... Kegle. Basale koncepter.

Definition. Kegle er en geometrisk figur opnået ved at dreje en retvinklet trekant omkring et af benene. Benet, i forhold til hvilket rotationen sker - akse kegle, numerisk lig med dens højde; andet ben - radius grunde; hypotenuse - generatrix (danner keglens sideflade under rotation).

M- toppen af ​​keglen O- midten af ​​basen MO- keglens akse MO = H- keglens højde OA = OV =…= R- basisradius, ER= BM =…= l- generatrix af keglen. Aksial sektion af keglen - en ensartet trekant (f.eks. en trekant AMB). Sektionen af ​​keglen med et plan parallelt med basen er en cirkel, der ligner basen.

Udfoldningen af ​​kegleoverfladen består af en cirkel og en sektor af en cirkel.

... Frustum.

Definition. Afkortet kegle kaldes en geometrisk figur opnået ved at dreje et rektangulært trapezform omkring dens mindre laterale side. Med andre ord: en afkortet kegle er den del af keglen, der er lukket mellem basen og sektionen af ​​keglen parallelt med basen. Aksial sektion - ensbenet trapez (f.eks. ABB 1 EN 1 ) .

B 1 EN 1

... Keglens volumen og overfladeareal.

	afkortet

Her R- radius af den nederste base r- radius af den øverste base H- højde, l- generator.

Spørgsmål og opgaver

En papirpose foldes i form af en kegle med en bundradius på 5 cm og en højde på 10 cm. Bestem posens overfladeareal.

Keglens generatrix er 2 cm, og bundens radius er 1 cm. Forklar om dens samlede overfladeareal er større eller mindre end 6 cm2.

Find keglens samlede overfladeareal, hvis:

a) dens radius er 2, og generatrixen er 4;

b) bundens radius er 3, og højden er 4;

c) bundens radius er 4, og generatrixens hældningsvinkel til basen er 30 0.

Find keglens volumen, hvis:

a) dens radius er 2, og dens højde er 3;

b) radius af dens base er 3, og generatoren er 5;

c) bundens radius er 2, og generatrixen skråner til basens plan i en vinkel på 30 °;

d) bundens radius er 3, og arealet af den aksiale sektion er 12.

-en og b (-en < b) drejer sig først om den ene og derefter om den anden. Sammenligne:

a) arealet af de resulterende kegles laterale overflader;

b) arealet af de fulde overflader af de resulterende kegler.

En ensbenet retvinklet trekant med ben i længden 2 drejes rundt om hypotenusen. Find området på den resulterende overflade.

En retvinklet trekant med ben 3 og 4 drejes rundt om hypotenusen. Find området på den resulterende overflade.

En rektangulær trekant med 6 cm og 8 cm ben drejer rundt om det mindre ben. Beregn arealerne af keglens laterale og samlede overflader dannet under denne rotation.

Retvinklet trekant med ben -en og b rotere rundt om hypotenusen. Find mængden af ​​den resulterende revolution.

Et parallelogram med sider på 6 cm og 8 cm og en vinkel på 60 0 drejes rundt om en lige linje, der indeholder den større side af parallelogrammet. Find området på den resulterende overflade.

Vinklen mellem generatrix og keglens akse er 45 °, generatrixen er 6,5 cm. Find arealet af keglens sideflade.

Keglens aksiale tværsnitsareal er 0,6 cm². Keglens højde er 1,2 cm. Beregn keglens samlede overfladeareal.

Find volumen på en kegle, hvis dens basisareal er Q, og det laterale overfladeareal er P.

Keglens højde er lig med diameteren af ​​dens bund. Find keglens volumen, hvis dens højde er H.

Find keglens volumen, hvis dens generatrix er 13 cm, og det aksiale sektionsareal er 60 cm².

Radierne for baserne i den afkortede kegle er 3 m og 6 m, og generatrixen er 5 m. Find volumenet på den afkortede kegle.

En kegle med en basisradius på 5 cm og en generatrix på 3 cm betragtes. Et snit parallelt med keglens bund tegnes gennem generatrixens punkt placeret i en afstand af 1 cm fra toppen. Udfør følgende opgaver i rækkefølge:

a) find området i dette afsnit;

b) find arealet af den givne kegles laterale overflade;

c) find området af keglens laterale overflade afskåret af det tegnede plan;

d) find arealet af den laterale overflade af den afkortede kegle afskåret af det tegnede plan;

e) find det samlede overfladeareal for denne afkortede kegle.

Find generatrixen for den afkortede kegle, hvis basisradierne er 3 cm og 6 cm, og højden er 4 cm.

Arealet af keglens bund er 12 cm², dens højde er 6 cm. Find arealet af dets tværsnit parallelt med bunden og tegnet:

a) gennem midten af ​​højden;

b) i en afstand af 2 cm fra toppen af ​​keglen;

c) i en afstand af 4 cm fra toppen af ​​keglen.

Find mængderne af koglerne, hvis baser er de betragtede sektioner, og toppen er toppen af ​​den givne kegle.

Arealet af keglens bund er 25 cm², og højden er 5 cm. I en afstand af 1 cm fra toppen tegnes et snit parallelt med bunden. Find mængden af ​​den afkortede kegle, der er afskåret af snittet.

Keglens højde er 5 cm. I en afstand af 2 cm fra toppen krydses den af ​​et plan parallelt med basen. Find mængden af ​​den originale kegle, hvis mængden af ​​den mindre kegle, der er afskåret fra originalen, er 24 cm³.

Højden i den afkortede kegle kendes h generere l og areal S lateral overflade. Find det aksiale område og volumen af ​​frustum.

§ 24. Revolutionære organer.

Cylinder, kegle og afkortet kegle.

1. Firkantet med siden -en kredser om det vinkelrette på diagonalen, trukket gennem dens ende. Bestem volumen og overflade af den resulterende krop.

2. Firkantet med siden -en roterer omkring den ydre akse, som er parallel med dens side og er i afstand fra den med sidelængden. Påkrævet: 1) for at bestemme volumen og overflade af den resulterende krop; 2) bestem i hvilket forhold volumenet, der dannes ved kvadratets rotation, vil blive divideret med overfladen, som vil blive beskrevet af dens diagonal.

3. En ligesidet trekant roterer rundt vinkelret på siden, trukket gennem dens ende. Hvad er forholdet mellem overfladerne beskrevet af trekantens sider?

4. En ligesidet trekant roterer først rundt om siden og derefter omkring parallellen til siden trukket gennem toppunktet. Anden gang er volumen og overflade dobbelt så stor som første gang. Bevise.

5. Ensidet trekant med side -en roterer omkring den ydre akse, som er parallel med siden og fjernes fra den i en afstand, der er lig med trekanten. Bestem volumen og overflade af den resulterende krop.

6. En af parterne -en af en ligesidet trekant forlænges til samme længde, og en vinkelret er trukket til den gennem slutningen af ​​fortsættelsen. Bestem volumen og overflade af kroppen, som vil vise sig, hvis du roterer trekanten omkring denne vinkelret.

7. Højden på en ligesidet trekant forlænges ud over toppunktet til dens længde, og en vinkelret er trukket til den gennem enden af ​​fortsættelsen. På siden -en bestemme volumen og overflade af kroppen, der dannes ved rotation af trekanten omkring denne vinkelret.

8. Firkantens sider fungerer som sider af de ligesidede trekanter bygget på ydersiden, og den resulterende figur roterer rundt om en lige linje, der forbinder de ydre hjørner af to modsatte trekanter. Siden af ​​pladsen er -en ... Bestem volumen og overflade af den resulterende krop.

9. På siden -en af en almindelig sekskant, bestem volumen og overflade af legemerne dannet ved dens rotation: 1) omkring diameteren; 2) omkring apothemen.

10. På siden -en af en almindelig sekskant for at bestemme volumen og overflade af kroppen dannet ved dens rotation rundt om siden.

11. -en roterer rundt om en akse, der passerer gennem dens toppunkt vinkelret på radius trukket til dette toppunkt. Bestem volumen og overflade af revolutionens legeme.

12. Almindelig sekskant med side -en roterer omkring den ydre akse, som er parallel med siden og er i afstand fra den af ​​apotemets længde. Bestem volumen og overflade af den resulterende krop.

13. En rektangulær trekant med 5 cm og 12 cm ben roterer omkring en ydre akse, som er parallel med det større ben og er 3 cm væk fra det. Bestem volumen og overflade af omdrejningskroppen.

14. En rektangulær trekant med 15 cm og 20 cm ben roterer rundt vinkelret på hypotenusen trukket gennem spidsen af ​​en større spids vinkel. Bestem volumen og overflade af revolutionens legeme.

15. En trekant med sider på 9 cm, 10 cm og 17 cm roterer omkring en højde trukket fra toppen af ​​dens mindre vinkel. Bestem volumen og overflade af den resulterende krop.

16. En trekant med sider på 8 cm og 5 cm, der omslutter en vinkel på 60 °, roterer omkring en akse, der passerer gennem spidsen af ​​denne vinkel vinkelret på den mindste af dens sider. Bestem volumen og overflade af revolutionens legeme.

17. De volumener, der dannes ved rotation af parallelogrammet sekventielt omkring to tilstødende sider, er omvendt proportionale med disse sider. Bevise.

18. En rombe med et område svarende til Q roterer rundt om siden. Bestem overfladen af ​​den resulterende krop.

19. 1) Rhombus med side -en og med en spids vinkel på 60 ° roterer den rundt om en akse trukket gennem toppunktet af denne vinkel vinkelret på siden. Bestem volumen og overflade af revolutionens legeme.

2) Det samme problem for en vinkel på 45 °.

20. Et ensartet trapez, hvor den spidse vinkel er 45 ° og lateralsiden er lig med den mindre base, roterer rundt om lateralsiden. Langs dens længde -en bestemme volumen og overflade af revolutionens legeme.

21. Et trapez er indskrevet i en halvcirkel med radius R, så dets nederste base er diameteren på denne cirkel, og den laterale side trækker en bue på 30 °. Bestem volumen og overflade af kroppen dannet ved rotation af denne trapez omkring radius vinkelret på dens base.

22. AB er diameteren af ​​en given halvcirkel med radius R; BC-bue indeholdende 60 °. Akkorden AC og tangenten CD tegnes, hvor D er et punkt på forlængelsen af ​​diameteren AB. Bestem volumen og overflade af kroppen opnået ved at dreje ACD -trekanten omkring AD -aksen.

Bold og dens dele.

23. På en halvcirkel med radius R fra enden af ​​dens diameter AB lægges en IUD -bue på 60 °, og punkt C er forbundet til A. Bestem volumen og overflade af kroppen, som dannes, hvis en figur roteres omkring AB , begrænset af AB -diameteren, AC -akkorden og IUD -buen.

24. På en halvcirkel med radius R fra enden af ​​dens diameter AB afsættes BMC -buen ved 45 °, en tangentlinie tegnes fra punkt C, der skærer fortsættelsen af ​​AB -diameteren ved punkt D. Figuren afgrænset af lige linjer BD og CD og buen BMC roterer omkring BD. Bestem volumen og overflade af den resulterende krop.

25. О - midten af ​​buen af ​​AMC med radius R; B-punkt på forlængelsen af ​​OA-radius; BC-tangent til buen AMC; CD - vinkelret på radius OA. Figuren roterer omkring OB -aksen. Bestem afstanden OD, hvis overfladen dannet ved rotation af AMC -buen halverer volumenet, der dannes ved rotation af OCV -trekanten omkring OB -aksen.

26. AMC, CND og DPB - på hinanden følgende tredjedele af en halvcirkel med diameter AB og center O. Radierne OC og OD og akkorder AC og AD tegnes, og figuren roterer omkring diameteren AB. Bevis, at tallene ACND og OCND vil beskrive lige store mængder, der udgør hver halvdel af boldens volumen.

27. Et cirkulært segment roterer omkring en diameter parallelt med akkorden. Bevis, at det resulterende volumen er lig med en kugles volumen med en diameter, der er lig med segmentets akkord.

28. 1) AOB - kvadrant med centrum O og radius R; AMC - bue indeholdende 60 °; AD - tangent, og D er punktet for dets skæringspunkt med fortsættelsen af ​​OS -radius. Figuren, afgrænset af segmenterne AD og CD og buen AMC, roterer omkring radius OB. Bestem volumen og overflade af den resulterende krop.

2) Det samme problem for en AMC -bue svarende til 45 °.

Guldens sætninger.

29. Kontroller begge Guldens sætninger for rotationstilfælde:

1) et rektangel omkring en af ​​dens sider;

2) en rombe med en side -en og højde h omkring en af ​​dens sider;

3) en almindelig trekant med en side -en omkring en akse, der passerer gennem toppen parallelt med basen;

4) en retvinklet trekant omkring et af benene;

5) en retvinklet trekant omkring hypotenusen.

30. Tværsnit af en jernring - firkantet med en side -en = 4 cm; gennemsnitlig ringdiameter d = 80 cm og dens vægtfylde er 8,6. Find ringens vægt.

31. En livbøje, hvis tværsnit er en cirkel, kan betragtes som et legeme, der skyldes rotationen af ​​en cirkel omkring en akse. Snitdiameter d = 12 cm; livbøjens ydre diameter D = 75 cm Beregn overfladen af ​​redningskransen og dens volumen.

32. Lokomotivdepotet har form af en halvring i planen (fig. 44), hvis indre diameter er 20 m; halvringens bredde 9 m; i depotets tværsnit ligner det en rektangulær trapezformet ABCD, hvis parallelle sider er 4,25 m og 6,5 m. Find depotets volumen.

33. Trekantens sider er 9 cm, 10 cm og 17 cm. Trekanten roterer omkring sin større højde. Bestem volumenet af overfladen af ​​revolutionens legeme.

34. Bevis, at mængderne opnået ved at dreje en trekant omkring basen og omkring en lige linje parallelt med basen, der passerer gennem trekanten, er relateret til 1: 2.

Side 2

De retvinklede trekanter dannet af henholdsvis punkterne O, (a b) / 2, t og 0, (a a) / 2, t er faktisk ens.

En rektangulær trekant med 5 pindsvineben og 12 cm roterer omkring en ydre akse, som er parallel med det større ben og er 3 cm væk fra den. Bestem volumen og overflade af omdrejningskroppen.

En rektangulær trekant med 15 cm og 20 cm ben roterer rundt vinkelret på hypotenusen, trukket gennem spidsen af ​​en større spids vinkel.

Retvinklede trekanter ligner hinanden, hvis de har en lige spids vinkel.

Rektangulære trekanter er ens, hvis benene på den ene er proportionale med benene på den anden.

En retvinklet trekant kan have sider, der hver er et helt tal. Sættet med tre heltal for siderne af en højre trekant kaldes en pythagoras triplet. Disse tre sider skal tilfredsstille følgende forhold: summen af ​​firkantene på de to ben er lig med kvadratet i hypotenusen. Brug en triple-nestet loop, der bare gentager alle mulighederne. Dette er et eksempel på brute force -beregning. For mange giver det ikke æstetisk tilfredshed. Men der er mange grunde til, at disse metoder er vigtige. For det første, hvor computerkraften vokser med en så usædvanlig hastighed, kan løsninger, der ville have taget år eller endda århundreder med computertid at ankomme ved hjælp af teknologier, der blev brugt for kun få år siden, nu opnås i timer, minutter eller endda sekunder ... Moderne mikroprocessorkredsløb kan behandle over 100 millioner operationer i sekundet. Og i 90'erne skulle der efter al sandsynlighed forekomme mikroprocessorkredsløb, der er i stand til at behandle en milliard operationer pr. Sekund. For det andet, som du vil lære i computervidenskabskurser på efteruddannelse, er der mange interessante problemer, som andre algoritmiske tilgange end brutal kraft er ukendte for.

En rektangulær trekant med 12 cm og 16 cm ben roterer omkring hypotenusen.

Rektangulære trekanter, hvis sider måles i heltal.

En rektangulær trekant med 8 cm og 15 cm ben drejer rundt om det større ben.

En retvinklet trekant med område S og spids vinkel a roterer omkring aksen, der indeholder hypotenusen.

En retvinklet trekant med område S og en spids vinkel a roterer omkring en akse trukket gennem toppunktet i den rigtige vinkel parallelt med hypotenusen.

En retvinklet trekant med ben a og en modsat vinkel på 30 roterer omkring hypotenusen.

En retvinklet trekant bevæger sig i et plan, så hjørnerne i dens skarpe hjørner glider langs to indbyrdes vinkelrette lige linjer. Hvilken form dannes af hjørnerne i den rigtige vinkel på denne trekant.

Tegne

6.1. Lad det være det korrekte prisme. Overførslen indstilles af vektoren: a) 0,5AB; b) AO, hvor O er midten af ​​den nederste base. Tegn et billede af et prisme med denne overførsel. Tegn foreningen og skæringspunktet mellem de originale og resulterende prismer.

6.2. Der gives en almindelig tetraeder. Tegn et tetraeder, som fås fra det givne som følge af: a) central symmetri omkring midten af ​​højden; b) spejlsymmetri med hensyn til planet, der passerer gennem midten af ​​højden vinkelret på det; c) drej 60 ° omkring dens højde; d) drej 90 "rundt om linjen, der forbinder midtpunkterne på dens modsatte kanter. Tegn foreningen og skæringspunktet mellem originalen og det resulterende tetraeder.

6.3. Givet en terning. Tegn en terning, der er opnået fra det givne som følge af: a) overførsel til en vektor rettet langs dens diagonal, halvdelen af ​​denne diagonal; b) central symmetri om et punkt, der er placeret på dets diagonal og deler det i et forhold på 2: 1; c) spejlsymmetri om et plan, der skærer det langs en almindelig sekskant; d) Drej 90 "rundt om en lige linje, der går gennem midtpunkterne på to parallelle kanter, der ikke ligger på det samme ansigt. Tegn foreningen og skæringspunktet mellem originalen og de resulterende terninger.

6.4. Tegn de kroppe, du kan få ved at dreje cirklen

6.5. Tegn de legemer, der opnås ved rotation: a) en terning rundt om en kant; b) en terning omkring diagonalen; c) en almindelig tetraeder omkring en kant; d) en kegle omkring en lige linje parallelt med aksen og passerer uden for den.

Planlægger

6.6. Hvordan finder man volumen og overfladeareal af former - fagforeninger og kryds - fra opgaver 6.1, 6.2?

6.7. Hvordan finder man formenes volumen og overfladeareal fra opgave 6.5?

Introduktion

6.8. Kan kroppens symmetri centrum ikke tilhøre det?

6.9. To lige store segmenter: a) parallelle; b) har præcis et fælles punkt; c) blanding. Med hvilken bevægelse kan den ene af dem vises på den anden?

6.10. To linjesegmenter er symmetriske med hinanden i forhold til to planer. Hvad vil formen være, hvis deres ender er sekventielt forbundet med segmenter?

6.11. Alle mulige planer tegnes gennem en lige linje. Dette punkt afspejles fra alle disse fly. Hvilken form danner alle de opnåede punkter?

6.12. Er det rigtigt, at: a) en skrå parallelepiped, hvis to flader er vinkelret på basen, har et symmetriplan; b) der er rektangler mellem ansigterne på en parallelepiped med et symmetriplan; c) er en parallelepiped med to symmetriplaner rektangulære?

6.13. Hvordan skærer man en terning i tre lige store pyramider?

Vi vurderer

6.14. En retvinklet trekant med en hypotenuse d roterer omkring et af benene. Under hvilken betingelse vil omfanget af revolutionslegemet være det største?

6.15. Omkredsen af ​​en ensbenet trekant er P. Denne trekant kredser om basen. Hvilken af ​​disse trekanter giver revolutionens største volumen?

Vi tænker

6.16. Kubens centrum reflekteres i planet for hver af dens ansigter. Bevis, at de opnåede punkter er oktaederens hjørner. Kan andre almindelige polyeder opnås på denne måde?

6.17. Denne bold indeholder:

a) regelmæssig tetraeder;

b) terning. Ansigterne på dette polyeder blev forlænget til at krydse med kuglen. Hvilke figurer splittede kuglen sig i? Hvilke figurer splittede bolden i? Hvor mange af dem er lig med hinanden?

Udforskning

6.18. Er bevægelsen af ​​rummet en sådan transformation, der sætter et punkt med koordinater i overensstemmelse med et punkt med koordinater:

6.19. Et polyeder har et symmetricenter, et centrum af en afskåret kugle, et centrum af en indskrevet kugle og et massecenter. Hvor mange af disse punkter kan matche?

Vi går ind på universitetet

6.20. En akkord trækkes fra enden af ​​kuglens diameter, så overfladen, der dannes ved at rotere den omkring denne diameter, deler kuglens volumen i to lige store dele. Bestem vinklen mellem akkorden og diameteren.

6.21. En ligesidet trekant med side a roterer omkring en ekstern akse parallelt med trekantsiden og i afstand fra den i en afstand svarende til halvdelen af ​​trekants højde. Find omfanget af revolutionens krop.

6.22. Trekanten roterer omkring bisektoren AD. Bevis, at arealerne af overfladerne beskrevet af siderne AB og AC hænger sammen med mængderne opnået ved rotation af delene ABD og

6.23. En ensartet trekant, hvis basis er lig med a, og vinklen ved basen er a, roterer omkring en lige linje, der passerer gennem en af ​​enderne af basen vinkelret på den. Find overfladearealet af den resulterende revolution.

6,24. Den del af kvadratet ABCD, der forbliver efter en kvart cirkel med en cent ved toppunktet D og radier svarende til kvadratets side er skåret ud af det, roterer omkring en akse, der passerer gennem D parallelt med den diagonale AC. Find mængden af ​​det resulterende omdrejningstal, hvis kvadratets side er lig med a.

6,25. Arealet af en rektangulær trapezformet ABCD er lig, længden af ​​højden AB er lig med h, størrelsen af ​​den akutte vinkel ADC af trapezformen er

er lig med a. På siden af ​​cd'en tages punkt E, således at. Find mængden af ​​kroppen opnået ved at dreje firkanten ABED rundt om linjen AB.

6.26. Find mængden af ​​kroppen opnået ved at dreje en almindelig sekskant omkring dens side lig med a

6,27. Punkterne A og B er angivet på cirklen i en halvcirkel med radius R. Hvis N er en af ​​enderne af diameteren, og O er midten af ​​cirklen, skal du bestemme arealet af den samlede overflade af det dannede legeme ved rotation af den cirkulære sektor AOB omkring diameteren.

6,28. Du får en almindelig tetraeder ABCD. Hver af dens hjørner reflekteres symmetrisk i forhold til planet for den modsatte flade, som følge heraf opnås KLMN -punkterne. Find forholdet mellem mængderne af originalen og det resulterende tetraeder.

6,29. Segmenter tegnes i tetraedronen, der forbinder dets hjørner med skæringspunkterne for medianerne i de modsatte ansigter. De skærer alle i punkt O. Det andet tetraeder er symmetrisk med det første med hensyn til punkt O. Volumenet af det originale tetraeder er V. Find volumenet af den fælles del af de to tetraeder.

Svar: 0,5V.

6.30. Siden af ​​bunden af ​​det almindelige prisme har en længde a, og sidekanten har en længde på 1.125a. Punkt E er midten af ​​kanten AB, og punkt M ligger på segmentet EC og EM EC. Det andet prisme er symmetrisk i forhold til prismen med hensyn til den lige linje Find volumenet af den fælles del af disse prismer.

6,31. I betragtning af en regelmæssig tetraeder af volumen V. Det andet tetraeder opnås fra det første ved at dreje det gennem en vinkel

og omkring den lige linje, der forbinder midterpunkterne for tetraederens krydskanter. Find mængden af ​​den fælles del af disse to tetraeder.

6,32. En terning med kant a roteres 90 "rundt om en lige linje, der forbinder midtpunkterne på to parallelle kanter, der ikke ligger på det samme ansigt. Find volumen på den fælles del af den originale terning og den roterede.

6,33. En almindelig trekantet pyramide med underside a roteres omkring symmetriaksen i en vinkel på 60. Bestem volumenet af den fælles del af de originale og roterede pyramider, hvis sidefladerne er retvinklede trekanter.

6,34. Et almindeligt tetraeder er indskrevet i en kugle med radius R. Ved at dreje den gennem en vinkel opnås et nyt tetraeder omkring højden, indskrevet i bolden. Find mængden af ​​den del af bolden, der er ekstern for begge tetraeder.

6,35. Rotationskeglen omkring aksen er en lige linje vinkelret på dens højde og passerer gennem toppunktet. Find tværsnitsarealet af den resulterende omdrejningskrop ved flyet, der passerer gennem rotationsaksen, hvis keglens generatrix er 5, og højden er 4.

OPGAVER TIL § 26

Som supplement til teorien

6,36. Bevis, at flyet går ind i et plan parallelt med det (hvis ikke i sig selv) som følge heraf:

a) overførsel b) central symmetri.

Planlægger

6,37. I en terning er punkt O centrum af ansigtet ABCD. Sådan beregnes vinklen mellem lige linje B, O og:

a) et lige lige plan

d) fly

6,38. Lad PABCD være en pyramide med rhombus ABCD i bunden. RVTSAVS). RBC's overfladeareal er lig med S. Gennem punktet K - midten af ​​kanten AD - tegnes et snit parallelt med planet RAB. Hvordan finder jeg sit område?

6,39. Hver sideflade af et almindeligt tetraeder roterede rundt om bundkanterne i samme vinkel udadtil. Dette resulterede i et polyeder med seks hjørner og lige kanter. Hvilken vinkel drejede ansigterne?

Introduktion

6,40. Vil der være to lige cirkulære sektioner i et plan for to ulige kegler, hvis de står på det samme plan på den ene side af det?

6.41. To cirkler er centralt symmetriske og ligger ikke i samme plan. Er det rigtigt, at de ligger på overfladen af: a) en kugle; b) en cylinder? Og hvis disse cirkler er spejlsymmetriske?

6,42. I så fald er to lige store:

a) en bold; b) cylinder; c) er koglerne centralt symmetriske? Spejl symmetrisk?

6,43. Hvordan kan du vende bolden til sig selv?

6,44. Hvad der vender den ene af disse figurer vises på den anden, hvis disse figurer er: a) to lige linjer; b) to fly; c) to lige kugler? Er der en sådan rotation, der vil kortlægge den anden figur til den første?

6,45. Får vi altid en konveks krop ved at rotere en konveks form?

Vi tænker

6,46. Brug overførselsegenskaberne til at bevise, at: a) to vinkelret på et plan er parallelle; b) to planer vinkelret på en lige linje er parallelle; c) hvis en lige linje er parallel med en lige linje vinkelret på planet, så er den vinkelret på planet; d) de lineære vinkler på dihedralvinklen er lig med hinanden.

6,47. Bevis, at foreningen af ​​to planer er en figur: a) centralt symmetrisk; b) spejlsymmetrisk.

6,48. Linje b opnås fra linje a ved refleksion i plan a. Disse linjer har et fælles punkt. Bevis, at dette punkt ligger i planet a.

6,49. I en kugle med radius R trækkes to planer gennem midten og danner en vinkel med hinanden. Hvordan ved du i hvilket forhold de har brudt boldens volumen?

6,50. Et fly blev trukket gennem vinkelhalveringslinjen. Bevis, at hjørnets sider danner lige store vinkler med det.

Udforskning

6,51. Er det muligt at fylde hele rummet med lige store parallelpipeds? Kan dette gøres med andre lige store polyeder?

6,52. Vil afsnittet af et centralt symmetrisk legeme, der passerer gennem symmetriens centrum, være centralt symmetrisk?

6,53. Kroppen er centralt symmetrisk. Vil dens ortogonale projektion være centralt symmetrisk? Ville det modsatte være sandt?

6,54. Hver af de to kroppe er centralt symmetrisk. Vil de være centralt symmetriske: a) forening; b) skæringspunkt?

6,55. Den centralt symmetriske krop blev delt af et fly. En del af den viste sig at være centralt symmetrisk. Vil den anden del af det være det samme?

6,56. Er der et polyeder med et forudbestemt antal symmetriplaner?

OPGAVER TIL § 27

Som supplement til teorien

6,57. Bevis, at sammensætningen af ​​to refleksioner i krydsende planer er en rotation, og i to parallelle planer er det en parallel translation.

6,58. Tegn en form, der forvandler sig til sig selv som følge af: a) en skrue; b) spejlrotation; c) græssende refleksion.

6,59. Lad terningen. Som følge af en vis bevægelse passerer den ind i en anden terning. Tegn denne anden terning, hvis bevægelsen er som følger: a) en skrue med en rotationsakse, der passerer gennem ansigternes centre

ved vektoren a er rotationsvinklen lig med spejlrotationen på med rotationsaksen og refleksion i et plan vinkelret på den lige linje og passerer gennem terningens centrum; c) glidende refleksion, hvor refleksionen forekommer i et plan vinkelret på terningens diagonal og passerer gennem terningens centrum, og vektoren er lig med AC.

6,60. Lad PABC være en almindelig tetraeder. Som et resultat af bevægelsen passerer den ind i et andet tetraeder. Tegn denne anden tetraeder, hvis bevægelsen er:

a) en skrue med en rotationsakse, midten af ​​basen), en rotationsvinkel på 60 "og en vektor

b) spejlrotation med PQ -rotationsaksen, rotationsvinklen på 60 ° og refleksionsplanet vinkelret på PQ og passerer gennem midten af ​​højden

c) græssende refleksion med et refleksionsplan, der passerer gennem PB og K - midten af ​​AC'en og en vektor på 0,5 KB.

Introduktion

6,61. Hvorvidt orienteringen af ​​grundlaget bevares: a) overførsel; b) central symmetri; c) spejlsymmetri; d) drej; e) skrue; f) spejlrotation; g) glidende refleksion?

6,62. Har bevægelsen faste punkter, hvis denne bevægelse: a) overførsel; b) central symmetri; c) spejlsymmetri; d) drej; e) skrue; f) spejlrotation; g) glidende refleksion?

6,63. To ensartede trekanter er givet. Hvilke bevægelser kan de kombineres, hvis de har det tilfælles: a) toppen af ​​lige sider; b) basens side; c) lateral side; d) median til basen; e) midten af ​​siderne?

c) en af ​​dens højder til en anden;

d) et segment, der forbinder midtpunkterne på modsatte kanter med et andet lignende segment;

e) sektion af et symmetriplan til et andet er det samme;

f) sektionen, som er en firkant, er den samme for en anden? I en sådan bevægelse, vil den anden figur også blive vist på den første?

6,66. Som et resultat af hvilke bevægelser der vises på sig selv:

a) segment; b) lige; c) cirkel; d) firkantet; e) regelmæssig polygon; f) rhombus; g) plan; h) dihedral vinkel?

6,67. Som et resultat af hvilke bevægelser PAVS tetraederet vises på sig selv, hvor: a); b)

6,68. Kroppen er en forening af to bolde, ikke en bold. Med hvilke bevægelser vises det på sig selv?

6,69. I en firkantet pyramide: a) alle sidekanter er ens og modsatte plane vinkler ved spidsen ens;

b) alle flade spidsvinkler er ens, og modsatte sidekanter er ens. Med hvilke bevægelser kan det være selvjusteret?

6,70. Hvilke bevægelser vises antiprisme på sig selv?

6,71. Sådan opdeles en terning i: a) 8 lige store terninger; b) 6 lige pyramider; c) 3 lige pyramider; d) 4 lige trekantede prismer?

6,72. Hvordan opdeles et lige trekantet prisme i 3 lige tetraeder? Er der ligemænd blandt dem?

6,73. Sådan opdeles en parallelepiped i: a) 6 lige pyramider; b) tre lige pyramider? Er der ligemænd blandt dem?

6,74. I en kugle med en radius på 1 blev tre radier OA, OB, OS tegnet, hvoraf hver to er vinkelret. Hvilken del af boldens volumen er begrænset af kvarterene i de store cirkler af bolden OAB, OAS, OBC og overfladen? Hvilken del af overfladen?

Vi tænker

6,75. To almindelige firkantede pyramider og har en fælles base ABCD. Punkt K er kantens midtpunkt, punkt L er kantens midtpunkt, punkt M er skæringspunktet for medianerne i ansigtet, punkt N er skæringspunktet for medianerne i ansigtet. Bevis det:

e) afstanden fra punkt K til planet er lig med afstanden fra punkt L til RHVS -planet.

Udforskning

6,76. Tag en sammensætning af de to bevægelser, du kender, og find ud af: a) om det ændrer flyets orientering; b) har den faste punkter?

6,77. Hvor mange faste punkter kan hver bevægelse du kender have? Hvordan er de placeret? Og hvor mange faste lige linjer kan det have? Fly?

6,78. Linje b opnås fra linje a ved en vis bevægelse. Fastslå placeringen af ​​disse lige linjer indbyrdes, hvis dette er en bevægelse: a) skrue; b) spejlrotation; c) spejlreflektion.

Vi skifter

6,79. En tråd vikles på en cylinder med radius R og højde H. Hvordan ved du dens længde?

6,80. Du skal designe en vindeltrappe. Hvordan vil du fortsætte?

6,81. Kan du forklare, hvordan hjørnereflektoren fungerer? Det består af tre parvis vinkelrette spejle.

Når du studerer emnets materiale, skal du lære:

· Typer af revolutionære legemer;

· Definitioner af revolutionære legemer;

· Definitioner af elementer i revolutionens legemer;

· Begreber af cylinder og keglefejning;

· Bestemmelse og beregning af cylinderens og keglens laterale og fulde overflade;

· Bestemmelse af tangentplanet til kuglen og dens egenskaber;

· Begrebet overflade af en kugle;

· Definition af et polyeder indskrevet i en kugle og beskrevet omkring det.

I processen med at løse problemer testes følgende færdigheder:

· Skildre revolutionære organer;

· Beregn elementer i revolutionens legemer;

· Skildre dele af lig;

· Beregn arealerne på cylinderen og keglens laterale og fulde overflade;

· Gør kuglens ligning.

Teoretiske spørgsmål

Mulighed 1

1. Begrebet en cylindrisk overflade og dens elementer. Formuler definitionen af ​​en cylinder og dens medlemmer.

2. Udled en formel til beregning af en kugles overfladeareal.

3. Find forholdet mellem det laterale overfladeareal og den aksiale sektion af keglen.

Mulighed 2

1. Begrebet en konisk overflade. Formuler en definition af en kegle og dens elementer.

2. Bestem placeringen af ​​midten af ​​kuglen beskrevet omkring en almindelig firkantet pyramide. Bevis dit udsagn.

3. Find forholdet mellem de laterale overfladearealer til cylinderens aksiale sektion.

Mulighed 3

1. Formuler definitionen af ​​en afskåret kegle og dens elementer.

2. Bestem placeringen af ​​midten af ​​kuglen indskrevet i en regelmæssig trekantet pyramide. Bevis dit udsagn.

3. Bevis, at hele overfladen af ​​en ligesidet kegle er lig med overfladen af ​​en kugle med en diameter på keglens højde.

Mulighed 4

1. Formuler definitionerne af en kugle og en kugle. Skriv ligningerne ned for en sfære med radius R centreret ved punkt O (0; 0; 0) og ved punkt A (x0; y0; z0).

2. Afled formlen til beregning af keglens sideflade.

3. Bevis, at det samlede overfladeareal på en cylinder er lig med arealet af sidefladen af ​​en anden cylinder med samme radius, hvis højde er lig med summen af ​​radius og højden af ​​den givne cylinder.

Selvstændigt arbejde 17

Mulighed 1

1. Arealet af cylinderens aksiale sektion er 16. Find arealet af sektionen af ​​denne cylinder, som er parallel med aksen og er placeret derfra i en afstand, der er lig med halvdelen af ​​bundens radius af cylinderen.

2. Halvcirklen foldes til en konisk overflade. Find vinklen mellem generatoren og keglens højde.

3. Radierne for de to kugler er 16 og 20 dm, afstanden mellem deres centre er 25 dm. Find længden af ​​den cirkel, langs hvilken deres overflader skærer hinanden.

Mulighed 2

1. Radius af cylinderens bund er 26 cm og danner 4,8 dm. I hvilken afstand fra cylinderens akse skal et snit tegnes parallelt med aksen og have form som en firkant?

2. Sektorens radius er 3 m, dens vinkel er 120 °. Sektoren er foldet til en konisk overflade. Find radius af bunden af ​​keglen.

3. Rhombusens diagonaler er 30 og 40 cm. Den sfæriske overflade berører alle sider af rhombus. Find afstanden fra midten af ​​bolden til rhombusens plan, hvis kuglens radius er 13 cm.

Mulighed 3

1. Radius af cylinderens bund er 12 cm. Find afstanden mellem den aksiale sektion og sektionen med det halve areal.

2. Fejningsvinklen for keglens sideflade er 120 °. Keglens generatrix er 15 cm. Beregn diameteren af ​​keglens bund.

3. En rhombus er lagt oven på en kugle med en radius på 10 cm, så hver side af den, svarende til 12,5 cm, rører bolden. Rhombusens plan er 8 cm fra midten af ​​kuglen Find rhombusens område.

Mulighed 4

1. Gennem cylinderens generatrix tegnes to indbyrdes vinkelrette sektioner, hvis arealer er lig med 60 og 80 dm. Find området for den aksiale sektion.

2. Radius af keglens bund er 12 cm og danner 40 cm. Beregn denne kegles fejevinkel.

3. Trekantens sider er 10 tommer, 10 tommer og 12 tommer. Find afstanden fra trekantens plan til midten af ​​kuglen, der tangerer til siderne af trekanten. Kuglens radius er 5 dm.

Selvstændigt arbejde 18

Mulighed 1

1. Diagonalen af ​​cylinderens aksiale sektion er 25% større end dens bund. Find hele overfladen af ​​cylinderen, hvis afstanden mellem dens centre er 15 cm.

2. Udvikling af cylinderens sideflade - en firkant med en side på 4 tommer. Find cylinderens volumen.

3. Diagonaler i den aksiale sektion af den afkortede kegle er indbyrdes vinkelrette, højden af ​​keglen H og danner l. Find siden af ​​keglen.

4. Radius af keglens bund er 12 cm og danner 40 cm. Find keglens fejevinkel.

5. Generatrixen for den afkortede kegle er 10 cm, forskellen mellem baserne er 6 cm, arealet af den aksiale sektion er 112 cm2. Find siden af ​​keglen.

6. Et parallelogram, hvis sider er 21 cm og 89 cm, og diagonalen er 100 cm, roterer rundt om den mindre side. Find omfanget af revolutionens krop.

7. En rektangulær trekant med 16 og 12 cm ben roterer omkring hypotenusen. Find volumen og rotationsareal.

Mulighed 2

1. Cylinderens sideflade er halvdelen af ​​dens fulde overflade. Find hele overfladen af ​​cylinderen, hvis den aksiale sektionsdiagonal er 10 tommer.

2. Cylinderens samlede overflade er 500 p cm2, diameteren på bunden er 20 cm. Find cylinderens volumen.

3. Generatrixen for den afkortede kegle refererer til dens højde som 41:40. Grundradierne er 24 cm og 6 cm. Find keglens sideflade.

4. Fejningsvinklen på keglens sideflade er 120 °. Keglens generatrix er 15 cm. Find hele keglens overflade.

5. Find højden på den afkortede kegle, hvis dens sideflade er lig med summen af ​​basisarealerne, og basisradierne er R og r.

6. En ensartet trapez med baser på 12 og 18 cm og en spids vinkel på 60 ° roterer rundt om en mindre base. Find revolutionens overflade og volumen.

7. En trekant med to sider svarende til 5 cm og 8 cm, der omslutter en vinkel på 60 °, kredser om den største side. Find revolutionens overflade og volumen.

Selvstændigt arbejde 19

Mulighed 1

1. En rektangulær trekant med 16 og 12 cm ben roterer omkring hypotenusen. Find overfladen af ​​revolutionens legeme.

2. Radierne af kugleremets baser er 63 og 39 cm, og dens højde er 36 cm. Find kuglebæltets overflade.

3. Højde på en almindelig trekantet pyramide h. Sideribberne er indbyrdes vinkelrette. Find radius af den beskrevne kugle.

4. I en almindelig trekantet afskåret pyramide er højden 17 cm, cirklernes radier, der er afgrænset omkring baserne, er 5 og 12 cm. Find radius for den afgrænsede kugle.

5. En firkant med en side svarende til en roterer rundt vinkelret på diagonalen, trukket gennem dens ende. Find overfladen af ​​den resulterende krop.

Mulighed 2

1. En trekant med to sider lig med 5 og 8 cm, der omslutter en vinkel på 60 °, drejer sig om den største side. Find overfladen af ​​revolutionens legeme.

2. Boldsegmentets hele overflade er S. Bestem segmentets højde, hvis kuglens radius er R.

3. Pyramidens bund er en regelmæssig trekant med en side svarende til 3 tommer. En af sidekanterne er 2 tommer og er vinkelret på bunden. Find radius af den beskrevne kugle.

4. Siderne af baserne på en almindelig rektangulær afkortet pyramide 7 og 1 dm. Sideribben er vinklet 45 ° mod bunden. Find radius af den beskrevne kugle.

5. En almindelig sekskant med side a roterer omkring en ydre akse, som er parallel med siden og er i afstand fra den med apotemets længde. Find overfladen af ​​den resulterende krop.

Selvstændigt arbejde 20

Mulighed 1

1. Sidekanten af ​​en almindelig trekantet pyramide er lig med b og laver en vinkel a med basisplanet. En ligesidet cylinder er indskrevet i pyramiden, så basens plan ligger i planet af bunden af ​​pyramiden. Find cylinderens volumen.

2. Pyramidens bund er en regelmæssig trekant. Den ene sidekant er vinkelret på basisplanet og er lig med l, og de to andre danner en vinkel a med basisplanet. Et lige prisme er indskrevet i pyramiden, hvoraf tre hjørner ligger på pyramidens laterale kanter, og de andre tre - på pyramidens bund; diagonal af prismeets sideflade er med basisplanet Ð b . Find højden på prismen.

3. I et almindeligt firkantet prisme er sidefladens område q. Find området i den diagonale sektion.

4. Et plan vinkelret på kuglens diameter deler det i dele på 3 og 9 cm. Hvilke dele er boldens volumen opdelt i?

Mulighed 2

1. Vinklen ved spidsen af ​​keglens aksiale sektion er 2b. Grundomkredsen er c. Bestem keglens laterale overfladeareal.

2. Diagonalerne i den aksiale sektion af den afkortede kegle er divideret med skæringspunktet i et forhold på 2: 1, talt fra den store base. Vinklen mellem diagonaler vendt mod basen er a. Diagonalen er lig med l. Find keglens volumen.

3. Rektangelets sidekant er 5 cm, bundens sider er 6 og 8 cm, en af ​​bundens diagonaler er 12 cm. Find parallelepipediens diagonaler.

4. Hvilken del af kuglens volumen er volumenet af et sfærisk segment med en højde på 0,1 af kuglens diameter?

Mulighed 3

1. Keglens generatrix er lig med l og skråner til basisplanet i en vinkel a. Bestem det samlede areal af den indskrevne terning.

2. En firkant er indskrevet i bunden af ​​keglen, hvis side er a. Flyet, der passerer gennem en af ​​siderne af denne firkant og keglens spids, når det skæres med keglens overflade, danner en ensartet trekant med en spidsvinkel lig med a. Find keglens volumen.

3. Siden af ​​bunden af ​​et almindeligt firkantet prisme er 15 cm, og højden er 20 cm. Find den korteste afstand fra siden af ​​basen til prismen, der ikke krydser hinanden.

4. To lige kugler er placeret, så midten af ​​den ene ligger på overfladen af ​​den anden. Hvordan forholder volumenet af den samlede del af kuglerne sig til volumen på hele bolden?

Mulighed 4

1. Et lige trekantet prisme med lige kanter er indskrevet i keglen, hvis generatrix er skråtstillet til basisplanet i en vinkel a. Find prismenes volumen, hvis radius af bunden af ​​keglen er R.

2. Keglens volumen er V. En pyramide er indskrevet i keglen, ved hvis bund ligger en ensartet trekant med en vinkel a mellem siderne. Find mængden af ​​pyramiden.

3. I en rektangulær parallelepiped er sidekanten 1 m, bundens sider er 23 tommer og 11 tommer, bundens diagonaler er 2: 3. Find områderne på de diagonale sektioner.

4. Fra bundside a og side ribben b finder hele overfladen af ​​det almindelige sekskantede prisme.