Een bewijs van de stelling van Weierstrass op de limiet van een monotone rij wordt gegeven. Gevallen van begrensde en onbegrensde sequenties worden beschouwd. Er wordt een voorbeeld beschouwd waarin het nodig is, met behulp van de stelling van Weierstrass, de convergentie van een rij te bewijzen en de limiet ervan te vinden.

Elke monotone begrensde reeks (xn) heeft een eindige limiet gelijk aan de exacte bovengrens, sup (x n) voor een niet-afnemende en exacte ondergrens, inf (x n) voor een niet-oplopende reeks.
Elke monotone onbegrensde reeks heeft een oneindige limiet gelijk aan plus oneindig voor niet-afnemende en min oneindig voor niet-stijgende reeks.

Een bewijs

1) niet-afnemende begrensde reeks.

(1.1) .

Omdat de rij begrensd is, heeft deze een exacte bovengrens
.
Het betekent dat:

• voor alle n,
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
Hier gebruikten we ook (1.3). In combinatie met (1.2) vinden we:
Bij .
Vanaf dat moment
,
of
Bij .
Het eerste deel van de stelling is bewezen.

2) Laat nu de volgorde zijn niet-toenemende beperkte reeks:
(2.1) voor alle nl.

Omdat de rij begrensd is, heeft deze een exacte ondergrens
.
Dit betekent het volgende:

• voor alle n gelden de volgende ongelijkheden:
  (2.2) ;
• voor elk positief getal bestaat er een getal afhankelijk van ε waarvoor
  (2.3) .

.
Hier gebruikten we ook (2.3). Rekening houdend met (2.2), vinden we:
Bij .
Vanaf dat moment
,
of
Bij .
Dit betekent dat het getal de limiet van de reeks is.
Het tweede deel van de stelling is bewezen.

Laten we nu eens kijken naar onbegrensde reeksen.
3) Laat de volgorde zijn onbeperkte niet-aflopende reeks.

Aangezien de rij niet afnemend is, gelden de volgende ongelijkheden voor alle n:
(3.1) .

Omdat de rij niet-aflopend en onbegrensd is, is deze aan de rechterkant onbegrensd. Dan bestaat er voor elk getal M een getal afhankelijk van M waarvoor
(3.2) .

Aangezien de rij niet-afnemend is, hebben we voor:
.
Hier hebben we ook (3.2) gebruikt.

.
Dit betekent dat de reekslimiet plus oneindig is:
.
Het derde deel van de stelling is bewezen.

4) Overweeg ten slotte het geval wanneer is onbeperkte niet-oplopende reeks.

Vergelijkbaar met de vorige, aangezien de reeks niet-toenemend is, dan
(4.1) voor alle nl.

Omdat de rij niet oplopend en onbegrensd is, is deze aan de linkerkant onbegrensd. Dan bestaat er voor elk getal M een getal afhankelijk van M waarvoor
(4.2) .

Aangezien de reeks niet-toenemend is, hebben we bij:
.

Dus voor elk getal M is er een natuurlijk getal dat afhangt van M, zodat voor alle getallen de volgende ongelijkheden gelden:
.
Dit betekent dat de reekslimiet min oneindig is:
.
De stelling is bewezen.

Een voorbeeld van het oplossen van het probleem

Bewijs met behulp van de stelling van Weierstrass de convergentie van de rij:
, , . . . , , . . .
Zoek dan zijn limiet.

Laten we de reeks voorstellen in de vorm van terugkerende formules:
,
.

Laten we bewijzen dat de gegeven rij van bovenaf wordt begrensd door de waarde
(W1) .
We voeren het bewijs uit met de methode van wiskundige inductie.
.
Laat zijn. Vervolgens
.
Ongelijkheid (A1) is bewezen.

Laten we bewijzen dat de rij monotoon toeneemt.
;
(P2) .
Aangezien de noemer van de breuk en de eerste factor in de teller positief zijn. Vanwege de begrensdheid van de termen van de rij door ongelijkheid (A1), is de tweede factor ook positief. Dat is waarom
.
Dat wil zeggen, de volgorde is strikt oplopend.

Omdat de rij oplopend en van bovenaf begrensd is, is het een begrensde rij. Daarom heeft het volgens de stelling van Weierstrass een limiet.

Laten we deze limiet zoeken. Laten we het aanduiden met een:
.
We zullen het feit gebruiken dat:
.
We passen dit toe op (A2) met behulp van de rekenkundige eigenschappen van de limieten van convergerende rijen:
.
De wortel voldoet aan de voorwaarde.

Definitie 1. De reeks heet afnemend (niet toenemend ) als voor allen
de ongelijkheid houdt
.

Definitie 2. Volgorde:
genaamd toenemend (niet afnemend ) als voor allen
de ongelijkheid houdt
.

Definitie 3. Afnemende, niet-stijgende, toenemende en niet-afnemende reeksen worden genoemd eentonig reeksen, afnemende en stijgende reeksen worden ook wel strikt monotoon sequenties.

Het is duidelijk dat een niet-afnemende rij van onderaf wordt begrensd, een niet-stijgende rij wordt van bovenaf begrensd. Daarom is elke monotone reeks duidelijk aan één kant begrensd.

Voorbeeld 1. Volgorde:
neemt toe, neemt niet af,
neemt af
neemt niet toe
- niet-monotone volgorde.

Voor monotone sequenties belangrijke rol speelt volgende

Stelling 1. Als een niet-afnemende (niet-stijgende) rij boven (beneden) wordt begrensd, dan convergeert deze.

Een bewijs... Laat de volgorde
neemt niet af en is van bovenaf begrensd, d.w.z.
en veel
van bovenaf begrensd. Volgens Stelling 1 van § 2 bestaat er
... Laten we bewijzen dat
.

Laten we nemen
willekeurig. Voor zover een- exacte bovengrens, getal bestaat N zoals dat
... Aangezien de reeks niet-afnemend is, geldt voor iedereen
we hebben, d.w.z.
, daarom
voor iedereen
, wat betekent dat
.

Voor een niet-toenemende reeks die van onderaf wordt begrensd, is het bewijs vergelijkbaar met ( leerlingen kunnen deze stelling thuis zelf bewijzen). De stelling is bewezen.

Opmerking... Stelling 1 kan anders worden geformuleerd.

Stelling 2. Om een ​​monotone rij te laten convergeren, is het noodzakelijk en voldoende dat deze beperkt is.

Voldoende werd vastgesteld in Stelling 1, noodzaak - in Stelling 2 van § 5.

De voorwaarde van monotoniciteit is niet nodig om de rij te laten convergeren, aangezien de convergerende rij niet noodzakelijk monotoon is. Bijvoorbeeld, de reeks
niet monotoon, maar convergeert naar nul.

Gevolg... Als de volgorde
neemt toe (verlaagt) en is begrensd boven (hieronder), dan
(
).

Inderdaad, door Stelling 1
(
).

Definitie 4. Als en
Bij
, dan heet de reeks een samentrekbaar systeem van geneste lijnsegmenten .

Stelling 3 (het principe van geneste lijnsegmenten). Elk contracterend systeem van geneste segmenten heeft, en bovendien, een uniek punt met behoren tot alle segmenten van dit systeem.

Een bewijs... Laten we bewijzen dat het punt met bestaat. Voor zover
, dan
en dus de volgorde
neemt niet af, maar de volgorde
neemt niet toe. Waarin
en
beperkt sinds. Dan, volgens Stelling 1, bestaat er
en
, maar sinds
, dan
=
... Gevonden punt met behoort tot alle segmenten van het systeem, aangezien door het uitvloeisel van Stelling 1
,
, d.w.z.
voor alle waarden N.

Laten we nu laten zien dat het punt met- de enige. Stel dat er twee van dergelijke punten zijn: met en NS en laat voor de zekerheid
... Dan het segment
behoort tot alle segmenten
, d.w.z.
voor iedereen N, wat onmogelijk is, aangezien
en daarom, uitgaande van een aantal,
... De stelling is bewezen.

Merk op dat het hier essentieel is dat er rekening wordt gehouden met gesloten intervallen, d.w.z. segmenten. Als we een systeem van contractie-intervallen beschouwen, dan is het principe in het algemeen niet correct. Bijvoorbeeld de intervallen
duidelijk contract to the point
maar wijs
behoort niet tot een interval van dit systeem.

Laten we nu eens kijken naar voorbeelden van convergerende monotone reeksen.

1) Nummer e.

Beschouw nu de volgorde
... Hoe gedraagt ​​ze zich? Baseren

rang
, daarom
? Aan de andere kant,
, een
, daarom
? Of is er geen limiet?

Om deze vragen te beantwoorden, overweeg de hulpreeks
... Laten we bewijzen dat het afneemt en van onderaf begrensd is. In dit geval hebben we nodig:

Lemma... Indien
, dan voor alle natuurwaarden N wij hebben

(Bernoulli-ongelijkheid).

Een bewijs... Laten we de methode van wiskundige inductie gebruiken.

Indien
, dan
, d.w.z. de ongelijkheid is waar.

Stel dat het waar is voor
en bewijs de geldigheid ervan voor
+1.

Rechts
... We vermenigvuldigen deze ongelijkheid met
:

Dus, . Volgens het principe van wiskundige inductie geldt de ongelijkheid van Bernoulli dus voor alle natuurlijke waarden N... Het lemma is bewezen.

Laten we aantonen dat de reeks
neemt af. Wij hebben

‌‌‌׀ Bernoulli-ongelijkheid ׀
, en dit betekent dat de reeks
neemt af.

De begrenzing van onderaf volgt uit de ongelijkheid
‌‌‌׀ Bernoulli-ongelijkheid ׀
voor alle natuurwaarden N.

Volgens stelling 1 bestaat er
, die wordt aangegeven met de letter e... Dat is waarom
.

Nummer e irrationeel en transcendentaal, e= 2,718281828 .... Het is bekend dat het de basis is van natuurlijke logaritmen.

Opmerkingen... 1) De ongelijkheid van Bernoulli kan worden gebruikt om te bewijzen dat
Bij
... inderdaad, als
, dan
... Dan, door Bernoulli's ongelijkheid, voor
... Vandaar, bij
wij hebben
, dat is
Bij
.

2) In het bovenstaande voorbeeld, de basis van de graad neigt naar 1, en de exponent N- Tot , dat wil zeggen, er is een onzekerheid van de vorm ... Dergelijke onzekerheid wordt, zoals we hebben aangetoond, onthuld met behulp van de opmerkelijke limiet
.

2)
(*)

Laten we bewijzen dat deze rij convergeert. Om dit te doen, zullen we laten zien dat het van onderaf begrensd is en niet toeneemt. In dit geval gebruiken we de ongelijkheid
voor iedereen
, wat een gevolg is van de ongelijkheid
.

Wij hebben
cm. ongelijkheid boven
, d.w.z. de rij wordt van onderaf begrensd door het getal
.

Verder,
sinds

, d.w.z. de volgorde neemt niet toe.

Volgens stelling 1 bestaat er
, die we aanduiden NS... Passend in gelijkheid (*) tot de limiet bij
, we krijgen

, d.w.z.
, waar
(we nemen het plusteken, aangezien alle leden van de reeks positief zijn).

De reeks (*) wordt gebruikt bij het berekenen
bij benadering. Per neem een ​​willekeurig positief getal. Laten we bijvoorbeeld zoeken naar
... laten zijn
... Vervolgens
,. Dus,
.

3)
.

Wij hebben
... Voor zover
Bij
, er is een nummer N, zodat voor iedereen
de ongelijkheid houdt
... Dus de volgorde
beginnend met een nummer N, neemt af en is van onderaf begrensd, aangezien
voor alle waarden N... Daarom bestaat er volgens stelling 1
... Voor zover
, wij hebben
.

Dus,
.

4)
, rechts - N wortels.

Laten we met de methode van wiskundige inductie aantonen dat
voor alle waarden N... Wij hebben
... laten zijn
... Vervolgens verkrijgen we van hieruit de verklaring door het principe van wiskundige inductie. Met behulp van dit feit vinden we, d.w.z. vervolg
neemt toe en is van bovenaf begrensd. Daarom bestaat het sinds
.

Dus,
.