Gyvenimo ekologija. Kognityvinis: Gamta (taip pat ir žmogus) vystosi pagal dėsnius, kurie yra įterpti į šią skaičių seką...

Fibonačio skaičiai yra skaitinė seka, kurioje kiekvienas paskesnis eilutės narys yra lygus dviejų ankstesnių skaičių sumai, tai yra: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 , 233, 377, 610, 987 , 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, .. 75025,.. 3478759208 80000,.. 422297015649 625,.. 19581068021641812000,.. Studijų kompleksas ir nuostabios savybės Fibonačio serijos numerius tyrinėjo įvairūs profesionalūs mokslininkai ir matematikos mėgėjai.

1997 metais keletą keistų serialo bruožų aprašė tyrinėtojas Vladimiras Michailovas, įsitikinęs, kad Gamta (taip pat ir žmogus) vystosi pagal dėsnius, kurie yra įterpti į šią skaičių seką.

Nepaprasta Fibonačio skaičių serijos savybė yra ta, kad didėjant eilučių skaičiams, dviejų gretimų šios serijos narių santykis asimptotiškai artėja prie tikslios auksinio santykio (1:1,618) – grožio ir harmonijos pagrindo. mus supanti gamta, įskaitant žmonių santykius.

Atkreipkite dėmesį, kad pats Fibonacci savo garsiąją seriją atidarė galvodamas apie triušių, kurie turėtų gimti iš vienos poros per vienerius metus, skaičiaus problemą. Paaiškėjo, kad kiekvieną kitą mėnesį po antrojo triušių porų skaičius tiksliai atitinka skaitmeninę seriją, kuri dabar yra jo vardu. Todėl neatsitiktinai ir pats žmogus yra struktūrizuotas pagal Fibonačio seriją. Kiekvienas organas yra išdėstytas pagal vidinį arba išorinį dvilypumą.

Fibonačio skaičiai patraukė matematikus savo sugebėjimu pasirodyti netikėčiausiose vietose. Pastebėta, kad, pavyzdžiui, Fibonačio skaičių santykiai, paimti per vieną, atitinka kampą tarp gretimų lapų ant augalo stiebo, tiksliau sakant, kokia apsisukimo dalis yra šis kampas: 1/2 - už guobos ir liepų, 1/3 - buko, 2/5 - ąžuolo ir obelų, 3/8 - tuopos ir rožės, 5/13 - gluosniai ir migdolai ir kt. Tuos pačius skaičius rasite ir skaičiuodami sėklos saulėgrąžų spiralėse, spindulių, atsispindinčių iš dviejų veidrodžių, skaičius, maršrutų, skirtų bitei nuskaityti iš vienos ląstelės į kitą, skaičiumi, daugelyje matematikos žaidimai ir gudrybės.

Kuo skiriasi aukso pjūvio spiralės nuo Fibonačio spiralės? Aukso pjūvio spiralė yra ideali. Tai atitinka Pirminį harmonijos Šaltinį. Ši spiralė neturi nei pradžios, nei pabaigos. Jis yra begalinis. Fibonačio spiralė turi pradžią, nuo kurios ji pradeda „atsivynioti“. Tai labai svarbus turtas. Tai leidžia Gamtai po kito uždara kilpa atlikti naujos spiralės statybą nuo nulio.

Reikia pasakyti, kad Fibonačio spiralė gali būti dviguba. Yra daugybė šių dvigubų spiralių pavyzdžių visame pasaulyje. Taigi saulėgrąžų spiralės visada koreliuoja su Fibonacci serija. Net ir normaliai kankorėžis galite pamatyti šią dvigubą Fibonačio spiralę. Pirmoji spiralė eina viena kryptimi, antroji – kita. Jei suskaičiuosite svarstyklių skaičių spiralėje, besisukančioje viena kryptimi, ir svarstyklių skaičių kitoje spiralėje, pamatysite, kad tai visada yra du iš eilės Fibonačio serijos skaičiai. Šių spiralių skaičius yra 8 ir 13. Saulėgrąžose yra spiralių poros: 13 ir 21, 21 ir 34, 34 ir 55, 55 ir 89. Ir nuo šių porų nukrypimų nėra!..

Žmonėms, somatinės ląstelės chromosomų rinkinyje (jų yra 23 poros), paveldimų ligų šaltinis yra 8, 13 ir 21 chromosomų pora...

Bet kodėl būtent ši serija vaidina lemiamą vaidmenį Gamtoje?Į šį klausimą visapusiškai gali atsakyti trejybės samprata, kuri lemia jos savisaugos sąlygas. Jei vienas iš jos „partnerių“ pažeidžia triados „interesų pusiausvyrą“, kitų dviejų „partnerių“ „nuomonės“ turi būti pakoreguotos. Trejybės samprata ypač ryški fizikoje, kur „beveik“ visos elementarios dalelės yra pagamintos iš kvarkų. Jei prisiminsime, kad kvarko dalelių trupmeninių krūvių santykiai sudaro eilę, ir tai yra pirmieji Fibonačio serijos nariai, reikalingi kitoms elementarioms dalelėms susidaryti.

Gali būti, kad Fibonačio spiralė gali atlikti lemiamą vaidmenį formuojant ribotų ir uždarų hierarchinių erdvių modelį. Iš tiesų, įsivaizduokime, kad tam tikru evoliucijos etapu Fibonačio spiralė pasiekė tobulumą (ji tapo nebeatskiriama nuo auksinio pjūvio spiralės) ir dėl šios priežasties dalelė turėtų būti transformuota į kitą „kategoriją“.

Šie faktai dar kartą patvirtina, kad dvilypumo dėsnis duoda ne tik kokybinius, bet ir kiekybinius rezultatus. Jie verčia mus galvoti, kad mus supantis makropasaulis ir mikropasaulis vystosi pagal tuos pačius dėsnius – hierarchijos dėsnius, ir kad šie dėsniai yra vienodi gyvajai ir negyvajai materijai.

Visa tai rodo, kad Fibonačio skaičių eilutė reprezentuoja tam tikrą užšifruotą gamtos dėsnį.

Skaitmeninis civilizacijos vystymosi kodas gali būti nustatytas naudojant įvairių metodų numerologijoje. Pavyzdžiui, kompleksinius skaičius sumažinant iki vienženklių (pavyzdžiui, 15 yra 1+5=6 ir pan.). Atlikdamas panašią sudėjimo procedūrą su visais Fibonačio serijos kompleksiniais skaičiais, Michailovas gavo kitą eilutęšie skaičiai: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9, tada viskas kartojasi 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,.. ir kartojasi vėl ir vėl... Ši serija taip pat turi Fibonačio serijos savybių , kiekvienas be galo kitas narys yra lygus ankstesniųjų sumai. Pavyzdžiui, 13 ir 14 terminų suma yra 15, t.y. 8 ir 8=16, 16=1+6=7. Pasirodo, ši serija yra periodinė, su 24 terminų periodu, po kurio kartojasi visa skaičių tvarka. Gavęs šį laikotarpį, Michailovas pateikė įdomią prielaidą - Argi 24 skaitmenų rinkinys nėra savotiškas skaitmeninis kodas civilizacijos vystymuisi? paskelbta

PRENUMERUOKITE MŪSŲ "YouTube" kanalą Ekonet.ru, kuris leidžia žiūrėti internete, atsisiųsti nemokamus vaizdo įrašus iš "YouTube" apie žmogaus sveikatą ir jaunimą. Meilė sau ir kitiems,kaip aukštų vibracijų jausmas - svarbus veiksnys sveikatingumo svetainė

Ar kada nors girdėjote, kad matematika vadinama „visų mokslų karaliene“? Ar sutinkate su šiuo teiginiu? Kol matematika išliks jums nuobodžių uždavinių rinkinyje vadovėlyje, vargu ar galėsite patirti šio mokslo grožį, įvairiapusiškumą ir net humorą.

Tačiau matematikoje yra temų, kurios padeda įdomiai pastebėti mums įprastus dalykus ir reiškinius. Ir netgi pabandykite prasiskverbti pro mūsų Visatos sukūrimo paslapties šydą. Pasaulyje yra įdomių modelių, kuriuos galima apibūdinti naudojant matematiką.

Pristatome Fibonačio skaičius

Fibonačio skaičiai pavadinkite skaičių sekos elementus. Jame kiekvienas sekantis skaičius iš serijos gaunamas susumavus du ankstesnius skaičius.

Pavyzdinė seka: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Galite parašyti taip:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Galite pradėti Fibonačio skaičių seriją su neigiamomis reikšmėmis n. Be to, seka šiuo atveju yra dvipusė (tai yra, ji apima neigiamus ir teigiamus skaičius) ir linkusi į begalybę abiem kryptimis.

Tokios sekos pavyzdys: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Šiuo atveju formulė atrodo taip:

F n = F n+1 – F n+2 arba dar galite tai padaryti: F -n = (-1) n+1 Fn.

Tai, ką dabar vadiname „Fibonačio skaičiais“, senovės Indijos matematikai žinojo dar ilgai prieš pradedant juos naudoti Europoje. Ir šis pavadinimas paprastai yra vienas ištisinis istorinis anekdotas. Pradėkime nuo to, kad pats Fibonačis per savo gyvenimą niekada savęs nevadino Fibonačiu – šis vardas Leonardo iš Pizos pradėtas vadinti tik praėjus keliems šimtmečiams po jo mirties. Bet pakalbėkime apie viską iš eilės.

Leonardo iš Pizos, dar žinomas kaip Fibonacci

Sūnus pirklio, kuris tapo matematiku ir vėliau sulaukė pripažinimo iš palikuonių kaip pirmasis pagrindinis viduramžių Europos matematikas. Ne mažiau svarbu dėl Fibonačio skaičių (kurie, prisiminkime, dar nebuvo taip vadinami). Kurį jis aprašė XIII amžiaus pradžioje savo veikale „Liber abaci“ („Abako knyga“, 1202).

Keliauju su tėvu į Rytus, Leonardo mokėsi matematikos pas arabų mokytojus (o tais laikais jie buvo šioje srityje ir daugelyje kitų mokslų, vienas iš geriausi specialistai). Antikos matematikų darbai ir Senovės Indija jis skaitė arabiškus vertimus.

Nuodugniai suvokęs viską, ką perskaitė, ir naudodamas savo smalsų protą, Fibonacci parašė keletą mokslinių matematikos traktatų, įskaitant minėtą „Abako knygą“. Be to, aš sukūriau:

• "Practica geometriae" ("Geometrijos praktika", 1220);
• „Flos“ („Gėlė“, 1225 m. – kubinių lygčių studija);
• „Liber quadratorum“ („Kvadratų knyga“, 1225 – neapibrėžtų kvadratinių lygčių uždaviniai).

Jis buvo didelis matematinių turnyrų gerbėjas, todėl savo traktatuose daug dėmesio skyrė įvairių matematinių problemų analizei.

Biografinės informacijos apie Leonardo gyvenimą liko labai mažai. Kalbant apie Fibonačio vardą, kuriuo jis pateko į matematikos istoriją, jis jam buvo priskirtas tik XIX a.

Fibonacci ir jo problemos

Po Fibonačio liko daug problemų, kurios vėlesniais šimtmečiais buvo labai populiarios tarp matematikų. Pažiūrėsime į triušio problemą, kuri išspręsta naudojant Fibonačio skaičius.

Triušiai – ne tik vertingas kailis

Fibonacci iškėlė tokias sąlygas: yra tokios įdomios veislės naujagimių triušių pora (patinas ir patelė), kad jie reguliariai (nuo antro mėnesio) susilaukia palikuonių – visada po vieną naują triušių porą. Taip pat, kaip galima atspėti, patinas ir patelė.

Šie sąlyginiai triušiai dedami uždara erdvė ir dauginkitės iš entuziazmo. Taip pat numatyta, kad nuo kokios nors paslaptingos triušių ligos nemiršta nei vienas triušis.

Reikia paskaičiuoti, kiek triušių sulauksime per metus.

• 1 mėnesio pradžioje turime 1 porą triušių. Mėnesio pabaigoje jie poruojasi.
• Antras mėnuo - jau turime 2 poras triušių (pora turi tėvelius + 1 pora jų palikuonys).
• Trečias mėnuo: Pirmoji pora pagimdo naują porą, antroji poruojasi. Iš viso – 3 poros triušių.
• Ketvirtas mėnuo: Pirmoji pora atsiveda naują porą, antroji nešvaisto laiko ir taip pat atsiveda naują porą, trečioji pora tik poruojasi. Iš viso – 5 poros triušių.

Triušių skaičius n mėnuo = praėjusio mėnesio triušių porų skaičius + naujagimių porų skaičius (triušių porų yra tiek pat, kiek triušių porų buvo prieš 2 mėnesius). Ir visa tai aprašoma formule, kurią jau pateikėme aukščiau: F n = F n-1 + F n-2.

Taigi gauname pasikartojantį (paaiškinimą apie rekursija- žemiau) skaičių seka. Kuriame kiekvienas kitas skaičius yra lygus ankstesnių dviejų sumai:

1. 1 + 1 = 2
2. 2 + 1 = 3
3. 3 + 2 = 5
4. 5 + 3 = 8
5. 8 + 5 = 13
6. 13 + 8 = 21
7. 21 + 13 = 34
8. 34 + 21 = 55
9. 55 + 34 = 89
10. 89 + 55 = 144
11. 144 + 89 = 233
12. 233+ 144 = 377 <…>

Galite tęsti seką ilgą laiką: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Bet kadangi mes paklausėme konkreti data– metai, mus domina rezultatas, gautas 12-uoju „judėjimu“. Tie. 13-as sekos narys: 377.

Atsakymas į problemą: jei bus įvykdytos visos nurodytos sąlygos, bus gauti 377 triušiai.

Viena iš Fibonačio skaičių sekos savybių yra labai įdomi. Jei iš eilės paimtume dvi poras iš eilės ir padalintume didesnis skaičius iki mažiau, rezultatas palaipsniui artėja aukso pjūvis(daugiau apie tai galite perskaityti vėliau straipsnyje).

Kalbant matematine prasme, „santykių riba a n+1Į a n lygus aukso pjūviui“.

Daugiau skaičių teorijos problemų

1. Raskite skaičių, kurį galima padalyti iš 7. Be to, padalijus jį iš 2, 3, 4, 5, 6, likusi dalis bus viena.
2. Rasti kvadratinis skaičius. Yra žinoma, kad jei prie jo pridėsite 5 arba atimsite 5, vėl gausite kvadratinį skaičių.

Siūlome patiems ieškoti atsakymų į šias problemas. Galite palikti mums savo parinktis šio straipsnio komentaruose. Ir tada mes jums pasakysime, ar jūsų skaičiavimai buvo teisingi.

Rekursijos paaiškinimas

Rekursija– objekto ar proceso, kuriame yra šis objektas ar pats procesas, apibrėžimas, aprašymas, vaizdas. Tai reiškia, kad iš esmės objektas ar procesas yra savęs dalis.

Rekursiniai radiniai platus pritaikymas matematikos ir informatikos ir net meno bei populiariosios kultūros srityse.

Fibonačio skaičiai nustatomi naudojant pasikartojimo ryšį. Dėl skaičiaus n>2 n- e skaičius yra lygus (n – 1) + (n – 2).

Auksinio pjūvio paaiškinimas

Auksinis santykis- visumos (pavyzdžiui, segmento) padalijimas į dalis, kurios yra susijusios pagal tokį principą: didesnė dalis yra susijusi su mažesne taip pat, kaip ir visa vertė (pavyzdžiui, dviejų segmentų suma) į didesnę dalį.

Pirmasis aukso pjūvio paminėjimas yra Euklidas jo traktate „Elementai“ (apie 300 m. pr. Kr.). Taisyklingo stačiakampio konstravimo kontekste.

Mums žinomą terminą 1835 metais į apyvartą įvedė vokiečių matematikas Martinas Ohmas.

Jei aprašysite aukso pjūvis apytiksliai, tai yra proporcingas padalijimas į dvi nelygias dalis: maždaug 62% ir 38%. Skaitmenine išraiška aukso pjūvis yra skaičius 1,6180339887 .

Aukso pjūvis randa praktinis naudojimas V vaizduojamieji menai(Leonardo da Vinci ir kitų Renesanso tapytojų paveikslai), architektūra, kinas (S. Esenšteino „Laivas Potiomkinas“) ir kitos sritys. Ilgam laikui Buvo tikima, kad aukso pjūvis yra estetiškiausia proporcija. Ši nuomonė yra populiari ir šiandien. Nors, remiantis tyrimų rezultatais, vizualiai dauguma žmonių šios proporcijos nesuvokia kaip sėkmingiausio varianto ir laiko ją pernelyg pailgu (neproporcinga).

• Segmento ilgis Su = 1, A = 0,618, b = 0,382.
• Požiūris SuĮ A = 1, 618.
• Požiūris SuĮ b = 2,618

Dabar grįžkime prie Fibonačio skaičių. Paimkime iš jo sekos du iš eilės einančius terminus. Padalinkite didesnį skaičių iš mažesnio skaičiaus ir gaukite maždaug 1,618. O dabar naudojame tą patį didesnį skaičių ir sekantį serijos narį (t.y. dar didesnį skaičių) – jų santykis ankstyvas 0,618.

Štai pavyzdys: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 ir 233/377 = 0,618

Beje, jei bandysite tą patį eksperimentą atlikti su skaičiais nuo sekos pradžios (pavyzdžiui, 2, 3, 5), nieko nepavyks. Beveik. Auksinio pjūvio taisyklės vargu ar laikomasi sekos pradžioje. Bet kai judate serijoje ir skaičiai didėja, tai veikia puikiai.

O norint apskaičiuoti visą Fibonačio skaičių seką, pakanka žinoti tris sekos narius, einančius vieną po kito. Tai galite pamatyti patys!

Auksinis stačiakampis ir Fibonačio spiralė

Dar viena įdomi paralelė tarp Fibonačio skaičių ir auksinio pjūvio yra vadinamasis „auksinis stačiakampis“: jo kraštinės yra proporcingos 1,618 su 1. Bet mes jau žinome, kas yra skaičius 1,618, tiesa?

Pavyzdžiui, paimkime du iš eilės Fibonačio serijos narius – 8 ir 13 – ir sukurkime stačiakampį su toliau nurodytus parametrus: plotis = 8, ilgis = 13.

Ir tada mes padalinsime didelį stačiakampį į mažesnius. Reikalinga sąlyga: Stačiakampių kraštinių ilgiai turi atitikti Fibonačio skaičius. Tie. Didesnio stačiakampio kraštinių ilgis turi būti lygus dviejų mažesnių stačiakampių kraštinių sumai.

Taip, kaip tai daroma šioje figūroje (patogumo dėlei skaičiai pasirašyti lotyniškomis raidėmis).

Beje, stačiakampius galite kurti atvirkštine tvarka. Tie. pradėti statyti nuo kvadratų, kurių kraštinė yra 1. Prie kurios, vadovaujantis aukščiau nurodytu principu, užbaigiamos figūros su kraštinėmis, lygiais skaičiais Fibonacci. Teoriškai tai galima tęsti neribotą laiką – juk Fibonačio serija formaliai yra begalinė.

Jei paveiksle gautų stačiakampių kampus sujungsime lygia linija, gausime logaritminę spiralę. Tiksliau, jos ypatingas atvejis yra Fibonačio spiralė. Jai ypač būdinga tai, kad ji neturi ribų ir nekeičia formos.

Panaši spiralė dažnai randama gamtoje. Moliuskų kriauklės yra vienos iš labiausiai ryškių pavyzdžių. Be to, kai kurios galaktikos, kurias galima pamatyti iš Žemės, turi spiralės formą. Jei atkreipiate dėmesį į orų prognozes per televizorių, galbūt pastebėjote, kad ciklonai turi panašią spiralės formą fotografuojant iš palydovų.

Įdomu, kad DNR spiralė taip pat paklūsta aukso pjūvio taisyklei – jos vingių intervaluose matomas atitinkamas raštas.

Tokie nuostabūs „atsitiktinumai“ gali tik sujaudinti protus ir paskatinti kalbėti apie tam tikrą vienintelį algoritmą, kuriam paklūsta visi Visatos gyvenimo reiškiniai. Ar dabar suprantate, kodėl šis straipsnis vadinamas tokiu būdu? O kokius nuostabius pasaulius jums gali atverti matematika?

Fibonačio skaičiai gamtoje

Ryšys tarp Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio rodo įdomius modelius. Taip smalsu, kad kyla pagunda pabandyti rasti sekas, panašias į Fibonačio skaičius gamtoje ir net jų metu istorinių įvykių. Ir gamta tam tikrai suteikia priežastį tokio pobūdžio prielaidos. Bet ar viską mūsų gyvenime galima paaiškinti ir aprašyti matematikos pagalba?

Gyvų dalykų, kuriuos galima apibūdinti naudojant Fibonačio seką, pavyzdžiai:

• lapų (ir šakų) išdėstymas augaluose – atstumai tarp jų koreliuoja su Fibonačio skaičiais (filotaksė);

• saulėgrąžų sėklų išdėstymas (sėklos susuktos į dvi spiralių eiles skirtingomis kryptimis: viena eilutė pagal laikrodžio rodyklę, kita prieš laikrodžio rodyklę);

• kankorėžių žvynų išdėstymas;
• Gėlių žiedlapiai;
• ananasų ląstelės;
• žmogaus rankos pirštų falangų ilgių santykis (apytikslis) ir kt.

Kombinatorikos problemos

Fibonačio skaičiai plačiai naudojami sprendžiant kombinatorikos uždavinius.

Kombinatorika yra matematikos šaka, tirianti tam tikro elementų skaičiaus parinkimą iš nurodytos aibės, surašymą ir kt.

Pažvelkime į kombinatorikos uždavinių, skirtų vidurinės mokyklos lygiui, pavyzdžius (šaltinis - http://www.problems.ru/).

1 užduotis:

Lesha lipa 10 laiptelių laiptais. Vienu metu jis pašoka arba vienu, arba dviem laipteliais aukštyn. Kiek būdų Lesha gali lipti laiptais?

Būdų, kuriais Lesha gali lipti laiptais, skaičius nžingsnius, pažymėkime ir n. Tai seka a 1 = 1, a 2= 2 (juk Lesha peršoka vieną arba du žingsnius).

Taip pat sutarta, kad Lesha užšoka laiptais nuo n> 2 žingsniai. Tarkime, jis pirmą kartą peršoko du žingsnius. Tai reiškia, kad pagal problemos sąlygas jam reikia peršokti kitą n – 2žingsniai. Tada kopimo užbaigimo būdų skaičius apibūdinamas kaip a n-2. Ir jei darysime prielaidą, kad pirmą kartą Lesha šoktelėjo tik vieną žingsnį, tada apibūdinsime būdų, kaip užbaigti kopimą, skaičių kaip a n-1.

Iš čia gauname tokią lygybę: a n = a n–1 + a n–2(atrodo pažįstamas, ar ne?).

Kadangi žinome a 1 Ir a 2 ir atminkite, kad pagal problemos sąlygas yra 10 žingsnių, apskaičiuokite visus iš eilės ir n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Atsakymas: 89 būdai.

2 užduotis:

Turite rasti 10 raidžių ilgio žodžių, sudarytų tik iš raidžių „a“ ir „b“, skaičių ir neturi būti dviejų raidžių „b“ iš eilės.

Pažymėkime pagal a nžodžių ilgis n raidės, susidedančios tik iš raidžių „a“ ir „b“ ir neturinčios dviejų raidžių „b“ iš eilės. Reiškia, a 1= 2, a 2= 3.

Sekoje a 1, a 2, <…>, a n kiekvieną kitą jo narį išreikšime per ankstesnius. Todėl žodžių ilgis yra n raidės, kuriose taip pat nėra dvigubos raidės „b“ ir prasidedančios raide „a“. a n-1. O jei žodis ilgas n raidės prasideda raide „b“, logiška, kad kita tokio žodžio raidė yra „a“ (juk negali būti dviejų „b“ pagal uždavinio sąlygas). Todėl žodžių ilgis yra nšiuo atveju raides žymime kaip a n-2. Pirmuoju ir antruoju atveju bet koks žodis (ilgis n – 1 Ir n – 2 raidės) be dvigubo „b“.

Mes galėjome pagrįsti, kodėl a n = a n–1 + a n–2.

Dabar paskaičiuokime a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. Ir gauname pažįstamą Fibonačio seką.

Atsakymas: 144.

3 užduotis:

Įsivaizduokite, kad yra juosta, padalinta į ląsteles. Jis eina į dešinę ir tęsiasi neribotą laiką. Ant pirmojo juostos kvadrato uždėkite žiogą. Kad ir kurioje juostos langelyje jis būtų, jis gali judėti tik į dešinę: arba vieną langelį, arba dvi. Kiek yra būdų, kuriais žiogas gali peršokti nuo juostos pradžios iki n- ląstelės?

Pažymėkime būdų, kaip perkelti žiogą išilgai diržo, skaičių n-osios ląstelės kaip a n. Tokiu atveju a 1 = a 2= 1. Taip pat į n+1Žiogas gali patekti į --ąją ląstelę arba iš n-toji ląstelė arba peršokant ją. Iš čia a n + 1 = a n – 1 + a n. Kur a n = Fn – 1.

Atsakymas: Fn – 1.

Panašias problemas galite susikurti patys ir pabandyti jas išspręsti matematikos pamokose kartu su klasės draugais.

Fibonačio skaičiai populiariojoje kultūroje

Žinoma, kad yra neįprastas reiškinys, kaip ir Fibonačio skaičiai, negali nepatraukti dėmesio. Šiame griežtai patikrintame modelyje vis dar yra kažkas patrauklaus ir net paslaptingo. Nenuostabu, kad Fibonačio seka kažkaip „sužibo“ daugelyje įvairių žanrų šiuolaikinės populiariosios kultūros kūrinių.

Mes jums papasakosime apie kai kuriuos iš jų. Ir vėl bandai ieškoti savęs. Jei radote, pasidalinkite su mumis komentaruose – mums irgi įdomu!

• Fibonačio skaičiai minimi Dano Browno bestseleryje „Da Vinčio kodas“: Fibonačio seka naudojama kaip kodas, kuriuo pagrindiniai knygos veikėjai atidaro seifą.
• 2009 m. amerikiečių filme „Ponas niekas“ viename epizode namo adresas yra Fibonačio sekos dalis – 12358. Be to, kitame epizode Pagrindinis veikėjas reikėtų skambinti telefono numeris, kuri iš esmės yra ta pati, bet šiek tiek iškraipyta (papildomas skaitmuo po 5) seka: 123-581-1321.
• 2012 m. seriale „Ryšys“ pagrindinis veikėjas, autizmu sergantis berniukas, gali įžvelgti pasaulyje vykstančių įvykių modelius. Įskaitant per Fibonačio skaičius. Ir valdykite šiuos įvykius per skaičius.
• Java žaidimų kūrėjai Mobilieji telefonai Doom RPG viename iš lygių padėjo slaptas duris. Jį atidarantis kodas yra Fibonačio seka.
• 2012 metais rusų roko grupė Splin išleido koncepcinį albumą „Optical Deception“. Aštuntasis takelis vadinasi „Fibonacci“. Grupės lyderio Aleksandro Vasiljevo eilės groja Fibonačio skaičių seka. Kiekvienam iš devynių iš eilės eilučių yra atitinkamas eilučių skaičius (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Traukinys pajudėjo

1 Nutrūko vienas jungtis

1 Viena rankovė drebėjo

2 Tai viskas, pasiimk daiktus

Tai viskas, pasiimk daiktus

3 Prašymas verdančio vandens

Traukinys važiuoja prie upės

Traukinys važiuoja per taigą<…>.

• Jameso Lyndono „Limerick“ (tam tikros formos trumpas eilėraštis – dažniausiai penkios eilutės, su konkrečia rimo schema, humoristinis turinys, kuriame pirmoji ir paskutinė eilutės kartojasi arba iš dalies dubliuoja viena kitą) Jameso Lyndono taip pat naudoja nuorodą į Fibonacci. seka kaip humoristinis motyvas:

Tankus Fibonačio žmonų maistas

Tai buvo tik jiems naudinga, nieko daugiau.

Pasak gandų, žmonos svėrė

Kiekvienas iš jų yra panašus į du ankstesnius.

Apibendrinkime

Tikimės, kad šiandien galėjome jums pasakyti daug įdomių ir naudingų dalykų. Pavyzdžiui, dabar galite ieškoti Fibonačio spiralės jus supančioje gamtoje. Galbūt jūs būsite tas, kuris sugebės atskleisti „gyvenimo, Visatos ir apskritai paslaptį“.

Spręsdami kombinatorikos uždavinius, naudokite Fibonačio skaičių formulę. Galite pasikliauti šiame straipsnyje aprašytais pavyzdžiais.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

(Fibonačio skaičiai, angl. Fibonačio seka, Fibonačio skaičiai) – žymaus matematiko Fibonačio išvesta skaičių serija. Jo forma yra tokia: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 ir kt.

Fibonačio serijos istorija

Leonardo iš Pizos (Fibonacci) atėjo į matematiką iš praktinio poreikio užmegzti verslo ryšius. Jaunystėje Fibonacci daug keliavo, lydėdavo tėvą į įvairias verslo keliones, kurios leido jam bendrauti su vietos mokslininkais.

Skaičių serija, kuri šiandien vadinama jo vardu, buvo kilusi dėl problemos su triušiais, kurią autorius išdėstė knygoje Liber abacci (1202): vyras įdėjo porą triušių į aptvarą, iš visų pusių apsuptą siena. Klausimas: kiek ši pora gali užauginti porų triušių per metus, jei žinoma, kad kiekvieną mėnesį, pradedant nuo antro mėnesio, kiekviena pora užaugina po vieną triušių porą.

Dėl to Fibonacci nustatė, kad triušių porų skaičius per ateinančius dvylika mėnesių bus atitinkamai:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Kur kiekvienas paskesnis skaičius yra ankstesnių dviejų suma. Tai Fibonačio serija (skaičiai). Ši seka turi daug savybių, kurios įdomios matematiniu požiūriu. Pavyzdžiui, jei padalijate liniją į 2 segmentus, kad mažesnio ir didesnio segmento santykis būtų proporcingas didesnio segmento ir visos linijos santykiui, gausite proporcingumo koeficientą, žinomą kaip „auksinis santykis“. Jis apytiksliai lygus 0,618. Renesanso mokslininkai manė, kad būtent ši proporcija, stebima architektūrinėse struktūrose, gali labiausiai džiuginti akį.

Fibonačio serijos taikymas

Fibonacci serija buvo plačiai pritaikyta įvairiose mokslo ir gyvenimo srityse. Pavyzdžiui, gamtoje: uraganų, kriauklių ir net galaktikų struktūroje. Ne išimtis buvo ir Forex valiutų rinka, kur tendencijoms prognozuoti imta naudoti nuoseklią skaičių seriją. Reikėtų pažymėti, kad tarp šių skaičių yra nuolatiniai ryšiai. Pavyzdžiui, kaip minėta aukščiau, ankstesnio skaičiaus ir kito skaičiaus santykis asimptotiškai linkęs į 0,618 (auksinis pjūvis). Tam tikro skaičiaus ir ankstesnio skaičiaus santykis taip pat linkęs į 0,618.

Be tendencijų prognozavimo, Fibonačio skaičiai Forex yra naudojami kainų judėjimo krypčiai prognozuoti. Pavyzdžiui, tendencijos apsisukimas pagal auksinį pjūvį įvyksta maždaug 61,8% ankstesnio kainos pokyčio lygyje (žr. 1 pav.). Atitinkamai, labiausiai pelningas variantasšiuo atveju pozicija bus uždaryta šiek tiek žemiau šio lygio. Remdamiesi Fibonacci serija, galite apskaičiuoti pelningiausius sandorių uždarymo ir atidarymo momentus.

Be to, vienas iš būdų, kaip Forex rinkoje naudoti iš eilės Fibonacci serijos skaičius, yra lankų kūrimas. Tokio lanko centras pasirenkamas svarbaus dugno arba lubų taške. Lankų spindulys apskaičiuojamas Fibonačio koeficientus padauginus iš ankstesnio reikšmingo kainų kilimo ar kritimo vertės.

Pasirinkti koeficientai turi šias reikšmes: 0,333, 0,382, 0,4, 0,5, 0,6, 0,618, 0,666. Lankų vieta lemia jų vaidmenį: atramą ar pasipriešinimą. Taip pat norint susidaryti supratimą apie kainų pokyčių laiką, lankai dažniausiai naudojami kartu su greičio ar ventiliatoriaus linijomis.

Jų konstravimo principas panašus: reikia pasirinkti praeities ekstremalių taškus ir nuo pirmojo jų viršaus nubrėžti horizontalią, o iš antrojo – vertikalią. Tada gautą vertikalųjį segmentą turėtumėte padalinti į dalis, atitinkančias koeficientus, nubrėžti spindulius, ateinančius iš pirmojo taško, per tuos, kuriuos ką tik pasirinkote. Naudojant santykius 2/3 ir 1/3, gaunamos didelės spartos linijos su griežtesniais santykiais 0,618, 0,5 ir 0,382, gaunamos ventiliatoriaus linijos. Visos jos tarnauja kaip palaikymo arba pasipriešinimo linijos kainų tendencijai (žr. 2 pav.).

Ventiliatorių lankų ir linijų sankirtos yra signalai, leidžiantys nustatyti tendencijų posūkio taškus – tiek laiko, tiek kainos atžvilgiu.

(2 pav. – Fibonačio serija, lankų konstrukcija)

Labiau nepastovesnėms valiutų poroms būdingas aukštesnis Fibonačio lygis, palyginti su mažiau nepastoviomis. Didžiausi judėjimai registruojami doleris/frankas ir svaras/doleris poromis, po to doleris/jena ir euras/doleris.

Fibonacci serijų naudojimas Forex valiutų rinkoje turi vieną ypatybę – jas galima naudoti tik geriems impulsų judesiams.

Fibonačio skaičiai yra skaičių sekos elementai.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, kuriame kiekvienas paskesnis skaičius yra lygus dviejų ankstesnių skaičių sumai. Pavadintas viduramžių matematiko Leonardo iš Pizos (arba Fibonačio), gyvenusio ir dirbusio pirkliu ir matematiku m. Italijos miestas Piza. Jis yra vienas žymiausių savo meto Europos mokslininkų. Vienas didžiausių jo laimėjimų buvo arabiškų skaičių įvedimas, kuris pakeitė romėniškus skaitmenis. Fn =Fn-1 +Fn-2

Matematinė eilutė asimptotiškai (ty vis lėčiau artėja) linkusi į pastovų santykį. Tačiau toks požiūris yra neracionalus; po jo yra begalinė, nenuspėjama dešimtainių reikšmių seka. To niekada negalima tiksliai išreikšti. Jei kiekvienas skaičius, kuris yra serijos dalis, yra padalintas iš ankstesnės reikšmės (pvz., 13-^8 arba 21 -IZ), veiksmo rezultatas bus išreikštas santykiu, kuris svyruoja maždaug neracionalus skaičius 1,61803398875, šiek tiek daugiau arba šiek tiek mažiau nei gretimi serijos koeficientai. Santykis niekada, neribotą laiką, nebus tikslus iki paskutinio skaitmens (net naudojant galingiausius mūsų laikais sukurtus kompiuterius). Trumpumo dėlei kaip Fibonačio koeficientą naudosime 1,618 ir paprašysime skaitytojų žinoti apie šią klaidą.

Fibonačio skaičiai turi svarbu o atliekant analizę, Euklido algoritmas, siekiant nustatyti dviejų skaičių didžiausią bendrą daliklį. Fibonačio skaičiai gaunami iš Paskalio trikampio įstrižainės formulės (binominiai koeficientai).

Paaiškėjo, kad Fibonačio skaičiai yra susiję su „auksiniu pjūviu“.

Auksinis pjūvis buvo žinomas dar seniai Senovės Egiptas ir Babilone, Indijoje ir Kinijoje. Kas yra „auksinis santykis“? Atsakymas vis dar nežinomas. Fibonačio skaičiai yra tikrai svarbūs mūsų laikų praktikos teorijai. Svarbos padidėjimas įvyko XX amžiuje ir tęsiasi iki šiol. Fibonačio skaičių naudojimas ekonomikoje ir kompiuterių moksle pritraukė daug žmonių į jų studijas.

Mano tyrimo metodiką sudarė specializuotos literatūros studijavimas ir gautos informacijos apibendrinimas, taip pat savo paties tyrimo atlikimas ir skaičių savybių bei jų panaudojimo apimties nustatymas.

Per moksliniai tyrimai apibrėžė pačias Fibonačio skaičių sąvokas ir jų savybes. Įdomių raštų išsiaiškinau ir gyvojoje gamtoje, tiesiogiai saulėgrąžų sėklų struktūroje.

Ant saulėgrąžų sėklos išsidėsčiusios spiralėmis, o kita kryptimi einančių spiralių skaičius skiriasi – tai vienas po kito einantys Fibonačio skaičiai.

Ši saulėgrąža turi 34 ir 55.

Tas pats pastebimas ir ananasų vaisiuose, kur yra 8 ir 14 spiralių. unikalus turtas Fibonačio skaičiai yra sujungti kukurūzų lapais.

A/b formos trupmenos, atitinkančios augalo stiebo kojelių lapų spiralinį išsidėstymą, dažnai yra vienas po kito einančių Fibonačio skaičių santykiai. Lazdynui šis santykis yra 2/3, ąžuolui 3/5, tuopoms 5/8, gluosniams 8/13 ir t.t.

Žvelgdami į lapų išsidėstymą ant augalo stiebo, galite pastebėti, kad tarp kiekvienos lapų poros (A ir C), trečiasis yra aukso pjūviu (B).

Daugiau įdomi nuosavybė Fibonačio skaičius reiškia, kad bet kurių dviejų skirtingų Fibonačio skaičių sandauga ir koeficientas, išskyrus vieną, niekada nėra Fibonačio skaičius.

Atlikus tyrimą, padariau tokias išvadas: Fibonačio skaičiai yra unikali aritmetinė progresija, atsiradusi XIII a. Ši progresija nepraranda savo aktualumo, tai patvirtino ir mano tyrimo metu. Fibonačio skaičiai taip pat randami programavimo ir ekonomikos prognozėse, tapyboje, architektūroje ir muzikoje. Nuotraukos tokių žinomų menininkų, kaip Leonardo da Vinci, Mikelandželas, Rafaelis ir Botičelis slepia aukso pjūvio magiją. Netgi I. I. Šiškinas savo paveiksle „Pušyne“ panaudojo aukso pjūvį.

Sunku patikėti, bet aukso pjūvis randamas ir tokių didžių kompozitorių kaip Mocarto, Bethoveno, Šopeno ir kt. muzikiniuose kūriniuose.

Fibonačio skaičiai randami ir architektūroje. Pavyzdžiui, aukso pjūvis buvo naudojamas statant Partenoną ir Dievo Motinos katedrą

Sužinojau, kad Fibonačio skaičiai naudojami ir mūsų rajone. Pavyzdžiui, namo apdaila, frontonai.

Visatoje vis dar yra daug neišspręstų paslapčių, kai kuriuos iš jų mokslininkams jau pavyko nustatyti ir aprašyti. Fibonačio skaičiai ir aukso pjūvis sudaro pagrindą išnarplioti mus supantį pasaulį, konstruoti jo formą ir optimalų vizualinį žmogaus suvokimą, kurio pagalba jis gali pajusti grožį ir harmoniją.

Auksinis santykis

Aukso pjūvio matmenų nustatymo principu grindžiamas viso pasaulio ir jo dalių tobulumas savo sandara ir funkcijomis, jo pasireiškimas matomas gamtoje, mene ir technikoje. Auksinės proporcijos doktrina buvo įkurta senovės mokslininkų tyrinėjant skaičių prigimtį.

Jis pagrįstas senovės filosofo ir matematiko Pitagoro sukurta segmentų padalijimo proporcijų ir santykių teorija. Jis įrodė, kad dalijant atkarpą į dvi dalis: X (mažesnę) ir Y (didesnę), didesnio ir mažesnio santykis bus lygus jų sumos (viso segmento) santykiui:

Rezultatas yra lygtis: x 2 - x - 1 = 0, kuri išspręsta kaip x=(1±√5)/2.

Jei laikysime santykį 1/x, tada jis lygus 1,618…

Įrodymai, kad senovės mąstytojai naudojo aukso pjūvį, pateikiami Euklido knygoje „Elementai“, parašytoje III amžiuje. Kr., kurie pritaikė šią taisyklę taisyklingiems penkiakampiams statyti. Tarp pitagoriečių ši figūra laikoma šventa, nes yra ir simetriška, ir asimetriška. Pentagrama simbolizavo gyvybę ir sveikatą.

Fibonačio skaičiai

1202 m. buvo išleista garsioji italų matematiko Leonardo iš Pizos knyga Liber abaci, kuri vėliau tapo žinoma Fibonačio vardu. Joje mokslininkas pirmą kartą cituoja skaičių modelį, kurio serijoje kiekvienas skaičius yra skaičių suma. 2 ankstesni skaitmenys. Fibonačio skaičių seka yra tokia:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ir kt.

Mokslininkas taip pat nurodė keletą modelių:

• Bet kuris skaičius iš serijos, padalytas iš kito, bus lygus reikšmei, kuri yra 0,618. Be to, pirmieji Fibonačio skaičiai tokio skaičiaus neduoda, tačiau judant nuo sekos pradžios šis santykis taps vis tikslesnis.
• Jei padalysite skaičių iš serijos iš ankstesnio, rezultatas padidės iki 1,618.
• Vienas skaičius, padalytas iš kito, parodys vertę, siekiančią 0,382.

Aukso pjūvio, Fibonačio skaičiaus (0,618) ryšio ir šablonų pritaikymo galima rasti ne tik matematikoje, bet ir gamtoje, istorijoje, architektūroje ir statyboje bei daugelyje kitų mokslų.

Archimedo spiralė ir auksinis stačiakampis

Gamtoje labai paplitusias spirales tyrinėjo Archimedas, net išvedęs jos lygtį. Spiralės forma pagrįsta aukso pjūvio dėsniais. Jį išvyniojus gaunamas ilgis, kuriam galima pritaikyti proporcijas ir Fibonačio skaičius, žingsnis didėja tolygiai.

Fibonačio skaičių ir aukso pjūvio paralelę galima pamatyti sukūrus „auksinį stačiakampį“, kurio kraštinės yra proporcingos 1,618:1. Jis statomas iš didesnio stačiakampio pereinant prie mažesnių, kad kraštinių ilgiai būtų lygūs skaičiams iš serijos. Jis taip pat gali būti pastatytas atvirkštine tvarka, pradedant kvadratu „1“. Šio stačiakampio kampus sujungus linijomis jų susikirtimo centre, gaunama Fibonačio arba logaritminė spiralė.

Auksinių proporcijų naudojimo istorija

Daugelis senovės Egipto architektūros paminklų buvo pastatyti naudojant auksines proporcijas: garsiosios Cheopso ir kitų architektų piramidės Senovės Graikija Jie buvo plačiai naudojami statant architektūrinius objektus, tokius kaip šventyklos, amfiteatrai ir stadionai. Pavyzdžiui, tokios proporcijos buvo naudojamos statant senovinę Partenono šventyklą (Atėnus) ir kitus objektus, tapusius senovės architektūros šedevrais, demonstruojančiais matematiniais raštais paremtą harmoniją.

Vėlesniais amžiais susidomėjimas aukso pjūviu atslūgo, raštai buvo pamiršti, bet vėl atsinaujino Renesanso epochoje su pranciškonų vienuolio L. Pacioli di Borgo knyga „Dieviškoji proporcija“ (1509). Jame buvo Leonardo da Vinci iliustracijų, kurios sukūrė naują pavadinimą „auksinis pjūvis“. Taip pat moksliškai įrodyta 12 aukso pjūvio savybių, kurios autorius kalbėjo apie tai, kaip jis pasireiškia gamtoje, mene ir pavadino tai „pasaulio ir gamtos kūrimo principu“.

Vitruvijaus žmogus Leonardo

Piešinyje, kuriuo Leonardo da Vinci iliustravo Vitruvijaus knygą 1492 m., vaizduojama žmogaus figūra 2 pozicijose su išskėstomis rankomis į šonus. Figūra įrašyta į apskritimą ir kvadratą. Šis piešinys laikomas kanoninėmis žmogaus kūno (vyro) proporcijomis, kurias aprašė Leonardo, remdamasis jas tyrinėdamas romėnų architekto Vitruvijaus traktatuose.

Kūno centras, kaip vienodu atstumu nuo rankų ir kojų galo, yra bamba, rankų ilgis lygus žmogaus ūgiui, didžiausias pečių plotis = 1/8 ūgio, atstumas nuo krūtinės viršaus iki plaukų = 1/7, nuo krūtinės viršaus iki galvos viršaus = 1/6 ir t. t.

Nuo tada piešinys naudojamas kaip simbolis, rodantis žmogaus kūno vidinę simetriją.

Leonardo vartojo terminą „auksinis santykis“, kad apibūdintų proporcingus žmogaus figūros santykius. Pavyzdžiui, atstumas nuo juosmens iki pėdų yra susijęs su tuo pačiu atstumu nuo bambos iki viršugalvio, kaip ir aukštis iki pirmojo ilgio (nuo juosmens žemyn). Šis skaičiavimas atliekamas panašiai kaip segmentų santykis skaičiuojant auksinę proporciją ir linkęs į 1,618.

Visas šias harmoningas proporcijas menininkai dažnai naudoja kurdami gražius ir įspūdingus kūrinius.

Aukso pjūvio tyrinėjimai XVI–XIX a

Naudojant auksinį pjūvį ir Fibonačio skaičius, tiriamasis darbas diskusijos proporcijų klausimu vyksta jau daugiau nei šimtmetį. Lygiagrečiai su Leonardo da Vinci teoriją sukūrė ir vokiečių menininkas Albrechtas Dureris teisingos proporcijosŽmogaus kūnas. Tam jis netgi sukūrė specialų kompasą.

XVI amžiuje Fibonačio skaičiaus ir aukso pjūvio ryšio klausimas buvo skirtas astronomo I. Keplerio darbui, kuris pirmasis pritaikė šias taisykles botanikai.

Naujas „atradimas“ aukso pjūvio laukė XIX a. išleidus vokiečių mokslininko profesoriaus Zeisigo „Estetinį tyrimą“. Jis iškėlė šias proporcijas iki absoliučių ir paskelbė, kad jos yra universalios visiems natūralus fenomenas. Jie atliko tyrimus didelis kiekisžmonių, tiksliau jų kūno proporcijas (apie 2 tūkst.), kurių rezultatais buvo padarytos išvados apie statistiškai patvirtintus santykio modelius. įvairios dalys kūnas: pečių, dilbių, rankų, pirštų ir kt.

Meno objektai (vazos, architektūros statiniai), muzikos tonai, metrai rašant eilėraščius – visa tai Zeisigas atskleidė per segmentų ir skaičių ilgius, taip pat įvedė terminą „matematinė estetika“. Gavus rezultatus paaiškėjo, kad buvo gauta Fibonačio serija.

Fibonačio skaičius ir aukso pjūvis gamtoje

Augalų ir gyvūnų pasaulyje pastebima morfologijos tendencija simetrijos forma, kuri stebima augimo ir judėjimo kryptimi. Padalijimas į simetriškas dalis, kuriose stebimos auksinės proporcijos - šis modelis būdingas daugeliui augalų ir gyvūnų.

Mus supančią gamtą galima apibūdinti naudojant Fibonačio skaičius, pavyzdžiui:

• bet kokių augalų lapų ar šakų vieta, taip pat atstumai yra koreliuojami su nurodytų skaičių 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ir pan.
• saulėgrąžų sėklos (žvynai ant spurgų, ananasų ląstelės), išdėstytos dviem eilėmis išilgai susuktų spiralių įvairiomis kryptimis;
• uodegos ilgio ir viso driežo kūno santykis;
• kiaušinio forma, jei per plačią jo dalį nubrėžiate liniją;
• pirštų dydžių santykis ant žmogaus rankos.

Ir, žinoma, įdomiausios formos yra spiralės formos sraigių kiautai, voratinklio raštai, vėjo judėjimas uragano viduje, dviguba spiralė DNR ir galaktikų struktūra – visa tai apima Fibonačio seką.

Aukso pjūvio panaudojimas mene

Tyrėjai, ieškantys aukso pjūvio panaudojimo dailėje pavyzdžių, išsamiai tiria įvairius architektūros objektus ir meno kūrinius. Yra žinomi skulptūriniai kūriniai, kurių kūrėjai laikėsi aukso proporcijų - Olimpiečio Dzeuso, Apolono Belvederio ir

Vienas iš Leonardo da Vinci kūrinių „Monos Lizos portretas“ jau daugelį metų buvo mokslininkų tyrinėjamas. Jie atrado, kad kūrinio kompoziciją sudaro vien „auksiniai trikampiai“, sujungti į taisyklingą penkiakampę žvaigždę. Visi da Vinci darbai liudija, kokios gilios jo žinios apie žmogaus kūno struktūrą ir proporcijas, kurių dėka jis sugebėjo užfiksuoti neįtikėtinai paslaptingą Monos Lizos šypseną.

Aukso pjūvis architektūroje

Kaip pavyzdį mokslininkai nagrinėjo architektūros šedevrus, sukurtus pagal „aukso pjūvio“ taisykles: Egipto piramides, Panteoną, Partenoną, Paryžiaus Dievo Motinos katedrą, Šv.Vazilijaus katedrą ir kt.

Partenonas yra vienas iš gražiausių pastatų Senovės Graikijoje (V a. pr. Kr.) – turi 8 kolonas ir 17 skirtingoms partijoms, jo aukščio ir kraštinių ilgio santykis yra 0,618. Jo fasadų iškyšos padarytos pagal „aukso pjūvį“ (nuotrauka žemiau).

Vienas iš mokslininkų, kuris išrado ir sėkmingai taikė patobulinimą modulinė sistema architektūros objektų proporcijas (vadinamasis „moduliatorius“), buvo prancūzų architektas Le Corbusier. Moduliatorius yra pagrįstas matavimo sistema, susijęs su sąlyginiu padalijimu į žmogaus kūno dalis.

Rusų architektas M.Kazakovas, Maskvoje pastatęs kelis gyvenamuosius pastatus, taip pat Senato pastatą Kremliuje ir Golicino ligoninę (dabar – 1-oji klinika, pavadinta N. I. Pirogovo vardu), buvo vienas iš architektų, naudojusių įstatymus projektuodamas ir konstrukcija apie aukso pjūvį.

Proporcijų taikymas projektuojant

Drabužių dizaine visi mados kūrėjai naujus įvaizdžius ir modelius kuria atsižvelgdami į žmogaus kūno proporcijas ir aukso pjūvio taisykles, nors iš prigimties ne visi žmonės turi idealias proporcijas.

Planuojant kraštovaizdžio dizainas bei kuriant tūrines parko kompozicijas naudojant augalus (medžius ir krūmus), fontanus ir mažosios architektūros objektus, galima pritaikyti ir „dieviškų proporcijų“ dėsnius. Juk parko kompozicija turėtų būti orientuota į įspūdžio kūrimą lankytojui, kuris galės laisvai jame naršyti ir rasti kompozicinį centrą.

Visi parko elementai yra tokiomis proporcijomis, kad geometrinės struktūros, santykinės padėties, apšvietimo ir šviesos pagalba sukurtų harmonijos ir tobulumo įspūdį.

Aukso pjūvio taikymas kibernetikoje ir technologijose

Aukso pjūvio ir Fibonačio skaičių dėsniai taip pat atsiranda energijos perėjimuose, procesuose, vykstančiuose su elementariosios dalelės, cheminių junginių komponentai, kosminėse sistemose, DNR genų struktūroje.

Panašūs procesai vyksta ir žmogaus organizme, pasireiškiantys jo gyvenimo bioritmais, organų, pavyzdžiui, smegenų ar regėjimo, veikimu.

Auksinių proporcijų algoritmai ir modeliai plačiai naudojami šiuolaikinėje kibernetikoje ir informatikoje. Viena iš paprastų užduočių, kurią turi išspręsti pradedantieji programuotojai, yra parašyti formulę ir nustatyti Fibonačio skaičių sumą iki tam tikras skaičius naudojant programavimo kalbas.

Šiuolaikiniai aukso pjūvio teorijos tyrimai

Nuo XX amžiaus vidurio labai išaugo susidomėjimas aukso proporcijų dėsnių problemomis ir įtaka žmogaus gyvenimui, todėl iš daugelio įvairių profesijų mokslininkų: matematikų, etninių tyrėjų, biologų, filosofų, medicinos darbuotojai, ekonomistai, muzikantai ir kt.

JAV nuo 1970-ųjų pradėtas leisti žurnalas The Fibonacci Quarterly, kuriame buvo publikuojami darbai šia tema. Spaudoje pasirodo kūriniai, kuriuose naudojamos apibendrintos aukso pjūvio taisyklės ir Fibonačio serija įvairios pramonės šakosžinių. Pavyzdžiui, informacijos kodavimui, cheminiams tyrimams, biologiniams tyrimams ir kt.

Visa tai patvirtina senovės ir šiuolaikinių mokslininkų išvadas, kad aukso pjūvis yra daugiašališkai susijęs su fundamentaliais mokslo klausimais ir pasireiškia daugelio mus supančio pasaulio kūrinių ir reiškinių simetrija.