Afgeknot trapeziumvormig gebied. Hoe het gebied van een gelijkbenige trapezium te vinden

Wat is een gelijkbenig trapezium? Het is een geometrische figuur waarvan de tegenovergestelde, niet-parallelle zijden gelijk zijn. Er zijn verschillende formules voor het vinden van het gebied van een trapezium met verschillende voorwaarden, die in de problemen worden gegeven. Dat wil zeggen, het gebied kan worden gevonden als de hoogte, zijden, hoeken, diagonalen, enz. Worden gegeven. Er moet ook worden vermeld dat er voor gelijkbenige trapezoïden enkele "uitzonderingen" zijn, waardoor het zoeken naar het gebied en de formule zelf aanzienlijk wordt vereenvoudigd. Gedetailleerde oplossingen voor elk geval worden hieronder beschreven met voorbeelden.

Noodzakelijke eigenschappen voor het vinden van het gebied van een gelijkbenige trapezium

We hebben al ontdekt dat een geometrische figuur met tegenovergestelde, niet evenwijdige, maar gelijke zijden een trapezium is, bovendien gelijkbenig. Er zijn speciale gevallen waarin het trapezium als gelijkbenig wordt beschouwd.

Dit zijn de voorwaarden voor gelijkheid van hoeken. Een verplicht punt dus: de hoeken aan de basis (zie onderstaande foto) moeten gelijk zijn. In ons geval, hoek BAD = hoek CDA, en hoek ABC = hoek BCD
De tweede belangrijke regel is dat in zo'n trapezium de diagonalen gelijk moeten zijn. Daarom AC = BD.
Het derde aspect: de tegenovergestelde hoeken van het trapezium moeten optellen tot 180 graden. Dit betekent dat hoek ABC + hoek CDA = 180 graden. Hetzelfde geldt voor hoeken BCD en BAD.
Ten vierde, als een trapezium een beschrijving van een cirkel eromheen toelaat, dan is het gelijkbenig.

Hoe het gebied van een gelijkbenige trapezium te vinden - formules en hun beschrijving

S = (a + b) h / 2 is de meest gebruikelijke formule voor het vinden van een gebied, waarbij een - lagere basis, B Is de bovenste basis en h is de hoogte.

Als de hoogte onbekend is, kun je ernaar zoeken met een vergelijkbare formule: h = c * sin (x), waarbij c AB of CD is. sin (x) is de sinus van een hoek op een willekeurige basis, dat wil zeggen, hoek DAB = hoek CDA = x. Uiteindelijk ziet de formule er als volgt uit: S = (a + b) * c * zonde (x) / 2.
Hoogte kan ook worden gevonden met behulp van deze formule:

De uiteindelijke formule ziet er als volgt uit:

Het gebied van een gelijkbenige trapezium is ook te vinden via de middellijn en hoogte. De formule is: S = mh.

Overweeg de toestand waarin een cirkel is ingeschreven in het trapezium.

In het geval dat op de afbeelding wordt getoond,

QN = D = H - diameter van de cirkel en tegelijkertijd de hoogte van het trapezium;

LO, ON, OQ = R - cirkelstralen;

DC = a - bovenste basis;

AB = b - onderste basis;

DAB, ABC, BCD, CDA - alfa, bèta - trapeziumvormige basishoeken.

Een soortgelijk geval maakt het mogelijk om het gebied te vinden volgens de volgende formules:

Laten we nu proberen het gebied door de diagonalen en de hoeken ertussen te vinden.

In de figuur duiden we AC, DB - diagonalen - d aan. Hoeken COB, DOB - alfa; DOC, AOB - bèta. Formule voor het gebied van een gelijkbenig trapezium in termen van de diagonalen en de hoek ertussen, ( S ) is als volgt:

De praktijk van de USE en GIA van vorig jaar laat zien dat geometrieproblemen voor veel schoolkinderen problemen veroorzaken. Je kunt ze gemakkelijk aan als je alle benodigde formules uit je hoofd leert en oefent met het oplossen van problemen.

In dit artikel ziet u formules voor het vinden van het gebied van een trapezium, evenals voorbeelden van problemen met oplossingen. Hetzelfde zie je in KIM's bij certificeringsexamens of op de Olympiades. Behandel ze daarom zorgvuldig.

Wat moet je weten over een trapezium?

Laten we dat eerst onthouden trapezium een vierhoek genoemd, die twee tegenoverliggende zijden heeft, ze worden ook basen genoemd, zijn evenwijdig en de andere twee niet.

De hoogte kan ook in het trapezium (loodrecht op de basis) worden verlaagd. De middelste lijn wordt getrokken - dit is een rechte lijn die evenwijdig is aan de basis en gelijk is aan de helft van hun som. En ook diagonalen, die elkaar kunnen kruisen en scherpe en stompe hoeken vormen. Of, in sommige gevallen, in een rechte hoek. Als het trapezium gelijkbenig is, kan er bovendien een cirkel in worden ingeschreven. En beschrijf er een cirkel omheen.

Oppervlakteformules voor een trapezium

Overweeg om te beginnen de standaardformules voor het vinden van het gebied van een trapezium. We zullen manieren overwegen om het gebied van een gelijkbenige en gebogen trapezium hieronder te berekenen.

Stel je dus voor dat je een trapezium hebt met basen a en b, waarbij de hoogte h is verlaagd naar de grotere basis. Het berekenen van het gebied van de figuur is in dit geval net zo eenvoudig als het pellen van peren. Je hoeft alleen de som van de lengtes van de basen door twee te delen en te vermenigvuldigen wat je krijgt met de hoogte: S = 1/2 (a + b) * h.

Laten we een ander geval nemen: stel dat in het trapezium behalve de hoogte ook de middelste lijn m wordt getekend. We kennen de formule om de lengte van de middellijn te vinden: m = 1/2 (a + b). Daarom kunnen we de formule voor het gebied van een trapezium terecht vereenvoudigen tot de volgende vorm: S = m * h... Met andere woorden, om het gebied van een trapezium te vinden, moet u de middellijn vermenigvuldigen met de hoogte.

Overweeg een andere optie: in het trapezium worden diagonalen d 1 en d 2 getekend, die elkaar niet onder een rechte hoek α snijden. Om het gebied van zo'n trapezium te berekenen, moet je het product van de diagonalen door twee delen en het resultaat vermenigvuldigen met de zonde van de hoek ertussen: S = 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

Overweeg nu de formule voor het vinden van het gebied van een trapezium als er niets over bekend is, behalve de lengtes van al zijn zijden: a, b, c en d. Dit is een omslachtige en complexe formule, maar het is handig voor u om deze te onthouden, voor het geval dat: S = 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Trouwens, de bovenstaande voorbeelden zijn ook waar voor het geval je de formule nodig hebt voor het gebied van een rechthoekig trapezium. Dit is een trapezium waarvan de zijkant haaks op de basis aansluit.

gelijkbenige trapezium

Een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn, wordt gelijkbenig genoemd. We zullen verschillende opties overwegen voor de formule voor het gebied van een gelijkbenig trapezium.

De eerste optie: voor het geval dat een cirkel met een straal r is ingeschreven in het gelijkbenige trapezium, en de zijkant en de grotere basis een scherpe hoek vormen. Een cirkel kan worden ingeschreven in een trapezium, op voorwaarde dat de som van de lengtes van de basis gelijk is aan de som van de lengtes van de zijden.

De oppervlakte van een gelijkbenig trapezium wordt als volgt berekend: vermenigvuldig het kwadraat van de straal van de ingeschreven cirkel met vier en deel het geheel door sinα: S = 4r 2 / sinα... Een andere oppervlakteformule is een speciaal geval voor het geval dat de hoek tussen de grote basis en de zijkant 30 0 is: S = 8r 2.

De tweede optie: deze keer nemen we een gelijkbenig trapezium, waarin bovendien de diagonalen d 1 en d 2 zijn getekend, evenals de hoogte h. Als de diagonalen van het trapezium onderling loodrecht staan, is de hoogte de helft van de som van de basen: h = 1/2 (a + b). Dit wetende, is het gemakkelijk om de al bekende formule voor het gebied van een trapezium om te zetten in de volgende vorm: S = h2.

Formule voor het gebied van een gebogen trapezium

Laten we beginnen met te kijken naar wat een gebogen trapezium is. Stel je een coördinatenas en een grafiek voor van een continue en niet-negatieve functie f die niet van teken verandert binnen een bepaald segment op de x-as. Een kromlijnig trapezium wordt gevormd door de grafiek van de functie y = f (x) - bovenaan, de x-as onderaan (segment), en aan de zijkanten - door rechte lijnen getrokken tussen de punten a en b en de grafiek van de functie.

Het is onmogelijk om het gebied van een dergelijke niet-standaard vorm te berekenen met behulp van de bovenstaande methoden. Hier moet je wiskundige analyse toepassen en de integraal gebruiken. Namelijk: de Newton-Leibniz-formule - S = ∫ b a f (x) dx = F (x) │ b a = F (b) - F (a)... In deze formule is F de primitieve van onze functie op het geselecteerde segment. En het gebied van het kromlijnige trapezium komt overeen met de toename van het antiderivaat op een bepaald segment.

Voorbeelden van taken

Om al deze formules beter in je hoofd te laten passen, volgen hier enkele voorbeelden van taken voor het vinden van het gebied van een trapezium. Het is het beste als u eerst de problemen zelf probeert op te lossen en pas daarna het ontvangen antwoord met de kant-en-klare oplossing controleert.

Taak nummer 1: Gegeven een trapezium. De grotere basis is 11 cm, de kleinere is 4 cm. In het trapezium zijn diagonalen getekend, de ene 12 cm lang, de andere 9 cm lang.

Oplossing: Construeer trapezium AMPC. Trek lijn PX door hoekpunt P zodat deze evenwijdig aan de MC-diagonaal blijkt te zijn en lijn AC snijdt in punt X. Je krijgt een driehoek ARX.

We zullen twee figuren beschouwen die het resultaat zijn van deze manipulaties: de ARX-driehoek en het CMRX-parallellogram.

Dankzij het parallellogram leren we dat PX = MC = 12 cm en CX = MR = 4 cm. Waar kunnen we de zijde AX van de driehoek ARX berekenen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

We kunnen ook bewijzen dat de driehoek ARX rechthoekig is (pas hiervoor de stelling van Pythagoras toe - AX 2 = AR 2 + PX 2). En bereken de oppervlakte: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.

Vervolgens moet je bewijzen dat driehoeken AMP en PCX gelijk zijn. De basis zal de gelijkheid van de partijen MP en CX zijn (reeds bewezen hierboven). En ook de hoogten die je aan deze kanten verlaagt - ze zijn gelijk aan de hoogte van het AMRS-trapezium.

Dit alles stelt u in staat om te beweren dat S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Taak nummer 2: Het trapezium van de KRMS wordt gegeven. De punten O en E bevinden zich aan de zijkanten, terwijl OE en KC evenwijdig zijn. Het is ook bekend dat de oppervlakten van de ORME- en OKSE-trapeziums in een verhouding van 1:5 zijn. PM = a en KC = b. Het is vereist om OE te vinden.

Oplossing: Trek een rechte lijn door punt M, evenwijdig aan de RC, en benoem het snijpunt met OE door T. A - het snijpunt van een rechte lijn getrokken door punt E evenwijdig aan de RC, met de basis van de K.S.

Laten we nog een notatie introduceren - OE = x. En ook de hoogte h 1 voor de TME-driehoek en de hoogte h 2 voor de AEC-driehoek (je kunt de overeenkomst van deze driehoeken onafhankelijk bewijzen).

We nemen aan dat b> a. De oppervlakten van de trapeziums ORME en OKSE zijn gerelateerd als 1: 5, wat ons het recht geeft om de volgende vergelijking op te stellen: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Laten we transformeren en krijgen: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Aangezien driehoeken TME en AEC gelijkvormig zijn, hebben we h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Combineer beide records en krijg: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) = (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) = (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Dus OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Conclusie

Meetkunde is niet de gemakkelijkste wetenschap, maar je kunt de examentaken zeker aan. Het volstaat om een beetje doorzettingsvermogen te tonen in de voorbereiding. En onthoud natuurlijk alle benodigde formules.

We hebben geprobeerd alle formules voor het berekenen van het gebied van een trapezium op één plek te verzamelen, zodat u ze kunt gebruiken wanneer u zich voorbereidt op examens en het materiaal herhaalt.

Zorg ervoor dat je dit artikel deelt met je klasgenoten en vrienden op sociale netwerken. Laat er maar meer goede cijfers komen voor het Eengemaakt Staatsexamen en het Staatsexamenbureau!

blog.site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal, is een link naar de bron vereist.

Wat moet je weten over een trapezium?

Laten we dat eerst onthouden trapezium een vierhoek genoemd, die twee tegenoverliggende zijden heeft, ze worden ook basen genoemd, zijn evenwijdig en de andere twee niet.

Oppervlakteformules voor een trapezium

gelijkbenige trapezium

Een trapezium waarvan de zijden gelijk zijn, wordt gelijkbenig genoemd. We zullen verschillende opties overwegen voor de formule voor het gebied van een gelijkbenig trapezium.

Formule voor het gebied van een gebogen trapezium

Voorbeelden van taken

Taak nummer 1: Gegeven een trapezium. De grotere basis is 11 cm, de kleinere is 4 cm. In het trapezium zijn diagonalen getekend, de ene 12 cm lang, de andere 9 cm lang.

Oplossing: Construeer trapezium AMPC. Trek lijn PX door hoekpunt P zodat deze evenwijdig aan de MC-diagonaal blijkt te zijn en lijn AC snijdt in punt X. Je krijgt een driehoek ARX.

We zullen twee figuren beschouwen die het resultaat zijn van deze manipulaties: de ARX-driehoek en het CMRX-parallellogram.

Dankzij het parallellogram leren we dat PX = MC = 12 cm en CX = MR = 4 cm. Waar kunnen we de zijde AX van de driehoek ARX berekenen: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Dit alles stelt u in staat om te beweren dat S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Laten we nog een notatie introduceren - OE = x. En ook de hoogte h 1 voor de TME-driehoek en de hoogte h 2 voor de AEC-driehoek (je kunt de overeenkomst van deze driehoeken onafhankelijk bewijzen).

Dus OE = x = √ (5a 2 + b 2) / 6.

Conclusie

Zorg ervoor dat je dit artikel deelt met je klasgenoten en vrienden op sociale netwerken. Laat er maar meer goede cijfers komen voor het Eengemaakt Staatsexamen en het Staatsexamenbureau!

site, bij volledige of gedeeltelijke kopie van het materiaal, is een link naar de bron vereist.

Het veelzijdige trapezium ... Het kan willekeurig, gelijkbenig of rechthoekig zijn. En in elk geval moet u weten hoe u het gebied van de trapezium kunt vinden. Natuurlijk zijn de basisformules het gemakkelijkst te onthouden. Maar soms is het gemakkelijker om degene te gebruiken die is afgeleid, rekening houdend met alle kenmerken van een bepaalde geometrische figuur.

Een paar woorden over de trapezium en zijn elementen

Elke vierhoek met twee parallelle zijden kan een trapezium worden genoemd. Over het algemeen zijn ze niet gelijk en worden ze basen genoemd. De grotere is de onderste en de andere is de bovenste.

De andere twee zijden zijn zijwaarts. Voor een willekeurig trapezium hebben ze verschillende lengtes. Als ze gelijk zijn, wordt de figuur gelijkbenig.

Als plotseling de hoek tussen een zijde en de basis gelijk blijkt te zijn aan 90 graden, dan is het trapezium rechthoekig.

Al deze functies kunnen helpen bij het oplossen van het probleem van het vinden van het gebied van een trapezium.

Onder de elementen van de figuur die onmisbaar kunnen zijn bij het oplossen van problemen, kunnen we het volgende onderscheiden:

hoogte, dat wil zeggen een segment loodrecht op beide bases;
de middelste lijn, die aan de uiteinden de middelpunten van de laterale zijden heeft.

Wat is de formule om de oppervlakte te berekenen als de basis en hoogte bekend zijn?

Deze uitdrukking wordt als de belangrijkste gegeven, omdat u deze waarden meestal kunt achterhalen, zelfs als ze niet expliciet worden gegeven. Dus om te begrijpen hoe je het gebied van een trapezium kunt vinden, moet je beide basen toevoegen en ze in twee delen. Vermenigvuldig vervolgens de resulterende waarde met de hoogtewaarde.

Als we de bases aanduiden met de letters a 1 en a 2, de hoogte is n, dan ziet de formule voor het gebied er als volgt uit:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * n.

De formule waarmee het gebied wordt berekend, gezien de hoogte en middellijn

Als je goed naar de vorige formule kijkt, zul je gemakkelijk merken dat er duidelijk een middellijnwaarde in zit. Namelijk de som van de basen gedeeld door twee. Laat de middelste lijn worden aangeduid met de letter l, dan wordt de formule voor het gebied:

S = l * n.

De mogelijkheid om het gebied te vinden door diagonalen

Deze methode helpt als je de hoek kent die ze vormen. Stel dat de diagonalen worden aangegeven met de letters d 1 en d 2, en de hoeken ertussen zijn α en β. Vervolgens wordt de formule voor het vinden van het gebied van een trapezium als volgt geschreven:

S = ((q 1 * q 2) / 2) * sin α.

In deze uitdrukking kun je α gemakkelijk vervangen door β. Het resultaat zal niet veranderen.

Hoe het gebied te achterhalen als alle zijden van de figuur bekend zijn?

Er zijn ook situaties waarin de zijkanten in deze figuur bekend zijn. Deze formule is omslachtig en moeilijk te onthouden. Maar waarschijnlijk. Laat de zijkanten de aanduiding hebben: in 1 en in 2 is de basis van een 1 groter dan een 2. De oppervlakteformule ziet er dan als volgt uit:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + in 1 2 - in 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Methoden voor het berekenen van het gebied van een gelijkbenige trapezium

De eerste hangt samen met het feit dat er een cirkel in kan worden ingeschreven. En als u de straal kent (deze wordt aangegeven met de letter r), evenals de hoek aan de basis - , kunt u de volgende formule gebruiken:

S = (4 * r 2) / sin .

De laatste algemene formule, die gebaseerd is op kennis van alle zijden van de figuur, zal sterk vereenvoudigd worden omdat de zijden dezelfde betekenis hebben:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (b 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Methoden voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekige trapezium

Het is duidelijk dat elk van bovenstaande geschikt is voor een willekeurig cijfer. Maar soms is het handig om één kenmerk van zo'n trapezium te kennen. Het bestaat uit het feit dat het verschil tussen de vierkanten van de lengtes van de diagonalen gelijk is aan het verschil dat bestaat uit de vierkanten van de basis.

Vaak worden de formules voor het trapezium vergeten, terwijl de uitdrukkingen voor de gebieden van de rechthoek en driehoek worden onthouden. Dan kan een eenvoudige manier worden toegepast. Verdeel het trapezium in twee vormen als het rechthoekig is, of drie. De ene zal zeker een rechthoek zijn en de tweede, of de andere twee, zullen driehoeken zijn. Na het berekenen van de gebieden van deze figuren, blijft het alleen om ze toe te voegen.

Dit is een vrij eenvoudige manier om het gebied van een rechthoekig trapezium te vinden.

Wat als de coördinaten van de hoekpunten van het trapezium bekend zijn?

In dit geval moet u een uitdrukking gebruiken waarmee u de afstand tussen punten kunt bepalen. Het kan drie keer worden toegepast: om zowel de basis als één hoogte te vinden. En pas dan gewoon de eerste formule toe, die hierboven is beschreven.

Het volgende voorbeeld kan worden gebruikt om deze methode te illustreren. Vertices met coördinaten A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1) worden gegeven. U moet het gebied van de figuur weten.

Voordat u het gebied van de trapezium vindt, moet u de lengtes van de bases uit de coördinaten berekenen. Je hebt de volgende formule nodig:

segmentlengte = √ ((verschil van de eerste coördinaten van punten) 2 + (verschil van tweede coördinaten van punten) 2).

De bovenste basis wordt AB genoemd, wat betekent dat de lengte gelijk zal zijn aan √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Lower - SD = √ ((10-1) 2 + (1-1) 2) = √81 = 9.

Nu moet je de hoogte van boven naar beneden tekenen. Laat het begin zijn in punt A. Het einde van het segment zal op de onderste basis zijn op het punt met coördinaten (5; 1), laat het punt H zijn. De lengte van het segment AH zal gelijk zijn aan √ ((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Het blijft alleen om de resulterende waarden in de formule voor het gebied van de trapezium te vervangen:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Het probleem werd opgelost zonder meeteenheden, omdat de schaal van het coördinatenraster niet was gespecificeerd. Het kan een millimeter of een meter zijn.

Voorbeelden van taken

Nr. 1. Conditie. De hoek tussen de diagonalen van een willekeurig trapezium is bekend, deze is gelijk aan 30 graden. De kleinere diagonaal heeft een waarde van 3 dm en de tweede is 2 keer groter dan deze. Het is noodzakelijk om het gebied van het trapezium te berekenen.

Oplossing. Eerst moet je de lengte van de tweede diagonaal weten, want zonder deze is het niet mogelijk om het antwoord te tellen. Het is niet moeilijk om het te berekenen, 3 * 2 = 6 (dm).

Nu moeten we een geschikte formule voor het gebied gebruiken:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Het probleem is opgelost.

Antwoord geven: het gebied van de trapezium is 4,5 dm 2.

Nr. 2. Conditie. In het trapezium van AVSD zijn de bases de segmenten van bloeddruk en BC. Punt E is het midden van de SD-zijde. Hieruit wordt een loodlijn getrokken op lijn AB, het einde van dit segment wordt aangeduid met de letter H. Het is bekend dat de lengtes AB en EH respectievelijk 5 en 4 cm zijn. Het is noodzakelijk om het gebied van te berekenen het trapezium.

Oplossing. Eerst moet je een tekening maken. Aangezien de waarde van de loodlijn kleiner is dan de zijde waarnaar deze wordt getrokken, zal het trapezium enigszins langwerpig naar boven zijn. Dus EH zal binnen de figuur zijn.

Om de voortgang van het oplossen van het probleem duidelijk te zien, moet u extra constructie uitvoeren. Teken namelijk een rechte lijn die evenwijdig is aan de AB-zijde. De snijpunten van deze rechte lijn met HEL zijn P, en met het vervolg van BC - X. De resulterende figuur ВХРА is een parallellogram. Bovendien is het gebied gelijk aan het vereiste. Dit komt door het feit dat de verkregen driehoeken met de extra constructie gelijk zijn. Dit volgt uit de gelijkheid van de zijde en de twee aangrenzende hoeken, de ene is verticaal, de andere is kriskras.

U kunt het gebied van een parallellogram vinden met behulp van een formule die het product van de zijkant en de hoogte die erop valt, bevat.

Het gebied van de trapezium is dus 5 * 4 = 20 cm 2.

Antwoord geven: S = 20cm2.

Nr. 3. Conditie. Elementen van een gelijkbenig trapezium hebben de volgende betekenissen: onderste basis - 14 cm, bovenste - 4 cm, scherpe hoek - 45º. Je moet de oppervlakte berekenen.

Oplossing. Laat de kleinere basis BC worden genoemd. De hoogte die vanaf punt B wordt getrokken, wordt BH genoemd. Aangezien de hoek 45º is, zal de driehoek ABN rechthoekig en gelijkbenig blijken te zijn. Dus AH = BH. En NA is heel gemakkelijk te vinden. Het is gelijk aan de helft van het verschil in basen. Dat is (14 - 4) / 2 = 10/2 = 5 (cm).

De bases zijn bekend, de hoogte wordt berekend. U kunt de eerste formule gebruiken, die hier werd overwogen voor een willekeurig trapezium.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm2).

Antwoord geven: De benodigde oppervlakte is 45 cm2.

Nr. 4. Conditie. Er is een willekeurige trapezium van AVSD. Aan de zijkanten zijn de punten O en E genomen, zodat OE evenwijdig is aan de basis van de bloeddruk. Het oppervlak van het AOED-trapezium is vijf keer groter dan dat van de CFE. Bereken de OE-waarde als de basislengtes bekend zijn.

Oplossing. U moet twee parallelle AB-lijnen tekenen: de eerste door punt C, het snijpunt met OE - punt T; de tweede door E en het snijpunt met de bloeddruk is M.

Laat de onbekende OE = x. De hoogte van de kleinere trapeziumvormige OVSE - n 1, de grotere AOED - n 2.

Aangezien de gebieden van deze twee trapezoïden gerelateerd zijn als 1 tot 5, kunnen we de volgende gelijkheid schrijven:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

De hoogten en zijden van de driehoeken zijn proportioneel in constructie. Daarom kan nog een gelijkheid worden geschreven:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).

In de laatste twee items aan de linkerkant staan gelijke waarden, wat betekent dat we kunnen schrijven dat (x + a 1) / (5 (x + a 2)) gelijk is aan (x - a 2) / (a 1 -x).

Hier zijn een aantal transformaties voor nodig. Vermenigvuldig eerst kruiselings. Er verschijnen haakjes die het verschil van de vierkanten aangeven, na het toepassen van deze formule krijg je een korte vergelijking.

Daarin moet je de haakjes openen en alle termen van de onbekende "x" naar links verplaatsen en vervolgens de vierkantswortel extraheren.

Antwoord geven: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Trapezium gebied. De groeten! In dit bericht zullen we de gespecificeerde formule bekijken. Waarom het precies zo is en hoe het te begrijpen. Als er begrip is, dan hoef je het niet te leren. Als je alleen deze formule wilt zien en wat dringend is, dan kun je meteen naar beneden scrollen op de pagina))

Nu in detail en in orde.

Een trapezium is een vierhoek, twee zijden van deze vierhoek zijn evenwijdig, de andere twee niet. Degenen die niet parallel zijn, zijn de basis van het trapezium. De andere twee worden kanten genoemd.

Als de zijden gelijk zijn, wordt het trapezium gelijkbenig genoemd. Als een van de zijkanten loodrecht op de basis staat, wordt zo'n trapezium rechthoekig genoemd.

In de klassieke vorm wordt het trapezium als volgt afgebeeld: de grotere basis bevindt zich respectievelijk onderaan, de kleinere bovenaan. Maar niemand verbiedt haar te portretteren en vice versa. Dit zijn de schetsen:

Het volgende belangrijke concept.
De middellijn van de trapezium is het lijnsegment dat de middelpunten van de zijkanten verbindt. De middelste lijn is evenwijdig aan de basis van het trapezium en is gelijk aan hun halve som.

Laten we nu dieper graven. Waarom is het zo?

Overweeg een trapezium met bases a en b en met de middelste lijn ik, en we zullen enkele aanvullende constructies uitvoeren: we trekken rechte lijnen door de basissen en loodlijnen door de uiteinden van de middellijn totdat ze de basis kruisen:

* Letteraanduidingen van hoekpunten en andere punten zijn niet bewust ingevoerd om onnodige aanduidingen te voorkomen.

Kijk, driehoeken 1 en 2 zijn gelijk in het tweede teken van gelijkheid van driehoeken, driehoeken 3 en 4 zijn hetzelfde. Uit de gelijkheid van de driehoeken volgt de gelijkheid van de elementen, namelijk de benen (ze zijn respectievelijk in blauw en rood aangegeven).

Nu aandacht! Als we mentaal het blauwe en rode segment van de onderste basis "afsnijden", dan hebben we een segment (dit is de zijde van de rechthoek) gelijk aan de middellijn. Verder, als we de afgesneden blauwe en rode lijn "lijmen" aan de bovenste basis van het trapezium, dan krijgen we ook een segment (dit is ook de zijkant van de rechthoek) gelijk aan de middelste lijn van het trapezium.

Begrepen? Het blijkt dat de som van de basen gelijk zal zijn aan de twee middelste lijnen van het trapezium:

Zie een andere uitleg

Laten we het volgende doen - bouw een rechte lijn die door de onderste basis van de trapezium gaat en een rechte lijn die door de punten A en B gaat:

We krijgen driehoeken 1 en 2, ze zijn gelijk aan de zijde en de hoeken ernaast (het tweede teken van gelijkheid van driehoeken). Dit betekent dat het resulterende segment (in de schets is dit blauw aangegeven) gelijk is aan de bovenste basis van het trapezium.

Beschouw nu de driehoek:

* De middellijn van deze trapezium en de middellijn van de driehoek vallen samen.

Het is bekend dat een driehoek gelijk is aan de helft van zijn parallelle basis, dat wil zeggen:

Oké, heb het geregeld. Nu over het gebied van de trapezium.

Formule trapeziumoppervlak:

Ze zeggen: de oppervlakte van een trapezium is gelijk aan het product van de halve som van de bases en de hoogte.

Dat wil zeggen, het blijkt dat het gelijk is aan het product van de middellijn en de hoogte:

Je hebt waarschijnlijk al gemerkt dat dit duidelijk is. Geometrisch kan dit als volgt worden uitgedrukt: als we driehoeken 2 en 4 mentaal afsnijden van het trapezium en ze respectievelijk op driehoeken 1 en 3 plaatsen:

Dan krijgen we een rechthoek die qua oppervlakte gelijk is aan de oppervlakte van onze trapezium. Het gebied van deze rechthoek is gelijk aan het product van de middellijn en de hoogte, dat wil zeggen, we kunnen schrijven:

Maar het gaat natuurlijk niet om de opname, maar om het begrijpen.

Download (bekijk) artikelmateriaal in *pdf formaat

Dat is alles. Succes voor jou!

Met vriendelijke groet, Alexander.