Կյանքի էկոլոգիա: Natureանաչողական. Բնությունը (ներառյալ Մարդը) զարգանում է օրենքների համաձայն, որոնք դրված են այս թվային հաջորդականությամբ ...

Ֆիբոնաչիի թվեր - թվային հաջորդականություն, որտեղ շարքի յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը հավասար է երկու նախորդների գումարին, այսինքն ՝ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025, .. 3478759200, 5628750625, .. 260993908980000, .. 422297015649625, .. 195810680216418, .. Ուսումնասիրելով Ֆիբոնաչիի շարքի թվերի բարդ և զարմանալի հատկությունները `պրոֆեսիոնալ գիտնականների և մաթեմատիկայի սիրահարների լայն տեսականի:

1997 թվականին շարքի մի քանի տարօրինակ հատկություններ նկարագրեց հետազոտող Վլադիմիր Միխայլովը, ով համոզված էր դրանում Բնությունը (ներառյալ Մարդը) զարգանում է օրենքների համաձայն, որոնք շարադրված են այս թվային հաջորդականությամբ.

Ֆիբոնաչիի թվերի շարքի ուշագրավ հատկությունն այն է, որ քանի որ շարքի թվերն աճում են, այս շարքի երկու հարևան անդամների հարաբերակցությունը ասիմպտոտիկ կերպով մոտենում է Ոսկե հատվածի ճշգրիտ համամասնությանը (1: 1.618). Գեղեցկության և ներդաշնակության հիմքը: մեզ շրջապատող բնությունը, այդ թվում ՝ մարդկային հարաբերություններում:

Նկատի ունեցեք, որ Ֆիբոնաչին ինքն է բացել իր հայտնի շարքը ՝ անդրադառնալով նապաստակների թվի խնդրին, որը պետք է ծնվի մեկ զույգից մեկ տարվա ընթացքում: Պարզվեց, որ երկրորդից հետո յուրաքանչյուր հաջորդ ամսվա ընթացքում նապաստակների զույգերի թիվը ճշգրիտ հետևում է թվային շարքին, որն այժմ կրում է նրա անունը: Հետեւաբար, պատահական չէ, որ մարդն ինքը դասավորված է ըստ Ֆիբոնաչիի շարքի: Յուրաքանչյուր օրգան դասավորված է ըստ ներքին կամ արտաքին երկակիության:

Ֆիբոնաչիի թվերը գրավեցին մաթեմատիկոսներին իրենց յուրահատկությամբ ՝ հայտնվելու ամենաանսպասելի վայրերում: Օրինակ, նկատվում է, որ Ֆիբոնաչիի թվերի հարաբերությունները, որոնք վերցված են մեկից մեկին, համապատասխանում են բույսերի ցողունի հարակից տերևների միջև եղած անկյունին, ավելի ճշգրիտ ՝ նրանք ասում են, որ շրջանառության այս համամասնությունը կազմում է. 1/2 - սիսեռի և լինդենի համար, 1/3 - հաճարենու համար, 2/5 - կաղնու և խնձորի համար, 3/8 - բարդի և վարդի համար, 5/13 - ուռենու և նուշի համար և այլն: Սերմերը հաշվելիս նույն թվերը կգտնեք արեւածաղկի պարույրների մեջ, երկու հայելիներից արտացոլվող ճառագայթների քանակի մեջ, մի մեղվաբջիջից մյուսը սողացող մեղվի ճանապարհների տարբերակների մեջ, շատ մաթեմատիկական խաղերում և հնարքներում:

Ո՞րն է տարբերությունը Ոսկե հարաբերակցության պարույրների և Ֆիբոնաչիի պարույրների միջև: Ոսկե հարաբերակցության պարույրը կատարյալ է: Այն համապատասխանում է ներդաշնակության Առաջնային Աղբյուրին: Այս պարույրը չունի սկիզբ կամ վերջ: Այն անվերջ է: Ֆիբոնաչի պարույրն ունի սկիզբ, որից սկսում է «պտտվել»: Սա շատ կարևոր սեփականություն է: Այն թույլ է տալիս Բնությանը, մեկ այլ փակ ցիկլից հետո, նոր պարույր կառուցել «զրոյից»:

Պետք է ասել, որ Ֆիբոնաչի պարույրը կարող է կրկնակի լինել: Այս կրկնակի խխունջների բազմաթիվ օրինակներ կան ամենուր: Այսպիսով, արևածաղկի պարույրները միշտ համապատասխանում են Ֆիբոնաչիի շարքին: Նույնիսկ սովորական սոճու մեջ կարող եք տեսնել այս կրկնակի Ֆիբոնաչի պարույրը: Առաջին պարույրը գնում է մի կողմից, երկրորդը ՝ մյուսով: Եթե ​​հաշվում եք մեկ ուղղությամբ պտտվող պարույրի, իսկ մյուս պարույրի մասշտաբների թիվը, կարող եք տեսնել, որ դրանք միշտ Ֆիբոնաչիի շարքի երկու հաջորդական թվերն են: Այս պարույրների թիվը 8 է և 13. Արևածաղկի մեջ պարույրների զույգեր կան ՝ 13 և 21, 21 և 34, 34 և 55, 55 և 89: Եվ այս զույգերից շեղումներ չկան:

Մարդու մեջ, սոմատիկ բջիջի քրոմոսոմների հավաքածուում (դրանցից 23 -ը զույգ է), ժառանգական հիվանդությունների աղբյուր են հանդիսանում 8, 13 և 21 զույգ քրոմոսոմները ...

Բայց ինչո՞ւ է հենց այս շարքը որոշիչ դեր խաղում Բնության մեջ:Այս հարցին սպառիչ պատասխան կարող է տալ եռակի հասկացությունը, որը որոշում է դրա ինքնապահպանման պայմանները: Եթե ​​եռյակի «շահերի հավասարակշռությունը» խախտվում է նրա «գործընկերներից» մեկի կողմից, ապա մյուս երկու «գործընկերների» «կարծիքները» պետք է ճշգրտվեն: Եռակի հասկացությունը հատկապես հստակորեն դրսևորվում է ֆիզիկայում, որտեղ «գրեթե» բոլոր տարրական մասնիկները կառուցվել են քվարկներից: Եթե ​​հիշենք, որ քվարկի մասնիկների կոտորակային լիցքերի հարաբերությունները կազմում են մի շարք, և դրանք Ֆիբոնաչիի շարքի առաջին անդամներն են, որոնք անհրաժեշտ են այլ տարրական մասնիկների ձևավորման համար:

Հնարավոր է, որ Ֆիբոնաչի պարույրը կարող է որոշիչ դեր խաղալ սահմանափակ և փակ հիերարխիկ տարածությունների օրինաչափության ձևավորման մեջ: Իրոք, պատկերացրեք, որ էվոլյուցիայի ինչ -որ փուլում Ֆիբոնաչի պարույրը հասել է կատարելության (այն չի տարբերվում ոսկե հարաբերակցության պարույրից) և այդ պատճառով մասնիկը պետք է վերածվի հաջորդ «կատեգորիայի»:

Այս փաստերը մեկ անգամ ևս հաստատում են, որ երկակիության օրենքը տալիս է ոչ միայն որակական, այլ նաև քանակական արդյունքներ: Նրանք ստիպում են մտածել, որ մեզ շրջապատող մակրոկոսմոսն ու միկրոկոսմոսը զարգանում են ըստ նույն օրենքների `հիերարխիայի օրենքների, և որ այդ օրենքները նույնն են կենդանի և ոչ կենդանի նյութերի համար:

Այս ամենը վկայում է դրա մասին Ֆիբոնաչիի թվերի շարքը բնության մի տեսակ գաղտնագրված օրենք է.

Քաղաքակրթության զարգացման թվային ծածկագիրը կարող է որոշվել ՝ օգտագործելով թվաբանության տարբեր մեթոդներ: Օրինակ ՝ բարդ թվերը միանիշ թվերի փոխարկելով (օրինակ ՝ 15 -ը 1 + 5 = 6 է և այլն): Ֆիբոնաչիի շարքի բոլոր բարդ թվերով լրացման նմանատիպ ընթացակարգ իրականացնելով ՝ Միխայլովը ստացավ այս թվերի հետևյալ շարքը ՝ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, ապա ամեն ինչ կրկնվում է 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8 , 8, .. և կրկնում է նորից ու նորից ... Այս շարքն ունի նաև Ֆիբոնաչիի շարքի հատկությունները, յուրաքանչյուր անվերջ հաջորդ տերմին հավասար է նախորդների գումարին: Օրինակ, 13 -րդ և 14 -րդ տերմինների գումարը 15 է, այսինքն. 8 և 8 = 16, 16 = 1 + 6 = 7: Ստացվում է, որ այս շարքը պարբերական է ՝ 24 անդամի ժամանակահատվածով, որից հետո թվերի ամբողջ հերթականությունը կրկնվում է: Ստանալով այս ժամանակահատվածը ՝ Միխայլովը հետաքրքիր ենթադրություն առաջ քաշեց. չէ՞ որ 24 թվանշանների հավաքածուն քաղաքակրթության զարգացման համար մի տեսակ թվային կոդ է:հրապարակված

Բաժանորդագրվեք մեր YouTube- ի Econet.ru ալիքին, որը թույլ է տալիս առցանց դիտել, YouTube- ից ներբեռնել առողջության բարելավման, մարդու երիտասարդացման մասին անվճար տեսանյութ: Սերը ուրիշների և քո հանդեպ,թե ինչպես է բարձր թրթռանքների զգացումը բուժման կարեւոր գործոն հանդիսանում - կայքը

Երբևէ լսե՞լ եք, որ մաթեմատիկան կոչվում է «բոլոր գիտությունների թագուհի»: Համաձա՞յն եք այս պնդման հետ: Քանի դեռ մաթեմատիկան ձեզ համար մնում է դասագրքի մի շարք ձանձրալի առաջադրանքներ, դժվար թե զգաք այս գիտության գեղեցկությունը, բազմակողմանիությունը և նույնիսկ հումորը:

Բայց մաթեմատիկայում կան թեմաներ, որոնք օգնում են մեզ համար սովորական իրերի և երևույթների հետաքրքրաշարժ դիտարկումներ կատարել: Եվ նույնիսկ փորձեք ներթափանցել մեր Տիեզերքի ստեղծման գաղտնիքների շղարշը: Աշխարհում կան հետաքրքիր օրինաչափություններ, որոնք կարելի է նկարագրել մաթեմատիկայի միջոցով:

Ֆիբոնաչիի թվերի ներկայացում

Ֆիբոնաչիի թվերկոչվում են թվային հաջորդականության տարրեր: Նրա մեջ անընդմեջ յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ ստացվում է երկու նախորդ թվերի գումարմամբ:

Հաջորդականության օրինակ ՝ 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...

Դուք կարող եք գրել այսպես.

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Դուք կարող եք սկսել Ֆիբոնաչիի թվերի շարք `բացասական արժեքներով: n... Այս դեպքում հաջորդականությունն այս դեպքում երկկողմանի է (այսինքն ՝ ընդգրկում է բացասական և դրական թվեր) և հակված է անսահմանության երկու ուղղություններով:

Նման հաջորդականության օրինակ `-55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55:

Այս դեպքում բանաձևը այսպիսին է թվում.

F n = F n + 1 - F n + 2այլապես կարող եք դա անել. F -n = (-1) n + 1 Fn.

Այն, ինչ մենք այժմ ճանաչում ենք որպես «Ֆիբոնաչիի թվեր», հայտնի էր հին հնդիկ մաթեմատիկոսներին Եվրոպայում դրանք օգտագործելուց շատ առաջ: Եվ այս անունով, ընդհանրապես, մեկ շարունակական պատմական անեկդոտ: Սկզբից ՝ Ֆիբոնաչին ինքը երբեք իր կյանքի ընթացքում երբեք իրեն Ֆիբոնաչի չի անվանել. Այս անունը կիրառվել է Պիզայի Լեոնարդո անունից նրա մահից ընդամենը մի քանի դար անց: Բայց եկեք ամեն ինչի մասին հերթականությամբ խոսենք:

Պիզայի Լեոնարդո, նույն ինքը ՝ Ֆիբոնաչի

Վաճառականի որդի, ով դարձավ մաթեմատիկոս, իսկ հետագայում սերունդների կողմից ճանաչում ստացավ որպես միջնադարում Եվրոպայի առաջին խոշոր մաթեմատիկոս: Ոչ պակաս ՝ Ֆիբոնաչիի թվերի շնորհիվ (որոնք այն ժամանակ, հիշում ենք, դեռ այդպես չէին կոչվում): Ինչը նա նկարագրեց XIII դարի սկզբին իր «Liber abaci» աշխատության մեջ («Գիրք աբակուսի», 1202):

Հոր հետ Արևելք ճանապարհորդելով ՝ Լեոնարդոն մաթեմատիկա էր սովորում արաբ ուսուցիչների մոտ (և այդ ժամանակ նրանք զբաղվում էին այս գործով, իսկ շատ այլ գիտություններում ՝ լավագույն մասնագետներից մեկը): Նա արաբերեն թարգմանություններով կարդացել է Հնագույն և Հին Հնդկաստանի մաթեմատիկոսների գործերը:

Կարդացած ամեն ինչ մանրակրկիտ ըմբռնելուց և սեփական հետաքրքրասեր միտքը կապելուց հետո Ֆիբոնաչին գրել է մաթեմատիկայի վերաբերյալ մի քանի գիտական ​​տրակտատ, այդ թվում ՝ արդեն նշված «Աբակուսի գիրքը»: Բացի նրանից, նա ստեղծեց.

• Practica geometriae (Երկրաչափության պրակտիկա, 1220);
• «Ֆլոս» («erաղիկ», 1225 - ուսումնասիրություն խորանարդի հավասարումների վրա);
• «Liber quadratorum» («Քառակուսիների գիրք», 1225 թ. ՝ խնդիրներ անորոշ քառակուսային հավասարումների վերաբերյալ):

Նա մաթեմատիկական մրցաշարերի մեծ երկրպագու էր, ուստի իր տրակտատներում մեծ ուշադրություն էր դարձնում տարբեր մաթեմատիկական խնդիրների վերլուծությանը:

Շատ քիչ կենսագրական տեղեկություններ կան Լեոնարդոյի կյանքի մասին: Ինչ վերաբերում է Ֆիբոնաչի անունին, որի ներքո նա մտել է մաթեմատիկայի պատմություն, այն նրան մնաց միայն 19 -րդ դարում:

Ֆիբոնաչին և դրա խնդիրները

Ֆիբոնաչիից հետո մնացին մեծ թվով խնդիրներ, որոնք մեծ ժողովրդականություն էին վայելում մաթեմատիկոսների մոտ հաջորդ դարերում: Մենք կդիտարկենք նապաստակների խնդիրը, որի լուծման մեջ օգտագործվում են Ֆիբոնաչիի թվերը:

Rabագարները ոչ միայն արժեքավոր բուրդ են

Ֆիբոնաչին սահմանեց հետևյալ պայմանները. Կա մի զույգ նորածին նապաստակ (արու և էգ) այնպիսի հետաքրքիր ցեղատեսակի, որ նրանք կանոնավոր կերպով (երկրորդ ամսվանից սկսած) սերունդ են տալիս ՝ միշտ մեկ նոր զույգ ճագար: Բացի այդ, ինչպես կարող եք կռահել, արու և էգ:

Այս պայմանական նապաստակները տեղադրվում են փակ տարածության մեջ և խանդավառությամբ բազմանում: Նաև սահմանվում է, որ ոչ մի նապաստակ չի մահանում նապաստակի ինչ -որ խորհրդավոր հիվանդությունից:

Մենք պետք է հաշվարկենք, թե քանի նապաստակ կստանանք մեկ տարվա ընթացքում:

• 1 ամսվա սկզբին մենք ունենք 1 զույգ նապաստակ: Ամսվա վերջում նրանք զուգավորում են:
• Երկրորդ ամիսը `մենք արդեն ունենք 2 զույգ նապաստակ (զույգ` ծնողներ + 1 զույգ `նրանց սերունդը):
• Երրորդ ամիս. Առաջին զույգը ծնում է նոր զույգ, երկրորդ զույգը զուգավորում է: Ընդհանուր - 3 զույգ նապաստակ:
• Չորրորդ ամիս. Առաջին զույգը ծնում է նոր զույգ, երկրորդ զույգը ժամանակ չի կորցնում և նաև ծնում է նոր զույգ, երրորդ զույգը առայժմ միայն զուգավորում է: Ընդհանուր - 5 զույգ նապաստակ:

Նապաստակների թիվը ներսում n-երորդ ամիս = նախորդ ամսվա նապաստակների զույգը + նորածին զույգերի թիվը (ներկայիս 2 ամիս առաջ նույնքան զույգ ճագարներ կան): Եվ այս ամենը նկարագրվում է բանաձևով, որը մենք արդեն տվել ենք վերևում. F n = F n-1 + F n-2.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք կրկնվող (բացատրություն մոտ ռեկուրսիա- ստորև) թվային հաջորդականություն: Որում յուրաքանչյուր հաջորդ թիվը հավասար է երկու նախորդների գումարին.

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Դուք կարող եք շարունակել հաջորդականությունը երկար ժամանակ ՝ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>... Բայց քանի որ մենք կոնկրետ ժամկետ ենք սահմանել ՝ մեկ տարի, մեզ հետաքրքրում է 12 -րդ «քայլին» ստացված արդյունքը: Նրանք Հաջորդականության 13 -րդ անդամ ՝ 377:

Պատասխանը խնդրի մեջ է. 377 ճագար ձեռք կբերվի, եթե նշված բոլոր պայմանները բավարարվեն:

Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականության հատկություններից մեկը շատ հետաքրքիր է: Եթե ​​անընդմեջ վերցնեք երկու անընդմեջ զույգ և մեծ թիվը բաժանեք փոքրի վրա, արդյունքն աստիճանաբար կմոտենա ոսկե հարաբերակցությունը(դրա մասին ավելին կարող եք կարդալ հոդվածում):

Մաթեմատիկայի լեզվով ՝ «Հարաբերությունների սահմանափակում a n + 1Դեպի a nհավասար է ոսկե հարաբերակցությանը ».

Ավելի շատ խնդիրներ թվերի տեսության մեջ

1. Գտեք մի թիվ, որը կարելի է բաժանել 7 -ի: Բացի այդ, եթե այն բաժանեք 2, 3, 4, 5, 6 -ի, մնացորդը մեկն է:
2. Գտեք քառակուսի թիվ: Նրա մասին հայտնի է, որ եթե դրան գումարես 5 -ը կամ հանես 5 -ը, նորից քառակուսի թիվ ես ստանում:

Մենք առաջարկում ենք ինքներդ փնտրել այս խնդիրների պատասխանները: Դուք կարող եք մեզ թողնել ձեր ընտրանքները այս հոդվածի մեկնաբանություններում: Եվ հետո մենք ձեզ կասենք, արդյոք ձեր հաշվարկները ճիշտ էին:

Հետադարձ կապի բացատրություն

Ռեկուրսիա- օբյեկտի կամ գործընթացի սահմանում, նկարագրություն, պատկեր, որը պարունակում է հենց օբյեկտը կամ գործընթացը: Այսինքն, ըստ էության, օբյեկտը կամ գործընթացը ինքնին մի մասն է:

Ռեկուրսիան լայնորեն կիրառվում է մաթեմատիկայի և համակարգչային գիտության, և նույնիսկ արվեստի և ժողովրդական մշակույթի մեջ:

Ֆիբոնաչիի թվերը որոշվում են ՝ օգտագործելով կրկնվող հարաբերություն: Թվի համար n> 2 n- e համարն է (n - 1) + (n - 2).

Ոսկե հարաբերակցության բացատրություն

Ոսկե հարաբերակցություն- ամբողջը (օրինակ, հատված) բաժանել մասերի, որոնք առնչվում են հետևյալ սկզբունքով. ավելի մեծ մասը վերաբերում է փոքրին նույն կերպ, ինչպես ամբողջ արժեքը (օրինակ ՝ երկու հատվածների գումարը) ավելի մեծ մաս:

Ոսկե հարաբերակցության մասին առաջին հիշատակումները կարելի է գտնել Էվկլիդեսում նրա «Սկիզբ» տրակտատում (մ.թ.ա. մոտ 300 թ.): Կանոնավոր ուղղանկյուն կառուցելու համատեքստում:

Մեզ ծանոթ տերմինը 1835 թվականին շրջանառության մեջ դրեց գերմանացի մաթեմատիկոս Մարտին Օմը:

Եթե ​​մենք մոտավորապես նկարագրենք ոսկե հարաբերակցությունը, ապա դա համամասնական բաժանում է երկու անհավասար մասերի ՝ մոտավորապես 62% և 38%: Թվային առումով ոսկե հարաբերակցությունը թիվն է 1,6180339887 .

Ոսկե հարաբերակցությունը գործնական կիրառություն է գտնում կերպարվեստում (Լեոնարդո դա Վինչիի և Վերածննդի դարաշրջանի այլ նկարիչների նկարներ), ճարտարապետության, կինոյի (Ս. Էզենշտեյնի «Մարտական ​​նավակ Պոտեմկին») և այլ ոլորտներում: Երկար ժամանակ հավատում էին, որ ոսկե հարաբերակցությունը ամենաէսթետիկ համամասնությունն է: Այս կարծիքը այսօր տարածված է: Չնայած, ըստ հետազոտության արդյունքների, մարդկանց մեծ մասը տեսողականորեն չի ընկալում նման համամասնությունը որպես ամենահաջող տարբերակ և այն համարում է չափազանց երկարաձգված (անհամաչափ):

• Հատվածի երկարությունը հետ = 1, ա = 0,618, բ = 0,382.
• Վերաբերմունք հետԴեպի ա = 1, 618.
• Վերաբերմունք հետԴեպի բ = 2,618

Հիմա վերադառնանք Ֆիբոնաչիի թվերին: Նրա հաջորդականությունից վերցնենք երկու հաջորդական տերմին: Ավելի մեծ թիվը բաժանեք ավելի փոքր թվին ՝ ստանալով մոտավորապես 1.618: Եվ հիմա մենք օգտագործում ենք նույն ավելի մեծ թիվը և շարքի հաջորդ անդամը (այսինքն ՝ նույնիսկ ավելի մեծ թիվ). Դրանց հարաբերակցությունը վաղ 0,618 է:

Ահա մի օրինակ ՝ 144, 233, 377:

233/144 = 1.618 եւ 233/377 = 0.618

Ի դեպ, եթե թվերի հետ նույն փորձը փորձես անել հաջորդականության սկզբից (օրինակ ՝ 2, 3, 5), ոչինչ չի ստացվի: Գրեթե. Հերթականության սկզբի համար ոսկե հարաբերակցության կանոնը գրեթե չի պահպանվում: Բայց դա հիանալի է աշխատում, երբ դուք շարժվում եք շարքի երկայնքով և ավելացնում թվերը:

Իսկ Ֆիբոնաչիի թվերի ամբողջ շարքը հաշվարկելու համար բավական է իմանալ հաջորդականության երեք անդամ, մեկը մյուսի հետևից: Դուք ինքներդ կարող եք տեսնել:

Ոսկե ուղղանկյուն և Ֆիբոնաչի պարույր

Ֆիբոնաչիի թվերի և ոսկե հարաբերակցության միջև մեկ այլ հետաքրքիր զուգահեռ թույլ է տալիս գծել այսպես կոչված «ոսկե ուղղանկյունը». Դրա կողմերը փոխկապակցված են 1.618-ի հարաբերությամբ 1. Բայց մենք արդեն գիտենք, թե որն է 1.618 թիվը, այնպես չէ՞:

Օրինակ, վերցրեք Ֆիբոնաչիի շարքի երկու հաջորդական անդամներ `8 և 13, և կառուցեք ուղղանկյուն հետևյալ պարամետրերով. Լայնություն = 8, երկարություն = 13:

Եվ հետո մենք մեծ ուղղանկյունը բաժանում ենք ավելի փոքրերի: Նախապայման. Ուղղանկյունների կողմերի երկարությունները պետք է համապատասխանեն Ֆիբոնաչիի թվերին: Նրանք ավելի մեծ ուղղանկյան կողմի երկարությունը պետք է հավասար լինի երկու փոքր ուղղանկյունների կողմերի գումարին:

Այս կերպարում դա արված է (հարմարության համար թվերը ստորագրված են լատինատառ):

Ի դեպ, դուք կարող եք ուղղանկյուններ կառուցել հակառակ հերթականությամբ: Նրանք սկսել շինարարությունը 1. կողմ ունեցող քառակուսիներով, որոնց, առաջնորդվելով վերը նշված սկզբունքով, ավարտվում են Ֆիբոնաչիի համարներին հավասար կողմեր ​​ունեցող թվերը: Տեսականորեն, դա կարելի է անվերջ շարունակել. Ի վերջո, Ֆիբոնաչիի շարքը պաշտոնապես անսահման է:

Եթե ​​նկարում ստացված ուղղանկյունների անկյունները միացնում ենք հարթ գծով, ապա ստանում ենք լոգարիթմական պարույր: Ավելի շուտ, նրա հատուկ պատյանը Ֆիբոնաչիի պարույրն է: Այն բնութագրվում է, մասնավորապես, նրանով, որ սահմաններ չունի և չի փոխում ձևը:

Նմանատիպ պարույր հաճախ հանդիպում է բնության մեջ: Կակղամորթի պատյանները ամենավառ օրինակներից են: Ավելին, որոշ գալակտիկաներ, որոնք կարելի է տեսնել Երկրից, ունեն պարուրաձև ձև: Եթե ​​ուշադրություն դարձնեք հեռուստատեսությամբ եղանակի կանխատեսումներին, գուցե նկատած լինեք, որ արբանյակներից նկարահանվելիս ցիկլոններն ունեն նման պարուրաձև ձև:

Հետաքրքիր է, որ ԴՆԹ -ի պարույրը նույնպես ենթարկվում է ոսկե հատվածի կանոնին. Համապատասխան նախշը կարելի է տեսնել նրա ճկումների ընդմիջումներում:

Նման զարմանահրաշ «զուգադիպությունները» չեն կարող չգրգռել միտքը և ծնել խոսակցություններ որոշակի միասնական ալգորիթմի մասին, որին ենթարկվում են Տիեզերքի կյանքի բոլոր երևույթները: Հիմա հասկացա՞ք, թե ինչու է այս հոդվածն այդպես կոչվում: Իսկ ի՞նչ հրաշալի աշխարհներ կարող են բացել մաթեմատիկան ձեզ համար:

Ֆիբոնաչիի թվերը բնության մեջ

Ֆիբոնաչիի թվերի և ոսկե հարաբերակցության միջև կապը հուշում է որոշ հետաքրքիր օրինաչափությունների: Այնքան հետաքրքրասեր, որ գայթակղիչ է փորձել գտնել Ֆիբոնաչիի թվերին նման հաջորդականություններ բնության և նույնիսկ պատմական իրադարձությունների ընթացքում: Եվ բնությունն իսկապես առաջացնում է այսպիսի ենթադրություններ: Բայց կարո՞ղ է մեր կյանքում ամեն ինչ բացատրել և նկարագրել մաթեմատիկայի միջոցով:

Վայրի բնության օրինակներ, որոնք կարելի է նկարագրել Ֆիբոնաչիի հաջորդականության միջոցով.

• բույսերում տերևների (և ճյուղերի) դասավորության կարգը. նրանց միջև եղած հեռավորությունները փոխկապակցված են Ֆիբոնաչիի թվերի հետ (ֆիլոտաքսիս);

• արեւածաղկի սերմերի դասավորությունը (սերմերը դասավորված են երկու շարքով պարույրներով ՝ ոլորված տարբեր ուղղություններով.

• սոճու կոնների կշեռքների դասավորում;
• ծաղկի թերթիկներ;
• արքայախնձորի բջիջներ;
• մարդու ձեռքի մատների ֆալանգների երկարությունների հարաբերակցությունը (մոտավորապես) և այլն:

Համակցված խնդիրներ

Ֆիբոնաչիի թվերը լայնորեն կիրառվում են կոմբինացիոն խնդիրների լուծման մեջ:

Կոմբինատորիկա- սա մաթեմատիկայի այն ճյուղն է, որը զբաղվում է որոշակի հավաքածուից որոշակի թվով տարրերի ընտրության ուսումնասիրությամբ, թվարկումով և այլն:

Եկեք նայենք ավագ դպրոցի մակարդակի համար նախատեսված համադրական խնդիրների օրինակներին (աղբյուրը ՝ http://www.problems.ru/):

Առաջադրանք թիվ 1:

Լեշան բարձրանում է 10 աստիճանի աստիճաններով: Միանգամից նա վեր է թռչում կամ մեկ կամ երկու քայլով: Քանի՞ եղանակով կարող է Լեշան բարձրանալ աստիճաններով:

Լեշան կարող է աստիճաններից բարձրանալ nքայլեր, նշիր եւ n.Ուստի հետևում է դրան ա 1 = 1, ա 2= 2 (ի վերջո, Լեշան ցատկում է կամ մեկ կամ երկու քայլ):

Նաև նախատեսվում է, որ Լեշան աստիճաններից վեր է թռչում n> 2 քայլեր: Ենթադրենք, նա առաջին անգամ երկու քայլ թռավ: Այսպիսով, ըստ խնդրի պայմանի, նա պետք է ցատկի մեկ ուրիշի վրա n - 2քայլեր: Այնուհետև վերելքը ավարտելու եղանակների թիվը նկարագրվում է որպես a n - 2... Եվ եթե ենթադրենք, որ առաջին անգամ Լեշան ցատկեց ընդամենը մեկ քայլ, ապա մենք նկարագրում ենք վերելքը ավարտելու եղանակների թիվը a n - 1.

Այսպիսով, մենք ստանում ենք հետևյալ հավասարությունը. a n = a n - 1 + a n - 2(ծանոթ է, այնպես չէ՞):

Մի անգամ իմանանք ա 1եւ ա 2և հիշեք, որ խնդրի պայմանով կա 10 քայլ, մենք հաշվարկել ենք բոլորը a n: ա 3 = 3, ա 4 = 5, ա 5 = 8, 6 = 13, ա 7 = 21, ա 8 = 34, ա 9 = 55, 10 = 89.

Պատասխան ՝ 89 եղանակ:

Առաջադրանք թիվ 2:

Պահանջվում է գտնել 10 տառ երկարությամբ բառերի թիվը, որոնք բաղկացած են միայն «ա» և «բ» տառերից և չպետք է պարունակեն անընդմեջ երկու «բ» տառեր:

Եկեք նշենք ըստ a nբառերի քանակը երկարությամբ nտառեր, որոնք բաղկացած են միայն «ա» և «բ» տառերից և չեն պարունակում երկու «բ» տառ անընդմեջ: Նշանակում է, ա 1= 2, ա 2= 3.

Հաջորդականությամբ ա 1, ա 2, <…>, a nյուրաքանչյուր հաջորդ տերմին կարտահայտենք նախորդների միջոցով: Հետեւաբար, երկարության բառերի քանակը nտառեր, որոնք, ավելին, չեն պարունակում կրկնապատկված «բ» տառ և սկսվում են «ա» տառով, սա a n - 1... Եվ եթե խոսքը երկար է nտառերը սկսվում են «բ» տառով, տրամաբանական է, որ նման բառի հաջորդ տառը «ա» -ն է (ի վերջո, խնդրի հայտարարության համաձայն չի կարող լինել երկու «բ»): Հետեւաբար, երկարության բառերի քանակը nտառերը այս դեպքում մենք նշում ենք որպես a n - 2... Ինչպես առաջին, այնպես էլ երկրորդ դեպքում ՝ ցանկացած բառ (երկարությամբ n - 1եւ n - 2տառեր, համապատասխանաբար) առանց կրկնապատկված «բ» -ի:

Մենք կարողացանք հիմնավորել, թե ինչու a n = a n - 1 + a n - 2.

Եկեք հիմա հաշվարկենք ա 3= ա 2+ ա 1= 3 + 2 = 5, ա 4= ա 3+ ա 2= 5 + 3 = 8, <…>, 10= ա 9+ ա 8= 144. Եվ մենք ստանում ենք ծանոթ Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը:

Պատասխան ՝ 144:

Առաջադրանք թիվ 3:

Պատկերացրեք, որ կա ժապավեն, որը բաժանված է բջիջների: Այն գնում է աջ և տևում անսահման երկար: Placeապավենի առաջին քառակուսու վրա տեղադրեք մորեխ: Theապավենի որ բջիջի վրա էլ որ լինի, նա կարող է շարժվել միայն աջ ՝ կամ մեկ բջիջ, կամ երկուսը: Քանի՞ եղանակ կա, որ մորեխը կարող է ժապավենի սկզբից ցատկել nրդ բջիջ?

Եկեք նշենք մորեխը գոտու երկայնքով դեպի nրդ բջիջը, ինչպես a n... Այս դեպքում ա 1 = ա 2= 1. Նաև մեջ n + 1-վանդակը, մորեխը կարող է ստանալ կամ այնտեղից n-րդ բջիջը, կամ դրա վրայով ցատկելով: Այստեղից a n + 1 = a n - 1 + a n... Որտեղ a n = F n - 1.

Պատասխան: F n - 1.

Դուք ինքներդ կարող եք նման խնդիրներ ստեղծել և փորձել դրանք լուծել մաթեմատիկայի դասերին ձեր դասընկերների հետ:

Ֆիբոնաչիի թվերը հանրաճանաչ մշակույթում

Իհարկե, Ֆիբոնաչիի թվերի նման անսովոր երևույթը չի կարող ուշադրություն չգրավել: Այս խստորեն ստուգված օրինակի մեջ դեռ գրավիչ և նույնիսկ խորհրդավոր բան կա: Surprisingարմանալի չէ, որ Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը ինչ -որ կերպ «լուսավորվում» է տարբեր ժանրերի ժամանակակից զանգվածային մշակույթի բազմաթիվ ստեղծագործություններում:

Մենք ձեզ կպատմենք դրանցից մի քանիսի մասին: Եվ դու նորից փորձում ես ինքդ քեզ փնտրել: Եթե ​​գտնեք, կիսվեք մեզ հետ մեկնաբանություններում - մենք նույնպես հետաքրքրված ենք:

• Ֆիբոնաչիի թվերը նշված են Դեն Բրաունի «Դա Վինչիի ծածկագիրը» բեսթսելերում. Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունը ծառայում է որպես ծածկագիր, որով գրքի հիմնական հերոսները բացում են պահարանը:
• 2009 թվականի «Պարոն ոչ ոք» ամերիկյան ֆիլմում, դրվագներից մեկում, տան հասցեն Ֆիբոնաչիի հաջորդականության մի մասն է `12358: Բացի այդ, մեկ այլ դրվագում գլխավոր հերոսը պետք է զանգի հեռախոսահամար, որն ըստ էության նույնն է: , բայց մի փոքր աղավաղված (լրացուցիչ թվանշան 5-րդ համարից հետո) հաջորդականությունը ՝ 123-581-1321:
• 2012 թվականի «Հաղորդակցություն» սերիալում գլխավոր հերոսը ՝ աուտիզմով տղան, կարողանում է տարբերակել օրինաչափություններն աշխարհում տեղի ունեցող իրադարձությունների մեջ: Այդ թվում `Ֆիբոնաչիի թվերի միջոցով: Եվ կառավարել այս իրադարձությունները նաև թվերի միջոցով:
• Բջջային հեռախոսների համար Doom RPG- ի ծրագրավորողները գաղտնի դուռ են տեղադրել մակարդակներից մեկում: Այն բացող կոդը Ֆիբոնաչիի հաջորդականությունն է:
• 2012 թվականին ռուսական «Spleen» ռոք խումբը թողարկեց «Optical Illusion» հայեցակարգային ալբոմը: Ութերորդ ուղին կոչվում է «Ֆիբոնաչի»: Խմբի ղեկավար Ալեքսանդր Վասիլիևի հատվածներում հնչում է Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությունը: Հաջորդ ինը անդամներից յուրաքանչյուրի համար կա համապատասխան քանակի տող (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21).

0 Գնացքը ճանապարհ ընկավ

1 Մեկ համատեղ սեղմեց

1 Մեկ թևը կախվեց

2 Ամեն ինչ, ստացեք նյութը

Ամեն ինչ, ստացեք նյութը

3 Եռացող ջուր խնդրելով

Գնացքը գնում է գետը

Գնացքը գնում է տայգա<…>.

• լիմերիկ (որոշակի ձևի կարճ բանաստեղծություն. սովորաբար հինգ տող, որոշակի հանգավոր սխեմայով, բովանդակությամբ կոմիքս, որում առաջին և վերջին տողերը կրկնվում կամ մասամբ կրկնվում են միմյանց) Jamesեյմս Լինդոնը նաև հղում է կատարում Ֆիբոնաչիի հաջորդականությանը որպես հումորային շարժառիթ.

Ֆիբոնաչիի խիտ սնունդը

Միայն ի շահ նրանց գնաց, այլապես ոչ:

Ըստ լուրերի, կանայք կշռում էին

Յուրաքանչյուրը նման է նախորդ երկուսին:

Ամփոփելով

Հուսով ենք, որ մենք այսօր կարողացանք ձեզ փոխանցել շատ հետաքրքիր և օգտակար տեղեկություններ: Օրինակ, այժմ կարող եք փնտրել Ֆիբոնաչիի պարույրը ձեր շրջապատող բնության մեջ: Հանկարծ հենց դուք եք, որ կկարողանաք բացահայտել «կյանքի գաղտնիքը, տիեզերքը և ընդհանրապես»:

Կոմբինացիոն խնդիրներ լուծելիս օգտագործեք Ֆիբոնաչիի բանաձևը: Դուք կարող եք հիմնվել այս հոդվածի օրինակների վրա:

բլոգային կայք, նյութի ամբողջական կամ մասնակի պատճենմամբ, աղբյուրի հղում է պահանջվում:

(Ֆիբոնաչիի թվեր, անգլերեն Ֆիբոնաչիի հաջորդականություն, Ֆիբոնաչիի թվեր) - թվերի շարք, որոնք ստացվել են հայտնի մաթեմատիկոս Ֆիբոնաչիի կողմից: Ունի հետևյալ ձևը ՝ 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 և այլն:

Ֆիբոնաչիի շարքի պատմություն

Պիզայից Լեոնարդոն (Ֆիբոնաչի) մաթեմատիկա է եկել գործնական կապեր հաստատելու գործնական անհրաժեշտության պատճառով: Երիտասարդության տարիներին Ֆիբոնաչին շատ էր ճանապարհորդում, հորը ուղեկցում էր տարբեր գործուղումների, ինչը թույլ էր տալիս շփվել տեղի գիտնականների հետ:

Նրա անունն այսօր կրող թվերի շարանը բխում էր նապաստակների հետ կապված խնդրից, որը հեղինակը նկարագրել էր «Liber abacci» (1202) անունով գրքում. . Հարցն այն է. Քանի զույգ ճագար կարող է արտադրել այս զույգը մեկ տարվա ընթացքում, եթե հայտնի է, որ ամեն ամիս, սկսած երկրորդ ամսից, յուրաքանչյուր զույգ արտադրում է մեկ այլ զույգ ճագար:

Արդյունքում, Ֆիբոնաչին որոշեց, որ հաջորդ տասներկու ամիսներից յուրաքանչյուրում ճագարների զույգերի թիվը կլինի համապատասխանաբար.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Որտեղ յուրաքանչյուր հաջորդ համարը նախորդ երկուսի գումարն է: Սա Ֆիբոնաչիի շարքն է (թվեր): Այս հաջորդականությունն ունի բազմաթիվ հատկություններ, որոնք հետաքրքիր են մաթեմատիկական տեսանկյունից: Օրինակ, եթե տողը բաժանեք 2 հատվածի, որպեսզի փոքր և ավելի մեծ հատվածի հարաբերակցությունը համաչափ լինի ավելի մեծ հատվածի և ամբողջ գծի հարաբերակցությանը, կստանաք ասպեկտների հարաբերակցությունը, որը հայտնի է որպես ոսկե հարաբերակցություն: Այն մոտավորապես հավասար է 0.618 -ի: Վերածննդի դարաշրջանի գիտնականները կարծում էին, որ այս համամասնությունը, եթե նկատվում է ճարտարապետական ​​կառույցներում, ունակ է առավել հաճելի լինել աչքին:

Ֆիբոնաչիի շարքի կիրառում

Ֆիբոնաչիի շարքը լայն կիրառություն է գտել գիտության և կյանքի տարբեր ոլորտներում: Օրինակ ՝ բնության մեջ ՝ փոթորիկների, արկերի և նույնիսկ գալակտիկաների կառուցվածքում: Բացառություն չէր նաև Forex շուկան, որտեղ թվերի հաջորդական շարանը սկսեց օգտագործվել միտումները կանխատեսելու համար: Պետք է նշել, որ այս թվերի միջև գոյություն ունի անփոփոխ հարաբերություն: Օրինակ, ինչպես նշվեց վերևում, նախորդ թվի և հաջորդի հարաբերակցությունը ասիմպտոտիկ կերպով ձգտում է մինչև 0,618 (ոսկե հարաբերակցություն): Որոշակի թվի հարաբերակցությունը նախորդին նույնպես ձգտում է 0,618 -ի:

Բացի միտումների կանխատեսումից, Forex- ում Ֆիբոնաչիի համարները օգտագործվում են գների շարժման ուղղությունը կանխատեսելու համար: Օրինակ, ոսկե հարաբերակցության երկայնքով միտումների հակադարձումը տեղի է ունենում գների նախորդ փոփոխության մոտ 61,8% -ի սահմաններում (տես նկ. 1): Ըստ այդմ, այս դեպքում ամենաեկամտաբեր տարբերակը կլինի այս մակարդակից անմիջապես ցածր դիրքի փակումը: Հիմնվելով Fibonacci շարքի վրա, կարող եք հաշվարկել գործարքների փակման և բացման առավել բարենպաստ պահերը:

Բացի այդ, Forex շուկայում Fibonacci շարքի հաջորդական թվերի օգտագործման եղանակներից մեկը աղեղներ նկարելն է: Նման աղեղի համար կենտրոնի ընտրությունը տեղի է ունենում կարևոր հատակի կամ առաստաղի տեղում: Աղեղների շառավիղը հաշվարկվում է Ֆիբոնաչիի գործակիցները բազմապատկելով գների նախորդ զգալի աճի կամ անկման արժեքով:

Ընտրված գործակիցներն են `0.333, 0.382, 0.4, 0.5, 0.6, 0.618, 0.666: Աղեղների գտնվելու վայրը որոշում է նրանց դերը `աջակցություն կամ դիմադրություն: Գների շարժումների առաջացման ժամանակի մասին պատկերացում կազմելու համար կամարները, որպես կանոն, օգտագործվում են արագության կամ օդափոխիչի գծերի հետ համատեղ:

Նրանց կառուցման սկզբունքը նման է. Դուք պետք է ընտրեք անցյալի էքստրեմայի կետերը և դրանցից առաջինի վերևից հորիզոնական գիծ կառուցեք, իսկ երկրորդի վերևից ՝ ուղղահայաց: Այնուհետև ստացված ուղղահայաց հատվածը պետք է բաժանել գործակիցներին համապատասխան մասերի, գծել առաջին կետից եկող ճառագայթներ հենց ընտրվածների միջոցով: 2/3 և 1/3 հարաբերակցություններից օգտվելիս ձեռք են բերվում բարձր արագությամբ գծեր, ավելի խիստ 0.618, 0.5 և 0.382 - օդափոխիչի գծերով: Դրանք բոլորը ծառայում են որպես աջակցության կամ դիմադրության գծեր գների միտման համար (տես նկ. 2):

Երկրպագուների կամարների և գծերի խաչմերուկները ազդանշաններ են ծառայում միտումների շրջադարձային կետերը որոշելու համար ՝ ինչպես ժամանակի, այնպես էլ գնի:

(Նկ. 2 - Ֆիբոնաչիի շարք, կամարների կառուցում)

Ավելի անկայուն արժութային զույգերը բնութագրվում են ավելի ցածր անկայունների համեմատ Fibonacci- ի ավելի բարձր մակարդակի հասնելով: Առավելագույն տեղաշարժերը գրանցվում են դոլար / ֆրանկ և ֆունտ / դոլար զույգերի համար, որին հաջորդում են դոլար / իեն և եվրո / դոլար:

Forex արժութային շուկայում Fibonacci շարքի օգտագործումը ունի մեկ առանձնահատկություն. Դրանք կարող են օգտագործվել միայն լավ իմպուլսային շարժումների համար:

Ֆիբոնաչիի թվերը թվային հաջորդականության տարրեր են:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, որոնցում յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ հավասար է երկու նախորդ թվերի գումարին: Անունն ստացել է միջնադարյան մաթեմատիկոս Պիզայի Լեոնարդո (կամ Ֆիբոնաչի) անունից, ով ապրել և աշխատել է որպես վաճառական և մաթեմատիկոս իտալական Պիզա քաղաքում: Նա իր օրերի ամենահայտնի եվրոպացի գիտնականներից է: Նրա ամենամեծ ձեռքբերումներից է արաբական թվերի ներդրումը ՝ փոխարինելով հռոմեականներին: Fn = Fn-1 + Fn-2

Մաթեմատիկական շարքը ասիմպտոտիկորեն (այսինքն `ավելի ու ավելի դանդաղ մոտենալով) ձգտում է հաստատուն հարաբերակցության: Այնուամենայնիվ, այս վերաբերմունքն իռացիոնալ չէ. այն ունի տասնորդական արժեքների անվերջանալի, անկանխատեսելի հաջորդականություն, որը շարվում է դրանից հետո: Այն երբեք չի կարող ճշգրիտ արտահայտվել: Եթե ​​շարքի մաս կազմող յուրաքանչյուր թիվ բաժանվում է նախորդ արժեքով (օրինակ ՝ 13- ^ 8 կամ 21 -IS), գործողության արդյունքը կարտահայտվի այն հարաբերակցությամբ, որը տատանվում է իռացիոնալ 1.61803398875 թվի շուրջ, մի փոքր ավելին կամ մի փոքր ավելի քիչ, քան սերիալի հարևան հարաբերությունները: Հարաբերակցությունը երբեք, անվերջ, ճշգրիտ չի լինի մինչև վերջին նիշը (նույնիսկ երբևէ ստեղծված ամենահզոր համակարգիչների դեպքում): Համառոտության համար մենք 1.618 -ը ​​կօգտագործենք որպես Ֆիբոնաչիի հարաբերակցություն և կխնդրենք ընթերցողներին չմոռանալ այս անճշտության մասին:

Ֆիբոնաչիի թվերը կարևոր են նաև Էվկլիդեսյան ալգորիթմի վերլուծության ժամանակ ՝ երկու թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը որոշելու համար: Ֆիբոնաչիի թվերը հայտնվում են Պասկալի եռանկյունի անկյունագծի բանաձևում (երկակի գործակիցներ):

Պարզվեց, որ Ֆիբոնաչիի թվերը կապված են «ոսկե հարաբերակցության» հետ:

Ոսկե հարաբերակցությունը հայտնի էր նույնիսկ Հին Եգիպտոսում և Բաբելոնում, Հնդկաստանում և Չինաստանում: Ո՞րն է «ոսկե հարաբերակցությունը»: Պատասխանը դեռ անհայտ է: Ֆիբոնաչիի թվերն իրոք տեղին են մեր ժամանակների պրակտիկայի տեսության համար: Կարևորության բարձրացումը տեղի ունեցավ 20 -րդ դարում և շարունակվում է մինչ օրս: Տնտեսագիտության և համակարգչային գիտության մեջ Ֆիբոնաչիի թվերի օգտագործումը գրավեց մարդկանց զանգվածների ուսումնասիրությունը:

Իմ հետազոտության մեթոդաբանությունը բաղկացած էր մասնագիտացված գրականության ուսումնասիրությունից և ստացված տեղեկատվության ընդհանրացումից, ինչպես նաև իմ սեփական հետազոտությունների անցկացումից և թվերի հատկությունների և դրանց օգտագործման շրջանակի բացահայտումից:

Գիտական ​​հետազոտությունների ընթացքում նա սահմանեց Ֆիբոնաչիի թվերի հասկացությունը, դրանց հատկությունները: Ես պարզեցի նաև հետաքրքիր նախշեր վայրի բնության մեջ, անմիջապես արևածաղկի սերմերի կառուցվածքում:

Արեւածաղկի վրա սերմերը դասավորված են պարույրներով, իսկ մյուս ուղղությամբ գնացող պարույրների թիվը տարբեր է `դրանք իրար հաջորդող Ֆիբոնաչի թվեր են:

Այս արեւածաղկի վրա կան 34 եւ 55:

Նույնը նկատվում է արքայախնձորի պտուղներում, որտեղ կան 8 և 14 պարույրներ: Եգիպտացորենի տերևները կապված են Ֆիբոնաչիի թվերի յուրահատուկ հատկության հետ:

Բույսի ցողունի ոտքերի տերևների պարուրաձևին համապատասխանող a / b ձևի կոտորակները հաճախ Ֆիբոնաչիի հաջորդական թվերի հարաբերակցություններ են: Շագանակագույնի համար այս հարաբերակցությունը 2/3 է, կաղնու համար `3/5, բարդու համար` 5/8, ուռենու համար `8/13 և այլն:

Հաշվի առնելով բույսերի ցողունի վրա տերևների դասավորությունը, կարող եք տեսնել, որ տերևների յուրաքանչյուր զույգի միջև (A և C) երրորդը գտնվում է ոսկե հատվածի տեղում (B)

Ֆիբոնաչիի համարի մեկ այլ հետաքրքիր հատկությունն այն է, որ մեկ այլ տարբեր Ֆիբոնաչիի երկու տարբեր թվերի արտադրյալը և գործակիցը երբեք Ֆիբոնաչիի թիվ չեն:

Իմ հետազոտությունների արդյունքում ես եկա հետևյալ եզրակացությունների. Ֆիբոնաչիի թվերը յուրահատուկ թվաբանական առաջընթաց են, որոնք հայտնվել են մ.թ. XIII դարում: Այս առաջընթացը չի կորցնում իր արդիականությունը, ինչը հաստատվեց իմ հետազոտության ընթացքում: Ֆիբոնաչիի թվերը նույնը չեն ծրագրավորման և տնտեսական կանխատեսումների, նկարչության, ճարտարապետության և երաժշտության մեջ: Այնպիսի հայտնի նկարիչների կտավները, ինչպիսիք են Լեոնարդո դա Վինչին, Միքելանջելոն, Ռաֆայելն ու Բոտիչելին, թաքցնում են ոսկե հարաբերակցության կախարդանքը: Նույնիսկ I. I. Շիշկինը օգտագործել է ոսկե հարաբերակցությունը իր «Pine Grove» կտավում:

Դժվար է հավատալ, բայց ոսկե հարաբերակցությունը հանդիպում է նաև այնպիսի մեծ կոմպոզիտորների երաժշտական ​​ստեղծագործություններում, ինչպիսիք են Մոցարտը, Բեթհովենը, Շոպենը և այլն:

Ֆիբոնաչիի թվերը հանդիպում են նաև ճարտարապետության մեջ: Օրինակ, ոսկե հարաբերակցությունը օգտագործվել է Պարթենոնի և Նոտր Դամի տաճարի կառուցման ժամանակ:

Ես գտա, որ Ֆիբոնաչիի թվերը օգտագործվում են նաև մեր տարածքում: Օրինակ ՝ տների ափսեներ, պատվանդաններ:

Տիեզերքում դեռ կան բազմաթիվ չլուծված առեղծվածներ, որոնցից մի քանիսին գիտնականներն արդեն կարողացել են բացահայտել և նկարագրել: Ֆիբոնաչիի թվերը և ոսկե հարաբերակցությունը հիմք են հանդիսանում շրջակա աշխարհը լուծելու, անձի կողմից դրա ձևը և օպտիմալ տեսողական ընկալումը կառուցելու համար, որի օգնությամբ նա կարող է զգալ գեղեցկություն և ներդաշնակություն:

Ոսկե հարաբերակցություն

Ոսկե հատվածի չափը որոշելու սկզբունքն ընկած է ամբողջ աշխարհի կատարելության և դրա մասերի կառուցվածքում և գործառույթներում, որի դրսևորումը կարելի է տեսնել բնության, արվեստի և տեխնոլոգիայի մեջ: Ոսկե հարաբերակցության վարդապետությունը սահմանվեց թվերի բնույթի վերաբերյալ հին գիտնականների ուսումնասիրությունների արդյունքում:

Այն հիմնված է հատվածների բաժանումների համամասնությունների և հարաբերակցության տեսության վրա, որը կազմել է հին փիլիսոփա և մաթեմատիկոս Պյութագորասը: Նա ապացուցեց, որ հատվածը երկու մասի բաժանելիս ՝ X (փոքր) և Y (ավելի մեծ), ավելի մեծի և փոքրի հարաբերակցությունը հավասար կլինի նրանց գումարի հարաբերակցությանը (ամբողջ հատվածը).

Արդյունքն այն հավասարումն է. x 2 - x - 1 = 0,որը լուծվում է որպես x = (1 ± √5) / 2:

Եթե ​​հաշվի առնենք 1 / x հարաբերակցությունը, ապա այն հավասար է 1,618…

Հին մտածողների կողմից ոսկե հարաբերակցության օգտագործման վկայությունը տրված է Էվկլիդեսի «Սկիզբներ» գրքում, որը գրվել է դեռևս 3 -րդ դարում: Մ.թ.ա., ով կիրառեց այս կանոնը սովորական 5-գոն կառուցելու համար: Պյութագորասցիների շրջանում այս գործիչը համարվում է սուրբ, քանի որ այն և՛ սիմետրիկ է, և՛ անհամաչափ: Պենտագրամը խորհրդանշում էր կյանքը և առողջությունը:

Ֆիբոնաչիի թվեր

1202 թվականին լույս է տեսել Իտալիայից մաթեմատիկոս Լեոնարդո Պիզացու հեղինակած Liber abaci գիրքը, որը հետագայում հայտնի դարձավ որպես Ֆիբոնաչի: Այն գիտնականն առաջին անգամ մեջբերում է թվերի օրինաչափությունը, որոնցում յուրաքանչյուր թիվ գումարը 2 նախորդ թվանշան: Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականությունը հետևյալն է.

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 և այլն:

Գիտնականը նաև մեջբերեց մի շարք օրինաչափություններ.

• Սերիայից ցանկացած թիվ, բաժանված հաջորդի վրա, հավասար կլինի 0.618 -ի ձգտում ունեցող արժեքին: Ավելին, Ֆիբոնաչիի առաջին թվերը նման թիվ չեն տալիս, բայց հաջորդականության սկզբից շարժվելով ՝ այս հարաբերակցությունը գնալով ավելի ճշգրիտ կդառնա:
• Եթե ​​տողից թիվը բաժանենք նախորդի վրա, ապա արդյունքը կշտապի մինչև 1.618:
• Մեկ թիվը հաջորդի վրա բաժանած մեկին ցույց կտա 0.382 արժեք ունեցող արժեք:

Կապի և ոսկե հարաբերակցության օրենքների կիրառումը, Ֆիբոնաչիի թիվը (0.618) կարելի է գտնել ոչ միայն մաթեմատիկայի, այլև բնության, պատմության, ճարտարապետության և շինարարության և շատ այլ գիտությունների մեջ:

Արքիմեդ պարույր և ոսկե ուղղանկյուն

Պարույրները, որոնք շատ տարածված են բնության մեջ, հետազոտվել են Արքիմեդեսի կողմից, ով նույնիսկ վերցրել է դրա հավասարումը: Պարուրաձև ձևը հիմնված է ոսկե հարաբերակցության օրենքների վրա: Երբ այն չի պտտվում, ստացվում է երկարությունը, որին կարող են կիրառվել համամասնությունները և Ֆիբոնաչիի թվերը, քայլը հավասարաչափ աճում է:

Ֆիբոնաչիի թվերի և ոսկե հարաբերակցության միջև զուգահեռը կարելի է տեսնել `կառուցելով« ոսկե ուղղանկյուն », որի կողմերը 1.618: 1 են: Այն կառուցված է ՝ մեծ ուղղանկյունից անցնելով փոքրերի, այնպես որ կողմերի երկարությունները հավասար կլինեն շարքի թվերին: Դրա կառուցումը կարող է կատարվել հակառակ հերթականությամբ ՝ սկսած «1» տուփից: Երբ այս ուղղանկյան անկյունները միմյանց միացված են գծերի հատման կենտրոնում, ստացվում է Ֆիբոնաչի պարույր կամ լոգարիթմական պարույր:

Ոսկե համամասնությունների օգտագործման պատմությունը

Եգիպտոսի շատ հին ճարտարապետական ​​հուշարձաններ կառուցվել են ոսկե համամասնությամբ `Քեոփսի և այլոց հայտնի բուրգերը: Հին Հունաստանի ճարտարապետները դրանք լայնորեն օգտագործել են ճարտարապետական ​​օբյեկտների կառուցման ժամանակ, ինչպիսիք են տաճարները, ամֆիթատրոնները, մարզադաշտերը: Օրինակ, նման համամասնություններ կիրառվեցին Պարթենոնի հնագույն տաճարի, (Աթենք) և այլ օբյեկտների կառուցման ժամանակ, որոնք դարձան հնագույն ճարտարապետության գլուխգործոցներ ՝ ցուցադրելով ներդաշնակություն ՝ հիմնված մաթեմատիկական օրենքների վրա:

Հետագա դարերում Ոսկե հարաբերակցության նկատմամբ հետաքրքրությունը թուլացավ, և օրինաչափությունները մոռացվեցին, բայց նորից վերսկսվեցին Վերածննդի դարաշրջանում ՝ ֆրանցիսկյան վանական Լ. Պաչիոլի դի Բորգոյի «Աստվածային համամասնություն» գրքի հետ միասին (1509): Այն պարունակում էր Լեոնարդո դա Վինչիի նկարազարդումները, ով ամրագրեց նոր անվան «ոսկե հարաբերակցությունը» անունը: Նաև ոսկե հարաբերակցության 12 հատկություններ գիտականորեն ապացուցվեցին, և հեղինակը խոսեց այն մասին, թե ինչպես է այն դրսևորվում բնության, արվեստի մեջ և այն անվանեց «աշխարհն ու բնությունը կառուցելու սկզբունք»:

Վիտրուվյան մարդ Լեոնարդո

Նկարում, որով Լեոնարդո դա Վինչին պատկերազարդել է Վիտրուվիուսի գիրքը 1492 թվականին, պատկերված է մարդու կերպարանք ՝ երկու դիրքում ՝ ձեռքերը բացած: Գործիչը գրված է շրջանագծի և քառակուսիի մեջ: Այս նկարը համարվում է մարդու մարմնի (արական) կանոնական համամասնությունները, որոնք նկարագրված են Լեոնարդոյի կողմից ՝ հռոմեացի ճարտարապետ Վիտրուվիուսի տրակտատներում նրա ուսումնասիրության հիման վրա:

Velուրը համարվում է մարմնի կենտրոն ՝ որպես ձեռքի և ոտքերի ծայրից հավասար հեռավորության կետ, ձեռքերի երկարությունը հավասար է մարդու բարձրությանը, ուսի առավելագույն լայնությունը = բարձրության 1/8, հեռավորությունը կրծքավանդակի վերևից մինչև մազերը = 1/7, կրծքավանդակի վերևից մինչև գլխի վերև = 1/6 և այլն

Այդ ժամանակից ի վեր նկարը օգտագործվել է որպես խորհրդանիշ ՝ ցույց տալու մարդու մարմնի ներքին համաչափությունը:

Լեոնարդոն օգտագործել է «Ոսկե հարաբերակցություն» տերմինը `անձի կերպարի համամասնական հարաբերությունները նշելու համար: Օրինակ, գոտկատեղից մինչև ոտքեր հեռավորությունը կապված է պորտից մինչև պսակ նույն հեռավորության, ինչպես նաև առաջին երկարության բարձրության հետ (գոտկատեղից ներքև): Այս հաշվարկը կատարվում է հատվածների հարաբերակցության նմանությամբ ՝ ոսկե հարաբերակցությունը հաշվարկելիս և ձգտում է 1,618 -ի:

Այս բոլոր ներդաշնակ համամասնությունները հաճախ օգտագործվում են արվեստագետների կողմից `գեղեցիկ և տպավորիչ կտորներ ստեղծելու համար:

Ոսկե հարաբերակցության ուսումնասիրությունները 16-19-րդ դարերում

Օգտագործելով ոսկե հարաբերակցությունը և Ֆիբոնաչիի թվերը, համամասնությունների վերաբերյալ հետազոտությունները շարունակվում են դարեր շարունակ: Լեոնարդո դա Վինչիին զուգահեռ, գերմանացի նկարիչ Ալբրեխտ Դյուրերը աշխատել է նաև մարդու մարմնի ճիշտ համամասնությունների տեսության մշակման վրա: Դրա համար նա նույնիսկ հատուկ կողմնացույց է ստեղծել:

16 -րդ դարում: Ֆիբոնաչի թվի և ոսկե հարաբերակցության միջև կապի հարցը աստղագետ Ի.Կեպլերի աշխատանքների թեման էր, ով առաջինն էր, որ կիրառեց այս կանոնները բուսաբանության մեջ:

Ոսկե հարաբերակցությանը նոր «հայտնագործություն» էր սպասում 19 -րդ դարում: գերմանացի գիտնական պրոֆեսոր isայզիգի «Էսթետիկ հետազոտություններ» հրատարակությամբ: Նա այդ համամասնությունները հասցրեց բացարձակության և հայտարարեց, որ դրանք համընդհանուր են բոլոր բնական երևույթների համար: Նա ուսումնասիրություններ է կատարել հսկայական թվով մարդկանց, ավելի ճիշտ ՝ նրանց մարմնի համամասնությունների (մոտ 2 հազար) մասին, որոնց հիման վրա եզրակացություններ են արվել մարմնի տարբեր մասերի հարաբերություններում վիճակագրորեն հաստատված օրինաչափությունների վերաբերյալ ՝ ուսերի երկարություն, նախաբազուկներ, ձեռքեր , մատներ և այլն:

Արվեստի առարկաներ (ծաղկամաններ, ճարտարապետական ​​կառույցներ), երաժշտական ​​երանգներ, չափսեր են ուսումնասիրվել նաև բանաստեղծություններ գրելիս. Արդյունքները ստանալուց հետո պարզվեց, որ ստացվում է Ֆիբոնաչիի շարք:

Ֆիբոնաչիի թիվը և ոսկու հարաբերակցությունը բնության մեջ

Բուսական և կենդանական աշխարհում նկատվում է համաչափության ձևավորում ձևավորելու միտում, որը նկատվում է աճի և շարժման ուղղությամբ: Սիմետրիկ մասերի բաժանումը, որոնցում նկատվում են ոսկե համամասնությունները, շատ բույսերի և կենդանիների բնորոշ օրինաչափություն է:

Մեզ շրջապատող բնությունը կարելի է նկարագրել Ֆիբոնաչիի թվերի միջոցով, օրինակ.

• ցանկացած բույսերի տերևների կամ ճյուղերի գտնվելու վայրը, ինչպես նաև հեռավորությունները կապված են 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 և ավելի մի շարք թվերի հետ.
• արեւածաղկի սերմեր (կշեռքներ կոնների վրա, արքայախնձորի բջիջներ) ՝ դասավորված երկու շարքով ՝ տարբեր ուղղություններով ոլորված պարույրների երկայնքով.
• պոչի երկարության և մողեսի ամբողջ մարմնի հարաբերակցությունը.
• ձվի ձևը, եթե պայմանականորեն գծեք գիծը դրա լայն մասի միջոցով.
• մարդու ձեռքի մատների չափի հարաբերակցությունը:

Եվ, իհարկե, ամենահետաքրքիր ձևերն են պարուրաձև խխունջների կեղևները, սարդոստայնի նախշերը, փոթորկի ներսում քամու շարժումը, ԴՆԹ -ի կրկնակի պարույրը և գալակտիկաների կառուցվածքը, որոնք բոլորը ներառում են Ֆիբոնաչիի թվերի հաջորդականություն: .

Ոսկե հարաբերակցության օգտագործումը արվեստում

Արվեստում ոսկե հարաբերակցության օգտագործման օրինակներ փնտրող հետազոտողները մանրամասն ուսումնասիրում են տարբեր ճարտարապետական ​​օբյեկտներ և նկարներ: Հայտնի են քանդակագործական հայտնի գործեր, որոնց ստեղծողները հավատարիմ են եղել ոսկե համամասնություններին ՝ Օլիմպիական Zeևսի, Ապոլոն Բելվեդերի և

Լեոնարդո դա Վինչիի ստեղծագործություններից մեկը ՝ «Մոնա Լիզայի դիմանկարը», երկար տարիներ եղել է գիտնականների հետազոտության առարկան: Նրանք պարզել են, որ ստեղծագործության կոմպոզիցիան ամբողջությամբ բաղկացած է «ոսկե եռանկյուններից», որոնք միասին միավորված են ՝ կազմելով սովորական հնգանկյուն-աստղ: Դա Վինչիի բոլոր աշխատանքները վկայում են այն մասին, թե որքան խորն էր նրա գիտելիքները մարդկային մարմնի կառուցվածքի և համամասնությունների մեջ, ինչի շնորհիվ նա կարողացավ որսալ Լա ocոկոնդայի անհավանական խորհրդավոր ժպիտը:

Ոսկե հարաբերակցությունը ճարտարապետության մեջ

Որպես օրինակ ՝ գիտնականներն ուսումնասիրել են «ոսկե հատվածի» կանոնների համաձայն ստեղծված ճարտարապետական ​​գլուխգործոցներ ՝ եգիպտական ​​բուրգերը, Պանթեոնը, Պարթենոնը, Աստվածամոր տաճարը, Սուրբ Բասիլի տաճարը և այլն:

Պարթենոնը ՝ Հին Հունաստանի ամենագեղեցիկ շենքերից մեկը (մ.թ.ա. 5 -րդ դար), ունի 8 սյու և 17 տարբեր կողմեր, նրա բարձրության և կողմերի երկարության հարաբերակցությունը 0,618 է: Նրա ճակատների վրա ելուստներն արված են ըստ «ոսկե հարաբերակցության» (լուսանկարը ՝ ստորև):

Գիտնականներից մեկը, ով հորինել և հաջողությամբ կիրառել է ճարտարապետական ​​օբյեկտների համաչափության մոդուլային համակարգի կատարելագործումը (այսպես կոչված ՝ «մոդուլատոր»), ֆրանսիացի ճարտարապետ Լե Կորբյուզիեն էր: Մոդուլատորը հիմնված է չափման համակարգի վրա, որը կապված է մարդու մարմնի մասերի պայմանական բաժանման հետ:

Ռուս ճարտարապետ Մ. Կազակովը, որը Մոսկվայում կառուցեց մի քանի բնակելի շենքեր, ինչպես նաև Կրեմլում Սենատի շենքերը և Գոլիցինի հիվանդանոցը (այժմ NI Պիրոգովի անվան 1 -ին կլինիկան), ճարտարապետներից էր ոսկե հարաբերակցության նախագծում և կառուցում:

Դիզայնում համամասնությունների կիրառում

Հագուստի ձևավորման մեջ բոլոր նորաձևության դիզայներները նոր պատկերներ և մոդելներ են պատրաստում ՝ հաշվի առնելով մարդու մարմնի համամասնությունները և ոսկե հարաբերակցության կանոնները, չնայած որ բնությամբ ոչ բոլոր մարդիկ ունեն իդեալական համամասնություններ:

Բույսերի (ծառեր և թփեր), շատրվանների և ճարտարապետական ​​փոքր օբյեկտների օգտագործմամբ լանդշաֆտային ձևավորում և այգու ծավալային կոմպոզիցիաներ ստեղծելիս կարող են կիրառվել նաև «աստվածային համամասնությունների» օրենքները: Ի վերջո, այգու կազմը պետք է կենտրոնացած լինի այցելուի վրա տպավորություն ստեղծելու վրա, որը կարող է ազատորեն նավարկել դրանում և գտնել կոմպոզիցիոն կենտրոն:

Այգու բոլոր տարրերն այնպիսի համամասնությամբ են, որ երկրաչափական կառուցվածքի, փոխադարձ դասավորության, լուսավորության և լույսի օգնությամբ մարդուն ներդաշնակության և կատարելության տպավորություն թողնեն:

Ոսկե հարաբերակցության կիրառումը կիբերնետիկայի և ճարտարագիտության մեջ

Ոսկե հարաբերակցության և Ֆիբոնաչիի թվերի օրինաչափությունները դրսևորվում են նաև էներգիայի անցումներում, քիմիական միացություններ կազմող տարրական մասնիկներով տեղի ունեցող գործընթացներում, տիեզերական համակարգերում, ԴՆԹ -ի գենետիկական կառուցվածքում:

Նմանատիպ գործընթացներ տեղի են ունենում մարդու մարմնում ՝ դրսևորվելով նրա կյանքի բիոռիթմերում, օրգանների, օրինակ ՝ ուղեղի կամ տեսողության գործողության մեջ:

Ոսկե համամասնությունների ալգորիթմներն ու օրինաչափությունները լայնորեն կիրառվում են ժամանակակից կիբերնետիկայի և համակարգչային գիտության մեջ: Այն պարզ առաջադրանքներից մեկը, որին պետք է լուծեն սկսնակ ծրագրավորողները, բանաձև գրելն է և ծրագրավորման լեզուների միջոցով Ֆիբոնաչիի թվերի գումարը մինչև որոշակի թվերի որոշումը:

Ոսկե հարաբերակցության տեսության ժամանակակից հետազոտություններ

20 -րդ դարի կեսերից մարդու կյանքի վրա ոսկու համամասնությունների օրինաչափությունների խնդիրների և ազդեցության կտրուկ աճ է նկատվում, և տարբեր մասնագիտությունների բազմաթիվ գիտնականների կողմից `մաթեմատիկոսներ, էթնոս հետազոտողներ, կենսաբաններ, փիլիսոփաներ, բժիշկներ աշխատողներ, տնտեսագետներ, երաժիշտներ և այլն:

1970 -ականներից ԱՄՆ -ում լույս է տեսնում The Fibonacci Quarterly ամսագիրը, որտեղ տպագրվում են այս թեմայով աշխատանքներ: Մամուլում կան ստեղծագործություններ, որոնցում ոսկե հարաբերակցության ընդհանրացված կանոնները և Ֆիբոնաչիի շարքը օգտագործվում են գիտելիքների տարբեր ոլորտներում: Օրինակ ՝ տեղեկատվության կոդավորման, քիմիական հետազոտությունների, կենսաբանական և այլն:

Այս ամենը հաստատում է հին և ժամանակակից գիտնականների եզրակացությունները, որ ոսկե հարաբերակցությունը բազմակողմանիորեն կապված է գիտության հիմնարար խնդիրների հետ և արտահայտվում է մեզ շրջապատող աշխարհի բազմաթիվ ստեղծագործությունների և երևույթների համաչափության մեջ: