti netočna (suvišna) ako kažemo: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearna, kodirekcijska i imaju istu dužinu."

Sa stanovišta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su jedan te isti vektor, o čemu je već bilo riječi u prethodnom paragrafu.

Vektorske koordinate na ravni i u svemiru

Prva tačka je razmatranje vektora na ravni. Predstavljamo kartezijanski pravokutni koordinatni sistem i odvajamo se od ishodišta koordinata samac vektori i:

Vektori i ortogonalna... Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavate na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti, koristimo riječi kolinearnost i ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektora piše se uobičajenim simbolom okomitosti, na primjer :.

Vektori koji se razmatraju nazivaju se koordinatni vektori ili orts... Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Ono što je osnova, mislim da je mnogima intuitivno jasno, detaljnije informacije mogu se pronaći u članku Linearna (ne) ovisnost vektora. Osnove vektora Jednostavnim riječima, osnova i podrijetlo koordinata definiraju cijeli sustav - ovo je neka vrsta temelja na kojem je pun i bogat geometrijski život u jeku.

Ponekad se konstruirana osnova naziva ortonormalno osnova ravnine: "orto" - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev "normaliziran" označava jedinicu, tj. dužine vektora osnove jednake su jedinici.

Oznaka: osnova je obično napisana u zagradama, unutar kojih u strogom nizu bazni vektori su navedeni, na primjer :. Koordinatni vektori to je zabranjeno preurediti.

Bilo koji vektorska ravan jedinstven način izraženo kao:
, gdje - brojevi koji se zovu vektorske koordinate na ovoj osnovi. I sam izraz pozvao razlaganje vektorana osnovu .

Večera se poslužuje:

Počnimo s prvim slovom abecede :. Crtež jasno pokazuje da se pri proširivanju vektora u smislu baze koriste upravo razmatrani:
1) pravilo množenja vektora brojem: i;
2) sabiranje vektora prema pravilu trougla :.

Sada mentalno odvojite vektor od bilo koje druge tačke u ravni. Sasvim je očito da će ga njegovo propadanje "nemilosrdno pratiti". Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (besplatni) vektori ne moraju biti odgađani od ishodišta, jedan se može nacrtati, na primjer, dolje lijevo, a drugi gore desno, i od ovoga se ništa neće promijeniti! Istina, ne morate to raditi, jer će i učitelj pokazati originalnost i privući vas "zaslužnim" na neočekivano mjesto.

Vektori tačno ilustriraju pravilo množenja vektora brojem, vektor je u kodirekcijskom smjeru s osnovnim vektorom, vektor je suprotan osnovnom vektoru. Ovi vektori imaju jednu od koordinata jednaku nuli, što se može pedantno napisati na sljedeći način:

A osnovni vektori, usput, ovako: (u stvari, oni su izraženi kroz sebe).

I na kraju:,. Usput, šta je vektorsko oduzimanje i zašto nisam govorio o pravilu oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj sabiranja. Dakle, proširenja vektora "de" i "e" tiho se zapisuju kao zbir :, ... Preuredite pojmove i ucrtajte na crtežu kako dobro staro sabiranje vektora prema pravilu trokuta jasno funkcionira u tim situacijama.

Razmatrana dekompozicija oblika ponekad se naziva i vektorska dekompozicija u sistemu ort(tj. u sistemu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način pisanja vektora, uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami osnovni vektori su zapisani na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su navedene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri mogućnosti snimanja.

Sumnjao sam da li da govorim, ali ću ipak reći: koordinate vektora se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mestu zapišite koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru, strogo na drugom mestu zapiši koordinatu koja odgovara jediničnom vektoru. Zaista, i postoje dva različita vektora.

Shvatili smo koordinate u avionu. Pogledajmo sada vektore u 3D prostoru, ovdje je gotovo isto! Bit će dodana još samo jedna koordinata. Trodimenzionalne crteže je teško izvesti, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću radi jednostavnosti odgoditi od ishodišta:

Bilo koji vektor trodimenzionalnog prostora može jedini način proširiti na ortonormalnu osnovu:
, gdje su koordinate vektora (broja) u datoj bazi.

Primjer sa slike: ... Pogledajmo kako ovdje funkcioniraju pravila vektora. Prvo, pomnožite vektor brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (grimizna strelica). Drugo, evo primjera dodavanja nekoliko, u ovom slučaju tri, vektora :. Vektor zbroja počinje na početnoj tački polaska (početak vektora) i počiva na konačnoj tački dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora, naravno, također su slobodni, pokušajte mentalno odgoditi vektor s bilo koje druge točke i shvatit ćete da će njegovo razlaganje "ostati s njim".

Slično ravnom kućištu, pored pisanja verzije sa zagradama su u širokoj upotrebi: bilo.

Ako u proširenju nema jednog (ili dva) koordinatna vektora, na njihovo mjesto stavljaju se nule. Primjeri:
vektor (pedantno ) - zapišite;
vektor (pedantno ) - zapišite;
vektor (pedantno ) - zapisat ćemo.

Osnovni vektori se zapisuju na sljedeći način:

Ovo je, možda, sve minimalno teorijsko znanje potrebno za rješavanje problema u analitičkoj geometriji. Možda postoji mnogo izraza i definicija, pa preporučujem lutkama da ponovo pročitaju i shvate ove informacije. Bilo bi korisno za svakog čitatelja da se povremeno osvrne na osnovnu lekciju radi bolje usvajanja materijala. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti često će se koristiti u nastavku. Napominjem da materijali web stranice nisu dovoljni za polaganje teorijskog ispita, kolokvijuma o geometriji, jer pažljivo šifriram sve teoreme (osim bez dokaza) - na štetu naučnog stila izlaganja, ali plus vašem razumijevanju predmeta. Da biste dobili detaljnu teorijsku podlogu, molim vas da se poklonite profesoru Atanasjanu.

I prelazimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Radnje s vektorima u koordinatama

Vrlo je poželjno naučiti rješavati zadatke koji će se razmatrati na punoj mašini, te formule zapamtiti, čak ni posebno pamćenje, i oni će sami biti zapamćeni =) Ovo je vrlo važno, budući da su drugi problemi analitičke geometrije zasnovani na najjednostavnijim elementarnim primjerima, te će biti neugodno provoditi dodatno vrijeme jedući pijune. Nema potrebe za pričvršćivanjem gornjih dugmadi na majici, mnoge stvari su vam poznate iz škole.

Prezentacija materijala odvijat će se paralelno - kako za avion tako i za svemir. Iz razloga što ćete sve formule ... vidjeti sami.

Kako pronaći vektor po dvije točke?

Ako su zadane dvije točke ravnine, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su date dvije tačke prostora i vektor ima sljedeće koordinate:

To je, od koordinata kraja vektora morate oduzeti odgovarajuće koordinate početak vektora.

Vježba: Za iste točke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

Zadane su dvije točke ravnine i. Pronađite vektorske koordinate

Rešenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, mogao bi se koristiti sljedeći unos:

Esteti će se odlučiti na ovaj način:

Lično sam navikao na prvu verziju snimka.

Odgovor:

Prema uvjetu, nije bilo potrebno izgraditi crtež (što je tipično za zadatke analitičke geometrije), ali da bih objasnio neke točke lutkama, neću biti lijen:

Imperativ je za razumevanje razlika između koordinata tačke i koordinata vektora:

Koordinate tačaka Da li su uobičajene koordinate u pravokutnom koordinatnom sistemu. Mislim da svi znaju kako postaviti tačke na koordinatnu ravan od 5-6 razreda. Svaka točka ima strogo mjesto u ravnini i ne možete ih nigdje pomaknuti.

Koordinate istog vektora Je li u ovom slučaju njegovo širenje osnova. Svaki vektor je slobodan, pa ga po potrebi možemo lako odvojiti od neke druge točke na ravnini. Zanimljivo je da je za vektore moguće uopće ne graditi osi, pravokutni koordinatni sustav, potrebna je samo osnova, u ovom slučaju ortonormalna osnova ravnine.

Čini se da su zapisi koordinata tačaka i koordinata vektora slični :, i značenje koordinata apsolutno drugačiji i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika, naravno, vrijedi i za svemir.

Dame i gospodo, punimo ruku:

Primjer 2

a) Bodovi se i daju. Pronađi vektore i.
b) Bodovi se dobijaju i. Pronađi vektore i.
c) Bodovi se i daju. Pronađi vektore i.
d) Bodovi se dobijaju. Pronađite vektore .

Možda dosta. Ovo su primjeri za neovisno rješenje, pokušajte ih ne zanemariti, isplatit će se ;-). Nema potrebe za crtanjem. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Šta je važno pri rješavanju problema iz analitičke geometrije? Važno je biti krajnje oprezan kako biste izbjegli grešku radionice "dva plus dva jednako nuli". Odmah se izvinjavam ako sam negdje pogriješio =)

Kako pronaći dužinu segmenta linije?

Dužina je, kao što je već napomenuto, označena znakom modula.

Ako su date dvije točke ravnine i, tada se dužina segmenta može izračunati formulom

Ako su zadane dvije točke prostora, tada se duljina segmenta može izračunati formulom

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se odgovarajuće koordinate preurede: i, ali prva je opcija standardnija.

Primjer 3

Rešenje: prema odgovarajućoj formuli:

Odgovor:

Radi jasnoće, nacrtaću crtež

Odjeljak - ovo nije vektor, i naravno ne možete ga nigdje premjestiti. Osim toga, ako dovršite crtež u mjerilu: 1 jedinica. = 1 cm (dvije ćelije za bilježnicu), tada se dobijeni odgovor može provjeriti običnim ravnalom direktnim mjerenjem dužine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali postoji još nekoliko važnih točaka koje bih želio pojasniti:

Prvo, u odgovor stavljamo dimenziju: "jedinice". Uslov ne kaže ŠTA je to, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga bi matematički ispravno rješenje bila opća formulacija: "jedinice" - skraćeno "jedinica".

Drugo, ponovit ćemo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za problem koji se razmatra:

obratite pažnju na važna tehnika – vađenje faktora ispod korijena... Kao rezultat proračuna dobili smo rezultat, a dobar matematički stil uključuje vađenje faktora iz korijena (ako je moguće). Detaljnije, proces izgleda ovako: ... Naravno, ostavljanje odgovora u obliku neće biti greška - već nedostatak, zasigurno, i značajan argument za branje gnjida od strane učitelja.

Drugi uobičajeni slučajevi su:

Često se, primjerice, pod korijenom dobije prilično velik broj. Šta učiniti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjerite je li broj djeljiv sa 4 :. Da, potpuno je podijeljen, ovako: ... Ili se možda broj ponovo može podijeliti sa 4? ... Dakle: ... Zadnja znamenka broja je neparna, pa očito nije moguće podijeliti sa 4 po treći put. Pokušavamo podijeliti sa devet :. Kao rezultat:
Ready.

Izlaz: ako se ispod korijena dobije broj koji se ne može izvući, tada pokušavamo ukloniti množitelj ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo je li broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49 itd.

U rješavanju različitih problema često se nailazi na korijene, uvijek pokušajte izvući faktore ispod korijena kako biste izbjegli nižu ocjenu i nepotrebne probleme s usavršavanjem vaših rješenja prema primjedbi nastavnika.

Ponovimo kvadraturu i druge moći istovremeno:

Pravila općenitog bavljenja diplomama mogu se pronaći u školskom udžbeniku o algebri, ali mislim da je iz navedenih primjera sve ili gotovo sve već jasno.

Zadatak za neovisno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Bodovi i se daju. Pronađite dužinu segmenta linije.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako mogu pronaći dužinu vektora?

Ako je dan ravni vektor, tada se njegova dužina izračunava formulom.

Ako je dan vektor prostora, tada se njegova dužina izračunava formulom .

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije nego što damo pojam vektorskog proizvoda, prijeđimo na pitanje orijentacije uređene trojke vektora a →, b →, c → u trodimenzionalnom prostoru.

Ostavimo za početak vektore a →, b →, c → iz jedne tačke. Orijentacija trojke a →, b →, c → može biti desna ili lijeva, ovisno o smjeru samog vektora c →. Iz smjera u kojem se vrši najkraća rotacija od vektora a → do b → s kraja vektora c →, bit će određen oblik trojke a →, b →, c →.

Ako je najkraća rotacija suprotna od kazaljke na satu, tada se naziva trojka vektora a →, b →, c → desno ako u smjeru kazaljke na satu - lijevo.

Zatim uzmite dva nekolinearna vektora a → i b →. Odgodimo tada vektore A B → = a → i A C → = b → iz točke A. Konstruiramo vektor A D → = c →, koji je istovremeno okomit na A B → i A C →. Dakle, pri konstrukciji samog vektora A D → = c → možemo učiniti dvije stvari, dajući mu jedan ili suprotni smjer (vidi ilustraciju).

Uređena trojka vektora a →, b →, c → može biti, kako smo saznali, desna ili lijeva, ovisno o smjeru vektora.

Iz navedenog možemo uvesti definiciju unakrsnog proizvoda. Ova definicija je dana za dva vektora definirana u pravokutnom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora.

Definicija 1

Vektorski proizvod dva vektora a → i b → nazvat ćemo takav vektor dan u pravokutnom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora tako da:

ako su vektori a → i b → kolinearni, bit će nula;
bit će okomita na vektor a → i vektor b → tj. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2;
njegova dužina je određena formulom: c → = a → b → sin ∠ a →, b →;
trojka vektora a →, b →, c → ima istu orijentaciju kao dati koordinatni sistem.

Vektorski proizvod vektora a → i b → ima sljedeći zapis: a → × b →.

Vektorske koordinate proizvoda

Budući da bilo koji vektor ima određene koordinate u koordinatnom sistemu, moguće je uvesti drugu definiciju umreženog proizvoda, koja će omogućiti pronalaženje njegovih koordinata prema zadanim koordinatama vektora.

Definicija 2

U pravokutnom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora vektorski proizvod dva vektora a → = (a x; a y; a z) i b → = (b x; b y; b z) naziva se vektor c → = a → × b → = (ay bz - az po) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax po - ay bx) k →, gdje je i,, j →, k → su koordinatni vektori.

Vektorski proizvod može se predstaviti kao odrednica kvadratne matrice trećeg reda, gdje su prvi red vektori jediničnih vektora i →, j →, k →, drugi red sadrži koordinate vektora a →, a treći sadrži koordinate vektora b → u danom pravokutnom koordinatnom sistemu, ova odrednica matrice izgleda ovako: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

Proširujući ovu odrednicu na elemente prvog reda, dobivamo jednakost: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Svojstva vektorskih proizvoda

Poznato je da je vektorski proizvod u koordinatama predstavljen kao determinanta matrice c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z, tada na osnovu svojstva determinante matrice prikazuje sledeće vektorska svojstva proizvoda:

antikomutativnost a → × b → = - b → × a →;
distributivnost a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → ili a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) →;
asocijativnost λ a → × b → = λ a → × b → ili a → × (λ b →) = λ a → × b →, gdje je λ proizvoljan realan broj.

Ove osobine nije teško dokazati.

Na primjer, možemo dokazati svojstvo antikomutativnosti vektorskog proizvoda.

Dokaz o antikomutativnosti

Po definiciji, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z i b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z. A ako se dva reda matrice preurede, tada bi se vrijednost determinante matrice trebala promijeniti u suprotnu, dakle, a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a →, što dokazuje antikomutativnost vektorskog proizvoda.

Vektorski proizvod - primjeri i rješenja

U većini slučajeva postoje tri vrste zadataka.

U zadacima prvog tipa obično se navode duljine dva vektora i kut između njih, ali morate pronaći duljinu umreženog proizvoda. U ovom slučaju koristite sljedeću formulu c → = a → b → sin ∠ a →, b →.

Primjer 1

Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora a → i b → ako znate a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Rešenje

Određivanjem dužine vektorskog proizvoda vektora a → i b → rješavamo ovaj problem: a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b → = 3 5 sin π 4 = 15 2 2.

Odgovor: 15 2 2 .

Problemi drugog tipa imaju vezu s koordinatama vektora, u njima je umreženi proizvod, njegova dužina itd. se pretražuju kroz poznate koordinate datih vektora a → = (a x; a y; a z) i b → = (b x; b y; b z) .

Za ovu vrstu zadatka možete riješiti mnogo opcija za zadatke. Na primjer, ne mogu se dati koordinate vektora a → i b →, već njihova proširenja u koordinatne vektore oblika b → = b x i → + b y j → + b z k → i c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →, ili se mogu navesti vektori a → i b → po koordinatama njihove početne i krajnje tačke.

Razmotrite sljedeće primjere.

Primjer 2

U pravokutnom koordinatnom sistemu data su dva vektora a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Pronađite njihov unakrsni proizvod.

Rešenje

Po drugoj definiciji, nalazimo vektorski proizvod dva vektora u zadanim koordinatama: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay Bx ) k → = = (1 1 - ( - 3) ( - 1)) i → + (( - 3) 0 - 2 1) j → + (2 ( - 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Ako vektorski proizvod napišemo kroz determinantu matrice, rješenje ovog primjera izgleda ovako: a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Odgovor: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k →.

Primjer 3

Nađite dužinu vektorskog proizvoda vektora i → - j → i i → + j → + k →, gdje su i →, j →, k → jedinični vektori pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sistema.

Rešenje

Prvo pronalazimo koordinate datog vektorskog proizvoda i → - j → × i → + j → + k → u datom pravokutnom koordinatnom sistemu.

Poznato je da vektori i → - j → i i → + j → + k → imaju koordinate (1; - 1; 0) i (1; 1; 1), respektivno. Pronađimo dužinu vektorskog proizvoda pomoću determinante matrice, tada imamo i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → ...

Zbog toga vektorski proizvod i → - j → × i → + j → + k → ima koordinate ( - 1; - 1; 2) u datom koordinatnom sistemu.

Dužinu vektorskog proizvoda nalazimo po formuli (pogledajte odjeljak o pronalaženju dužine vektora): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

Odgovor: i → - j → × i → + j → + k → = 6. ...

Primjer 4

U pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sistemu date su koordinate tri tačke A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Pronađite neki vektor okomit na A B → i A C → u isto vrijeme.

Rešenje

Vektori A B → i A C → imaju sljedeće koordinate (- 1; 2; 2) i (0; 4; 1), respektivno. Nakon što smo pronašli vektorski proizvod vektora A B → i A C →, očito je da se radi o okomitom vektoru po definiciji i na A B → i na A C →, odnosno da je to rješenje našeg problema. Pronađimo to A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k →.

Odgovor: - 6 i → + j → - 4 k →. - jedan od okomitih vektora.

Problemi treće vrste fokusirani su na korištenje svojstava vektorskog proizvoda vektora. Nakon što to primijenimo, dobit ćemo rješenje datog problema.

Primjer 5

Vektori a → i b → su okomiti i njihove su dužine 3, odnosno 4. Nađi dužinu vektorskog proizvoda 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →.

Rešenje

Svojstvom distributivnosti vektorskog proizvoda možemo zapisati 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Svojstvom asocijativnosti pomičemo numeričke koeficijente izvan znaka vektorskih proizvoda u zadnjem izrazu: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

Vektorski proizvodi a → × a → i b → × b → su 0 jer je a → × a → = a → a → sin 0 = 0 i b → × b → = b → b → sin 0 = 0, zatim 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b → = - 6 a → × b → - b → × a →. ...

Budući da je vektorski proizvod antikomutativan, slijedi - 6 a → × b → - b → × a → = - 6 a → × b → - ( - 1) a → × b → = - 5 a → × b →. ...

Koristeći svojstva vektorskog proizvoda, dobivamo jednakost 3 a → - b → × a → - 2 b → = = - 5 a → × b →.

Prema hipotezi, vektori a → i b → su okomiti, odnosno kut između njih je π 2. Sada ostaje samo zamijeniti pronađene vrijednosti u odgovarajuće formule: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a →, b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60.

Odgovor: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Dužina vektorskog proizvoda vektora po redoslijedu jednaka je a → × b → = a → b → sin ∠ a →, b →. Budući da je već poznato (iz školskog kursa) da je površina trokuta jednaka polovici umnožaka dužina njegovih dviju stranica pomnoženih sinusom kuta između ovih stranica. Slijedom toga, dužina vektorskog proizvoda jednaka je površini paralelograma - udvostručenog trokuta, naime umnožak stranica u obliku vektora a → i b →, odmaknutih od jedne točke, sinusom kut između njih sin ∠ a →, b →.

Ovo je geometrijsko značenje vektorskog proizvoda.