Afwerking. Uitrusting. Reparatie. Montage. Keuze. Opening
Buigvervorming bestaat uit het buigen van de as van een rechte staaf of het veranderen van de aanvankelijke kromming van een rechte staaf (Fig. 6.1). Laten we kennis maken met de basisconcepten die worden gebruikt bij het overwegen van buigvervorming.
Buigstaven worden genoemd balken.
Schoon buiging wordt genoemd, waarbij het buigmoment de enige interne krachtfactor is die optreedt in de dwarsdoorsnede van de balk.
Vaker verschijnt in de dwarsdoorsnede van de staaf, samen met het buigmoment, ook zijwaartse kracht... Deze bocht wordt transversaal genoemd.
Plat (recht) buigen wordt genoemd wanneer het werkvlak van het buigende moment in de dwarsdoorsnede door een van de hoofdhartlijnen van de dwarsdoorsnede gaat.
Bij schuine bocht het werkvlak van het buigend moment snijdt de dwarsdoorsnede van de balk langs een lijn die niet samenvalt met een van de hoofdhartlijnen van de dwarsdoorsnede.
We beginnen onze studie van buigvervorming met het geval van zuivere vlakke buiging.
Normale spanningen en rekken bij pure buiging.
Zoals eerder vermeld, is bij een zuivere vlakke buiging in de doorsnede van zes interne krachtfactoren alleen het buigmoment niet nul (Figuur 6.1, c):
Experimenten uitgevoerd op elastische modellen tonen aan dat als een raster van lijnen wordt toegepast op het oppervlak van het model (Fig. 6.1, a), dan bij schone bocht het wordt als volgt vervormd (Figuur 6.1, b):
a) langs de omtrek zijn langslijnen gekromd;
b) de contouren van de doorsneden blijven vlak;
c) de lijnen van de contouren van de doorsneden snijden overal met de langsvezels haaks op elkaar.
Op basis hiervan kan worden aangenomen dat bij zuivere buiging de doorsneden van de balk vlak blijven en roteren zodat ze loodrecht op de gebogen as van de balk blijven (hypothese van vlakke secties tijdens het buigen).
Rijst. 6.1
Door de lengte van de longitudinale lijnen te meten (Figuur 6.1, b), kan worden vastgesteld dat de bovenste vezels langer worden wanneer de balk wordt vervormd, en de onderste korter. Uiteraard is het mogelijk om dergelijke vezels te vinden, waarvan de lengte onveranderd blijft. Een reeks vezels die hun lengte niet veranderen wanneer de balk wordt gebogen, wordt genoemd neutrale laag (n.s.)... De neutrale laag kruist de dwarsdoorsnede van de balk in een rechte lijn, die wordt genoemd neutrale lijn (n.l.) van de sectie.
Om een formule af te leiden die de grootte bepaalt van de normaalspanningen die optreden in de dwarsdoorsnede, beschouw een deel van de balk in een vervormde en niet-vervormde toestand (Fig. 6.2).
Rijst. 6.2
Selecteer met twee oneindig kleine doorsneden een element van lengte 
... Vóór vervorming, de secties die het element begrenzen 
, waren evenwijdig aan elkaar (Fig. 6.2, a), en na vervorming zijn ze iets gekanteld en vormden ze een hoek 
... De lengte van de vezels die in de neutrale laag liggen, verandert niet bij het buigen 
... Laten we de kromtestraal van het spoor van de neutrale laag op het vlak van tekening aanduiden met de letter 
... Definieer de lineaire vervorming van een willekeurige vezel 
op een afstand 
uit de neutrale laag.
De lengte van deze vezel na vervorming (booglengte) 
) is gelijk aan 
... Gezien het feit dat vóór vervorming alle vezels dezelfde lengte hadden 
, verkrijgen we dat de absolute verlenging van de beschouwde vezel
Zijn relatieve vervorming: 
Het is duidelijk dat 
, aangezien de lengte van de vezel die in de neutrale laag ligt niet is veranderd. Dan na vervanging 
krijgen
(6.2)
Dientengevolge is de relatieve longitudinale vervorming evenredig met de afstand van de vezel tot de neutrale as.
Laten we de aanname introduceren dat longitudinale vezels niet tegen elkaar drukken tijdens het buigen. Onder deze aanname vervormt elke vezel afzonderlijk en ondergaat eenvoudige spanning of compressie, waarbij: 
... Rekening houden met (6.2)
, (6.3)
dat wil zeggen, normale spanningen zijn recht evenredig met de afstanden van de beschouwde sectiepunten van de neutrale as.
Vervang afhankelijkheid (6.3) in de uitdrukking voor het buigmoment 
in doorsnede (6.1)
.
Bedenk dat de integraal 
vertegenwoordigt het traagheidsmoment van de sectie om de as 
.
(6.4)
Afhankelijkheid (6.4) is de wet van Hooke bij het buigen, omdat het betrekking heeft op de vervorming (kromming van de neutrale laag 
) met het moment handelend in de sectie. Werk 
wordt de stijfheid van de sectie bij het buigen genoemd, N · m 2.
Vervang (6.4) door (6.3)
(6.5)
Dit is de gewenste formule voor het bepalen van de normaalspanningen tijdens zuivere buiging van een balk op elk punt van zijn sectie.
Om vast te stellen waar de neutrale lijn zich in de doorsnede bevindt, vervangen we de waarde van normaalspanningen in de uitdrukking voor de langskracht 
en buigend moment 
Voor zover 
,
;
(6.6)
(6.7)
Gelijkheid (6.6) geeft aan dat de as 
- de neutrale as van de doorsnede - gaat door het zwaartepunt van de doorsnede.
Gelijkheid (6.7) laat zien dat 
en 
- de hoofdassen van de sectie.
Volgens (6.5) wordt de hoogste spanning bereikt in de vezels die het verst verwijderd zijn van de neutrale lijn
Voor vrijdragende balk belast met een verdeelde belasting met een intensiteit van kN/m en een geconcentreerd moment kN toelaatbare schuifspanning kN/cm2. Afmetingen balk m; m; m.
Ontwerpmodel voor het probleem bij rechte dwarsbuiging
Rijst. 3.12
Het probleem "rechte dwarsbocht" oplossen
Ondersteuningsreacties bepalen
De horizontale reactie in de inbedding is nul, aangezien externe belastingen in de richting van de z-as niet op de balk inwerken.
We selecteren de richtingen van de resterende reactiekrachten die in de afdichting ontstaan: richt de verticale reactie bijvoorbeeld naar beneden en het moment - met de klok mee. Hun waarden worden bepaald aan de hand van de vergelijkingen van statica:
Als we deze vergelijkingen opstellen, beschouwen we het moment als positief wanneer we tegen de klok in draaien, en de projectie van de kracht is positief als de richting ervan samenvalt met de positieve richting van de y-as.
Uit de eerste vergelijking vinden we het moment in de beëindiging:
Uit de tweede vergelijking - verticale reactie:
Door ons ontvangen positieve waarden voor het moment en de verticale reactie in de beëindiging geven aan dat we hun richtingen hebben geraden.
In overeenstemming met de aard van de bevestiging en belasting van de balk, verdelen we de lengte in twee secties. Langs de grenzen van elk van deze secties schetsen we vier doorsneden (zie Fig. 3.12), waarin we de waarden van dwarskrachten en buigmomenten zullen berekenen volgens de methode van secties (ROSU).
Sectie 1. Laten we mentaal het rechterdeel van de balk weggooien. Vervang de actie aan de resterende linkerkant door een afschuifkracht en een buigend moment. Voor het gemak van het berekenen van hun waarden, bedekken we het weggegooide rechterdeel van de balk met een stuk papier, waarbij we de linkerrand van het vel uitlijnen met het betreffende gedeelte.
Bedenk dat de dwarskracht die in een dwarsdoorsnede ontstaat, alle externe krachten (actief en reactief) moet compenseren die inwerken op het deel van de balk dat we beschouwen (d.w.z. zichtbaar). Daarom moet de schuifkracht gelijk zijn aan algebraïsche som van alle krachten die we zien.
Laten we ook de tekenregel voor de afschuifkracht geven: een externe kracht die inwerkt op het beschouwde deel van de balk en de neiging heeft om dit deel ten opzichte van de sectie met de klok mee te "draaien", veroorzaakt een positieve schuifkracht in de sectie. Zo'n externe kracht wordt in de algebraïsche som voor de definitie met een plusteken meegerekend.
In ons geval zien we alleen de reactie van de steun, die het deel van de balk dat we zien ten opzichte van de eerste sectie (ten opzichte van de rand van het vel papier) tegen de klok in draait. Dat is waarom
kN.
Het buigmoment in elke sectie moet in evenwicht zijn met het moment dat wordt gecreëerd door de externe krachten die voor ons zichtbaar zijn, ten opzichte van de sectie in kwestie. Het is dus gelijk aan de algebraïsche som van de momenten van alle inspanningen die inwerken op het deel van de beschouwde balk, ten opzichte van het beschouwde gedeelte (met andere woorden, ten opzichte van de rand van het vel papier). In dit geval veroorzaakt de externe belasting, die het beschouwde deel van de balk buigt met de convexiteit naar beneden, een positief buigmoment in de sectie. En het moment gecreëerd door een dergelijke belasting wordt opgenomen in de algebraïsche som voor de definitie met een plusteken.
We zien twee pogingen: reactie en moment in beëindiging. De kracht heeft echter een schouder ten opzichte van sectie 1 gelijk aan nul. Dat is waarom
kNm.
We hebben het plusteken genomen omdat het reactieve moment het zichtbare deel van de straal met een uitstulping naar beneden buigt.
Sectie 2. Net als eerder bedekken we de hele rechterkant van de balk met een stuk papier. Nu, in tegenstelling tot de eerste sectie, heeft de kracht een schouder: m. Daarom
kN; kNm.
Sectie 3. Als we de rechterkant van de balk sluiten, vinden we:
kN;
Sectie 4. Sluit de linkerkant van de balk af met een blad. Vervolgens
kNm.
kNm.
.
Met behulp van de gevonden waarden plotten we de diagrammen van schuifkrachten (Fig. 3.12, b) en buigmomenten (Fig. 3.12, c).
Onder de onbelaste secties loopt het dwarskrachtdiagram evenwijdig aan de as van de balk, en onder de verdeelde belasting q, langs een hellende rechte lijn naar boven. Onder de steunreactie op het diagram is er een sprong naar beneden met de waarde van deze reactie, dat wil zeggen met 40 kN.
In het buigmomentdiagram zien we een knik onder de steunreactie. De buighoek is gericht op de reactie van de drager. Onder een verdeelde belasting q verandert het diagram langs een kwadratische parabool, waarvan de convexiteit naar de belasting is gericht. In sectie 6 van het diagram is er een extremum, omdat het diagram van de schuifkracht op deze plaats hier door een nulwaarde gaat.
Bepaal de vereiste doorsnedediameter van de balk
De normale toestand van de spanningssterkte is als volgt:
,
waar is het moment van weerstand van de balk tijdens het buigen. Voor een balk met cirkelvormige doorsnede is deze gelijk aan:
.
Het grootste buigende moment in absolute waarde treedt op in het derde deel van de balk: 
kNcm.
Vervolgens wordt de vereiste straaldiameter bepaald door de formule
cm.
Wij accepteren mm. Vervolgens
kN / cm2 kN / cm2.
Overspanning is
,
wat is toegestaan.
We controleren de sterkte van de balk op de hoogste schuifspanningen
De grootste schuifspanningen die optreden in de dwarsdoorsnede van de balk ronde doorsnede, worden berekend met de formule
,
waar is de dwarsdoorsnede.
Volgens het diagram is de dwarskracht met de hoogste algebraïsche waarde 
kN. Vervolgens
kN / cm2 kN / cm2,
dat wil zeggen, aan de sterktevoorwaarde voor schuifspanningen is voldaan, en met een grote marge.
Een voorbeeld van het oplossen van het probleem "rechte dwarsbocht" nr. 2
Toestand van een voorbeeld van een probleem op een rechte dwarsbocht
Voor een zwenkbaar ondersteunde balk belast met een verdeelde belasting van intensiteit kN/m, geconcentreerde kracht kN en geconcentreerd moment kN toelaatbare schuifspanning kN/cm2. Balkoverspanning m.
Een voorbeeld van een probleem met een rechte buiging - ontwerpmodel
 |
Rijst. 3.13
Een voorbeeld van een probleem met een rechte buiging oplossen
Ondersteuningsreacties bepalen
Voor een gegeven scharnierend ondersteunde balk is het nodig om drie ondersteuningsreacties te vinden:, en. Aangezien alleen verticale belastingen loodrecht op zijn as op de balk werken, is de horizontale reactie van het vaste scharnierlager A gelijk aan nul:.
Richtingen van verticale reacties en we kiezen willekeurig. Laten we bijvoorbeeld beide verticale reacties naar boven richten. Om hun waarden te berekenen, stellen we twee statische vergelijkingen op:
Bedenk dat de resulterende lineaire belasting, gelijkmatig verdeeld over een sectie met lengte l, gelijk is, dat wil zeggen gelijk aan het gebied van het diagram van deze belasting en wordt toegepast op het zwaartepunt van dit diagram, dat wil zeggen, in het midden van de lengte.
;
kN.
Wij doen een controle:.
Bedenk dat krachten waarvan de richting samenvalt met de positieve richting van de y-as, op deze as worden geprojecteerd (geprojecteerd) met een plusteken:
dat wil zeggen, het is waar.
Afschuifkrachten en buigmomenten plotten
We verdelen de lengte van de balk in afzonderlijke secties. De grenzen van deze secties zijn de punten van toepassing van geconcentreerde inspanningen (actief en / of reactief), evenals punten die overeenkomen met het begin en einde van de verdeelde belasting. Er zijn drie van dergelijke gebieden in ons probleem. Langs de grenzen van deze secties schetsen we zes doorsneden, waarin we de waarden van schuifkrachten en buigmomenten zullen berekenen (Fig. 3.13, a).
Sectie 1. Laten we mentaal het rechterdeel van de balk weggooien. Voor het gemak van het berekenen van de schuifkracht en het buigmoment die in deze sectie optreden, bedekken we het deel van de balk dat door ons is weggegooid met een stuk papier, waarbij de linkerrand van het stuk papier wordt uitgelijnd met de sectie zelf.
De afschuifkracht in de balksectie is gelijk aan de algebraïsche som van alle externe krachten (actief en reactief) die we zien. In dit geval zien we de reactie van de drager en de lineaire belasting q, verdeeld over een oneindig kleine lengte. De resulterende lineaire belasting is nul. Dat is waarom
kN.
Het plusteken wordt genomen omdat de kracht het zichtbare deel van de balk met de klok mee roteert ten opzichte van het eerste gedeelte (de rand van het vel papier).
Het buigend moment in de sectie van de balk is gelijk aan de algebraïsche som van de momenten van alle krachten die we zien, ten opzichte van de betreffende sectie (dat wil zeggen, ten opzichte van de rand van het vel papier). We zien de reactie van de drager en de lineaire belasting q, verdeeld over een oneindig kleine lengte. Kracht heeft echter een schouder van nul. De resulterende lineaire belasting is ook nul. Dat is waarom
Sectie 2. Zoals eerder bedekken we de hele rechterkant van de balk met een stuk papier. Nu zien we de reactie en de belasting q werken op de sectielengte. De resulterende lineaire belasting is gelijk aan. Het is bevestigd in het midden van een sectie lang. Dat is waarom
Bedenk dat we bij het bepalen van het teken van het buigende moment in gedachten het deel van de balk dat voor ons zichtbaar is, bevrijden van alle feitelijke steunbevestigingen en het ons voorstellen alsof het in het betreffende gedeelte is geklemd (dat wil zeggen, de linkerrand van het vel papier wordt door ons mentaal weergegeven als een rigide zegel).
Sectie 3. Sluit de rechterkant. We krijgen
Sectie 4. Sluit de rechterkant van de balk af met een plaat. Vervolgens
Om de juistheid van de berekeningen te controleren, zullen we nu de linkerkant van de balk bedekken met een stuk papier. We zien de geconcentreerde kracht P, de reactie van de rechter ondersteuning en de lineaire belasting q, verdeeld over een oneindig kleine lengte. De resulterende lineaire belasting is nul. Dat is waarom
kNm.
Dat wil zeggen, alles klopt.
Sectie 5. Sluit zoals eerder de linkerkant van de balk. Zal hebben
kN;
kNm.
Sectie 6. Sluit opnieuw de linkerkant van de balk. We krijgen
kN;
Met behulp van de gevonden waarden plotten we de diagrammen van schuifkrachten (Fig. 3.13, b) en buigmomenten (Fig. 3.13, c).
We zorgen ervoor dat onder het onbelaste gedeelte het dwarskrachtdiagram evenwijdig loopt aan de as van de balk, en onder de verdeelde belasting q, langs een rechte lijn die naar beneden afloopt. Er zijn drie sprongen in het diagram: onder de reactie - 37,5 kN omhoog, onder de reactie - 132,5 kN omhoog en onder de kracht P - 50 kN omlaag.
Op het diagram van buigmomenten zien we knikken onder de geconcentreerde kracht P en onder steun reacties... De hoeken van de knikken zijn op deze krachten gericht. Onder een verdeelde belasting met intensiteit q verandert het diagram langs een kwadratische parabool, waarvan de convexiteit naar de belasting is gericht. Onder het geconcentreerde moment - een sprong van 60 kN · m, dat wil zeggen door de grootte van het moment zelf. In sectie 7 van het diagram is er een extremum, aangezien het diagram van de schuifkracht voor deze sectie door de nulwaarde () gaat. Bepaal de afstand van sectie 7 tot de linker steun.
Berekening van een balk om "handmatig", op een ouderwetse manier, te buigen, stelt u in staat om een van de belangrijkste, mooiste, duidelijk wiskundig geverifieerde algoritmen van de wetenschap van weerstand van materialen te leren. Het gebruik van talrijke programma's zoals "de initiële gegevens ingevoerd ...
... - een antwoord krijgen ” stelt een moderne ingenieur in staat om veel sneller te werken dan zijn voorgangers honderd, vijftig en zelfs twintig jaar geleden. Echter, hiermee moderne benadering de ingenieur wordt gedwongen om de auteurs van het programma volledig te vertrouwen en houdt uiteindelijk op "de fysieke betekenis" van de berekeningen te voelen. Maar de auteurs van het programma zijn mensen, en mensen hebben de neiging om fouten te maken. Als het niet zo was, dan zouden er geen talloze patches, releases, "patches" zijn voor bijna elke software... Daarom lijkt het mij dat elke ingenieur in staat moet zijn om de resultaten van berekeningen soms "handmatig" te controleren.
Hulp (spiekbriefje, memo) voor het berekenen van liggers voor buigen wordt hieronder in de afbeelding weergegeven.
Laten we proberen het te gebruiken aan de hand van een eenvoudig alledaags voorbeeld. Laten we zeggen dat ik besloot om een horizontale balk in mijn appartement te maken. De plaats is bepaald - een gang van één meter en twintig centimeter breed. Op tegenoverliggende muren op de vereiste hoogte, tegenover elkaar, bevestig ik stevig de beugels waaraan de balk-dwarsbalk zal worden bevestigd - een staaf gemaakt van St3-staal met een buitendiameter van tweeëndertig millimeter. Zal deze balk mijn gewicht dragen plus de extra dynamische belastingen die tijdens het sporten ontstaan?
We tekenen een diagram voor het berekenen van een balk voor buigen. Het is duidelijk dat het gevaarlijkste het schema is om een externe belasting uit te oefenen, wanneer ik begin op te trekken, waarbij ik een hand in het midden van de balk grijp.
Initiële data:
F1 = 900 N - de kracht die op de balk werkt (mijn gewicht) zonder rekening te houden met de dynamiek
d = 32 mm- buitendiameter staaf waarvan de balk is gemaakt
E = 206000 n / mm ^ 2 - elasticiteitsmodulus van het materiaal van de balk van staal St3
[σi] = 250 n / mm ^ 2 - toelaatbare buigspanningen (vloeipunt) voor het materiaal van de balk van staal St3
Randvoorwaarden:
Мx (0) = 0 n * m - moment in punt z = 0 m (eerste steunpunt)
Мx (1,2) = 0 n * m - moment in punt z = 1,2 m (tweede steunpunt)
V (0) = 0 mm - doorbuiging op punt z = 0 m (eerste steunpunt)
V (1,2) = 0 mm - doorbuiging op punt z = 1,2 m (tweede steunpunt)
Betaling:
1. Laten we eerst het traagheidsmoment Ix en het weerstandsmoment Wx van de balk berekenen. Ze zijn nuttig voor ons bij verdere berekeningen. Voor een cirkelvormig gedeelte (dit is het gedeelte van de balk):
Ix = (π * d ^ 4) / 64 = (3,14 * (32/10) ^ 4) / 64 = 5,147 cm ^ 4
Bx = (π * d ^ 3) / 32 = ((3.14 * (32/10) ^ 3) / 32) = 3.217 cm ^ 3
2. We stellen de evenwichtsvergelijkingen op voor het berekenen van de reacties van de dragers R1 en R2:
Qy = -R1 + F1-R2 = 0
Мx (0) = F1 * (0-b2) -R2 * (0-b3) = 0
Uit de tweede vergelijking: R2 = F1 * b2 / b3 = 900 * 0,6 / 1,2 = 450 n
Uit de eerste vergelijking: R1 = F1-R2 = 900-450 = 450 n
3. Zoek de rotatiehoek van de balk in de eerste ondersteuning bij z = 0 uit de doorbuigingsvergelijking voor de tweede sectie:
V (1.2) = V (0) + U (0) * 1.2 + (- R1 * ((1.2-b1) ^ 3) / 6 + F1 * ((1.2-b2) ^ 3) / 6) /
U (0) = (R1 * ((1.2-b1) ^ 3) / 6 -F1 * ((1.2-b2) ^ 3) / 6) / (E * Ix) / 1.2 =
= (450*((1.2-0)^3)/6 -900*((1.2-0.6)^3)/6)/
/ (206000 * 5,147/100) / 1,2 = 0,00764 rad = 0,44˚
4.
We stellen vergelijkingen op voor het plotten van diagrammen voor de eerste sectie (0 Afschuifkracht: Qy (z) = -R1 Buigend moment: Мx (z) = -R1 * (z-b1) Rotatiehoek: Ux (z) = U (0) + (- R1 * ((z-b1) ^ 2) / 2) / (E * Ix) Doorbuiging: Vy (z) = V (0) + U (0) * z + (- R1 * ((z-b1) ^ 3) / 6) / (E * Ix) z = 0 m: Qy (0) = -R1 = -450 n Ux (0) = U (0) = 0,00764 rad Vy (0) = V (0) = 0 mm z = 0,6 m: Qy (0,6) = -R1 = -450 n Mx (0,6) = -R1 * (0,6-b1) = -450 * (0,6-0) = -270 n * m Ux (0,6) = U (0) + (- R1 * ((0,6-b1) ^ 2) / 2) / (E * Ix) = 0,00764 + (- 450 * ((0,6-0) ^ 2) / 2) / (206000 * 5,147/100) = 0 rad Vy (0,6) = V (0) + U (0) * 0,6 + (- R1 * ((0,6-b1) ^ 3) / 6) / (E * Ix) = 0 + 0,00764 * 0,6 + (- 450 * ((0,6-0) ^ 3) / 6) / (206000 * 5,147/100) = 0,003 m De balk buigt in het midden 3 mm door onder het gewicht van mijn lichaam. Ik denk dat dit een acceptabele afwijking is. 5.
We schrijven de vergelijkingen van de diagrammen voor de tweede sectie (b2 Afschuifkracht: Qy (z) = -R1 + F1 Buigend moment: Мx (z) = -R1 * (z-b1) + F1 * (z-b2) Rotatiehoek: Ux (z) = U (0) + (- R1 * ((z-b1) ^ 2) / 2 + F1 * ((z-b2) ^ 2) / 2) / (E * Ix) Doorbuiging: Vy (z) = V (0) + U (0) * z + (- R1 * ((z-b1) ^ 3) / 6 + F1 * ((z-b2) ^ 3) / 6) / (E * Ix) z = 1,2 m: Qy (1,2) = -R1 + F1 = -450 + 900 = 450 n Mx (1,2) = 0 n * m Ux (1,2) = U (0) + (- R1 * ((1,2-b1) ^ 2) / 2 + F1 * ((1,2-b2) ^ 2) / 2) / (E * Ix) = 0,00764+(-450*((1,2-0)^2)/2+900*((1,2-0,6)^2)/2)/ / (206000 * 5,147/100) = -0,00764 rad Vy (1,2) = V (1,2) = 0 m 6.
We bouwen diagrammen met behulp van de hierboven verkregen gegevens. 7.
We berekenen de buigspanningen in de meest belaste sectie - in het midden van de balk en vergelijken met de toelaatbare spanningen: σi = Mx max / Bx = (270 * 1000) / (3.217 * 1000) = 84 n / mm ^ 2 σi = 84 n / mm ^ 2< [σи] = 250 н/мм^2 Wat de buigsterkte betreft, bleek uit de berekening een drievoudige veiligheidsmarge - een rekstok kan veilig worden gemaakt van een bestaande staaf met een diameter van tweeëndertig millimeter en een lengte van duizend tweehonderd millimeter. Zo kunt u nu eenvoudig een handmatige buigberekening van de balk maken en deze vergelijken met de resultaten die bij de berekening zijn verkregen met behulp van een van de vele programma's die beschikbaar zijn op het web. Ik vraag het GEWENSTE werk van de auteur om ABONNEER op de aankondigingen van artikelen.
86 opmerkingen over "Beam buigberekening -" handmatig "!" Buigen is het type vervorming waarbij de lengteas van de staaf wordt gebogen. Rechte buigbalken worden balken genoemd. Directe buiging is een bocht waarbij de externe krachten die op de balk werken in hetzelfde vlak (krachtvlak) liggen dat door de lengteas van de balk en de centrale traagheidsas van de dwarsdoorsnede gaat. De bocht heet schoon als er slechts één buigend moment optreedt in een dwarsdoorsnede van de balk. Een bocht waarbij een buigend moment en een dwarskracht gelijktijdig in de dwarsdoorsnede van de balk werken, wordt transversaal genoemd. De snijlijn van het krachtvlak en het dwarsdoorsnedevlak wordt de krachtlijn genoemd. Bij vlakke dwarsbuiging ontstaan in de liggersecties twee interne krachtfactoren: de dwarskracht Q en het buigmoment M. Om deze te bepalen wordt de sectiemethode gebruikt (zie hoorcollege 1). De dwarskracht Q in de doorsnede van de balk is gelijk aan de algebraïsche som van de projecties op het vlak van de doorsnede van alle uitwendige krachten die op één zijde van de beschouwde doorsnede werken. Tekenregel voor dwarskrachten Q: Het buigmoment M in de doorsnede van de balk is gelijk aan de algebraïsche som van de momenten ten opzichte van het zwaartepunt van deze doorsnede van alle uitwendige krachten die aan één zijde van de beschouwde doorsnede werken. Tekenregel voor buigmomenten M: Er worden differentiële afhankelijkheden vastgesteld tussen de intensiteit q van de verdeelde belasting, de uitdrukkingen voor de afschuifkracht Q en het buigmoment M: Op basis van deze afhankelijkheden kunnen de volgende algemene patronen van diagrammen van schuifkrachten Q en buigmomenten M worden onderscheiden: Kenmerken van diagrammen van interne krachtfactoren tijdens buigen. 1.
In het gedeelte van de balk, waar geen verdeelde belasting is, wordt het Q-diagram weergegeven rechte lijn
evenwijdig aan de basis van het diagram, en het diagram M is een hellende rechte lijn (Fig. a). 2.
In het gedeelte waar de geconcentreerde kracht wordt uitgeoefend, zou het diagram Q moeten hebben: sprong
, gelijk aan de waarde van deze kracht, en op het M-diagram - breekpunt
(afb. a). 3.
In de sectie waar het geconcentreerde moment wordt toegepast, verandert de waarde van Q niet, en het diagram M heeft sprong
gelijk aan de waarde van dit moment (Fig. 26, b). 4.
Op een sectie van een balk met een verdeelde belasting van intensiteit q, verandert het Q-diagram volgens een lineaire wet en verandert het M-diagram volgens de parabolische wet, en de uitstulping van de parabool is gericht in de richting van de verdeelde belasting
(Fig. c, d). 5.
Als binnen de karakteristieke sectie van het diagram Q de basis van het diagram snijdt, dan heeft in de sectie waar Q = 0, het buigmoment een extreme waarde M max of M min (Fig. D). Bepaald door de formule: Het weerstandsmoment van de sectie tegen buigen is de waarde: Gevaarlijk gedeelte bij buigen wordt de doorsnede van de balk genoemd waarin de maximale normaalspanning optreedt. Bepaald door formule van Zhuravsky
voor schuifspanningen bij directe buiging van de balk: waarbij Sop het statische moment is van het transversale gebied van de afgesneden laag longitudinale vezels ten opzichte van de neutrale lijn. 1.
Bij verificatieberekening
de maximale ontwerpspanning wordt bepaald, die wordt vergeleken met de toelaatbare spanning: 2.
Bij ontwerpberekening
de selectie van het gedeelte van de balk wordt gemaakt uit de voorwaarde: 3.
Bij het bepalen van de toelaatbare belasting wordt het toelaatbare buigmoment bepaald uit de voorwaarde: Onder invloed van een buigbelasting wordt de balkas gebogen. In dit geval worden de vezels uitgerekt op de convexe en compressie - op de concave delen van de balk. Bovendien is er een verticale verplaatsing van de zwaartepunten van de dwarsdoorsneden en hun rotatie om de neutrale as. Om buigvervorming te karakteriseren, worden de volgende concepten gebruikt: Straalafbuiging Y- verplaatsing van het zwaartepunt van de dwarsdoorsnede van de balk in de richting loodrecht op zijn as. De doorbuiging wordt als positief beschouwd als het zwaartepunt naar boven beweegt. De hoeveelheid doorbuiging varieert langs de lengte van de straal, d.w.z. y = y (z) Sectie rotatiehoek:- de hoek θ, waarmee elke sectie wordt gedraaid ten opzichte van zijn oorspronkelijke positie. De rotatiehoek wordt als positief beschouwd wanneer de sectie tegen de klok in wordt gedraaid. De waarde van de rotatiehoek varieert langs de lengte van de balk en is een functie van θ = θ (z). De meest gebruikelijke manier om verplaatsingen te bepalen is de methode Mora en Vereshchagin regel. De procedure voor het bepalen van verplaatsingen volgens de methode van Mohr: 1.
Een "hulpsysteem" wordt gebouwd en belast met een enkele belasting op het punt waar u de verplaatsing wilt bepalen. Als een lineaire verplaatsing wordt bepaald, wordt een eenheidskracht in zijn richting uitgeoefend en wordt een eenheidsmoment toegepast bij het bepalen van hoekverplaatsingen. 2.
Voor elke sectie van het systeem worden de uitdrukkingen voor de buigmomenten M f van de toegepaste belasting en M 1 van de eenheidsbelasting geregistreerd. 3.
De integralen van Mohr worden berekend en opgeteld over alle delen van het systeem, wat resulteert in de gewenste verplaatsing: 4.
Als de berekende verplaatsing een positief teken heeft, betekent dit dat de richting ervan samenvalt met de richting van de eenheidskracht. Een minteken geeft aan dat de werkelijke verplaatsing tegengesteld is aan de richting van de eenheidskracht. Voor het geval dat het diagram van buigmomenten van een bepaalde belasting een willekeurige vorm heeft en van een enkele belasting een rechtlijnige omtrek heeft, is het handig om de grafisch-analytische methode of de regel van Vereshchagin te gebruiken. waarbij Af het gebied is van het diagram van het buigmoment M f van een bepaalde belasting; y coördinaat van het diagram van een enkele belasting onder het zwaartepunt van het diagram M f; EI x - stijfheid van de sectie van de balk. Berekeningen met deze formule worden uitgevoerd op secties, op elk waarvan het rechtlijnige diagram zonder breuken moet zijn. De waarde (A f * y c) wordt als positief beschouwd als beide diagrammen zich aan dezelfde kant van de balk bevinden, negatief als ze zich aan weerszijden bevinden. Een positief resultaat van het vermenigvuldigen van de grafieken betekent dat de bewegingsrichting samenvalt met de richting van de eenheidskracht (of moment). Een complex diagram M f moet worden verdeeld in eenvoudige figuren (de zogenaamde "stratificatie van het diagram" wordt gebruikt), voor elk waarvan het gemakkelijk is om de ordinaat van het zwaartepunt te bepalen. In dit geval wordt het gebied van elke figuur vermenigvuldigd met de ordinaat onder het zwaartepunt. Rechte bocht. Vlak zijwaartse buiging Interne krachtfactoren voor liggers plotten Q- en M-plots plotten met behulp van vergelijkingen Q- en M-plots plotten op karakteristieke secties (punten) Sterkteberekeningen voor directe buiging van liggers Belangrijkste buigspanningen. Volledige controle van de sterkte van liggers Begrijp het middelpunt van buiging Bepaal verplaatsingen in liggers tijdens het buigen. Concepten van vervorming van liggers en voorwaarden van hun stijfheid Differentiaalvergelijking van een gebogen as van een ligger Directe integratiemethode Voorbeelden van het bepalen van verplaatsingen in liggers door de methode van directe integratie Fysische betekenis van integratieconstanten Methode van initiële parameters (universele vergelijking van een gebogen as van een balk). Voorbeelden van het definiëren van verplaatsingen in een staaf met de methode van initiële parameters. Het bepalen van verplaatsingen met de methode van Mohr. Regel AK Vereshchagin. Berekening van de Mohr-integraal volgens de regel van A.K. Vereshchagin Voorbeelden van het bepalen van verplaatsingen door middel van Mohr's integraal Bibliografie Directe buiging. Vlakke zijwaartse buiging. 1.1. Interne krachtfactoren voor liggers plotten Directe buiging is een vorm van vervorming waarbij twee interne krachtfactoren optreden in de dwarsdoorsneden van de staaf: buigmoment en afschuifkracht. In een bepaald geval kan de afschuifkracht gelijk zijn aan nul, dan wordt de buiging puur genoemd. Bij vlakke transversale buiging bevinden alle krachten zich in een van de hoofdtraagheidsvlakken van de staaf en staan ze loodrecht op de lengteas ervan, momenten bevinden zich in hetzelfde vlak (Fig. 1.1, a, b). Rijst. 1.1 De dwarskracht in een willekeurige dwarsdoorsnede van de balk is numeriek gelijk aan de algebraïsche som van projecties op de normaal op de as van de balk van alle externe krachten die aan één kant van de beschouwde sectie werken. De dwarskracht in de sectie van de mn-balk (Fig. 1.2, a) wordt als positief beschouwd als de resultante van de externe krachten links van de sectie naar boven is gericht, en naar rechts - naar beneden en negatief - in het tegenovergestelde geval (afb. 1.2, b). Rijst. 1.2 Bij het berekenen van de dwarskracht in een bepaalde sectie, worden de externe krachten die links van de sectie liggen, met een plusteken genomen als ze naar boven zijn gericht en met een minteken als ze naar beneden zijn gericht. Het tegenovergestelde geldt voor de rechterkant van de balk. 5 Het buigmoment in een willekeurige dwarsdoorsnede van de balk is numeriek gelijk aan de algebraïsche som van de momenten om de centrale z-as van de doorsnede van alle uitwendige krachten die op één zijde van de beschouwde doorsnede werken. Het buigmoment in de sectie van de mn-balk (Fig. 1.3, a) wordt als positief beschouwd als het resulterende moment van externe krachten links van de sectie met de klok mee is gericht, en rechts - tegen de klok in en negatief - in het tegenovergestelde geval (afb. 1.3, b). Rijst. 1.3 Bij het berekenen van het buigend moment in een bepaalde sectie, worden de momenten van externe krachten die links van de sectie liggen als positief beschouwd als ze met de klok mee zijn gericht. Het tegenovergestelde geldt voor de rechterkant van de balk. Het is handig om het teken van het buigmoment te bepalen aan de hand van de aard van de vervorming van de balk. Het buigmoment wordt als positief beschouwd als in de betreffende sectie het afgesneden deel van de balk naar beneden wordt gebogen, d.w.z. de onderste vezels worden uitgerekt. Anders is het buigend moment in de sectie negatief. Er bestaan differentiële relaties tussen het buigmoment M, de afschuifkracht Q en de belastingsintensiteit q. 1. De eerste afgeleide van de afschuifkracht langs de abscis van de doorsnede is gelijk aan de intensiteit van de verdeelde belasting, d.w.z. ... (1.1) 2. De eerste afgeleide van het buigend moment langs de abscis van de doorsnede is gelijk aan de dwarskracht, dwz. (1.2) 3. De tweede afgeleide met betrekking tot de abscis van de doorsnede is gelijk aan de intensiteit van de verdeelde belasting, dwz. (1.3) De naar boven gerichte verdeelde belasting wordt als positief beschouwd. Uit de differentiële afhankelijkheden tussen M, Q, q volgen een aantal belangrijke conclusies: 1. Als op een deel van de balk: a) de dwarskracht positief is, dan neemt het buigmoment toe; b) de dwarskracht is negatief, dan neemt het buigend moment af; c) de afschuifkracht is nul, dan heeft het buigmoment een constante waarde (pure buiging); 6 d) de dwarskracht gaat door nul en verandert van teken van plus naar min, max M M, in het tegenovergestelde geval M Mmin. 2. Als er geen verdeelde belasting op het gedeelte van de balk is, is de afschuifkracht constant en verandert het buigmoment lineair. 3. Als er een gelijkmatig verdeelde belasting is op een deel van de balk, verandert de afschuifkracht volgens een lineaire wet en het buigmoment - volgens de wet van een vierkante parabool, convex gericht naar de belasting (in het geval van het plotten van een M-diagram vanaf de zijkant van uitgerekte vezels). 4. In de sectie onder de geconcentreerde kracht heeft het diagram Q een sprong (door de grootte van de kracht), het diagram M heeft een knik naar de werking van de kracht. 5. In de sectie waar het geconcentreerde moment wordt toegepast, heeft het diagram M een sprong gelijk aan de waarde van dit moment. Dit wordt niet weerspiegeld in de Q-plot. Bij complexe belasting van de balk worden diagrammen van afschuifkrachten Q en buigmomenten M uitgezet. Schema Q (M) is een grafiek die de veranderingswet van de afschuifkracht (buigmoment) over de lengte van de balk laat zien. Op basis van de analyse van de M- en Q-diagrammen worden gevaarlijke secties van de balk vastgesteld. Positieve ordinaten van de Q-grafiek zijn naar boven uitgezet, en negatieve ordinaten worden naar beneden uitgezet vanaf de basislijn die evenwijdig aan de lengteas van de balk is getekend. De positieve ordinaten van de M-grafiek worden neergelegd en de negatieve - omhoog, dat wil zeggen, de M-grafiek wordt opgebouwd vanaf de zijkant van de uitgerekte vezels. De constructie van Q- en M-diagrammen voor liggers moet beginnen met het definiëren van de ondersteuningsreacties. Voor een ligger waarvan de ene ingesloten en de andere vrije uiteinden zijn, kan de constructie van Q- en M-diagrammen vanaf het vrije uiteinde worden gestart zonder de reacties in de inbedding te definiëren. 1.2. Opbouw van diagrammen Q en M volgens de vergelijkingen De balk is verdeeld in secties, waarbinnen de functies voor het buigend moment en de dwarskracht constant blijven (geen discontinuïteiten hebben). De grenzen van de secties zijn de aangrijpingspunten van geconcentreerde krachten, krachtparen en plaatsen van verandering in de intensiteit van de verdeelde belasting. Bij elke sectie wordt een willekeurige sectie genomen op een afstand x van de oorsprong, en voor deze sectie worden vergelijkingen opgesteld voor Q en M. Deze vergelijkingen worden gebruikt om diagrammen Q en M te construeren. Voorbeeld 1.1 Construeer diagrammen van dwarskrachten Q en buigmomenten M voor een bepaalde balk (Fig. 1.4, a). Oplossing: 1. Bepaling van steunreacties. We stellen de evenwichtsvergelijkingen op: waaruit we verkrijgen De reacties van de dragers zijn correct gedefinieerd. De balk heeft vier secties Afb. 1.4 laadt: CA, AD, DB, BE. 2. Plotten Q. Plot CA. Op de CA 1-sectie tekenen we een willekeurige sectie 1-1 op een afstand x1 vanaf het linker uiteinde van de balk. We definiëren Q als de algebraïsche som van alle externe krachten die links van de sectie 1-1 werken: Het minteken wordt genomen omdat de kracht die links van de sectie werkt naar beneden is gericht. De uitdrukking voor Q is onafhankelijk van de variabele x1. Diagram Q in dit gebied wordt weergegeven als een rechte lijn evenwijdig aan de as van de abscis. Perceel AD. Op de site tekenen we een willekeurige sectie 2-2 op een afstand x2 van het linkeruiteinde van de balk. We definiëren Q2 als de algebraïsche som van alle externe krachten die links van de sectie 2-2 werken: 8. De waarde van Q is constant in de sectie (hangt niet af van de variabele x2). De plot Q op de site is een rechte lijn evenwijdig aan de as van de abscis. Perceel DB. Op de site maken we een willekeurige sectie 3-3 op een afstand x3 van het rechteruiteinde van de balk. We definiëren Q3 als de algebraïsche som van alle externe krachten die rechts van sectie 3-3 werken: De resulterende uitdrukking is de vergelijking van een hellende rechte lijn. Perceel BE. Op de site maken we een sectie 4-4 op een afstand x4 van het rechteruiteinde van de balk. We definiëren Q als de algebraïsche som van alle externe krachten die rechts van sectie 4-4 werken: 4 Hier wordt het plusteken genomen omdat de resulterende belasting rechts van sectie 4-4 naar beneden is gericht. Op basis van de verkregen waarden plotten we de diagrammen Q (Fig. 1.4, b). 3. Plotten M. Perceel m1. We definiëren het buigmoment in sectie 1-1 als de algebraïsche som van de krachten die links van sectie 1-1 werken. - vergelijking van een rechte lijn. Sectie A 3 Definieer het buigend moment in sectie 2-2 als de algebraïsche som van de krachten die links van sectie 2-2 werken. - vergelijking van een rechte lijn. Sectie DB 4 Definieer het buigend moment in sectie 3-3 als de algebraïsche som van de krachten die rechts van sectie 3-3 werken. - de vergelijking van een vierkante parabool. 9 Vind drie waarden aan de uiteinden van de sectie en op een punt met coördinaat xk, waarbij sectie BE 1 Bepaal het buigend moment in sectie 4-4 als de algebraïsche som van de krachten die rechts van sectie 4- werken 4. - de vergelijking van een vierkante parabool, we vinden drie waarden van M4: Met behulp van de verkregen waarden construeren we een diagram van M (Fig. 1.4, c). In secties CA en AD wordt de Q-plot begrensd door rechte lijnen evenwijdig aan de as van de abscis, en in secties DB en BE - door schuine rechte lijnen. In secties C, A en B op de plot Q zijn er sprongen met de waarde van de overeenkomstige krachten, wat dient als controle van de juistheid van het plotten van de plot Q. In de secties waar Q 0, nemen de momenten van links toe naar rechts. Op de secties waar Q 0, nemen de momenten af. Onder de geconcentreerde krachten zijn er knikken naar de werking van de krachten. Onder het geconcentreerde moment is er een sprong door de grootte van het moment. Dit geeft de juistheid van het plotten van M aan. Voorbeeld 1.2 Construeer diagrammen Q en M voor een balk op twee steunen, belast met een verdeelde belasting waarvan de intensiteit lineair varieert (Fig. 1.5, a). Oplossing Bepaling van steunreacties. De resultante van de verdeelde belasting is gelijk aan het gebied van de driehoek die het belastingsdiagram vertegenwoordigt en wordt toegepast op het zwaartepunt van deze driehoek. We stellen de som van de momenten van alle krachten op ten opzichte van de punten A en B: Een diagram tekenen Q. Laten we een willekeurige doorsnede tekenen op een afstand x van de linkersteun. De ordinaat van het belastingsdiagram dat overeenkomt met de doorsnede wordt bepaald uit de gelijkvormigheid van driehoeken De resultante van dat deel van de belasting dat zich links van de doorsnede bevindt De dwarskracht in de doorsnede is gelijk aan De dwarskracht varieert volgens de wet van een vierkante parabool Als we de vergelijking van de dwarskracht gelijkstellen aan nul, vinden we de abscis van de sectie waarin het diagram Q door nul gaat: Diagram Q wordt getoond in Fig. 1.5, geb. Het buigmoment in een willekeurige doorsnede is gelijk aan Het buigmoment verandert volgens de wet van een kubieke parabool: Het buigmoment heeft een maximale waarde in de doorsnede, waar 0, d.w.z. bij Diagram M is weergegeven in Fig. 1.5, ca. 1.3. Q- en M-diagrammen plotten door karakteristieke secties (punten) Gebruik makend van de differentiële afhankelijkheden tussen M, Q, q en de daaruit voortvloeiende conclusies, is het raadzaam om Q- en M-diagrammen te plotten op karakteristieke secties (zonder vergelijkingen op te stellen). Met deze methode worden de waarden van Q en M berekend in karakteristieke secties. Typische secties zijn de grenssecties van de secties, evenals secties waar de gegeven interne krachtfactor van extreme waarde is. Binnen de grenzen tussen de karakteristieke secties wordt de omtreklijn 12 van het diagram vastgesteld op basis van de differentiële afhankelijkheden tussen M, Q, q en de daaruit voortvloeiende conclusies. Voorbeeld 1.3 Construeer grafieken Q en M voor de ligger getoond in Fig. 1.6, een. Rijst. 1.6. Oplossing: We beginnen met het plotten van Q- en M-diagrammen vanaf het vrije uiteinde van de balk, terwijl de reacties in de inbedding achterwege kunnen blijven. De balk heeft drie laadgebieden: AB, BC, CD. Er is geen verdeelde belasting op secties AB en BC. De zijdelingse krachten zijn constant. Plot Q wordt begrensd door rechte lijnen evenwijdig aan de as van de abscis. Buigmomenten veranderen lineair. Diagram M wordt begrensd door rechte lijnen die hellen ten opzichte van de as van de abscis. Er is een gelijkmatig verdeelde belasting op het cd-gedeelte. Dwarskrachten veranderen lineair en buigende momenten - volgens de wet van een vierkante parabool met een uitstulping in de richting van een verdeelde belasting. Op de grens van secties AB en BC verandert de zijdelingse kracht abrupt. Op de grens van de secties BC en CD verandert het buigmoment abrupt. 1. Plotten Q. We berekenen de waarden van de schuifkrachten Q in de grenssecties van de secties: op basis van de resultaten van de berekeningen plotten we de Q-plot voor de balk (Fig. 1, b). Uit het diagram Q volgt dat de dwarskracht op de sectie CD gelijk is aan nul in de sectie op een afstand qa a q vanaf het begin van deze sectie. In deze sectie heeft het buigend moment een maximale waarde. 2. Constructie van het M-diagram. We berekenen de waarden van de buigmomenten in de grenssecties van de secties: Op het maximale moment in de sectie. Op basis van de resultaten van de berekeningen construeren we het M-diagram (Fig. 5.6, c). Voorbeeld 1.4 Bepaal voor een gegeven diagram van buigmomenten (Fig. 1.7, a) voor een balk (Fig. 1.7, b), de werkende belastingen en bouw een diagram Q. De cirkel geeft het hoekpunt van een vierkante parabool aan. Oplossing: Bepaal de belastingen die op de balk werken. Het AC-gedeelte wordt belast met een gelijkmatig verdeelde belasting, aangezien het M-diagram in dit gedeelte een vierkante parabool is. In de referentiesectie B wordt een geconcentreerd moment op de straal toegepast, met de klok mee, aangezien we op het diagram M een sprong naar boven hebben met de grootte van het moment. Op de NO-sectie wordt de balk niet belast, aangezien het M-diagram in deze sectie wordt begrensd door een schuine rechte lijn. De reactie van steun B wordt bepaald uit de voorwaarde dat het buigmoment in sectie C gelijk is aan nul, dwz om de intensiteit van de verdeelde belasting te bepalen, stellen we een uitdrukking voor het buigend moment in sectie A samen als de som van de momenten van krachten aan de rechterkant en gelijk aan nul. Nu definiëren we de reactie van steunpunt A. Om dit te doen, stellen we een uitdrukking op voor de buigende momenten in de sectie als de som van de krachten aan de linkerkant Rekenschema belaste balken worden getoond in Fig. 1,7, ca. Beginnend vanaf het linkeruiteinde van de balk, berekenen we de waarden van de afschuifkrachten in de grenssecties van de secties: Diagram Q wordt getoond in Fig. 1.7, d Het beschouwde probleem kan worden opgelost door functionele afhankelijkheden op te stellen voor M, Q op elke locatie. Selecteer de oorsprong aan het linkeruiteinde van de balk. Op de sectie AC wordt het diagram M uitgedrukt door een vierkante parabool, waarvan de vergelijking de vorm heeft Constanten a, b, c worden gevonden uit de voorwaarde dat de parabool door drie punten met bekende coördinaten gaat: Vervanging van de coördinaten van de punten in de vergelijking van de parabool, verkrijgen we: De uitdrukking voor het buigmoment zal zijn Differentiëren van de functie M1 , we verkrijgen de afhankelijkheid voor de dwarskracht Na het differentiëren van de functie Q, verkrijgen we de uitdrukking voor de intensiteit van de verdeelde belasting Op de sectie CB, de uitdrukking voor het buigmoment wordt weergegeven als een lineaire functie Om de constanten a en b te bepalen, gebruiken we de voorwaarden dat deze rechte door twee punten gaat waarvan de coördinaten bekend zijn.We verkrijgen twee vergelijkingen:, b waaruit we hebben een 20. De vergelijking voor het buigmoment op de sectie CB zal zijn. Na tweevoudige differentiatie van M2 zullen we vinden. Door de gevonden waarden van M en Q, plotten we de diagrammen van buigmomenten en afschuifkrachten voor de straal. Naast de verdeelde belasting worden geconcentreerde krachten op de balk uitgeoefend in drie secties, waar er sprongen zijn op het Q-diagram en geconcentreerde momenten in de sectie waar er een sprong is op het M-diagram. Voorbeeld 1.5 Bepaal voor een ligger (Fig. 1.8, a) de rationale positie van het scharnier C, waarbij het grootste buigmoment in de overspanning gelijk is aan het buigmoment in de inbedding (in absolute waarde). Bouw Q en M diagrammen Oplossing Bepalen van steunreacties. Hoewel het totale aantal steunbanden vier is, is de ligger statisch definieerbaar. Het buigmoment in het scharnier C is gelijk aan nul, wat ons in staat stelt een aanvullende vergelijking op te stellen: de som van de momenten ten opzichte van het scharnier van alle uitwendige krachten die op één zijde van dit scharnier werken, is nul. Laten we de som van de momenten van alle krachten rechts van het scharnier C samenstellen. Diagram Q voor de balk wordt begrensd door een hellende rechte lijn, aangezien q = const. Bepaal de waarden van afschuifkrachten in de grenssecties van de balk: De abscis xK van de sectie, waarbij Q = 0, wordt bepaald uit de vergelijking waarvan diagram M voor de balk wordt begrensd door een vierkante parabool. Uitdrukkingen voor buigmomenten in secties, waar Q = 0, en in de inbedding worden dienovereenkomstig als volgt geschreven: Uit de voorwaarde van gelijkheid van momenten verkrijgen we een kwadratische vergelijking voor de gezochte parameter x: Reële waarde x2x 1, 029 m. Bepaal de numerieke waarden van de schuifkrachten en buigmomenten in de karakteristieke secties van de ligger Figuur 1.8, b toont het diagram Q, en in Fig. 1.8, c - diagram M. Het beschouwde probleem kan worden opgelost door de scharnierende balk in zijn samenstellende elementen te verdelen, zoals weergegeven in Fig. 1.8, d In het begin worden de reacties van de dragers VC en VB bepaald. Diagrammen Q en M zijn uitgezet voor de hangende balk CB uit de werking van de erop uitgeoefende belasting. Dan gaan ze naar de hoofdstraal van de AC en laden deze met een extra kracht VC, wat de drukkracht is van de CB-straal op de AC-straal. Daarna worden plots Q en M uitgezet voor de AC-straal. 1.4. Sterkteberekeningen voor directe buiging van liggers Sterkteberekeningen voor normaal- en schuifspanningen. Tijdens het direct buigen van de balk ontstaan normale en tangentiële spanningen in de dwarsdoorsneden (Fig. 1.9). Afb. 18 1.9 Normale spanningen worden geassocieerd met een buigmoment, schuifspanningen worden geassocieerd met een schuifkracht. Bij rechte zuivere buiging zijn de schuifspanningen nul. Normale spanningen op een willekeurig punt van de dwarsdoorsnede van de balk worden bepaald door de formule (1.4) waarbij M het buigende moment in deze sectie is; Iz is het traagheidsmoment van de sectie ten opzichte van de neutrale as z; y is de afstand van het punt waar de normaalspanning wordt bepaald tot de neutrale z-as. Normale spanningen langs de hoogte van de sectie veranderen lineair en bereiken de grootste waarde op de punten die het verst verwijderd zijn van de neutrale as. Als de sectie symmetrisch is rond de neutrale as (Fig. 1.11), dan zal Fig. 1.11 de grootste trek- en drukspanningen zijn hetzelfde en worden bepaald door de formule, is het axiale weerstandsmoment van de sectie bij het buigen. Voor een rechthoekige doorsnede met breedte b en hoogte h: (1.7) Voor een cirkelvormige doorsnede met diameter d: (1.8) Voor een ringvormige doorsnede - respectievelijk de binnen- en buitendiameter van de ring. Voor balken gemaakt van plastic materialen zijn de meest rationele symmetrische 20 doorsnedevormen (I-balken, doosvormig, ringvormig). Voor balken gemaakt van brosse materialen die niet even goed bestand zijn tegen trek en druk, zijn secties die asymmetrisch zijn ten opzichte van de neutrale z-as (T, U-vormig, asymmetrische I-balk) rationeel. Voor liggers met constante dwarsdoorsnede gemaakt van plastic materialen met symmetrische dwarsdoorsnedevormen, wordt de sterktevoorwaarde als volgt geschreven: (1.10) waarbij Mmax het maximale buigmoment modulo is; - toelaatbare spanning voor het materiaal. Voor liggers met een constante dwarsdoorsnede gemaakt van plastic materialen met asymmetrische dwarsdoorsnedevormen, wordt de sterktevoorwaarde in de volgende vorm geschreven: (1. 11) Voor balken gemaakt van brosse materialen met secties die asymmetrisch zijn rond de neutrale as, als het M-diagram ondubbelzinnig is (Fig. 1.12), moet u twee sterktevoorwaarden noteren - de afstand van de neutrale as tot de meest afgelegen punten respectievelijk de uitgerekte en samengedrukte zones van het gevaarlijke gedeelte; P - toelaatbare spanningen in respectievelijk trek en compressie. Figuur 1.12. 21 Als het diagram van buigmomenten secties met verschillende tekens heeft (Fig. 1.13), dan is het naast het controleren van sectie 1-1, waar Mmax werkt, noodzakelijk om de grootste trekspanningen voor sectie 2-2 te berekenen (met de grootste moment van het tegenovergestelde teken). Rijst. 1.13 Naast de basisberekening voor normale spanningen, is het in sommige gevallen nodig om de sterkte van de balk te controleren in termen van schuifspanningen. Schuifspanningen in de liggers worden berekend met de formule van DI Zhuravsky (1.13) waarbij Q de afschuifkracht is in de beschouwde dwarsdoorsnede van de ligger; Szotc - statisch moment ten opzichte van de neutrale as van het gebied van een deel van de sectie gelegen aan één kant van een rechte lijn getrokken door een bepaald punt en evenwijdig aan de z-as; b is de breedte van de sectie op het niveau van het beschouwde punt; Iz is het traagheidsmoment van de gehele sectie ten opzichte van de neutrale z-as. In veel gevallen treden de maximale schuifspanningen op ter hoogte van de neutrale laag van de balk (rechthoek, I-balk, cirkel). In dergelijke gevallen wordt de toestand van de schuifspanningssterkte geschreven in de vorm (1.14) waarbij Qmax de grootste schuifkracht in modulus is; Is de toelaatbare schuifspanning voor het materiaal. Voor een rechthoekige doorsnede van een balk heeft de sterktevoorwaarde de vorm (1.15). A is het dwarsdoorsnede-oppervlak van de balk. Voor een cirkelvormige doorsnede wordt de sterktevoorwaarde weergegeven in de vorm (1.16). Voor een I-sectie wordt de sterktevoorwaarde als volgt geschreven: (1.17) waarbij Sz®, тmсax het statische halfdoorsnedemoment is ten opzichte van de neutrale as; d - wanddikte van de I-balk. Gewoonlijk worden de afmetingen van de dwarsdoorsnede van een balk bepaald uit de sterkte-toestand ten opzichte van normale spanningen. Het controleren van de sterkte van balken op schuifspanningen is verplicht voor korte balken en balken van elke lengte, als er geconcentreerde krachten van grote omvang zijn in de buurt van de steunen, evenals voor houten, geklonken en gelaste balken. Voorbeeld 1.6 Controleer de sterkte van een kokerprofiel (Fig. 1.14) voor normaal- en schuifspanningen, indien MPa. Teken het gevaarlijke deel van de straal. Rijst. 1.14 Oplossing 23 1. Het plotten van Q- en M-diagrammen met behulp van karakteristieke doorsneden. Als we de linkerkant van de balk beschouwen, verkrijgen we het diagram van dwarskrachten dat wordt getoond in Fig. 1.14, ca. Het diagram van buigende momenten wordt getoond in Fig. 5.14, g 2. Geometrische kenmerken van de doorsnede 3. De hoogste normaalspanningen in de sectie C, waar Mmax werkt (modulo): MPa. De maximale normaalspanningen in de balk zijn nagenoeg gelijk aan de toelaatbare. 4. De grootste schuifspanningen in sectie C (of A), waar max Q werkt (modulo): Hier is het statische moment van het halve doorsnedegebied ten opzichte van de neutrale as; b2 cm - sectiebreedte ter hoogte van de neutrale as. 5. Schuifspanningen op een punt (in de wand) in doorsnede C: Afb. 1.15 Hier is Szomc 834.5 108 cm3 het statische moment van het gebied van het deel van de sectie dat zich boven de lijn bevindt die door het punt K1 gaat; b2 cm - wanddikte ter hoogte van punt K1. Diagrammen en voor sectie C van de balk worden getoond in Fig. 1.15. Voorbeeld 1.7 Voor de balk getoond in Fig. 1.16, a, is vereist: 1. Construeer diagrammen van dwarskrachten en buigende momenten door karakteristieke secties (punten). 2. Bepaal de afmetingen van de doorsnede in de vorm van een cirkel, rechthoek en I-balk uit de sterktevoorwaarde ten opzichte van normaalspanningen, vergelijk de doorsneden. 3. Controleer de geselecteerde afmetingen van de doorsneden van de liggers in termen van schuifspanning. Gegeven: Oplossing: 1. Bepaal de reacties van de liggersteunen Controle: 2. Het plotten van de diagrammen Q en M. De waarden van de dwarskrachten in de karakteristieke secties van de ligger 25 Fig. 1.16 In secties CA en AD is de intensiteit van de belasting q = const. Bijgevolg wordt in deze gebieden het Q-diagram begrensd door rechte lijnen die hellen ten opzichte van de as. In de sectie DB is de intensiteit van de verdeelde belasting q = 0, daarom wordt in deze sectie van het diagram Q begrensd door een rechte lijn evenwijdig aan de x-as. De Q-plot voor de straal wordt getoond in Fig. 1.16, geb. De waarden van de buigmomenten in de karakteristieke secties van de balk: In de tweede sectie bepalen we de abscis x2 van de sectie, waarin Q = 0: Het maximale moment in de tweede sectie Het diagram M voor de balk is getoond in afb. 1.16, ca. 2. We formuleren de sterktevoorwaarde voor normale spanningen van waaruit we het vereiste axiale weerstandsmoment van de sectie bepalen uit de uitdrukking bepaalde vereiste diameter d van de cirkelvormige sectie Oppervlakte van de cirkelvormige sectie Voor de rechthoekige sectie De vereiste sectiehoogte Rechthoekig sectie Bepaal het benodigde nummer van de I-balk. Volgens de tabellen van GOST 8239-89 vinden we de dichtstbijzijnde hogere waarde van het axiale weerstandsmoment 597 cm3, wat overeenkomt met I-balk nr. 33 met de volgende kenmerken: A z 9840 cm4. Controleer op tolerantie: (onderbelasting met 1% van de toegestane 5%) de dichtstbijzijnde I-balk nr. 30 (W 2 cm3) leidt tot een aanzienlijke overbelasting (meer dan 5%). Ten slotte accepteren we I-balk nr. 33. We vergelijken de oppervlakten van cirkelvormige en rechthoekige secties met de kleinste oppervlakte A van de I-balk: Van de drie beschouwde secties is de I-sectie de meest economische. 3. We berekenen de hoogste normaalspanningen in het gevaarlijke gedeelte van de 27 I-balk (Fig. 1.17, a): Normale spanningen in de muur bij de flens van het I-balkgedeelte Het diagram van normaalspanningen in het gevaarlijke gedeelte van de balk wordt getoond in Fig. 1.17, geb. 5. Bepaal de hoogste schuifspanningen voor de geselecteerde secties van de ligger. a) rechthoekige doorsnede van de balk: b) cirkelvormige doorsnede van de balk: c) I-doorsnede van de balk: Afschuifspanningen in de muur nabij de flens van de I-balk in de gevaarlijke sectie A (rechts) (bij punt 2 ): Het diagram van schuifspanningen in de gevaarlijke secties van de I-balk wordt getoond in Fig. 1.17, ca. De maximale schuifspanningen in de balk zijn niet groter dan de toelaatbare spanningen. Voorbeeld 1.8 Bepaal de toelaatbare belasting op de balk (Figuur 1.18, a), indien 60 MPa worden de afmetingen van de dwarsdoorsnede gegeven (Figuur 1.19, a). Construeer een diagram van normaalspanningen in het gevaarlijke deel van de balk bij de toelaatbare belasting. Figuur 1.18 1. Bepaling van de reacties van de liggersteunen. Vanwege de symmetrie van het systeem 2. Opbouw van diagrammen Q en M op karakteristieke doorsneden. Afschuifkrachten in karakteristieke secties van de balk: Diagram Q voor de balk wordt getoond in Fig. 5.18, geb. Buigmomenten in karakteristieke delen van de balk Voor de tweede helft van de balk liggen de ordinaat M langs de symmetrieassen. Diagram M voor een balk wordt getoond in Fig. 1.18, geb. 3. Geometrische kenmerken van de sectie (Fig. 1.19). We verdelen de figuur in twee eenvoudigste elementen: een I-balk - 1 en een rechthoek - 2. Fig. 1.19 Volgens het assortiment voor I-balk nr. 20 hebben we Voor een rechthoek: Statisch moment van het doorsnedeoppervlak ten opzichte van de z1-as Afstand van de z1-as tot het zwaartepunt van de doorsnede Traagheidsmoment van de doorsnede relatief naar de centrale z-as van de hele sectie volgens de formules voor de overgang naar parallelle assen 4. De toestand van sterkte onder normale spanningen voor gevaarlijk punt "a" (Fig. 1.19) in de gevaarlijke sectie I (Fig. 1.18) : Na vervanging van de numerieke gegevens 5. Met de toelaatbare belasting in de gevaarlijke sectie, zullen de normale spanningen op de punten "a" en "b" gelijk zijn: Diagram van normale spanningen voor gevaarlijke sectie 1-1 wordt getoond in Fig. 1.19, geb.Artikelen met gerelateerde onderwerpen
Beoordelingen
Interne krachtfactoren tijdens het buigen van een balk.
Differentiële afhankelijkheden van Zhuravsky.
Normale buigspanningen.
Schuifspanningen bij directe buiging.
Buigsterkte berekeningen.
Buigbewegingen.
De methode van Mohr.
Regel van Vereshchagin.
