1.5 Trigonometrinės nelygybės ir jų sprendimo būdai

1.5.1 Paprastų trigonometrinių nelygybių sprendimas

Dauguma šiuolaikinių matematikos vadovėlių autorių siūlo pradėti svarstyti šią temą sprendžiant paprasčiausias trigonometrines nelygybes. Paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo principas grindžiamas žiniomis ir įgūdžiais, kaip trigonometriniame apskritime nustatyti ne tik pagrindinių trigonometrinių kampų, bet ir kitų verčių reikšmes.

Tuo tarpu formos , , , nelygybių sprendimas gali būti atliktas taip: pirmiausia randame tam tikrą intervalą (), kuriame ši nelygybė tenkinama, o tada užrašome galutinį atsakymą, prie rasto intervalo galų pridėdami a. skaičius, kuris yra sinuso arba kosinuso periodo kartotinis: ( ). Šiuo atveju vertę nesunku rasti, nes arba . Prasmės ieškojimas grindžiamas mokinių intuicija, gebėjimu pastebėti lankų ar atkarpų lygybę, naudojant simetriją. atskiros dalys sinuso arba kosinuso grafikas. Ir tai kartais nepajėgia gana daug studentų. Siekiant įveikti pastebėtus sunkumus vadovėliuose pastaraisiais metais sprendžiant paprasčiausias trigonometrines nelygybes buvo naudojami skirtingi metodai, tačiau tai nepagerino mokymosi rezultatų.

Jau eilę metų gana sėkmingai naudojame atitinkamų lygčių šaknų formules, kad rastume trigonometrinių nelygybių sprendimus.

Mes nagrinėjame šią temą tokiu būdu:

1. Sudarome grafikus ir y = a, darydami prielaidą, kad .

Tada užrašome lygtį ir jos sprendimą. Suteikimas n 0; 1; 2, randame tris sudarytos lygties šaknis: . Reikšmės yra trijų iš eilės einančių grafikų susikirtimo taškų abscisės ir y = a. Akivaizdu, kad nelygybė visada galioja intervale (), o nelygybė visada galioja intervale ().

Prie šių intervalų galų pridėjus skaičių, kuris yra sinuso periodo kartotinis, pirmuoju atveju gauname formos nelygybės sprendinį: ; o antruoju atveju – formos nelygybės sprendimas:

Tik priešingai nei sinusas iš formulės, kuris yra lygties sprendimas, n = 0 gauname dvi šaknis, o trečiąją šaknį, kai n = 1 formoje . Ir vėl, jie yra trys iš eilės grafikų ir grafikų susikirtimo taškų abscisės. Intervale () galioja nelygybė, intervale () nelygybė

Dabar nesunku užrašyti nelygybių ir sprendinius. Pirmuoju atveju gauname: ;

o antroje: .

Apibendrinti. Norėdami išspręsti nelygybę arba, turite sukurti atitinkamą lygtį ir ją išspręsti. Iš gautos formulės raskite ir šaknis ir parašykite atsakymą į nelygybę formoje: .

Sprendžiant nelygybes , iš atitinkamos lygties šaknų formulės randame šaknis ir , o atsakymą į nelygybę užrašome forma: .

Ši technika leidžia išmokyti visus studentus spręsti trigonometrines nelygybes, nes Ši technika visiškai priklauso nuo įgūdžių, kuriuos mokiniai puikiai valdo. Tai įgūdžiai, kaip išspręsti paprastas problemas ir rasti kintamojo reikšmę naudojant formulę. Be to, tampa visiškai nereikalinga kruopščiai išspręsti daugybę pratimų, vadovaujant mokytojui, norint parodyti įvairius samprotavimo būdus, atsižvelgiant į nelygybės ženklą, skaičiaus a modulio reikšmę ir jo ženklą. . O pats nelygybės sprendimo procesas tampa trumpas ir, kas labai svarbu, vienodas.

Kitas privalumas šis metodas Tai leidžia lengvai išspręsti nelygybes net tada, kai dešinioji pusė nėra sinuso arba kosinuso lentelės reikšmė.

Parodykime tai konkrečiu pavyzdžiu. Tarkime, kad turime išspręsti nelygybę. Sukurkime atitinkamą lygtį ir ją išspręskime:

Raskime ir reikšmes.

Kai n = 1

Kai n = 2

Užrašome galutinį atsakymą į šią nelygybę:

Nagrinėjamame paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo pavyzdyje gali būti tik vienas trūkumas - tam tikro formalizmo buvimas. Bet jei viskas bus vertinama tik iš šių pozicijų, tai bus galima apkaltinti šaknines formalizmo formules kvadratinė lygtis, ir visos sprendimo formulės trigonometrines lygtis, ir daug daugiau.

Nors siūlomas metodas užima vertingą vietą formuojant trigonometrinių nelygybių sprendimo įgūdžius, negalima nuvertinti kitų trigonometrinių nelygybių sprendimo metodų svarbos ir ypatybių. Tai apima intervalų metodą.

Panagrinėkime jo esmę.

Rinkinį redagavo A.G. Mordkovičiaus, nors neturėtumėte ignoruoti ir kitų vadovėlių. § 3. Temos „Trigonometrinės funkcijos“ dėstymo metodika algebros eigoje ir analizės pradžia Tiriant trigonometrines funkcijas mokykloje, galima išskirti du pagrindinius etapus: ü Pirminė pažintis su trigonometrinėmis funkcijomis...

Atliekant tyrimą buvo išspręsti šie uždaviniai: 1) Išanalizuoti dabartiniai algebros vadovėliai ir matematinės analizės užuomazgos, siekiant nustatyti juose pateiktus neracionalių lygčių ir nelygybių sprendimo metodus. Analizė leidžia padaryti tokias išvadas: vidurinė mokykla nepakankamas dėmesys skiriamas įvairių neracionalių lygčių sprendimo būdams, daugiausia...

TRIGONOMETRINĖS NELYGYBĖS SPRENDIMO METODAI

Aktualumas. Istoriškai trigonometrinėms lygtims ir nelygybėms buvo skirta ypatinga vieta mokyklos kursas. Galima sakyti, kad trigonometrija yra viena iš svarbiausių mokyklos kurso ir apskritai viso matematikos mokslo dalių.

Trigonometrinės lygtys ir nelygybės vidurinės mokyklos matematikos kurse užima vieną iš centrinių vietų tiek pagal mokomosios medžiagos turinį, tiek apie ugdomosios ir pažintinės veiklos metodus, kurie gali ir turėtų būti suformuoti jų studijų metu ir pritaikyti sprendžiant daug teorinio ir taikomojo pobūdžio problemų .

Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas sukuria prielaidas sisteminti studentų žinias, susijusias su viskuo mokomoji medžiaga trigonometrijoje (pavyzdžiui, trigonometrinių funkcijų savybės, trigonometrinių išraiškų transformavimo metodai ir kt.) ir leidžia nustatyti efektyvius ryšius su tiriama medžiaga algebroje (lygtys, lygčių ekvivalentiškumas, nelygybės, identiškos algebrinių išraiškų transformacijos ir kt. .).

Kitaip tariant, trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimo būdų svarstymas apima savotišką šių įgūdžių perkėlimą į naują turinį.

Teorijos reikšmė ir daugybė jos pritaikymų yra pasirinktos temos aktualumo įrodymas. Tai savo ruožtu leidžia nustatyti kursinio darbo tikslus, uždavinius ir tyrimo dalyką.

Tyrimo tikslas: apibendrinti turimus trigonometrinių nelygybių tipus, pagrindinius ir specialiuosius jų sprendimo būdus, parinkti mokinių trigonometrinių nelygybių sprendimo uždavinių rinkinį.

Tyrimo tikslai:

1. Remiantis turimos literatūros analize tiriama tema, susisteminti medžiagą.

2. Pateikite užduočių rinkinį, reikalingą temai „Trigonometrinės nelygybės“ konsoliduoti.

Tyrimo objektas yra trigonometrinės nelygybės mokykliniame matematikos kurse.

Studijų dalykas: trigonometrinių nelygybių rūšys ir jų sprendimo būdai.

Teorinė reikšmė yra sisteminti medžiagą.

Praktinė reikšmė: teorinių žinių taikymas sprendžiant problemas; pagrindinių bendrų trigonometrinių nelygybių sprendimo metodų analizė.

Tyrimo metodai : mokslinės literatūros analizė, įgytų žinių sintezė ir apibendrinimas, užduočių sprendimų analizė, paieška optimalūs metodai nelygybių sprendimus.

§1. Trigonometrinių nelygybių rūšys ir pagrindiniai jų sprendimo būdai

1.1. Paprasčiausios trigonometrinės nelygybės

Dvi trigonometrinės išraiškos, sujungtos ženklu arba >, vadinamos trigonometrinėmis nelygybėmis.

Trigonometrinės nelygybės sprendimas reiškia nežinomųjų, įtrauktų į nelygybę, reikšmių rinkinį, kurio nelygybė tenkinama.

Pagrindinė trigonometrinių nelygybių dalis išspręsta sumažinant jas iki paprasčiausio sprendimo:

Tai gali būti faktorizavimo metodas, kintamojo (
,
ir tt), kur pirmiausia išsprendžiama įprasta nelygybė, o po to – formos nelygybė
ir tt, ar kitais būdais.

Paprasčiausias nelygybes galima išspręsti dviem būdais: naudojant vienetų apskritimą arba grafiškai.

Leistif(x  – viena pagrindinių trigonometrinių funkcijų. Norėdami išspręsti nelygybę
jos sprendimą pakanka rasti vienu periodu, t.y. bet kuriame segmente, kurio ilgis lygus funkcijos perioduif  x  . Tada bus rastas pirminės nelygybės sprendimasx , taip pat tos reikšmės, kurios skiriasi nuo tų, kurias randa bet koks sveikasis funkcijos periodų skaičius. Šiuo atveju patogu naudoti grafinį metodą.

Pateiksime nelygybių sprendimo algoritmo pavyzdį
(
) Ir
.

Nelygybės sprendimo algoritmas
(
).

1. Suformuluokite skaičiaus sinuso apibrėžimąx ant vieneto apskritimo.

3. Ordinačių ašyje pažymėkite tašką koordinatea .

4. Per šį tašką nubrėžkite tiesę, lygiagrečią OX ašiai, ir pažymėkite jos susikirtimo taškus su apskritimu.

5. Pasirinkite apskritimo lanką, kurio visų taškų ordinatės yra mažesnės uža .

6. Nurodykite rato kryptį (prieš laikrodžio rodyklę) ir užrašykite atsakymą, įtraukdami funkcijos periodą prie intervalo galų.2πn ,
.

Nelygybės sprendimo algoritmas
.

1. Suformuluokite skaičiaus liestinės apibrėžimąx ant vieneto apskritimo.

2. Nubrėžkite vienetinį apskritimą.

3. Nubrėžkite liestinių liniją ir pažymėkite joje tašką su ordinatėmisa .

4. Sujunkite šį tašką su pradžios tašku ir pažymėkite gautos atkarpos susikirtimo tašką su vienetiniu apskritimu.

5. Pasirinkite apskritimo lanką, kurio visų taškų liestinės tiesės ordinatės yra mažesnės uža .

6. Nurodykite važiavimo kryptį ir parašykite atsakymą atsižvelgdami į funkcijos apibrėžimo sritį, pridėdami tašką.πn ,
(skaičius įrašo kairėje visada yra mažesnis už skaičių dešinėje).

Grafinis paprastų lygčių sprendinių ir nelygybių sprendimo formulių aiškinimas bendras vaizdas yra nurodyti priede (1 ir 2 priedai).

1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę
.

Nubrėžkite tiesią liniją ant vieneto apskritimo
, kuris kerta apskritimą taškuose A ir B.

Visos reikšmėsy intervale NM yra didesnis , visi AMB lanko taškai tenkina šią nelygybę. Visais sukimosi kampais, didelis , bet mažesnis ,
perims didesnes vertybes (bet ne daugiau kaip vieną).

1 pav

Taigi, nelygybės sprendimas bus visos intervalo reikšmės
, t.y.
. Norint gauti visus šios nelygybės sprendinius, pakanka pridėti prie šio intervalo galų
, Kur
, t.y.
,
. Atkreipkite dėmesį, kad vertės
Ir
yra lygties šaknys
,

tie.
;
.

Atsakymas:
,
.

1.2. Grafinis metodas

Praktikoje grafinis trigonometrinių nelygybių sprendimo metodas dažnai pasirodo esąs naudingas. Panagrinėkime metodo esmę nelygybės pavyzdžiu
:

1. Jei argumentas yra sudėtingas (skirtingas nuoX ), tada pakeiskite jį įt .

2. Statome viename koordinačių plokštuma tOy funkcijų grafikai
Ir
.

3. Randame tokiusdu gretimi grafikų susikirtimo taškai, tarp kuriųsinusinės bangosesančiosaukštesnė tiesiai
. Randame šių taškų abscises.

4. Argumentui parašykite dvigubą nelygybęt , atsižvelgiant į kosinuso periodą (t bus tarp rastų abscisių).

5. Atlikite atvirkštinį keitimą (grįžkite prie pradinio argumento) ir išreikškite reikšmęX iš dvigubos nelygybės atsakymą rašome skaitinio intervalo forma.

2 pavyzdys. Išspręskite nelygybę: .

Sprendžiant nelygybes grafiniu metodu, būtina kuo tiksliau sukonstruoti funkcijų grafikus. Transformuokime nelygybę į formą:

Sukurkime funkcijų grafikus vienoje koordinačių sistemoje
Ir
(2 pav.).

2 pav

Funkcijų grafikai susikerta taškeA su koordinatėmis
;
. Tarp
grafiko taškai
žemiau grafiko taškų
. Ir kada
funkcijų reikšmės yra vienodos. Štai kodėl
adresu
.

Atsakymas:
.

1.3. Algebrinis metodas

Gana dažnai pradinė trigonometrinė nelygybė gali būti sumažinta iki algebrinės (racionalios arba neracionalios) nelygybės, naudojant gerai parinktą pakaitalą. Šis metodas apima nelygybės transformavimą, pakaitų įvedimą arba kintamojo pakeitimą.

Pažiūrėkime konkrečių pavyzdžiųšio metodo taikymas.

3 pavyzdys. Sumažinimas į paprasčiausią formą
.

(3 pav.)

3 pav

,
.

Atsakymas:
,

4 pavyzdys. Išspręskite nelygybę:

ODZ:
,
.

Naudojant formules:
,

Parašykime nelygybę formoje:
.

Arba, tikėdamas
po paprastų transformacijų gauname

,

,

.

Išspręsdami paskutinę nelygybę intervalo metodu, gauname:

4 pav

, atitinkamai
. Tada iš fig. 4 seka
, Kur
.

5 pav

Atsakymas:
,
.

1.4. Intervalinis metodas

Bendra schema trigonometrinių nelygybių sprendimas intervalų metodu:

Naudojant trigonometrines formules faktorizuoti.

Raskite funkcijos nepertraukiamumo taškus ir nulius ir padėkite juos ant apskritimo.

Paimkite bet kurį taškąKAM (bet anksčiau nerasta) ir išsiaiškinkite prekės ženklą. Jei sandauga teigiama, ant kampą atitinkančio spindulio už vienetinio apskritimo uždėkite tašką. Kitu atveju padėkite tašką apskritimo viduje.

Jei taškas pasitaiko lyginį skaičių kartų, mes jį vadiname lyginio daugybos tašku, o jei nelyginį skaičių kartų – nelyginio daugybos tašku. Nubrėžkite lankus taip: pradėkite nuo taškoKAM , jei kitas taškas yra nelyginio daugumo, tai lankas šiame taške kerta apskritimą, o jei taškas yra lyginio daugumo, tada jis nesikerta.

Lankai už apskritimo yra teigiami intervalai; apskritimo viduje yra neigiamų erdvių.

5 pavyzdys. Išspręskite nelygybę

,
.

Pirmosios serijos taškai:
.

Antrosios serijos taškai:
.

Kiekvienas taškas pasitaiko nelyginį skaičių kartų, tai yra, visi taškai yra nelyginio daugumo.

Sužinokime prekės ženklą adresu
: . Vienetiniame apskritime pažymėkime visus taškus (6 pav.):

Ryžiai. 6

Atsakymas:
,
;
,
;
,
.

6 pavyzdys . Išspręskite nelygybę.

Sprendimas:

Raskime išraiškos nulius .

Gautiaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Ant vieneto apskritimo serijos vertėsX 1 pavaizduoti taškais
. SerijaX 2 suteikia taškų
. SerijosX 3 gauname du taškus
. Pagaliau serialasX 4 atstovaus taškus
. Nubraižykime visus šiuos taškus vieneto apskritime, šalia kiekvieno skliausteliuose nurodydami jo daugumą.

Leisk dabar skaičių bus lygus. Apskaičiuokime pagal ženklą:

Taigi, taškasA turėtų būti parinktas ant spindulio, sudarančio kampą su sijaOi, už vieneto rato ribų. (Atkreipkite dėmesį, kad pagalbinė sijaAPIE A Visai nebūtina to pavaizduoti paveikslėlyje. TaškasA parenkamas apytiksliai.)

Dabar iš taškoA nuosekliai nubrėžkite banguotą ištisinę liniją į visus pažymėtus taškus. Ir taškuose
mūsų linija eina iš vienos srities į kitą: jei ji buvo už vieneto apskritimo ribų, tada ji eina jos viduje. Artėjant prie taško , linija grįžta į vidinę sritį, nes šio taško daugyba yra lyginė. Panašiai ir taške (su net daugybe) linija turi būti pasukta į išorinę sritį. Taigi, mes nupiešėme tam tikrą paveikslėlį, parodytą Fig. 7. Tai padeda paryškinti norimas sritis ant vieneto apskritimo. Jie pažymėti „+“ ženklu.

7 pav

Galutinis atsakymas:

Pastaba. Jei banguota linija, apėjus visus vienetinio apskritimo taškus, negali būti grąžinta į taškąA , neperžengus apskritimo „nelegalioje“ vietoje, tai reiškia, kad sprendime buvo padaryta klaida, būtent, praleistas nelyginis šaknų skaičius.

Atsakymas: .

§2. Trigonometrinių nelygybių sprendimo uždavinių rinkinys

Ugdant mokinių gebėjimą spręsti trigonometrines nelygybes, taip pat galima išskirti 3 etapus.

1. parengiamieji,

2. ugdyti gebėjimą spręsti paprastas trigonometrines nelygybes;

3. kitų tipų trigonometrinių nelygybių įvedimas.

Parengiamojo etapo tikslas yra tai, kad moksleiviuose būtina ugdyti gebėjimą naudoti trigonometrinį apskritimą ar grafiką sprendžiant nelygybes, būtent:

Gebėjimas spręsti paprastas formos nelygybes
,
,
,
, naudojant sinuso ir kosinuso funkcijų savybes;

Gebėjimas konstruoti dvigubas nelygybes lankams skaičių ratas arba funkcijų grafikų lankams;

Gebėjimas atlikti įvairias trigonometrinių išraiškų transformacijas.

Šį etapą rekomenduojama įgyvendinti sisteminant moksleivių žinias apie trigonometrinių funkcijų savybes. Pagrindinės priemonės gali būti mokiniams siūlomos užduotys, atliekamos vadovaujant mokytojui arba savarankiškai, taip pat įgūdžiai, lavinami sprendžiant trigonometrines lygtis.

Štai tokių užduočių pavyzdžiai:

1 . Pažymėkite tašką vieneto apskritime , Jei

.

2. Kuriame koordinačių plokštumos ketvirtyje yra taškas? , Jei lygus:

3. Pažymėkite taškus trigonometriniame apskritime , Jei:

4. Konvertuoti išraišką į trigonometrines funkcijasašketvirčiai.

A)
, b)
, V)

5. Pateikiamas lanko MR.M – vidurysaš– ketvirtį,R – vidurysIIketvirtį. Apribokite kintamojo reikšmęt už: (padarykite dvigubą nelygybę) a) lanko MR; b) RM lankai.

6. Užrašykite pasirinktų grafiko dalių dvigubą nelygybę:

Ryžiai. 1

7. Išspręskite nelygybes
,
,
,
.

8. Konvertuoti išraišką .

Antrame mokymosi išspręsti trigonometrines nelygybes etape galite pasiūlyti šias rekomendacijas susiję su studentų veiklos organizavimo metodika. Šiuo atveju reikia sutelkti dėmesį į turimus mokinių darbo su trigonometriniu apskritimu ar grafiku įgūdžius, suformuotus sprendžiant paprasčiausias trigonometrines lygtis.

Pirma, galima motyvuoti bendrąjį paprasčiausių trigonometrinių nelygybių sprendimo metodo gavimo tikslingumą, kreipiantis, pavyzdžiui, į formos nelygybę.
. Naudodami žinias ir įgūdžius, įgytus pas paruošiamasis etapas, studentai sumažins siūlomą nelygybę iki formos
, tačiau gali būti sunku rasti susidariusios nelygybės sprendimų rinkinį, nes Neįmanoma to išspręsti tik naudojant sinusinės funkcijos savybes. Šio sunkumo galima išvengti atsivertus atitinkamą iliustraciją (išsprendžiant lygtį grafiškai arba naudojant vienetinį apskritimą).

Antra, mokytojas turėtų atkreipti mokinių dėmesį įvairių būdų atlikti užduotį, pateikti tinkamą nelygybės sprendimo pavyzdį tiek grafiškai, tiek naudojant trigonometrinį apskritimą.

Panagrinėkime šiuos nelygybės sprendimus
.

1. Nelygybės sprendimas naudojant vienetinį apskritimą.

Pirmoje trigonometrinių nelygybių sprendimo pamokoje mokiniams pasiūlysime išsamų sprendimo algoritmą, kuris žingsnis po žingsnio pristatyme atspindi visus pagrindinius įgūdžius, reikalingus nelygybei išspręsti.

1 žingsnis.Nubrėžkime vienetinį apskritimą ir pažymime tašką ordinačių ašyje ir per ją nubrėžkite tiesią liniją, lygiagrečią x ašiai. Ši linija susikirs su vieneto apskritimu dviejuose taškuose. Kiekvienas iš šių taškų reiškia skaičius, kurių sinusas yra lygus .

2 žingsnis.Ši tiesi linija padalijo apskritimą į du lankus. Pasirinkime tą, kuriame pavaizduoti skaičiai, kurių sinusas didesnis už . Natūralu, kad šis lankas yra virš nubrėžtos tiesios linijos.

Ryžiai. 2

3 veiksmas.Pasirinkite vieną iš pažymėto lanko galų. Užrašykime vieną iš skaičių, kurį pavaizduoja šis vienetinio apskritimo taškas .

4 veiksmas.Norėdami pasirinkti skaičių, atitinkantį antrąjį pasirinkto lanko galą, mes „einame“ šiuo lanku nuo pavadinto galo iki kito. Tuo pačiu atminkite, kad judant prieš laikrodžio rodyklę, skaičiai, kuriais eisime, didėja (judant priešinga kryptimi skaičiai mažėtų). Užrašykime skaičių, kuris pavaizduotas vieneto apskritime iki antrojo pažymėto lanko galo .

Taigi matome tą nelygybę
patenkinti skaičius, kuriems nelygybė yra teisinga
. Išsprendėme skaičių, esančių tame pačiame sinusinės funkcijos periode, nelygybę. Todėl visi nelygybės sprendiniai gali būti parašyti forma

Mokinių turėtų būti paprašyta atidžiai išnagrinėti piešinį ir išsiaiškinti, kodėl visi nelygybės sprendimai
galima parašyti formoje
,
.

Ryžiai. 3

Būtina atkreipti mokinių dėmesį į tai, kad spręsdami kosinuso funkcijos nelygybes brėžiame lygiagrečią ordinačių ašiai tiesę.

Grafinis nelygybių sprendimo metodas.

Kuriame grafikus
Ir
, turint omenyje
.

Ryžiai. 4

Tada parašome lygtį
ir jo sprendimas
,
,
, rasta naudojant formules
,
,
.

(Duotin reikšmes 0, 1, 2, randame tris sudarytos lygties šaknis). Vertybės
yra trys iš eilės einančios grafikų susikirtimo taškų abscisės
Ir
. Aišku, visada per intervalą
nelygybė galioja
, ir intervale
– nelygybė
. Mus domina pirmasis atvejis, o tada prie šio intervalo galų pridėjus skaičių, kuris yra sinuso periodo kartotinis, gauname nelygybės sprendimą
kaip:
,
.

Ryžiai. 5

Apibendrinti. Norėdami išspręsti nelygybę
, reikia sukurti atitinkamą lygtį ir ją išspręsti. Iš gautos formulės raskite šaknis Ir , ir atsakymą į nelygybę parašykite tokia forma: ,
.

Trečia, faktas apie atitinkamos trigonometrinės nelygybės šaknų aibę labai aiškiai pasitvirtina ją sprendžiant grafiškai.

Ryžiai. 6

Būtina parodyti studentams, kad posūkis, kuris yra nelygybės sprendimas, kartojasi per tą patį intervalą, lygų trigonometrinės funkcijos periodui. Taip pat galite apsvarstyti panašią sinusinės funkcijos grafiko iliustraciją.

Ketvirta, patartina atlikti darbą atnaujinant studentų metodus, kaip trigonometrinių funkcijų sumą (skirtumą) paversti sandauga, ir atkreipti studentų dėmesį į šių metodų vaidmenį sprendžiant trigonometrines nelygybes.

Šį darbą galima organizuoti per savęs vykdymas mokiniams mokytojo pasiūlytų užduočių, tarp kurių išskiriame:

Penkta, studentai turi iliustruoti kiekvienos paprastos trigonometrinės nelygybės sprendimą, naudodami grafiką arba trigonometrinį apskritimą. Būtinai turėtumėte atkreipti dėmesį į jo tikslingumą, ypač į apskritimo naudojimą, nes sprendžiant trigonometrines nelygybes, atitinkama iliustracija yra labai patogi priemonė įrašyti tam tikros nelygybės sprendinių rinkinį.

Patartina supažindinti studentus su ne pačiais paprasčiausiais trigonometrinių nelygybių sprendimo būdais pagal šią schemą: konkrečios trigonometrinės nelygybės sprendimas, atitinkamos trigonometrinės lygties sprendimas jungtinė sprendinio paieška (dėstytojas – mokiniai). savęs perkėlimas rastas metodas kitoms to paties tipo nelygybėms.

Norint susisteminti studentų žinias apie trigonometriją, rekomenduojame specialiai atrinkti tokias nelygybes, kurių sprendimas reikalauja įvairių transformacijų, kurias galima įgyvendinti sprendžiant, ir sutelkti studentų dėmesį į jų ypatybes.

Kaip tokias produktyvias nelygybes galime pasiūlyti, pavyzdžiui:

Pabaigoje pateikiame trigonometrinių nelygybių sprendimo uždavinių rinkinio pavyzdį.

1. Išspręskite nelygybes:

2. Išspręskite nelygybes: 3. Raskite visus nelygybių sprendimus: 4. Raskite visus nelygybių sprendimus:

A)
, tenkinantis sąlygą
;

b)
, tenkinantis sąlygą
.

5. Raskite visus nelygybių sprendimus:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

d)
.

6. Išspręskite nelygybes:

A) ;

b) ;

V);

G)
;

d) ;

e) ;

ir)
.

7. Išspręskite nelygybes:

A)
;

b) ;

V);

G) .

8. Išspręskite nelygybes:

A) ;

b) ;

V);

G)
;

d)
;

e) ;

ir)
;

h) .

6 ir 7 užduotis patartina siūlyti matematiką aukštesniuoju lygiu studijuojantiems studentams, 8 užduotį – aukštesnio lygio matematikos studijų klasių mokiniams.

§3. Specialūs trigonometrinių nelygybių sprendimo metodai

Specialūs trigonometrinių lygčių sprendimo metodai – tai yra tie metodai, kurie gali būti naudojami tik trigonometrinėms lygtims spręsti. Šie metodai yra pagrįsti trigonometrinių funkcijų savybių naudojimu, taip pat įvairių trigonometrinių formulių ir tapatybių naudojimu.

3.1. Sektorinis metodas

Panagrinėkime sektorių metodą trigonometrinėms nelygybėms spręsti. Formos nelygybių sprendimas

, KurP ( x ) IrK ( x ) – racionalus trigonometrinės funkcijos(sinusai, kosinusai, liestinės ir kotangentai į juos įtraukiami racionaliai), panašiai kaip sprendžiant racionaliąsias nelygybes. Racionaliąsias nelygybes patogu spręsti naudojant intervalų skaičių tiesėje metodą. Jo analogas racionalioms trigonometrinėms nelygybėms spręsti yra trigonometrinio apskritimo sektorių metodas,sinx Ircosx (
) arba trigonometrinis puslankistgx Irctgx (
).

Intervaliniu metodu kiekvienas formos skaitiklio ir vardiklio tiesinis koeficientas
skaičių ašyje atitinka tašką , o einant per šį tašką
keičia ženklą. Sektoriaus metodu kiekvienas formos veiksnys
, Kur
- viena iš funkcijųsinx arbacosx Ir
, trigonometriniame apskritime atitinka du kampai Ir
, kurie padalija apskritimą į du sektorius. Pravažiuojant Ir funkcija
keičia ženklą.

Reikia atsiminti šiuos dalykus:

a) Formos veiksniai
Ir
, Kur
, išsaugokite ženklą visoms reikšmėms . Tokie skaitiklio ir vardiklio veiksniai atmetami keičiant (jei
) su kiekvienu tokiu atmetimu nelygybės ženklas apverčiamas.

b) Formos veiksniai
Ir
taip pat išmesti. Be to, jei tai yra vardiklio veiksniai, tada formos nelygybės pridedamos prie ekvivalentinės nelygybių sistemos
Ir
. Jei tai yra skaitiklio veiksniai, tai ekvivalentinėje apribojimų sistemoje jie atitinka nelygybes
Ir
esant griežtai pradinei nelygybei ir lygybei
Ir
esant negriežtai pradinei nelygybei. Atmetus daugiklį
arba
nelygybės ženklas yra apverstas.

1 pavyzdys. Išspręskite nelygybes: a)
, b)
. turime funkciją b) . Išspręskite mūsų turimą nelygybę,

3.2. Koncentrinio apskritimo metodas

Šis metodas yra lygiagrečių skaičių ašių metodo analogas racionaliųjų nelygybių sistemoms spręsti.

Panagrinėkime nelygybių sistemos pavyzdį.

5 pavyzdys. Išspręskite paprastų trigonometrinių nelygybių sistemą

Pirmiausia kiekvieną nelygybę išsprendžiame atskirai (5 pav.). Viršutiniame dešiniajame paveikslo kampe nurodysime, kuriam argumentui svarstomas trigonometrinis apskritimas.

5 pav

Toliau mes sukuriame argumento koncentrinių apskritimų sistemąX . Nubrėžiame apskritimą ir nuspalviname jį pagal pirmosios nelygybės sprendinį, tada nubrėžiame didesnio spindulio apskritimą ir nuspalviname jį pagal antrosios sprendinį, tada konstruojame apskritimą trečiajai nelygybei ir pagrindo apskritimą. Mes ištraukiame spindulius iš sistemos centro per lankų galus taip, kad jie kirstų visus apskritimus. Ant pagrindo apskritimo formuojame tirpalą (6 pav.).

6 pav

Atsakymas:
,
.

Išvada

Visi kurso tyrimo tikslai buvo įgyvendinti. Susisteminta teorinė medžiaga: pateikiami pagrindiniai trigonometrinių nelygybių tipai ir pagrindiniai jų sprendimo būdai (grafinis, algebrinis, intervalų metodas, sektoriai ir koncentrinių apskritimų metodas). Kiekvienam metodui buvo pateiktas nelygybės sprendimo pavyzdys. Po teorinės dalies sekė praktinė dalis. Jame yra užduočių rinkinys trigonometrinėms nelygybėms spręsti.

Šiuo kursiniu darbu studentai gali naudotis savarankiškas darbas. Mokiniai gali pasitikrinti šios temos įvaldymo lygį ir praktikuotis atliekant įvairaus sudėtingumo užduotis.

Išstudijavę atitinkamą literatūrą apie Ši problema Akivaizdu, kad galime daryti išvadą, kad mokyklinio algebros kurso ir analizės pradžios gebėjimai ir įgūdžiai spręsti trigonometrines nelygybes yra labai svarbūs, o jų plėtojimas reikalauja didelių matematikos mokytojo pastangų.

Štai kodėl Šis darbas bus naudinga matematikos mokytojams, nes leidžia efektyviai organizuoti mokinių mokymą tema „Trigonometrinės nelygybės“.

Tyrimą galima tęsti išplečiant jį iki galutinio kvalifikacinio darbo.

Naudotos literatūros sąrašas

Bogomolovas, N.V. Matematikos uždavinių rinkinys [Tekstas] / N.V. Bogomolovas. – M.: Bustard, 2009. – 206 p.

Vygodskis, M.Ya. Elementariosios matematikos vadovas [Tekstas] / M.Ya. Vygodskis. – M.: Bustard, 2006. – 509 p.

Žurbenko, L.N. Matematika pavyzdžiuose ir uždaviniuose [Tekstas] / L.N. Žurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 p.

Ivanovas, O.A. Elementarioji matematika moksleiviams, studentams ir mokytojams [Tekstas] / O.A. Ivanovas. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 p.

Karpas, A.P. Algebros užduotys ir analizės pradžia organizuojant galutinį kartojimą ir atestavimą 11 klasėje [Tekstas] / A.P. Karpis. – M.: Švietimas, 2005. – 79 p.

Kulaninas, E.D. 3000 matematikos konkursinių uždavinių [Tekstas] / E.D. Kulaninas. – M.: Iris-press, 2007. – 624 p.

Leibsonas, K.L. Praktinių matematikos užduočių rinkinys [Tekstas] / K.L. Leibsonas. – M.: Bustard, 2010. – 182 p.

Alkūnė, V.V. Problemos su parametrais ir jų sprendimai. Trigonometrija: lygtys, nelygybės, sistemos. 10 klasė [Tekstas] / V.V. Alkūnė. – M.: ARKTI, 2008. – 64 p.

Manova, A.N. Matematika. Greitasis dėstytojas ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui: studentas. vadovas [tekstas] / A.N. Manova. – Rostovas prie Dono: Feniksas, 2012. – 541 p.

Mordkovičius, A.G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 10-11 klasių. Vadovėlis studentams švietimo įstaigų[Tekstas] / A.G. Mordkovičius. – M.: Iris-press, 2009. – 201 p.

Novikovas, A.I. Trigonometrinės funkcijos, lygtys ir nelygybės [Tekstas] / A.I. Novikovas. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 p.

Oganesjanas, V.A. Matematikos mokymo metodai vidurinėje mokykloje: Bendroji technika. Vadovėlis vadovas fizikos studentams - mat. fak. ped. Inst. [Tekstas] / V.A. Oganesjanas. – M.: Švietimas, 2006. – 368 p.

Olehnikas, S.N. Lygtys ir nelygybės. Nestandartiniai sprendimo būdai [Tekstas] / S.N. Olehnik. – M.: Factorial leidykla, 1997. – 219 p.

Sevryukovas, P.F. Trigonometrinis, eksponentinis ir logaritmines lygtis ir nelygybės [Tekstas] / P.F. Sevriukovas. – M.: Visuomenės švietimas, 2008. – 352 p.

Sergejevas, I. N. Vieningas valstybinis egzaminas: 1000 matematikos uždavinių su atsakymais ir sprendimais. Visos C grupės užduotys [Tekstas] / I.N. Sergejevas. – M.: Egzaminas, 2012. – 301 p.

Sobolevas, A.B. Elementarioji matematika [Tekstas] / A.B. Sobolevas. – Jekaterinburgas: Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga USTU-UPI, 2005. – 81 p.

Fenko, L.M. Intervalų metodas sprendžiant nelygybes ir tiriant funkcijas [Tekstas] / L.M. Fenko. – M.: Bustard, 2005. – 124 p.

Friedmanas, L.M. Teoriniai matematikos mokymo metodų pagrindai [Tekstas] / L.M. Friedmanas. – M.: Knygų namai„LIBROKOM“, 2009. – 248 p.

1 priedas

Paprastų nelygybių sprendinių grafinė interpretacija

Ryžiai. 1

Ryžiai. 2

3 pav

4 pav

5 pav

6 pav

7 pav

8 pav

2 priedas

Paprastų nelygybių sprendimai

Nelygybių sprendimas internetu Math24.biz svetainėje suteiks maksimalus tikslumas skaičiavimuose. Nelygybė matematikoje yra teiginys apie dviejų objektų santykinį dydį ar tvarką (vienas iš objektų yra mažesnis arba ne didesnis už kitą), arba kad du objektai nėra vienodi (lygybės neigimas). Elementariojoje matematikoje tiriamos skaitinės nelygybės, bendrojoje algebroje, analizėje, geometrijoje taip pat nagrinėjamos nelygybės tarp neskaitinio pobūdžio objektų. Norint išspręsti nelygybę, abi jos dalys turi būti nustatytos su vienu iš nelygybės ženklų tarp jų. Griežta nelygybė reiškia nelygybę tarp dviejų objektų. Skirtingai nuo griežtos nelygybės, negriežtos nelygybės leidžia į ją įtraukti objektų lygybę. Tiesinės nelygybės reprezentuoti paprasčiausias išraiškas, pradedant tyrinėti išraiškas ir labiausiai išspręsti tokias nelygybes paprastos technikos. Pagrindinė klaida Studentai sprendžiant nelygybes internete yra tai, kad jie neskiria griežtos ir negriežtos nelygybės požymių, o tai lemia, ar ribinės reikšmės bus įtrauktos į galutinį atsakymą. Kelios nelygybės, tarpusavyje sujungtos keliais nežinomaisiais, vadinamos nelygybių sistema. Nelygybių sprendimas iš sistemos yra tam tikras plotas plokštumoje, arba tūrinė figūra trimatėje erdvėje. Kartu jas abstrahuoja n-matės erdvės, tačiau sprendžiant tokias nelygybes dažnai neapsieinama be specialių kompiuteriai. Kiekvienai nelygybei atskirai reikia rasti nežinomojo reikšmes sprendimo srities ribose. Visų nelygybės sprendimų rinkinys yra jos atsakymas. Vienos nelygybės pakeitimas kita jai lygiaverte nelygybe vadinamas lygiaverčiu perėjimu iš vienos nelygybės į kitą. Panašus požiūris aptinkamas ir kitose disciplinose, nes jis padeda išraiškoms suteikti standartinę formą. Įvertinsite visus nelygybės sprendimo internetu pranašumus mūsų svetainėje. Nelygybė yra išraiška, turinti vieną iš => ženklų. Iš esmės tai yra logiška išraiška. Tai gali būti teisinga arba klaidinga – priklausomai nuo to, kas šioje nelygybėje yra dešinėje ir kairėje. Įvairiuose kursuose, taip pat mokykloje mokomasi nelygybių reikšmės paaiškinimo ir pagrindinių nelygybių sprendimo technikų. Bet kokių nelygybių sprendimas internetu – nelygybės su moduliu, algebrinės, trigonometrinės, transcendentinės nelygybės internetu. Identiškos nelygybės, kaip ir griežtos ir negriežtos nelygybės, supaprastina galutinio rezultato siekimo procesą ir yra pagalbinė priemonė sprendžiant problemą. Bet kokių nelygybių ir nelygybių sistemų, nesvarbu, ar tai būtų logaritminės, eksponentinės, trigonometrinės ar kvadratinės nelygybės, sprendimas pateikiamas naudojant iš pradžių teisingas požiūrisšiam svarbiam procesui. Nelygybių sprendimas internete svetainėje yra visada prieinamas visiems vartotojams ir visiškai nemokamas. Vieno kintamojo nelygybės sprendimai yra kintamojo reikšmės, paverčiančios jį teisinga skaitine išraiška. Lygtys ir nelygybės su moduliu: tikrojo skaičiaus modulis yra absoliuti to skaičiaus reikšmė. Standartinis šių nelygybių sprendimo būdas yra pakelti abi nelygybės puses iki norimos galios. Nelygybės – tai išraiškos, nurodančios skaičių palyginimą, todėl teisingai išsprendus nelygybes užtikrinamas tokių palyginimų tikslumas. Jie gali būti griežti (didesni nei, mažesni už) ir negriežti (didesni arba lygūs, mažesni arba lygūs). Išspręsti nelygybę reiškia surasti visas tas kintamųjų reikšmes, kurios, pakeitus pradinę išraišką, paverčia ją teisingu skaitiniu vaizdavimu. Nelygybės samprata, jos esmė ir ypatumai, klasifikacija ir atmainos – štai kas lemia nelygybės specifiką. ši matematinė dalis. Pagrindines skaitinių nelygybių savybes, taikomas visiems šios klasės objektams, studentai turi ištirti Pradinis etapas susipažinimas su šia tema. Nelygybės ir skaičių linijų intervalai yra labai glaudžiai susiję, kai reikia spręsti nelygybes internete. Grafinis žymėjimas nelygybės sprendimas aiškiai parodo tokios išraiškos esmę, tampa aišku, ko reikia siekti sprendžiant bet kurią problemą. Nelygybės sąvoka apima dviejų ar daugiau objektų palyginimą. Nelygybės, turinčios kintamąjį, išsprendžiamos kaip panašiai sudarytos lygtys, po kurių pasirenkami intervalai, kurie bus laikomi atsakymu. Naudodamiesi mūsų nemokama paslauga, galite lengvai ir akimirksniu išspręsti bet kokią algebrinę nelygybę, trigonometrinę nelygybę ar nelygybes, turinčias transcendentinių funkcijų. Skaičius yra nelygybės sprendimas, jei vietoj kintamojo pakeičiant šį skaičių gauname teisingą išraišką, tai yra, nelygybės ženklas parodo tikrąją sąvoką.

Sprendžiant nelygybes, turinčias trigonometrines funkcijas, jos redukuojamos į paprasčiausias formos cos(t)>a, sint(t)=a ir panašias nelygybes. Ir jau išspręstos paprasčiausios nelygybės. Pažiūrėkime įvairių pavyzdžių paprastų trigonometrinių nelygybių sprendimo būdai.

1 pavyzdys. Išspręskite nelygybę sin(t) > = -1/2.

Nubrėžkite vieneto apskritimą. Kadangi sin(t) pagal apibrėžimą yra y koordinatė, Oy ašyje pažymime tašką y = -1/2. Per ją nubrėžiame tiesią liniją, lygiagrečią Ox ašiai. Tiesės sankirtoje su vienetinio apskritimo grafiku pažymėkite taškus Pt1 ir Pt2. Sujungiame koordinačių pradžią su taškais Pt1 ir Pt2 dviem atkarpomis.

Šios nelygybės sprendimas bus visi vienetinio apskritimo taškai, esantys virš šių taškų. Kitaip tariant, sprendimas bus lankas l. Dabar reikia nurodyti sąlygas, kurioms esant savavališkas taškas priklausys lankui l.

Pt1 yra dešiniajame puslankiu, jo ordinatė yra -1/2, tada t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Norėdami apibūdinti tašką Pt1, galite parašyti šią formulę:
t2 = pi – arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Dėl to gauname tokią t nelygybę:

Išsaugome nelygybę. O kadangi sinuso funkcija yra periodinė, tai reiškia, kad sprendimai bus kartojami kas 2*pi. Šią sąlygą pridedame prie gautos t nelygybės ir užrašome atsakymą.

Atsakymas: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

2 pavyzdys. Išspręskite cos(t) nelygybę<1/2.

Nubraižykime vienetinį apskritimą. Kadangi pagal apibrėžimą cos(t) yra x koordinatė, Ox ašies grafike pažymime tašką x = 1/2.
Per šį tašką nubrėžiame tiesią liniją, lygiagrečią Oy ašiai. Tiesės sankirtoje su vienetinio apskritimo grafiku pažymėkite taškus Pt1 ir Pt2. Sujungiame koordinačių pradžią su taškais Pt1 ir Pt2 dviem atkarpomis.

Sprendimai bus visi vienetinio apskritimo taškai, priklausantys lankui l. Raskime taškus t1 ir t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi – arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Gavome t nelygybę: pi/3

Kadangi kosinusas yra periodinė funkcija, sprendimai bus kartojami kas 2*pi. Šią sąlygą pridedame prie gautos t nelygybės ir užrašome atsakymą.

Atsakymas: pi/3+2*pi*n

3 pavyzdys. Išspręskite nelygybę tg(t)< = 1.

Tangento periodas lygus pi. Raskime sprendinius, priklausančius intervalo (-pi/2;pi/2) dešiniajam puslankiui. Toliau, naudodamiesi liestinės periodiškumu, užrašome visus šios nelygybės sprendinius. Nubrėžkime vienetinį apskritimą ir pažymėkime jame liestinių liniją.

Jei t yra nelygybės sprendimas, tai taško T = tg(t) ordinatė turi būti mažesnė arba lygi 1. Tokių taškų aibė sudarys spindulį AT. Taškų aibė Pt, kuri atitiks šio spindulio taškus, yra lankas l. Be to, taškas P(-pi/2) nepriklauso šiam lankui.