behalve het gebied van een platte figuur vinden met behulp van een bepaalde integraal (zie 7.2.3.) de belangrijkste toepassing van het thema is het volume van een omwentelingslichaam berekenen... Het materiaal is eenvoudig, maar de lezer moet voorbereid zijn: je moet kunnen oplossen onbepaalde integralen gemiddelde complexiteit en pas de Newton-Leibniz-formule toe in bepaalde integraal, n Sterke tekenvaardigheden zijn ook vereist. Over het algemeen zijn er veel interessante toepassingen in integraalberekening, met behulp van een bepaalde integraal kun je het gebied van een figuur, het volume van een omwentelingslichaam, de lengte van een boog, het oppervlak van een lichaam berekenen, en nog veel meer. Stel je een platte figuur voor op het coördinatenvlak. Heb je gepresenteerd? ... Nu kan deze figuur ook worden gedraaid, en op twee manieren:

- rond de as van de abscis ;

- rond de ordinaat-as .

Laten we naar beide gevallen kijken. Vooral de tweede methode van rotatie is interessant, het veroorzaakt de grootste moeilijkheden, maar in feite is de oplossing praktisch hetzelfde als bij de meer gebruikelijke rotatie rond de abscis. Laten we beginnen met het meest populaire spintype.

Het volume berekenen van een lichaam gevormd door een platte figuur rond een as te roteren OS

voorbeeld 1

Bereken het volume van een vaste stof die wordt verkregen door een vorm te roteren die wordt begrensd door lijnen rond een as.

Oplossing: Net als bij het vinden van het gebied, de oplossing begint met het tekenen van een plat figuur... Dat wil zeggen, in het vliegtuig XOY het is noodzakelijk om een ​​​​figuur te bouwen die wordt begrensd door lijnen, en vergeet niet dat de vergelijking de as bepaalt. De tekening hier is vrij eenvoudig:

De gewenste platte figuur is blauw gearceerd en zij is het die rond de as draait. Het resultaat van rotatie is zo'n licht eivormige vliegende schotel met twee scherpe toppen op de as. OS symmetrisch om de as OS... In feite heeft het lichaam een ​​wiskundige naam, kijk in het naslagwerk.

Hoe het volume van een omwentelingslichaam te berekenen? Als het lichaam wordt gevormd als gevolg van rotatie om een ​​asOS, het is mentaal verdeeld in parallelle lagen van kleine dikte dx die loodrecht op de as staan OS... Het volume van het hele lichaam is uiteraard gelijk aan de som van de volumes van dergelijke elementaire lagen. Elke laag is, net als een ronde schijfje citroen, een lage cilinder hoog dx en met een basisradius F(x). Dan is het volume van één laag het product van het gebied van de basis π F 2 tot de hoogte van de cilinder ( dx), of π ∙ F 2 (x)∙dx... En het gebied van het hele omwentelingslichaam is de som van elementaire volumes, of de overeenkomstige definitieve integraal. Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met de formule:

.

Hoe de limieten van integratie "a" en "bh" worden ingesteld, is gemakkelijk te raden aan de hand van de voltooide tekening. Functie... wat is deze functie? Laten we de tekening eens bekijken. Een platte figuur wordt bovenaan begrensd door een paraboolgrafiek. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd. Bij praktische oefeningen kan soms een plat figuur onder de as worden geplaatst. OS... Dit verandert niets - de functie in de formule is in het kwadraat: F 2 (x), dus, het volume van een omwentelingslichaam is altijd niet-negatief, wat heel logisch is. Laten we het volume van het omwentelingslichaam berekenen met behulp van deze formule:

.

Zoals we al hebben opgemerkt, is de integraal bijna altijd eenvoudig, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoord geven:

In het antwoord is het noodzakelijk om de afmeting aan te geven - kubieke eenheden. Dat wil zeggen, in ons omwentelingslichaam zijn er ongeveer 3,35 "kubussen". Waarom precies kubieke eenheden? Omdat dit de meest universele formulering is. Er kunnen kubieke centimeters zijn, er kunnen kubieke meters zijn, er kunnen kubieke kilometers zijn, enz., dat is hoeveel kleine groene mannetjes je fantasie in een vliegende schotel kan stoppen.

Voorbeeld 2

Vind het volume van een lichaam gevormd door rotatie om een ​​as OS figuren begrensd door lijnen,,.

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial.

Voorbeeld 3

Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door de figuur te roteren die wordt begrensd door de lijnen, en rond de as van de abscis.

Oplossing: Teken in de tekening een platte figuur begrensd door lijnen,,,, zonder te vergeten dat de vergelijking x= 0 specificeert de as OY:

Het gewenste cijfer is blauw gearceerd. Wanneer het rond de as draait OS een vlakke hoekige donut wordt verkregen (ring met twee conische oppervlakken).

Het volume van het omwentelingslichaam wordt berekend als verschil in lichaamsvolumes... Laten we eerst eens kijken naar de vorm die in het rood is geschetst. Wanneer het rond de as draait OS een afgeknotte kegel wordt verkregen. We duiden het volume van deze afgeknotte kegel aan met V 1 .

Overweeg de vorm die in het groen is geschetst. Als je deze vorm rond de as draait OS, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen een beetje kleiner. Laten we het volume ervan aanduiden via V 2 .

Duidelijk, het verschil in volumes V = V 1 - V 2 is het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

1) De rood omcirkelde vorm wordt van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

2) De groen omcirkelde vorm wordt van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

3) Het volume van het gezochte omwentelingslichaam:

Antwoord geven:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De oplossing zelf wordt vaak korter gemaakt, zoiets als dit:

Net als bij het probleem om het gebied te vinden, heb je zelfverzekerde tekenvaardigheden nodig - dit is bijna het belangrijkste (aangezien de integralen zelf vaak gemakkelijk zullen zijn). U kunt een competente en snelle grafische techniek beheersen met behulp van methodologische materialen en geometrische transformaties van grafieken. Maar in feite heb ik al herhaaldelijk gesproken over het belang van tekeningen in de les.

Over het algemeen zijn er veel interessante toepassingen in integraalberekening, met behulp van een bepaalde integraal kun je het gebied van een figuur, het volume van een omwentelingslichaam, de lengte van een boog, het oppervlak van een oppervlak berekenen van revolutie, en nog veel meer. Dus het wordt leuk, wees optimistisch!

Stel je een platte figuur voor op het coördinatenvlak. Heb je gepresenteerd? ... Ik vraag me af wie wat heeft gepresenteerd ... =))) We hebben het gebied al gevonden. Maar daarnaast kan deze figuur ook worden gedraaid en op twee manieren worden geroteerd:

- rond de as van de abscis;
- rond de ordinaat-as.

Dit artikel behandelt beide gevallen. Vooral de tweede methode van rotatie is interessant, het veroorzaakt de grootste moeilijkheden, maar in feite is de oplossing praktisch hetzelfde als bij de meer gebruikelijke rotatie rond de abscis. Als bonus keer ik terug naar het probleem van het vinden van het gebied van een figuur, en ik zal je vertellen hoe je het gebied op de tweede manier kunt vinden - langs de as. Het is niet eens zozeer een bonus als het materiaal goed bij het thema past.

Laten we beginnen met het meest populaire spintype.

een platte figuur om een ​​as

voorbeeld 1

Bereken het volume van een vaste stof die wordt verkregen door een vorm te roteren die wordt begrensd door lijnen rond een as.

Oplossing: Net als bij het vinden van het gebied, de oplossing begint met het tekenen van een plat figuur... Dat wil zeggen, op een vlak is het noodzakelijk om een ​​​​figuur te bouwen die wordt begrensd door lijnen, en vergeet niet dat de vergelijking de as bepaalt. Hoe je efficiënter en sneller een tekening maakt, lees je op de pagina's Grafieken en eigenschappen van elementaire functies en Duidelijke integraal. Hoe de oppervlakte van een vorm te berekenen... Dit is een Chinese herinnering en ik stop hier niet meer mee.

De tekening hier is vrij eenvoudig:

De gewenste platte figuur is blauw gearceerd, zij is het die om de as draait.Als resultaat van rotatie wordt zo'n licht eivormige vliegende schotel verkregen, die symmetrisch is om de as. In feite heeft het lichaam een ​​wiskundige naam, maar het naslagwerk is te lui om iets te verduidelijken, dus gaan we verder.

Hoe het volume van een omwentelingslichaam te berekenen?

Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met de formule:

Er moet altijd een getal in de formule staan ​​vóór de integraal. Het gebeurde zo - alles wat in het leven draait, is verbonden met deze constante.

Hoe de grenzen van de integratie "a" en "bh" kunnen worden ingesteld, is volgens mij gemakkelijk te raden uit de voltooide tekening.

Functie... wat is deze functie? Laten we de tekening eens bekijken. Een platte figuur wordt bovenaan begrensd door een paraboolgrafiek. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd.

Bij praktische oefeningen kan soms een plat figuur onder de as worden geplaatst. Dit verandert niets - de integrand in de formule is kwadraat: dus integraal is altijd niet-negatief, wat heel logisch is.

Laten we het volume van het omwentelingslichaam berekenen met behulp van deze formule:

Zoals ik al opmerkte, is de integraal bijna altijd eenvoudig, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoord geven:

In het antwoord is het noodzakelijk om de afmeting aan te geven - kubieke eenheden. Dat wil zeggen, in ons omwentelingslichaam zijn er ongeveer 3,35 "kubussen". Waarom precies kubieke eenheden? Omdat de meest universele formulering. Er kunnen kubieke centimeters zijn, er kunnen kubieke meters zijn, er kunnen kubieke kilometers zijn, enz., dat is hoeveel kleine groene mannetjes je fantasie in een vliegende schotel kan stoppen.

Voorbeeld 2

Vind het volume van het lichaam gevormd door rotatie rond de as van de figuur begrensd door lijnen,

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial.

Overweeg twee meer complexe taken die ook in de praktijk veel voorkomen.

Voorbeeld 3

Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door de figuur te roteren die wordt begrensd door de lijnen rond de as van de abscis, en

Oplossing: Teken in de tekening een platte figuur begrensd door lijnen,,, en vergeet niet dat de vergelijking de as definieert:

Het gewenste cijfer is blauw gearceerd. Als je hem om de as draait, krijg je zo'n surrealistische donut met vier hoeken.

Het volume van het omwentelingslichaam wordt berekend als verschil in lichaamsvolumes.

Laten we eerst eens kijken naar de vorm die in het rood is geschetst. Wanneer het rond de as draait, wordt een afgeknotte kegel verkregen. Laten we het volume van deze afgeknotte kegel door aanduiden.

Overweeg de vorm die in het groen is geschetst. Als je deze figuur om de as draait, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen iets kleiner. Laten we het volume door aanduiden.

En natuurlijk is het verschil in volumes precies het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

1) De rood omcirkelde vorm wordt van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

2) De groen omcirkelde vorm wordt van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

3) Het volume van het gezochte omwentelingslichaam:

Antwoord geven:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De oplossing zelf wordt vaak korter gemaakt, zoiets als dit:

Laten we nu wat rusten en praten over geometrische illusies.

Mensen hebben vaak illusies in verband met boekdelen, wat Perelman (een ander) opmerkte in het boek Interessante geometrie... Kijk naar de platte figuur in het opgeloste probleem - het lijkt een klein oppervlak te hebben en het volume van het omwentelingslichaam is iets meer dan 50 kubieke eenheden, wat te groot lijkt. Trouwens, de gemiddelde persoon in zijn hele leven drinkt een vloeistof met een volume van een kamer van 18 vierkante meter, die integendeel een te klein volume lijkt te zijn.

Over het algemeen was het onderwijssysteem in de USSR echt het beste. Hetzelfde boek van Perelman, dat in 1950 werd gepubliceerd, ontwikkelt, zoals de humorist zei, de redenering heel goed en leert om originele niet-standaardoplossingen voor problemen te zoeken. Onlangs heb ik met veel interesse enkele hoofdstukken opnieuw gelezen, ik raad het aan, het is zelfs beschikbaar voor de geesteswetenschappen. Nee, het is niet nodig om te glimlachen dat ik vrije tijd heb aangeboden, eruditie en een brede kijk op communicatie is geweldig.

Na de lyrische uitweiding is het gewoon gepast om de creatieve taak op te lossen:

Voorbeeld 4

Bereken het volume van een lichaam gevormd door rotatie om de as van een platte figuur begrensd door lijnen, waarbij.

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Houd er rekening mee dat alles zich in de strip afspeelt, met andere woorden, er worden daadwerkelijk kant-en-klare integratiegrenzen aangegeven. Teken de grafieken van trigonometrische functies correct, laat me je herinneren aan het lesmateriaal over: geometrische transformaties van grafieken: als het argument deelbaar is door twee:, dan worden de grafieken twee keer langs de as uitgerekt. Het is wenselijk om minimaal 3-4 punten te vinden door trigonometrische tabellen om de tekening nauwkeuriger te maken. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial. Trouwens, de taak kan rationeel en niet erg rationeel worden opgelost.

Berekening van het volume van een lichaam gevormd door rotatie
een platte figuur om een ​​as

De tweede alinea zal nog interessanter zijn dan de eerste. De taak van het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam rond de ordinaat-as is ook een vrij frequente gast in tests. Onderweg wordt er over nagedacht het probleem van het vinden van het gebied van een figuur op de tweede manier - integratie langs de as, dit stelt u niet alleen in staat om uw vaardigheden te verbeteren, maar leert u ook hoe u de meest winstgevende oplossing kunt vinden. Dit heeft ook een praktische betekenis in het leven! Zoals mijn leraar van de lesmethoden van het wiskundeonderwijs zich met een glimlach herinnerde, bedankten veel afgestudeerden haar met de woorden: "Uw vak heeft ons veel geholpen, nu zijn we effectieve managers en beheren we het personeel op een optimale manier." Ik maak van deze gelegenheid gebruik en betuig haar ook mijn diepe dankbaarheid, vooral omdat ik de verworven kennis gebruik voor het beoogde doel =).

Ik raad het iedereen aan, zelfs complete theepotten, om te lezen. Bovendien zal de assimilatie van het materiaal in de tweede sectie van onschatbare waarde zijn bij het berekenen van de dubbele integralen.

Voorbeeld 5

Je krijgt een platte figuur begrensd door lijnen,,.

1) Zoek het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen.
2) Bepaal het volume van een lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur dat wordt begrensd door deze lijnen rond een as te roteren.

Aandacht! Zelfs als je alleen de tweede alinea wilt lezen, eerst nodig lees de eerste!

Oplossing: De taak bestaat uit twee delen. Laten we beginnen met het vierkant.

1) Laten we de tekening uitvoeren:

Het is gemakkelijk in te zien dat de functie de bovenste tak van de parabool definieert en de functie de onderste tak van de parabool. Voor ons staat een triviale parabool die 'op zijn kant ligt'.

Het vereiste cijfer, waarvan het gebied te vinden is, is blauw gearceerd.

Hoe het gebied van een vorm te vinden? Het is te vinden op de "gebruikelijke" manier, die in de les werd besproken Duidelijke integraal. Hoe de oppervlakte van een vorm te berekenen... Bovendien wordt het gebied van de figuur gevonden als de som van de gebieden:
- op het segment ;
- op het segment.

Dat is waarom:

Wat is er mis met de gebruikelijke oplossing in dit geval? Ten eerste zijn er twee integralen. Ten tweede zijn de wortels onder de integralen en de wortels in de integralen geen gave; bovendien kan men in de war raken bij het in de plaats stellen van de grenzen van integratie. In feite zijn de integralen natuurlijk niet dodelijk, maar in de praktijk kan alles veel droeviger zijn, ik heb zojuist de "betere" functies voor de taak opgepikt.

Er is een meer rationele manier om het op te lossen: het bestaat uit het overgaan naar inverse functies en integreren langs de as.

Hoe ga ik naar functies omkeren? Grofweg moet je "X" tot en met "Y" uitdrukken. Laten we eerst de parabool behandelen:

Dat is genoeg, maar laten we ervoor zorgen dat dezelfde functie uit de onderste tak kan worden gehaald:

Met een rechte lijn is alles eenvoudiger:

Nu kijken we naar de as: kantel alstublieft periodiek uw hoofd 90 graden naar rechts terwijl u uitlegt (dit is geen grap!). De vorm die we nodig hebben, ligt op het segment dat wordt aangegeven door de rode stippellijn. In dit geval bevindt de rechte lijn zich op het segment boven de parabool, wat betekent dat het gebied van de figuur moet worden gevonden met behulp van de formule die u al kent: ... Wat is er veranderd in de formule? Alleen een brief, meer niet.

! Opmerking: De limieten van integratie langs de as moeten worden ingesteld strikt van onder naar boven!

Zoek het gebied:

Op het segment dus:

Let op hoe ik de integratie heb uitgevoerd, dit is de meest rationele manier, en in de volgende paragraaf van de opdracht zal duidelijk worden waarom.

Voor lezers die twijfels hebben over de juistheid van de integratie, vind ik de afgeleiden:

De oorspronkelijke integrand wordt verkregen, wat betekent dat de integratie correct wordt uitgevoerd.

Antwoord geven:

2) Laten we het volume van het lichaam berekenen dat wordt gevormd door de rotatie van deze figuur om de as.

Ik zal de tekening opnieuw tekenen in een iets ander ontwerp:

De in blauw gearceerde vorm roteert dus rond de as. Het resultaat is een "zwevende vlinder" die om zijn as draait.

Om het volume van een omwentelingslichaam te vinden, zullen we langs de as integreren. Eerst moet je naar de inverse functies gaan. Dit is al gedaan en uitgewerkt in de vorige paragraaf.

Nu kantelen we ons hoofd weer naar rechts en bestuderen onze figuur. Het is duidelijk dat het volume van een omwentelingslichaam moet worden gevonden als het verschil in volumes.

Draai de in rood omlijnde vorm rond de as, wat resulteert in een afgeknotte kegel. Laten we dit volume door aanwijzen.

Draai de vorm, groen omcirkeld, rond de as en geef deze aan door het volume van het resulterende omwentelingslichaam.

Het volume van onze vlinder is gelijk aan het verschil in volumes.

We gebruiken de formule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

Wat is het verschil met de formule in de vorige paragraaf? Alleen in de brief.

En hier is het integratievoordeel waar ik het onlangs over had, veel gemakkelijker te vinden dan de integrand voorlopig tot de 4e macht te verheffen.

Antwoord geven:

Echter, een ziekelijke vlinder.

Merk op dat als je dezelfde platte figuur rond de as draait, je een heel ander rotatielichaam krijgt, met een ander volume natuurlijk.

Voorbeeld 6

Je krijgt een platte figuur begrensd door lijnen en een as.

1) Ga naar de inverse functies en vind het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen door te integreren over een variabele.
2) Bereken het volume van een lichaam dat wordt verkregen door een platte figuur begrensd door deze lijnen rond een as te roteren.

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Geïnteresseerden kunnen het gebied van de figuur ook op de "gebruikelijke" manier vinden en daarbij punt 1) controleren. Maar als je, ik herhaal, een platte figuur om een ​​as draait, krijg je een heel ander rotatielichaam met een ander volume, trouwens, het juiste antwoord (ook voor degenen die graag oplossen).

De volledige oplossing van de twee voorgestelde punten van de opdracht aan het einde van de les.

Oh, en vergeet niet je hoofd naar rechts te kantelen om de lichamen van revolutie en binnen de integratie te begrijpen!

Definitie 3. Een omwentelingslichaam is een lichaam dat wordt verkregen door een platte figuur te roteren rond een as die de figuur niet snijdt en in hetzelfde vlak ermee ligt.

De rotatie-as kan de figuur ook snijden als dit de symmetrie-as van de figuur is.

Stelling 2.
, as
en lijnsegmenten
en

draait om een ​​as
... Dan kan het volume van het resulterende omwentelingslichaam worden berekend met de formule

(2)

Een bewijs. Voor zo'n lichaam, het gedeelte met de abscis Is een cirkel met straal
, middelen
en formule (1) geeft het gewenste resultaat.

Als het cijfer wordt beperkt door de grafieken van twee continue functies
en
, en lijnsegmenten
en
, Bovendien
en
, dan krijgen we, als we rond de as van de abscis draaien, een lichaam waarvan het volume is

Voorbeeld 3. Bereken het volume van een torus verkregen door het roteren van een cirkel begrensd door een cirkel

rond de as van de abscis.

R oplossing. De aangegeven cirkel hieronder wordt begrensd door de grafiek van de functie
, en van boven -
... Verschil van de kwadraten van deze functies:

Gewenst volume

(de grafiek van de integrand is de bovenste halve cirkel, dus de hierboven geschreven integraal is het gebied van de halve cirkel).

Voorbeeld 4. Parabolisch segment met basis
en hoogte , draait om de basis. Bereken het volume van het resulterende lichaam (Cavalieri's "citroen").

R oplossing. Plaats de parabool zoals weergegeven in de afbeelding. Dan is de vergelijking
, en
... Vind de waarde van de parameter :
... Dus het benodigde volume:

Stelling 3. Laat een kromlijnig trapezium begrensd door de grafiek van een continue niet-negatieve functie
, as
en lijnsegmenten
en
, Bovendien
, draait om de as
... Dan kan het volume van het resulterende omwentelingslichaam worden gevonden door de formule

(3)

Het idee van het bewijs. We splitsen het segment
stippen

, in delen en trek rechte lijnen
... Het hele trapezium zal uiteenvallen in stroken, die kunnen worden beschouwd als ongeveer rechthoeken met een basis
en hoogte
.

De cilinder die het resultaat is van de rotatie van een dergelijke rechthoek wordt langs de beschrijvende lijn gesneden en uitgezet. We krijgen "bijna" een parallellepipedum met afmetingen:
,
en
... zijn volume
... Dus voor het volume van een omwenteling hebben we een geschatte gelijkheid

Om exacte gelijkheid te verkrijgen, moet men de limiet bereiken bij
... De hierboven geschreven som is de integrale som voor de functie
, daarom verkrijgen we in de limiet de integraal uit formule (3). De stelling is bewezen.

Opmerking 1. In Stelling 2 en 3 is de voorwaarde
kan worden weggelaten: formule (2) is over het algemeen ongevoelig voor het teken
, en in formule (3) is het voldoende
vervangen door
.

Voorbeeld 5. Parabolisch segment (basis
, hoogte ) draait om de hoogte. Vind het volume van het resulterende lichaam.

Oplossing. Plaats de parabool zoals weergegeven in de afbeelding. En hoewel de rotatie-as de figuur kruist, is het - de as - de symmetrie-as. Daarom moet alleen de rechterhelft van het segment worden beschouwd. Paraboolvergelijking
, en
, middelen
... We hebben voor het volume:

Opmerking 2. Als de kromlijnige grens van een gebogen trapezium wordt gegeven door parametrische vergelijkingen
,
,
en
,
dan kunnen formules (2) en (3) worden gebruikt met de vervanging Aan
en
Aan
wanneer het verandert t van
voordat .

Voorbeeld 6. De figuur wordt begrensd door de eerste boog van de cycloïde
,
,
, en de abscis. Vind het volume van het lichaam dat wordt verkregen door deze figuur rond te draaien: 1) de as
; 2) assen
.

Oplossing. 1) Algemene formule:
In ons geval:

2) Algemene formule:
Voor onze figuur:

We nodigen studenten uit om zelfstandig alle berekeningen uit te voeren.

Opmerking 3. Laat de gekromde sector begrensd door een ononderbroken lijn
en balken
,

, draait om de poolas. Het volume van het resulterende lichaam kan worden berekend met behulp van de formule.

Voorbeeld 7. Een deel van de figuur beperkt door de cardioïde
buiten de cirkel
, draait om de poolas. Zoek het volume van het lichaam, dat in dit geval wordt verkregen.

Oplossing. Beide lijnen, en dus de vorm die ze begrenzen, zijn symmetrisch om de poolas. Daarom is het nodig om alleen het deel te beschouwen waarvoor:
... De curven snijden elkaar bij
en

Bij
... Verder kan het cijfer worden beschouwd als het verschil tussen twee sectoren, en daarom kan het volume worden berekend als het verschil tussen twee integralen. Wij hebben:

Taken voor een zelfstandige oplossing.

1. Een cirkelvormig segment, waarvan de basis
, hoogte , draait om de basis. Vind het volume van een omwentelingslichaam.

2. Vind het volume van een omwentelingsparaboloïde, waarvan de basis: en de hoogte is .

3. Het cijfer beperkt door de asteroïde
,
draait om de as van de abscis. Zoek het volume van het lichaam dat in dit geval wordt verkregen.

4. Een figuur begrensd door lijnen
en
draait om de as van de abscis. Vind het volume van een omwentelingslichaam.

Hoe het volume van een omwentelingslichaam te berekenen met behulp van een bepaalde integraal?

In aanvulling op het gebied van een platte figuur vinden met behulp van een bepaalde integraal de belangrijkste toepassing van het thema is het volume van een omwentelingslichaam berekenen... Het materiaal is eenvoudig, maar de lezer moet voorbereid zijn: je moet kunnen oplossen onbepaalde integralen gemiddelde complexiteit en pas de Newton-Leibniz-formule toe in bepaalde integraal ... Net als bij het probleem om het gebied te vinden, heb je zelfverzekerde tekenvaardigheden nodig - dit is bijna het belangrijkste (aangezien de integralen zelf vaak gemakkelijk zullen zijn). Je kunt een competente en snelle grafische techniek beheersen met behulp van methodologisch materiaal ... Maar in feite heb ik al herhaaldelijk gesproken over het belang van tekeningen in de les. .

Over het algemeen zijn er veel interessante toepassingen in integraalberekening, met behulp van een bepaalde integraal kun je het gebied van een figuur, het volume van een omwentelingslichaam, de lengte van een boog, het oppervlak van een lichaam en nog veel meer. Dus het wordt leuk, wees optimistisch!

Stel je een platte figuur voor op het coördinatenvlak. Heb je gepresenteerd? ... Ik vraag me af wie wat heeft gepresenteerd ... =))) We hebben het gebied al gevonden. Maar daarnaast kan deze figuur ook worden gedraaid en op twee manieren worden geroteerd:

– rond de as van de abscis; - rond de ordinaat-as.

Dit artikel behandelt beide gevallen. Vooral de tweede methode van rotatie is interessant, het veroorzaakt de grootste moeilijkheden, maar in feite is de oplossing praktisch hetzelfde als bij de meer gebruikelijke rotatie rond de abscis. Als bonus keer ik terug naar het probleem van het vinden van het gebied van een figuur , en ik zal je vertellen hoe je het gebied op de tweede manier kunt vinden - langs de as. Het is niet eens zozeer een bonus als het materiaal goed bij het thema past.

Laten we beginnen met het meest populaire spintype.

voorbeeld 1

Bereken het volume van een vaste stof die wordt verkregen door een vorm te roteren die wordt begrensd door lijnen rond een as.

Oplossing: Net als bij het vinden van het gebied, de oplossing begint met het tekenen van een plat figuur... Dat wil zeggen, op het vlak is het noodzakelijk om een ​​​​figuur te construeren die wordt begrensd door lijnen; vergeet tegelijkertijd niet dat de vergelijking de as bepaalt. Hoe je efficiënter en sneller een tekening maakt, lees je op de pagina's Grafieken en eigenschappen van elementaire functies en Duidelijke integraal. Hoe de oppervlakte van een vorm te berekenen ... Dit is een Chinese herinnering en ik stop hier niet meer mee.

De tekening hier is vrij eenvoudig:

De gewenste platte figuur is blauw gearceerd en zij is het die rond de as draait. Het resultaat van de rotatie is zo'n licht eivormige vliegende schotel die symmetrisch is om de as. In feite heeft het lichaam een ​​wiskundige naam, maar het naslagwerk is te lui om naar te kijken, dus gaan we verder.

Hoe het volume van een omwentelingslichaam te berekenen?

Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met de formule:

Er moet altijd een getal in de formule staan ​​vóór de integraal. Het gebeurde zo - alles wat in het leven draait, is verbonden met deze constante.

Hoe de limieten van integratie "a" en "bh" in te stellen, denk ik, is gemakkelijk te raden uit de voltooide tekening.

Functie... wat is deze functie? Laten we de tekening eens bekijken. Een platte figuur wordt bovenaan begrensd door een paraboolplot. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd.

Bij praktische oefeningen kan soms een plat figuur onder de as worden geplaatst. Dit verandert niets - de functie in de formule is in het kwadraat: dus het volume van een omwentelingslichaam is altijd niet-negatief, wat heel logisch is.

Laten we het volume van het omwentelingslichaam berekenen met behulp van deze formule:

Zoals ik al opmerkte, is de integraal bijna altijd eenvoudig, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoord geven:

In het antwoord is het noodzakelijk om de afmeting aan te geven - kubieke eenheden. Dat wil zeggen, in ons omwentelingslichaam zijn er ongeveer 3,35 "kubussen". Waarom precies kubieke eenheden? Omdat de meest universele formulering. Er kunnen kubieke centimeters zijn, er kunnen kubieke meters zijn, er kunnen kubieke kilometers zijn, enz., dat is hoeveel kleine groene mannetjes je fantasie in een vliegende schotel kan stoppen.

Voorbeeld 2

Vind het volume van het lichaam gevormd door rotatie rond de as van de figuur begrensd door lijnen ,,

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial.

Overweeg twee meer complexe taken die ook in de praktijk veel voorkomen.

Voorbeeld 3

Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door de figuur te roteren die wordt begrensd door de lijnen rond de as van de abscis, en

Oplossing: Teken in de tekening een platte figuur begrensd door lijnen ,,, en vergeet niet dat de vergelijking de as bepaalt:

Het gewenste cijfer is blauw gearceerd. Als je hem om de as draait, krijg je zo'n surrealistische donut met vier hoeken.

Het volume van het omwentelingslichaam wordt berekend als verschil in lichaamsvolumes.

Laten we eerst eens kijken naar de vorm die in het rood is geschetst. Wanneer het rond de as draait, wordt een afgeknotte kegel verkregen. Laten we het volume van deze afgeknotte kegel door aanduiden.

Overweeg de vorm die in het groen is geschetst. Als je deze figuur om de as draait, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen iets kleiner. Laten we het volume door aanduiden.

En natuurlijk is het verschil in volumes precies het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

1) De rood omcirkelde vorm wordt van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

2) De groen omcirkelde vorm wordt van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

3) Het volume van het gezochte omwentelingslichaam:

Antwoord geven:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De oplossing zelf wordt vaak korter gemaakt, zoiets als dit:

Laten we nu wat rusten en praten over geometrische illusies.

Mensen hebben vaak illusies in verband met boekdelen, wat Perelman (niet degene) in het boek opmerkte. Interessante geometrie... Kijk naar de platte figuur in het opgeloste probleem - het lijkt een klein oppervlak te hebben en het volume van het omwentelingslichaam is iets meer dan 50 kubieke eenheden, wat te groot lijkt. Trouwens, de gemiddelde persoon in zijn hele leven drinkt een vloeistof met een volume van een kamer van 18 vierkante meter, die integendeel een te klein volume lijkt te zijn.

Over het algemeen was het onderwijssysteem in de USSR echt het beste. Hetzelfde boek van Perelman, door hem geschreven in 1950, ontwikkelt, zoals de humorist zei, redenering en leert om originele niet-standaard oplossingen voor problemen te zoeken. Onlangs heb ik met veel interesse enkele hoofdstukken opnieuw gelezen, ik raad het aan, het is zelfs beschikbaar voor de geesteswetenschappen. Nee, het is niet nodig om te glimlachen dat ik vrije tijd heb aangeboden, eruditie en een brede kijk op communicatie is geweldig.

Na de lyrische uitweiding is het gewoon gepast om de creatieve taak op te lossen:

Voorbeeld 4

Bereken het volume van een lichaam gevormd door rotatie om de as van een platte figuur begrensd door lijnen, waarbij.

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Houd er rekening mee dat alles in de strip gebeurt, met andere woorden, er worden bijna kant-en-klare integratiegrenzen gegeven. Probeer ook de grafieken van goniometrische functies correct te tekenen, als het argument deelbaar is door twee: dan worden de grafieken twee keer langs de as uitgerekt. Probeer minstens 3-4 punten te vinden door trigonometrische tabellen en nauwkeuriger de tekening uit te voeren. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial. Trouwens, de taak kan rationeel en niet erg rationeel worden opgelost.

Het volume berekenen van een lichaam gevormd door een platte figuur rond een as te roteren

De tweede alinea zal nog interessanter zijn dan de eerste. De taak van het berekenen van het volume van een omwentelingslichaam rond de ordinaat-as is ook een vrij frequente gast in tests. Onderweg wordt er over nagedacht het probleem van het vinden van het gebied van een figuur op de tweede manier - integratie langs de as, dit stelt u niet alleen in staat om uw vaardigheden te verbeteren, maar leert u ook hoe u de meest winstgevende oplossing kunt vinden. Dit heeft ook een praktische betekenis in het leven! Zoals mijn leraar van de lesmethoden van het wiskundeonderwijs zich met een glimlach herinnerde, bedankten veel afgestudeerden haar met de woorden: "Uw vak heeft ons veel geholpen, nu zijn we effectieve managers en beheren we het personeel op een optimale manier." Ik maak van deze gelegenheid gebruik en betuig haar ook mijn diepe dankbaarheid, vooral omdat ik de verworven kennis gebruik voor het beoogde doel =).

Voorbeeld 5

Je krijgt een platte figuur begrensd door lijnen ,,.

1) Zoek het gebied van een platte figuur begrensd door deze lijnen. 2) Bepaal het volume van een lichaam dat wordt verkregen door een plat figuur dat wordt begrensd door deze lijnen rond een as te roteren.

Aandacht! Zelfs als je alleen de tweede alinea wilt lezen, eerst nodig lees de eerste!

Oplossing: De taak bestaat uit twee delen. Laten we beginnen met het vierkant.

1) Laten we de tekening uitvoeren:

Het is gemakkelijk in te zien dat de functie de bovenste tak van de parabool definieert en de functie de onderste tak van de parabool. Voor ons staat een triviale parabool die 'op zijn kant ligt'.

Het vereiste cijfer, waarvan het gebied te vinden is, is blauw gearceerd.

Hoe het gebied van een vorm te vinden? Het is te vinden op de "gebruikelijke" manier, die in de les werd besproken Duidelijke integraal. Hoe de oppervlakte van een vorm te berekenen ... Bovendien wordt het gebied van de figuur gevonden als de som van de gebieden: - op het segment ; - op het segment.

Dat is waarom:

Wat is er mis met de gebruikelijke oplossing in dit geval? Ten eerste zijn er twee integralen. Ten tweede zijn de wortels onder de integralen en de wortels in de integralen geen gave; bovendien kan men in de war raken bij het in de plaats stellen van de grenzen van integratie. In feite zijn de integralen natuurlijk niet dodelijk, maar in de praktijk kan alles veel droeviger zijn, ik heb zojuist de "betere" functies voor de taak opgepikt.

Er is een meer rationele manier om het op te lossen: het bestaat uit het overgaan naar inverse functies en integreren langs de as.

Hoe ga ik naar functies omkeren? Grofweg moet je "X" tot en met "Y" uitdrukken. Laten we eerst de parabool behandelen:

Dat is genoeg, maar laten we ervoor zorgen dat dezelfde functie uit de onderste tak kan worden gehaald:

Met een rechte lijn is alles eenvoudiger:

Nu kijken we naar de as: kantel alstublieft periodiek uw hoofd 90 graden naar rechts terwijl u uitlegt (dit is geen grap!). De vorm die we nodig hebben, ligt op het segment dat wordt aangegeven door de rode stippellijn. In dit geval bevindt de rechte lijn zich op het segment boven de parabool, wat betekent dat het gebied van de figuur moet worden gevonden met behulp van de formule die u al bekend is: ... Wat is er veranderd in de formule? Alleen een brief, meer niet.

! Opmerking: de integratielimieten langs de as moeten worden ingesteldstrikt van onder naar boven !

Zoek het gebied:

Op het segment dus:

Let op hoe ik de integratie heb uitgevoerd, dit is de meest rationele manier, en in de volgende paragraaf van de opdracht zal duidelijk worden waarom.

Voor lezers die twijfels hebben over de juistheid van de integratie, vind ik de afgeleiden:

De oorspronkelijke integrand wordt verkregen, wat betekent dat de integratie correct wordt uitgevoerd.

Antwoord geven:

2) Laten we het volume van het lichaam berekenen dat wordt gevormd door de rotatie van deze figuur om de as.

Ik zal de tekening opnieuw tekenen in een iets ander ontwerp:

De in blauw gearceerde vorm roteert dus rond de as. Het resultaat is een "zwevende vlinder" die om zijn as draait.

Om het volume van een omwentelingslichaam te vinden, zullen we langs de as integreren. Eerst moet je naar de inverse functies gaan. Dit is al gedaan en uitgewerkt in de vorige paragraaf.

Nu kantelen we ons hoofd weer naar rechts en bestuderen onze figuur. Het is duidelijk dat het volume van een omwentelingslichaam moet worden gevonden als het verschil in volumes.

Draai de in rood omlijnde vorm rond de as, wat resulteert in een afgeknotte kegel. Laten we dit volume door aanwijzen.

Draai de vorm, groen omcirkeld, rond de as en geef het volume aan van het resulterende omwentelingslichaam.

Het volume van onze vlinder is gelijk aan het verschil in volumes.

We gebruiken de formule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

Wat is het verschil met de formule in de vorige paragraaf? Alleen in de brief.

En hier is het integratievoordeel waar ik het onlangs over had, veel gemakkelijker te vinden dan eerst de integrand tot de 4e macht te verheffen.

Het volume van een omwentelingslichaam kan worden berekend met de formule:

Er moet altijd een getal in de formule staan ​​vóór de integraal. Het gebeurde zo - alles wat in het leven draait, is verbonden met deze constante.

Hoe de limieten van integratie "a" en "bh" in te stellen, denk ik, is gemakkelijk te raden uit de voltooide tekening.

Functie... wat is deze functie? Laten we de tekening eens bekijken. Een platte figuur wordt bovenaan begrensd door een paraboolplot. Dit is de functie die in de formule wordt geïmpliceerd.

Bij praktische oefeningen kan soms een plat figuur onder de as worden geplaatst. Dit verandert niets - de integrand in de formule is kwadraat: dus integraal is altijd niet-negatief , wat heel logisch is.

Laten we het volume van het omwentelingslichaam berekenen met behulp van deze formule:

Zoals ik al opmerkte, is de integraal bijna altijd eenvoudig, het belangrijkste is om voorzichtig te zijn.

Antwoord geven:

In het antwoord is het noodzakelijk om de afmeting aan te geven - kubieke eenheden. Dat wil zeggen, in ons omwentelingslichaam zijn er ongeveer 3,35 "kubussen". Waarom precies kubieke eenheden? Omdat de meest universele formulering. Er kunnen kubieke centimeters zijn, er kunnen kubieke meters zijn, er kunnen kubieke kilometers zijn, enz., dat is hoeveel kleine groene mannetjes je fantasie in een vliegende schotel kan stoppen.

Voorbeeld 2

Vind het volume van het lichaam gevormd door rotatie rond de as van de figuur begrensd door lijnen ,,

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial.

Overweeg twee meer complexe taken die ook in de praktijk veel voorkomen.

Voorbeeld 3

Bereken het volume van het lichaam dat wordt verkregen door de figuur te roteren die wordt begrensd door de lijnen rond de as van de abscis, en

Oplossing: Teken een platte figuur in de tekening, begrensd door lijnen ,,, zonder te vergeten dat de vergelijking de as definieert:

Het gewenste cijfer is blauw gearceerd. Als je hem om de as draait, krijg je zo'n surrealistische donut met vier hoeken.

Het volume van het omwentelingslichaam wordt berekend als verschil in lichaamsvolumes.

Laten we eerst eens kijken naar de vorm die in het rood is geschetst. Wanneer het rond de as draait, wordt een afgeknotte kegel verkregen. Laten we het volume van deze afgeknotte kegel door aanduiden.

Overweeg de vorm die in het groen is geschetst. Als je deze figuur om de as draait, krijg je ook een afgeknotte kegel, alleen iets kleiner. Laten we het volume door aanduiden.

En natuurlijk is het verschil in volumes precies het volume van onze "donut".

We gebruiken de standaardformule om het volume van een omwentelingslichaam te vinden:

1) De in rood omlijnde figuur wordt van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

2) De groen omcirkelde vorm wordt van bovenaf begrensd door een rechte lijn, dus:

3) Het volume van het gezochte omwentelingslichaam:

Antwoord geven:

Het is merkwaardig dat in dit geval de oplossing kan worden gecontroleerd met behulp van de schoolformule voor het berekenen van het volume van een afgeknotte kegel.

De oplossing zelf wordt vaak korter gemaakt, zoiets als dit:

Laten we nu wat rusten en praten over geometrische illusies.

Mensen hebben vaak illusies in verband met boekdelen, wat Perelman (een ander) opmerkte in het boek Interessante geometrie... Kijk naar de platte figuur in het opgeloste probleem - het lijkt een klein oppervlak te hebben en het volume van het omwentelingslichaam is iets meer dan 50 kubieke eenheden, wat te groot lijkt. Trouwens, de gemiddelde persoon in zijn hele leven drinkt een vloeistof met een volume van een kamer van 18 vierkante meter, die integendeel een te klein volume lijkt te zijn.

Over het algemeen was het onderwijssysteem in de USSR echt het beste. Hetzelfde boek van Perelman, dat in 1950 werd gepubliceerd, ontwikkelt, zoals de humorist zei, de redenering heel goed en leert om originele niet-standaardoplossingen voor problemen te zoeken. Onlangs heb ik met veel interesse enkele hoofdstukken opnieuw gelezen, ik raad het aan, het is zelfs beschikbaar voor de geesteswetenschappen. Nee, het is niet nodig om te glimlachen dat ik vrije tijd heb aangeboden, eruditie en een brede kijk op communicatie is geweldig.

Na de lyrische uitweiding is het gewoon gepast om de creatieve taak op te lossen:

Voorbeeld 4

Bereken het volume van een lichaam gevormd door rotatie om de as van een platte figuur begrensd door lijnen, waarbij.

Dit is een voorbeeld van een doe-het-zelf oplossing. Houd er rekening mee dat alles zich in de strip afspeelt, met andere woorden, er worden daadwerkelijk kant-en-klare integratiegrenzen aangegeven. Teken de grafieken van trigonometrische functies correct, laat me je herinneren aan het lesmateriaal over: geometrische transformaties van grafieken : als het argument deelbaar is door twee:, dan worden de grafieken twee keer langs de as uitgerekt. Het is wenselijk om minimaal 3-4 punten te vinden door trigonometrische tabellen om de tekening nauwkeuriger te maken. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de tutorial. Trouwens, de taak kan rationeel en niet erg rationeel worden opgelost.