Pošto su naznačene površine respektivno jednake

SΔOAC=0,5∙O.C.∙O.A.∙sin α= 0.5sinα, S sect. OAC = 0,5∙O.C. 2 ∙α=0,5α, SΔOBC=0,5∙O.C.∙BC= 0.5tgα.

dakle,

sin α< α < tg α.

Podijelimo sve članove nejednakosti sa sin α > 0: .

Ali . Stoga, na osnovu teoreme 4 o granicama, zaključujemo da se izvedena formula naziva prva izuzetna granica.

Dakle, prva izuzetna granica služi za otkrivanje neizvjesnosti. Imajte na umu da rezultirajuću formulu ne treba brkati s ograničenjima Primjeri.

11.Limit i njegove povezane granice.

DRUGA Izvanredna GRANICA

Druga izuzetna granica služi za otkrivanje nesigurnosti od 1 ∞ i izgleda ovako:

Obratimo pažnju na činjenicu da u formuli za drugu izuzetnu granicu eksponent mora sadržavati izraz inverzan onom koji se dodaje jedinici u bazi (pošto je u ovom slučaju moguće uvesti promjenu varijabli i smanjiti traženu granicu na drugu izuzetnu granicu)

Primjeri.

1. Funkcija f(x)=(x-1) 2 je beskonačno malo u x→1, budući da (vidi sliku).

2. Funkcija f(x)= tg x– beskonačno malo pri x→0.

3. f(x)= log(1+ x) – beskonačno mali at x→0.

4. f(x) = 1/x– beskonačno malo pri x→∞.

Hajde da uspostavimo sledeći važan odnos:

Teorema. Ako je funkcija y=f(x) reprezentativan sa x→a kao zbir konstantnog broja b i beskonačno male veličine α(x): f (x)=b+ α(x) To .

Obrnuto, ako , tada f (x)=b+α(x), Gdje sjekira)– beskonačno malo pri x→a.

Dokaz.

1. Dokažimo prvi dio tvrdnje. Od jednakosti f(x)=b+α(x) trebalo bi |f(x) – b|=| α|. Ali pošto sjekira) je beskonačno mala, onda za proizvoljno ε postoji δ – susjedstvo tačke a, pred svima x od kojih, vrednosti sjekira) zadovoljiti odnos |α(x)|< ε. Onda |f(x) – b|< ε. A to znači da .

2. Ako , tada za bilo koje ε >0 za sve X iz neke δ – okoline tačke aće |f(x) – b|< ε. Ali ako označimo f(x) – b= α, To |α(x)|< ε, što znači da a– beskonačno mali.

Razmotrimo osnovna svojstva infinitezimalnih funkcija.

Teorema 1. Algebarski zbir dva, tri i općenito bilo koji konačan broj infinitezimala je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Dajemo dokaz za dva člana. Neka f(x)=α(x)+β(x), gdje i . Moramo dokazati da za bilo koje proizvoljno malo ε > 0 pronađeno δ> 0, tako da za x, zadovoljavajući nejednakost |x – a|<δ , izvedeno |f(x)|< ε.

Dakle, popravimo proizvoljan broj ε > 0. Pošto prema uslovima teoreme α(x) je infinitezimalna funkcija, onda postoji takva δ 1 > 0, što je |x – a|< δ 1 imamo |α(x)|< ε / 2. Isto tako, pošto β(x) je beskonačno mala, onda postoji takvo δ 2 > 0, što je |x – a|< δ 2 imamo | β(x)|< ε / 2.

Uzmimo δ=min(δ 1 , δ2 } .Onda u blizini tačke a radijus δ svaka od nejednakosti će biti zadovoljena |α(x)|< ε / 2 i | β(x)|< ε / 2. Dakle, u ovom naselju će ih biti

|f(x)|=| α(x)+β(x)| ≤ |α(x)| + | β(x)|< ε /2 + ε /2= ε,

one. |f(x)|< ε, što je trebalo dokazati.

Teorema 2. Proizvod infinitezimalne funkcije sjekira) za ograničenu funkciju f(x) at x→a(ili kada x→∞) je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Od funkcije f(x) je ograničen, onda postoji broj M tako da za sve vrijednosti x iz nekog komšiluka tačke a|f(x)|≤M.Štaviše, pošto sjekira) je infinitezimalna funkcija na x→a, tada za proizvoljno ε > 0 postoji susjedstvo tačke a, u kojem će vrijediti nejednakost |α(x)|< ε /M. Zatim u manjem od ovih naselja koje imamo | αf|< ε /M= ε. A to znači to af– beskonačno mali. Za tu priliku x→∞ dokazivanje se izvodi na sličan način.

Iz dokazane teoreme slijedi:

Zaključak 1. Ako i , onda

Zaključak 2. Ako c= const, zatim .

Teorema 3. Omjer infinitezimalne funkcije α(x) po funkciji f(x), čija je granica različita od nule, je infinitezimalna funkcija.

Dokaz. Neka . Zatim 1 /f(x) postoji ograničena funkcija. Dakle, razlomak je proizvod infinitezimalne funkcije i ograničene funkcije, tj. funkcija je beskonačno mala.

Primjeri.

1. Jasno je da kada x→+∞ funkcija y=x 2 + 1 je beskonačno veliko. Ali onda, prema gore formuliranoj teoremi, funkcija je infinitezimalna u x→+∞, tj. .

Obrnuta teorema se također može dokazati.

Teorema 2. Ako je funkcija f(x)- beskonačno mali at x→a(ili x→∞) i onda ne nestaje y= 1/f(x) je beskonačno velika funkcija.

Provedite sami dokaz teoreme.

Primjeri.

3. , budući da su funkcije i infinitezime na x→+∞, dakle, kao što je zbroj infinitezimalnih funkcija infinitezimalna funkcija. Funkcija je zbir konstantnog broja i infinitezimalne funkcije. Posljedično, teoremom 1 za infinitezimalne funkcije dobivamo traženu jednakost.

Dakle, najjednostavnija svojstva infinitezimalnih i beskonačno velikih funkcija mogu se napisati korištenjem sljedećih uvjetnih odnosa: A≠ 0

13. Infinitezimalne funkcije istog reda, ekvivalentne infinitezimale.

Infinitezimalne funkcije i nazivaju se infinitezimalnimi istog reda malenosti ako , Označite . I konačno, ako ne postoji, onda su infinitezimalne funkcije neuporedive.

PRIMJER 2. Poređenje infinitezimalnih funkcija

Ekvivalentne infinitezimalne funkcije.

Ako je , tada se pozivaju infinitezimalne funkcije ekvivalentno, označavamo ~ .

Lokalno ekvivalentne funkcije:

Kada ako

Neke ekvivalentnosti(u ):

Jednostrane granice.

Do sada smo razmatrali određivanje granice funkcije kada x→a na proizvoljan način, tj. granica funkcije nije zavisila od toga kako se nalazi x prema a, lijevo ili desno od a. Međutim, prilično je uobičajeno pronaći funkcije koje nemaju ograničenja pod ovim uvjetom, ali imaju ograničenje ako x→a, ostajući na jednoj strani A, lijevo ili desno (vidi sliku). Stoga se uvode koncepti jednostranih granica.

Ako f(x) teži krajnjim granicama b at x teži određenom broju a Dakle x prihvata samo vrijednosti manje od a, onda pišu i zovu kraj funkcije f(x) u tački a na lijevoj strani.

Dakle, broj b zove se granica funkcije y=f(x) at x→a na lijevoj strani, ako je bilo koji pozitivan broj ε, postoji takav broj δ (manji a

Isto tako, ako x→a i poprima velike vrijednosti a, onda pišu i zovu b granica funkcije u tački A desno. One. broj b pozvao granica funkcije y=f(x) kao x→a desno, ako je koji god pozitivan broj ε, postoji takav broj δ (veći A) da nejednakost važi za sve.

Imajte na umu da ako su granice lijevo i desno u tački a za funkciju f(x) ne poklapaju, tada funkcija nema ograničenja (dvostrano) u tački A.

Primjeri.

1. Razmotrite funkciju y=f(x), definisan na segmentu kako slijedi

Nađimo granice funkcije f(x) at x→ 3. Očigledno, i

Drugim riječima, za bilo koji proizvoljno mali broj epsilona postoji delta broj koji zavisi od epsilona takav da iz činjenice da za bilo koji x koji zadovoljava nejednakost slijedi da će razlike u vrijednostima funkcije u tim točkama biti proizvoljno mali.

Kriterijum za kontinuitet funkcije u tački:

Funkcijaće kontinuirano u tački A ako i samo ako je kontinuirano u tački A i s desne i s lijeve strane, odnosno, tako da u tački A postoje dvije jednostrane granice, one su jedna drugoj jednake i jednake vrijednosti funkcija u tački A.

Definicija 2: Funkcija je kontinuirana na skupu ako je kontinuiran u svim tačkama ovog skupa.

Derivat funkcije u tački

Neka su dana definirani u susjedstvu. Hajde da razmotrimo

Ako ovo ograničenje postoji, onda se poziva izvod funkcije f u tački .

Derivat funkcije– granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, kada se argument povećava.

Operacija izračunavanja ili pronalaženja derivacije u tački se zove diferencijaciju .

Pravila diferencijacije.

Derivat funkcije f(x) u tački x=x 0 naziva se omjer priraštaja funkcije u ovoj tački i priraštaja argumenta, budući da potonji teži nuli. Pronalaženje izvoda se naziva diferencijaciju. Izvod funkcije se izračunava pomoću opšte pravilo diferencijacija: Označimo f(x) = u, g(x) = v- funkcije koje se mogu razlikovati u jednoj tački X. Osnovna pravila diferencijacije 1) (izvod zbroja jednak je zbroju njegovih derivacija) 2) (odavde, posebno, slijedi da je izvod proizvoda funkcije i konstante jednak umnošku izvoda ove funkcija i konstanta) 3) Derivat količnika: , ako je g  0 4) Derivat kompleksne funkcije: 5) Ako je funkcija specificirana parametarski: , tada

Primjeri.

1. y = x a – funkcija snage sa proizvoljnim indikatorom.

Implicitna funkcija

Ako je funkcija data jednadžbom y=ƒ(x), razriješena u odnosu na y, tada je funkcija data u eksplicitnom obliku (eksplicitna funkcija).

Ispod implicitni zadatak funkcije razumiju definiciju funkcije u obliku jednadžbe F(x;y)=0, koja nije riješena u odnosu na y.

Bilo koja eksplicitno data funkcija y=ƒ (x) može se napisati kao implicitno data jednadžbom ƒ(x)-y=0, ali ne i obrnuto.

Nije uvijek lako, a ponekad i nemoguće, riješiti jednačinu za y (na primjer, y+2x+cozy-1=0 ili 2 y -x+y=0).

Ako je implicitna funkcija data jednadžbom F(x; y) = 0, tada za pronalaženje derivacije y u odnosu na x nema potrebe rješavati jednadžbu s obzirom na y: dovoljno je razlikovati ovu jednačinu s obzirom na x, dok se y smatra funkcijom od x, a zatim riješite rezultirajuću jednačinu za y."

Derivat implicitne funkcije izražava se u terminima argumenta x i funkcije y.

primjer:

Naći derivaciju funkcije y, datu jednadžbom x 3 + y 3 -3xy = 0.

Rješenje: Funkcija y je specificirana implicitno. U odnosu na x razlikujemo jednakost x 3 + y 3 -3xy = 0. Iz rezultirajuće relacije

3x 2 +3y 2 y"-3(1 y+x y")=0

slijedi da je y 2 y"-xy"=y-x 2, tj. y"=(y-x 2)/(y 2 -x).

Derivati ​​višeg reda

Jasno je da je derivat

funkcije y=f(x) postoji i funkcija iz x:

y" =f " (x)

Ako je funkcija f" (x) je diferencibilan, onda se njegov izvod označava simbolom y"" =f "" (x) x dvaput.
Izvod drugog izvoda, tj. funkcije y""=f""(x), zvao treći izvod funkcije y=f(x) ili izvod funkcije f(x) trećeg reda i označen je simbolima

Uopšte n-i derivat ili derivat n funkcija reda y=f(x) označeno simbolima

Phil Leibniz:

Pretpostavimo da su funkcije i diferencijabilne zajedno sa svojim derivatima do n-tog reda uključujući. Primjenom pravila za diferenciranje umnožaka dviju funkcija dobijamo

Uporedimo ove izraze sa snagama binoma:

Pravilo korespondencije je upečatljivo: da biste dobili formulu za derivaciju 1., 2. ili 3. reda proizvoda funkcija i , morate zamijeniti potencije i u izrazu za (gdje n= 1,2,3) derivati ​​odgovarajućih redova. Pored toga, nulte moći veličina i treba da budu zamenjene derivatima nultog reda, što podrazumeva funkcije i:

Uopštavanje ovog pravila na slučaj derivata proizvoljnog reda n, dobijamo Leibnizova formula,

gdje su binomni koeficijenti:

Rolleova teorema.

Ova teorema omogućava pronalaženje kritičnih tačaka i zatim, koristeći dovoljne uslove, ispitivanje ekstrema funkcije.

Neka je 1) f(x) definisan i kontinuiran na nekom zatvorenom intervalu; 2) postoji konačan izvod, barem u otvorenom intervalu (a;b); 3) na krajevima intervala f-i uzima jednake vrijednosti f(a) = f(b). Tada između tačaka a i b postoji tačka c takva da će izvod u ovoj tački biti = 0.

Prema teoremi o svojstvu funkcija koje su neprekidne na intervalu, funkcija f(x) poprima svoje maksimalne i min vrijednosti na ovom intervalu.

f(x 1) = M – max, f(x 2) = m – min; x 1 ;x 2 O

1) Neka je M = m, tj. m £ f(x) £ M

Þ f(x) će uzeti konstantne vrijednosti na intervalu od a do b, a Þ njegov izvod će biti jednak nuli. f’(x)=0

2) Neka je M>m

Jer prema uslovima teoreme f(a) = f(b) Þ njen najmanji ili najveći vrijednost f-i neće uzeti na krajevima segmenta, ali će Þ uzeti M ili m u unutrašnjoj tački ovog segmenta. Tada je, prema Fermatovoj teoremi, f’(c)=0.

Lagrangeova teorema.

Formula konačnog prirasta ili Lagrangeova teorema srednje vrijednosti navodi da ako je funkcija f je kontinuiran na intervalu [ a;b] i diferencibilan u intervalu ( a;b), onda postoji tačka takva da

Cauchyjev teorem.

Ako su funkcije f(x) i g(x) kontinuirane na intervalu i diferencibilne na intervalu (a, b) i g¢(x) ¹ 0 na intervalu (a, b), tada postoji barem jedan tačka e, a< e < b, такая, что

One. omjer prirasta funkcija na datom segmentu jednak je omjeru izvoda u tački e. Primjeri rješavanja zadataka tok predavanja Izračunavanje zapremine tijela pomoću poznati trgovi njegov paralelne sekcije Integralni račun

Primjeri izvođenja rad na kursu Elektrotehnika

Za dokazivanje ove teoreme, na prvi pogled je vrlo zgodno koristiti Lagrangeov teorem. Zapišite formulu konačne razlike za svaku funkciju, a zatim ih podijelite jednu s drugom. Međutim, ova ideja je pogrešna, jer tačka e za svaku funkciju je općenito drugačija. Naravno, u nekim posebnim slučajevima može se pokazati da je ova tačka intervala ista za obje funkcije, ali to je vrlo rijetka slučajnost, a ne pravilo, pa se stoga ne može koristiti za dokazivanje teoreme.

Dokaz. Razmotrite pomoćnu funkciju

Kako je x→x 0, vrijednost c također teži x 0; Idemo do granice u prethodnoj jednakosti:

Jer , To .

Zbog toga

(granica omjera dva infinitezimala jednaka je granici omjera njihovih derivacija, ako potonji postoji)

L'Hopitalovo pravilo, na ∞/∞.

Funkciju y=f(x) OGRANIČENO GORNJE (DONJE) na skupu A iz domene definicije D(f) zvaćemo ako takav broj postoji M , da je za bilo koji x iz ovog skupa uslov zadovoljen

Koristeći logičke simbole, definicija se može napisati kao:

f(x) – ograničen iznad na setu

(f(x) – ograničeno odozdo na setu

Funkcije ograničene u modulu ili jednostavno ograničene se također uvode u razmatranje.

Pozvat ćemo funkciju OGRANIČENU na skupu A iz domene definicije ako postoji pozitivan broj M takav da

Jezikom logičkih simbola

f(x) – ograničeno na setu

Funkcija koja nije ograničena naziva se neograničena. Znamo da definicije date kroz negaciju imaju malo sadržaja. Da bismo ovu izjavu formulisali kao definiciju, koristimo svojstva kvantifikatorskih operacija (3.6) i (3.7). Tada će negiranje ograničenosti funkcije na jeziku logičkih simbola dati:

f(x) – ograničeno na setu

Dobiveni rezultat nam omogućava da formuliramo sljedeću definiciju.

Funkcija se naziva NEOGRANIČENA na skupu A koji pripada domeni definicije funkcije ako na ovom skupu za bilo koji pozitivan broj M postoji takva vrijednost argumenta x , da će vrijednost ipak premašiti vrijednost M, tj.

Kao primjer, razmotrite funkciju

Definiran je na cijeloj realnoj osi. Ako uzmemo segment [–2;1] (skup A), onda će na njemu biti ograničen i odozgo i odozdo.

Zaista, da bismo pokazali da je ograničen odozgo, moramo razmotriti predikat

i pokazati da postoji (postoji) takvo M da će za sve x uzeto na intervalu [–2;1] biti tačno

Pronalaženje takvog M nije teško. Možemo pretpostaviti da je M = 7, kvantifikator postojanja uključuje pronalaženje barem jedne vrijednosti M. Prisustvo takvog M potvrđuje činjenicu da je funkcija na intervalu [–2;1] ograničena odozgo.

Da bismo dokazali da je ograničen odozdo, moramo razmotriti predikat

Vrijednost M koja osigurava istinitost datog predikata je, na primjer, M = –100.

Može se dokazati da će funkcija također biti ograničena u modulu: za sve x iz segmenta [–2;1], vrijednosti funkcije se poklapaju sa vrijednostima , pa kao M možemo uzeti za na primjer, prethodna vrijednost M = 7.

Pokažimo da će ista funkcija, ali na intervalu, biti neograničena, tj

Da biste pokazali da takav x postoji, razmotrite izjavu

Pronalaženje traženih vrijednosti x među pozitivne vrijednosti argument, dobijamo

To znači da bez obzira na to koje pozitivno M uzmemo, vrijednosti x osiguravaju ispunjenje nejednakosti

se dobijaju iz relacije .

Razmatrajući funkciju na cijeloj realnoj osi, može se pokazati da je neograničena u apsolutnoj vrijednosti.

Zaista, iz nejednakosti

To jest, bez obzira koliko je veliko pozitivno M, ili će osigurati ispunjenje nejednakosti .

EKSTREMNA FUNKCIJA.

Funkcija ima u točki With lokalni maksimum (minimum), ako postoji takva okolina ove tačke da za x¹ With iz ovog susjedstva vrijedi nejednakost

posebno što tačka ekstrema može biti samo unutrašnja tačka intervala i f(x) u njoj mora nužno biti definisana. Mogući slučajevi odsustva ekstremuma prikazani su na Sl. 8.8.

Ako se funkcija povećava (smanjuje) u određenom intervalu i smanjuje (povećava) u određenom intervalu, tada je tačka With je lokalna maksimalna (minimalna) tačka.

Odsustvo maksimuma funkcije f(x) u tački With može se formulisati ovako:

_______________________

f(x) ima maksimum u tački c

To znači da ako tačka c nije lokalna maksimalna tačka, onda bez obzira na susjedstvo koje uključuje tačku c kao internu, postojat će barem jedna vrijednost x koja nije jednaka c za koju . Dakle, ako nema maksimuma u tački c, tada u ovoj tački možda uopće nema ekstrema, ili može biti minimalna tačka (slika 8.9).

Koncept ekstrema daje komparativnu procjenu vrijednosti funkcije u bilo kojoj tački u odnosu na obližnje. Slično poređenje vrijednosti funkcije može se provesti za sve točke određenog intervala.

MAKSIMALNA (NAJMANJA) vrijednost funkcije na skupu je njena vrijednost u tački iz ovog skupa tako da je – u . Najveća vrijednost funkcije postiže se u unutrašnjoj tački segmenta, a najmanja – na njegovom lijevom kraju.

Da biste odredili najveću (najmanju) vrijednost funkcije specificirane na intervalu, potrebno je odabrati najveći (najmanji) broj među svim vrijednostima njenih maksimuma (minimuma), kao i vrijednosti koje su prihvaćene na krajevima intervala. Ovo će biti najveća (najmanja) vrijednost funkcije. Ovo pravilo će biti pojašnjeno kasnije.

Problem pronalaženja najvećeg i najniže vrijednosti funkcije na otvorenom intervalu nije uvijek lako riješiti. Na primjer, funkcija

u intervalu (slika 8.11) ih nema.

Uvjerimo se, na primjer, da ova funkcija nema najveći značaj. Zapravo, uzimajući u obzir monotonost funkcije, može se tvrditi da bez obzira koliko blizu postavimo vrijednosti x lijevo od jedinice, postojati će drugi x u kojima će vrijednosti funkcije biti veći od njegovih vrijednosti u datim fiksnim tačkama, ali ipak manji od jedan.

Napomena: sve definicije uključuju numerički skup X, koji je dio domene funkcije: X sa D(f). U praksi se najčešće javljaju slučajevi kada je X numerički interval (segment, interval, zraka itd.).

Definicija 1.

Kaže se da je funkcija y = f(x) rastuća na skupu X sa D(f) ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , выполняется неравенство f(х 1 < f(х 2).

Definicija 2.

Kaže se da je funkcija y = f(x) opadajuća na skupu X sa D(f) ako je za bilo koje dvije točke x 1 i x 2 skupa X takve da je x 1< х 2 , функции выполняется неравенство f(x 1) >f(x 2).

U praksi je prikladnije koristiti sljedeće formulacije: funkcija se povećava ako veća vrijednost argument odgovara većoj vrijednosti funkcije; funkcija se smanjuje ako veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

U 7. i 8. razredu koristili smo sljedeću geometrijsku interpretaciju pojmova povećanja ili smanjenja funkcije: krećući se po grafikonu rastuće funkcije s lijeva na desno, kao da se penjemo na brdo (Sl. 55); krećući se po grafu opadajuće funkcije s lijeva na desno, kao da se spuštamo niz brdo (Sl. 56).
Obično se kombinuju pojmovi „funkcija povećanja“ i „funkcija opadanja“. uobičajeno ime monotonu funkciju, a proučavanje funkcije za povećanje ili smanjenje naziva se proučavanje funkcije za monotonost.

Zapazimo još jednu okolnost: ako se funkcija povećava (ili smanjuje) u svojoj prirodnoj domeni definicije, tada obično kažemo da se funkcija povećava (ili opada) - bez navođenja numeričkog skupa X.

Primjer 1.

Ispitajte monotonost funkcije:

A) y = x 3 + 2; b) y = 5 - 2x.

Rješenje:

a) Uzmite proizvoljne vrijednosti argumenta x 1 i x 2 i neka je x 1<х 2 . Тогда, по свойствам числовых неравенств (мы с вами изучали их в курсе алгебры 8-го класса), будем иметь:

Posljednja nejednakost znači da je f(x 1)< f(х 2). Итак, из х 1 < х 2 следует f{х 1) < f(х 2), а это означает, что заданная функция возрастает (на всей числовой прямой).

Dakle, od x 1< х 2 следует f(х 1) >f(x 2), što znači da je data funkcija opadajuća (na cijeloj brojevnoj pravoj).

Definicija 3.

Kaže se da je funkcija y - f(x) ograničena odozdo na skupu X sa D(f) ako su sve vrijednosti funkcije na skupu X veće od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj m takav da je za bilo koju vrijednost x ê X nejednakost f( x) >m).

Definicija 4.

Kaže se da je funkcija y = f(x) ograničena odozgo na skupu X sa D(f) ako su sve vrijednosti funkcije manje od određenog broja (drugim riječima, ako postoji broj M takav da za bilo koju vrijednost x ê X vrijedi nejednakost f(x).< М).

Ako skup X nije specificiran, onda se podrazumijeva da se radi o tome da je funkcija ograničena odozdo ili odozgo u cijelom domenu definicije.

Ako je funkcija ograničena i odozdo i odozgo, onda se naziva ograničenom.

Ograničenost funkcije se lako očitava iz njenog grafika: ako je funkcija ograničena odozdo, onda se njen graf u potpunosti nalazi iznad određene horizontalne linije y = m (Sl. 57); ako je funkcija ograničena odozgo, onda se njen graf u potpunosti nalazi ispod neke horizontalne linije y = M (slika 58).

Primjer 2. Ispitati ograničenost funkcije
Rješenje. S jedne strane, nejednakost je sasvim očigledna (po definiciji kvadratni korijen To znači da je funkcija ograničena odozdo. S druge strane, imamo i stoga
To znači da je funkcija gornje ograničena. Sada pogledajte grafikon datu funkciju(Sl. 52 iz prethodnog stava). Ograničenje funkcije i iznad i ispod može se prilično lako pročitati iz grafa.

Definicija 5.

Broj m naziva se najmanja vrijednost funkcije y = f(x) na skupu X C D(f) ako:

1) u X postoji tačka x 0 takva da je f(x 0) = m;

2) za sve x iz X vrijedi nejednakost m>f(x 0).

Definicija 6.

Broj M naziva se najveća vrijednost funkcije y = f(x) na skupu X C D(f), ako:
1) u X postoji tačka x 0 takva da je f(x 0) = M;
2) za sve x iz X nejednakost
Najmanju vrijednost funkcije u 7. i 8. razredu označili smo simbolom y, a najveću simbolom y.

Ako skup X nije specificiran, onda se pretpostavlja da je riječ o pronalaženju najmanje ili najveće vrijednosti funkcije u cijeloj domeni definicije.

Sljedeće korisne izjave su prilično očigledne:

1) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena ispod.
2) Ako funkcija ima Y, onda je ograničena iznad.
3) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda Y ne postoji.
4) Ako funkcija nije ograničena iznad, onda Y ne postoji.

Primjer 3.

Pronađite najmanju i najveću vrijednost funkcije
Rješenje.

Sasvim je očigledno, posebno ako koristite graf funkcije (slika 52), da je = 0 (funkcija dostiže ovu vrijednost u tačkama x = -3 i x = 3), a = 3 (funkcija dostiže ovu vrijednost u x = 0.
U 7. i 8. razredu spomenuli smo još dva svojstva funkcija. Prvi se zvao svojstvo konveksnosti funkcije. Funkcija se smatra konveksnom nadole na intervalu X ako, povezivanjem bilo koje dve tačke njenog grafa (sa apscisama od X) sa pravolinijskim segmentom, nalazimo da odgovarajući deo grafika leži ispod nacrtanog segmenta (sl. 59). kontinuitet Funkcija je konveksna nagore na intervalu X ako, povezivanjem bilo koje dvije točke njenog grafa (sa apscisama od X) funkcije s ravnim segmentom, nalazimo da odgovarajući dio grafa leži iznad nacrtanog segmenta ( Slika 60).

Drugo svojstvo - kontinuitet funkcije na intervalu X - znači da je graf funkcije na intervalu X kontinuiran, tj. nema uboda ili skokova.

Komentar.

U stvari, u matematici je sve, kako kažu, „potpuno suprotno“: graf funkcije se prikazuje kao puna linija (bez uboda ili skokova) samo kada se dokaže kontinuitet funkcije. Ali formalna definicija kontinuitet funkcije, koji je prilično složen i suptilan, još nije u našim mogućnostima. Isto se može reći i za konveksnost funkcije. Kada govorimo o ova dva svojstva funkcija, nastavit ćemo se oslanjati na vizualne i intuitivne koncepte.

Pogledajmo sada naše znanje. Prisjećajući se funkcija koje smo učili u 7. i 8. razredu, razjasnimo kako izgledaju njihovi grafovi i navedemo svojstva funkcije, pridržavajući se određenog reda, na primjer ovo: domen definicije; monotono; ograničenje; , ; kontinuitet; domet; konveksan.

Nakon toga će se pojaviti nova svojstva funkcija, a lista svojstava će se u skladu s tim promijeniti.

1. Konstantna funkcija y = C

Grafikon funkcije y = C prikazan je na sl. 61 - prava linija, paralelna sa x osom. Ovo je toliko nezanimljiva karakteristika da nema smisla nabrajati njena svojstva.

Grafikon funkcije y = kx + m je prava linija (sl. 62, 63).

Svojstva funkcije y = kx + m:

1)
2) raste ako je k > 0 (slika 62), smanjuje se ako je k< 0 (рис. 63);

4) ne postoji ni najveća ni najmanja vrednost;
5) funkcija je kontinuirana;
6)
7) nema smisla govoriti o konveksnosti.

Graf funkcije y = kx 2 je parabola sa vrhom u početku i sa granama usmerenim nagore ako je k > O (slika 64), a nadole ako je k< 0 (рис. 65). Прямая х = 0 (ось у) является осью параболы.

Svojstva funkcije y - kx 2:

Za slučaj k> 0 (slika 64):

1) D(f) = (-oo,+oo);


4) = ne postoji;
5) kontinuirano;
6) E(f) = funkcija opada, a na intervalu opada na zraku;
7) konveksan prema gore.

Grafikon funkcije y = f(x) je iscrtan tačku po tačku; Što više tačaka oblika (x; f(x)) uzmemo, to ćemo dobiti precizniju ideju o grafu. Ako uzmete mnogo ovih tačaka, onda ćete dobiti potpuniju sliku grafa. Upravo u ovom slučaju intuicija nam govori da graf treba prikazati kao punu liniju (u ovom slučaju, u obliku parabole). A onda, čitajući graf, donosimo zaključke o kontinuitetu funkcije, o njenoj konveksnosti prema dolje ili prema gore, o rasponu vrijednosti funkcije. Morate shvatiti da su od navedenih sedam svojstava samo svojstva 1), 2), 3), 4) „legitimna“ – „legitimna“ u smislu da smo u mogućnosti da ih opravdamo pozivanjem na precizne definicije. Imamo samo vizualne i intuitivne ideje o preostalim svojstvima. Usput, u ovome nema ništa loše. Iz istorije razvoja matematike poznato je da je čovečanstvo često i dugo koristilo razna svojstva određene objekte bez znanja precizne definicije. Onda, kada su takve definicije mogle da se formulišu, sve je došlo na svoje mesto.

Grafikon funkcije je hiperbola, a koordinatne ose služe kao asimptote hiperbole (sl. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+oo);
2) ako je k > 0, tada funkcija opada na otvorenom zraku (-oo, 0) i na otvorenom zraku (0, +oo) (Sl. 66); ako da< 0, то функция возрастает на (-оо, 0) и на (0, +оо) (рис. 67);
3) nije ograničen ni odozdo ni odozgo;
4) ne postoji ni najmanja ni najveća vrednost;
5) funkcija je kontinuirana na otvorenom zraku (-oo, 0) i na otvorenom zraku (0, +oo);
6) E(f) = (-oo,0) U (0,+oo);
7) ako je k > 0, tada je funkcija konveksna prema gore na x< 0, т.е. на открытом луче (-оо, 0), и выпукла вниз при х >0, tj. na otvorenoj gredi (0, +oo) (Sl. 66). Ako da< 0, то функция выпукла вверх при х >O i konveksan prema dolje na x< О (рис. 67).
Graf funkcije je grana parabole (slika 68). Svojstva funkcije:
1) D(f) = , raste na zraku. Na ovom segmentu $16-x^2≤16$ ili $\sqrt(16-x^2)≤4$, ali to znači ograničeno odozgo.
Odgovor: naša funkcija je ograničena na dvije prave $y=0$ i $y=4$.

Najviša i najniža vrijednost

Najmanja vrijednost funkcije y= f(x) na skupu X⊂D(f) je neki broj m takav da je:

b) Za bilo koje hϵH vrijedi $f(x)≥f(x0)$.

Najveća vrijednost funkcije y=f(x) na skupu X⊂D(f) je neki broj m takav da je:
a) Postoji neki x0 takav da je $f(x0)=m$.
b) Za bilo koje hϵH vrijedi $f(x)≤f(x0)$.

Najveća i najmanja vrijednost obično se označavaju sa y max. i y ime .

Koncepti ograničenosti i najveće s najmanjom vrijednošću funkcije su usko povezani. Sljedeće izjave su tačne:
a) Ako postoji minimalna vrijednost za funkciju, onda je ona ograničena ispod.
b) Ako funkcija ima najveću vrijednost, onda je ograničena iznad.
c) Ako funkcija nije ograničena iznad, onda najveća vrijednost ne postoji.
d) Ako funkcija nije ograničena ispod, onda najmanja vrijednost ne postoji.

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $y=\sqrt(9-4x^2+16x)$.
Rješenje: $f(x)=y=\sqrt(9-4x^2+16x)=\sqrt(9-(x-4)^2+16)=\sqrt(25-(x-4)^2 )≤5$.
Za $h=4$ $f(4)=5$, za sve ostale vrijednosti funkcija uzima manje vrijednosti ili ne postoji, odnosno ovo je najveća vrijednost funkcije.
Po definiciji: $9-4x^2+16x≥0$. Hajde da nađemo korene kvadratni trinom$(2h+1)(2h-9)≥0$. Na $x=-0.5$ i $x=4.5$ funkcija nestaje; u svim ostalim tačkama ona Iznad nule. Tada je, po definiciji, najmanja vrijednost funkcije jednaka nuli.
Odgovor: y max. =5 i y ime. =0.

Ljudi, također smo proučavali koncept konveksnosti funkcije. Prilikom rješavanja nekih problema može nam zatrebati ova nekretnina. Ovo svojstvo se također lako utvrđuje pomoću grafova.

Funkcija je konveksna prema dolje ako su bilo koje dvije točke na grafu izvorne funkcije povezane, a graf funkcije je ispod linije spajanja tačaka.

Funkcija je konveksna prema gore ako su bilo koje dvije točke na grafu izvorne funkcije povezane i graf funkcije je iznad linije spajanja tačaka.

Funkcija je kontinuirana ako graf naše funkcije nema prekida, na primjer, kao što je graf funkcije iznad.

Ako trebate pronaći svojstva funkcije, redoslijed traženja svojstava je sljedeći:
a) Područje definicije.
b) Monotonija.
c) Ograničenje.
d) Najveća i najmanja vrijednost.
d) Kontinuitet.
e) Raspon vrijednosti.

Pronađite svojstva funkcije $y=-2x+5$.
Rješenje.
a) Područje definicije D(y)=(-∞;+∞).
b) Monotonija. Provjerimo bilo koje vrijednosti x1 i x2 i neka x1< x2.
$f(x1)=-2x1+2$.
$f(x2)=-2x2+2$.
Od x1< x2, то f(x1) < f(x2), то есть большему значению аргумента, соответствует меньшее значение функции. Функция убывает.
c) Ograničenje. Očigledno da funkcija nije ograničena.
d) Najveća i najmanja vrijednost. Pošto je funkcija neograničena, ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
d) Kontinuitet. Graf naše funkcije nema prekida, tada je funkcija kontinuirana.
e) Raspon vrijednosti. E(y)=(-∞;+∞).

Zadaci o svojstvima funkcije za nezavisno rješenje