Koncept usklađenosti. Metode za određivanje korespondencije

U početku je algebra proučavala rješavanje jednačina. Tokom mnogih vekova svog razvoja, algebra se pretvorila u nauku koja proučava operacije i odnose na različitim skupovima. Stoga nije slučajno što je već u osnovna škola djeca upoznaju algebarske pojmove kao što su izraz (numerički i varijabilni), brojčana jednakost, numerička nejednakost, jednadžba. Oni uče razna svojstva aritmetičke operacije preko brojeva koji vam omogućavaju da racionalno izvodite proračune. I, naravno, u početnom kursu matematike se upoznaju razne zavisnosti, odnosima, ali da bi ih koristio u svrhu razvoja mentalne aktivnosti djece, nastavnik mora ovladati nekim općim pojmovima savremene algebre – pojmom korespondencije, odnosa, algebarske operacije itd. Osim toga, ovladavanjem matematičkim jezikom koji se koristi u algebri, nastavnik će moći bolje da razume suštinu matematičkog modeliranja stvarnih pojava i procesa.

Proučavajući svijet oko nas, matematika razmatra ne samo svoje objekte, već uglavnom i veze između njih. Ove veze se nazivaju zavisnosti, korespondencije, relacije, funkcije. Na primjer, kada se izračunavaju dužine objekata, uspostavljaju se korespondencije između objekata i brojeva, koji su vrijednosti njihovih dužina; pri rješavanju zadataka kretanja uspostavlja se odnos između prijeđenog puta i vremena ako je brzina kretanja konstantna.

Specifične zavisnosti, korespondencije i odnosi između objekata u matematici se proučavaju od njenog nastanka. Ali pitanje šta je zajedničko raznim korespondencijama, šta je suština svake korespondencije, postavljeno je krajem 19. - početkom 20. veka, a odgovor na njega pronađen je u okviru teorije skupova.

U početnom kursu matematike proučavaju se različiti odnosi između elemenata jednog, dva ili više skupova. Stoga nastavnik treba razumjeti njihovu suštinu, što će mu pomoći da osigura jedinstvo u metodologiji proučavanja ovih odnosa.

Pogledajmo tri primjera korespondencija koje se proučavaju na početnom kursu matematike.

U prvom slučaju uspostavljamo korespondenciju između datih izraza i njihovih numeričkih vrijednosti. U drugom, saznajemo koji broj odgovara svakoj od ovih figura, karakterizirajući njegovu površinu. U trećem tražimo broj koji je rješenje jednačine.

Šta je zajedničko ovim prepiskama?

Vidimo da u svim slučajevima imamo dva skupa: u prvom, ovo je skup od tri numerička izraza i skup N prirodni brojevi(vrijednosti ovih izraza pripadaju njemu), u drugom - ovo je skup od tri geometrijski oblici i skup N prirodnih brojeva; u trećem je to skup od tri jednačine i skup od N prirodnih brojeva.

Izvršavanjem predloženih zadataka uspostavljamo vezu (podudarnost) između elemenata ovih skupova. Može se vizuelno prikazati pomoću grafikona (slika 1).

Ova podudaranja možete odrediti tako što ćete navesti sve parove elemenata koji se nalaze u datom podudaranju:

I. ((u 1, 4), (u 3, 20));

II. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

Rezultirajući skupovi pokazuju da se svaka korespondencija između dva skupa X i Y može smatrati kao skup uređenih parova , formirane od njihovih elemenata. A pošto su uređeni parovi elementi kartezijanskog proizvoda, dolazimo do sljedeće definicije opšti koncept usklađenost.

Definicija. Korespondencija između elemenata skupa X i Y je bilo koji podskup kartezijanskog proizvoda ovih skupova.

Korespondencije se obično označavaju slovima P, S, T, R, itd. Ako je S korespondencija između elemenata skupova X i Y, onda je, prema definiciji, S X x Y.

Hajde da sada saznamo kako da definišemo korespondenciju između dva skupa. Pošto je korespondencija podskup, može se specificirati kao bilo koji skup, tj. bilo navođenjem svih parova elemenata koji su u datoj korespondenciji, ili navođenjem karakterističnog svojstva elemenata ovog podskupa. Dakle, korespondencija između skupova X = (1, 2, 4, 6) i Y = (3, 5) se može specificirati:

1) koristeći rečenicu sa dvije varijable: a< b при условии, что а X, b Y;

2) navođenje parova brojeva koji pripadaju podskupu kartezijanskog proizvoda XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Ovaj način dodjeljivanja uključuje i dodjeljivanje korespondencije pomoću grafa (slika 2) i grafa (slika 3)

Rice. 2 Fig. 3

Često, kada se proučavaju korespondencije između elemenata skupova X i Y, mora se uzeti u obzir korespondencija koja je njena suprotnost. Neka, na primjer,

S - “više od 2” korespondencije između elemenata skupova

X = (4,5,8, 10) i Y= (2,3,6). Tada će S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) i njegov graf biti isti kao na slici 4a.

Inverzno od datog podudaranja je podudaranje "manje od 2". Razmatra se između elemenata skupova Y i X, a da bi se to jasno predstavilo, dovoljno je promijeniti smjer strelica na grafu relacije S u suprotan (Sl. 4b). Ako je korespondencija “manje za 2” označena sa S -1, tada je S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

Dogovorimo se da rečenicu “element x je u skladu sa elementom y” napišemo na sljedeći način: xSy. Unos xSy se može smatrati generalizacijom unosa za specifične korespondencije: x = 2y; x > 3y+1, itd.

Koristimo uvedenu notaciju da definišemo pojam korespondencije inverzne datoj.

Definicija. Neka je S korespondencija između elemenata skupova X i Y. Za korespondenciju S -1 između elemenata skupova Y i X kaže se da je njena inverzna ako je yS -x ako i samo ako je xSy .

Korespondencije S i S -1 nazivaju se međusobno inverzne. Hajde da saznamo karakteristike njihovih grafova.

Napravimo graf korespondencije S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Sl. 5a). Prilikom konstruisanja grafa korespondencije S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)), moramo odabrati prvu komponentu iz skupa Y = (2, 3, 6), a drugi iz skupa X = (4, 5, 8, 10). Kao rezultat, graf korespondencije S -1 će se poklopiti sa grafom korespondencije S. Da bismo napravili razliku između grafova korespondencije S i S -1,

složili se da se prva komponenta korespondentnog para S -1 smatra apscisom, a druga ordinatom. Na primjer, ako je (5, 3) S, onda (3, 5) S -1. Tačke sa koordinatama (5, 3) i (3, 5), au opštem slučaju (x, y) i (y, x) su simetrične u odnosu na simetralu 1. i 3. koordinatnog ugla. Shodno tome, grafovi međusobno inverznih korespondencija S i S -1 su simetrični u odnosu na simetralu 1. i 3. koordinatnog ugla.

Za izgradnju grafa korespondencije S -1 dovoljno je prikazati koordinatna ravan tačke simetrične tačkama grafa S u odnosu na simetralu 1. i 3. koordinatnog ugla.

Izgraditi matematička teorija Ne trebaju nam samo sami elementi, već i odnosi između njih. Za brojeve, koncept jednakosti ima smisla: a = b. Ako su brojevi a i b različiti, ha? b, tada je moguće ili a > b, ili a

Dvije ravne ravni mogu biti okomite, paralelne ili se sijeku pod određenim uglom.

Svi ovi odnosi se tiču ​​dva objekta. Zbog toga se nazivaju binarni odnosi.

Za proučavanje odnosa između objekata u matematici, stvorena je teorija binarnih odnosa.

Kada razmatramo određene relacije, uvijek imamo posla sa uređenim parovima formiranim od elemenata datog skupa. Na primjer, za relaciju “veće za 4”, koja se razmatra na skupu X = (2, 6, 10, 14), to će biti uređeni parovi (2, 6), (6, 10), (10, 14), a za odnose “podijeljeno” - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Može se primijetiti da su skup parova koji definiraju relacije “veće od 4”, “djeljivo”, podskupovi kartezijanskog proizvoda

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

Definicija 1. Binarna relacija između elemenata skupa X ili relacije na skupu X je bilo koji podskup kartezijanskog proizvoda X ´ X.

Binarne relacije se obično označavaju velikim slovima latinske abecede: P, T, S, R, Q, itd. Dakle, ako je P relacija na skupu X, onda je P Ì X ´ X. Često različito Posebni simboli, na primjer, =, >, ~, ½½, ^, itd. Skup svih prvih elemenata parova iz P naziva se domenom definicije relacije P. Skup vrijednosti relacije P je skup svih drugih elemenata parova iz P.

Radi jasnoće, binarne relacije su prikazane grafički pomoću posebnog crteža grafa. Elementi skupa X su predstavljeni tačkama. Ako važi (x, y) Î R(hRu), onda se od tačke x do tačke y povlači strelica. Takav crtež se naziva graf relacija P, a tačke koje predstavljaju elemente skupa X su vrhovi grafa. strelice kao ivice grafa.

Primjer. Neka je relacija P: “broj x je djelitelj broja y” dat na skupu

X = (5, 10, 20, 30, 40), prikazano na slici 25.

Strelice grafa čiji su početak i kraj ista tačka nazivaju se petlje. Ako promijenite smjer svih strelica na grafu relacija P na suprotan, dobit ćete novu relaciju, koja se zove inverzna za P. Označava se P–1. Imajte na umu da xRu Û uR–1h.

Metode za specificiranje binarnih relacija.

Budući da je relacija R između elemenata skupa X skup čiji su elementi uređeni parovi, može se specificirati na isti način kao i svaki skup.

1. Najčešće se relacija R na skupu X specificira korištenjem karakterističnog svojstva parova elemenata koji se nalaze u relaciji R. Ovo svojstvo se formuliše u obliku rečenice sa dvije varijable.

Na primjer, među relacijama na skupu X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), možemo uzeti u obzir sljedeće: „broj x je 2 puta manji od broja y”, “broj x je djelitelj brojeva y”, “broj x je veći od broja y” i drugi.

2. Relacija R na skupu X može se definirati i navođenjem svih parova elemenata skupa X povezanih relacijom R.

Na primjer, ako zapišemo skup parova (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), tada na skup X = (1, 2, 3, 4) definirat ćemo neku relaciju R. Ista relacija R također se može dati

3. pomoću grafikona (Sl. 26).

Svojstva binarnih relacija.

Definicija 2. Relacija R na skupu X naziva se refleksivnom ako je svaki element iz skupa X u toj vezi sa samim sobom.

Ukratko: R je refleksivan na X Û xRx za bilo koje x O X.

ili, što je isto: na svakom vrhu grafa relacija postoji petlja. Isto tako vrijedi i obrnuto: ako svaki vrh grafa relacija nema petlju, onda je to refleksivna relacija.

Primjer. Reflektivni odnosi: „biti jednak na skupu svih trouglova ravni“, „? i £ na skupu svih realnih brojeva."

Imajte na umu da postoje relacije koje nemaju svojstvo refleksivnosti (navedite primjer "x je veći od y")

Definicija 3. Binarna relacija R na skupu X naziva se antirefleksivnom na X ako za svako x iz X (x, x) Ï R, tj. za svaki x od X uslov xRx nije zadovoljen.

Ako je relacija R antirefleksivna, onda nijedan vrh njenog grafa nema petlju. Obrnuto: ako nijedan vrh grafa nema petlju, onda graf predstavlja antirefleksivnu relaciju.

Primjeri antirefleksivnih odnosa: „biti stariji“, „biti manji“, „biti ćerka“ itd.

Definicija 4. Relacija R na skupu X naziva se simetrična ako je, za bilo koji element x, Î X uslov je zadovoljen: ako su x i y u relaciji R, tada su y i x također u ovoj relaciji.

Ukratko: R je simetričan na X Û xRu Û yRx.

Graf simetrične relacije ima svojstvo: ako postoji strelica koja povezuje par elemenata, onda nužno postoji i druga koja povezuje iste elemente, ali ide u suprotnom smjeru. I obrnuto je tačno.

Primjeri simetričnih relacija su relacije: „biti međusobno okomiti na skup svih pravih ravnine“, „biti sličan na skupu svih pravougaonika ravnine“.

Definicija 5. Ako se ni za jedan element x i y iz skupa X može dogoditi da se i xRy i yRx javljaju istovremeno, tada se relacija R na skupu X naziva asimetrična.

Primjer asimetrične relacije: “biti otac” (ako je x otac y, onda y ne može biti otac x).

Definicija 6. Relacija R na skupu X naziva se antisimetrična ako je for različitih elemenata x, y O X Iz činjenice da je element x u odnosu R sa elementom y, slijedi da element y nije u odnosu R sa elementom x.

Ukratko: R je antisimetričan na X Û xRu i x? y? .

Na primjer, relacija "manje od" na skupu cijelih brojeva je antisimetrična.

Antisimetrični relacioni graf ima posebnu osobinu: ako su dva vrha grafa povezana strelicom, onda postoji samo jedna strelica. Tačna je i suprotna izjava.

Imajte na umu da postoje relacije koje nemaju ni svojstvo simetrije ni svojstvo antisimetrije.

Definicija7. Relacija R na skupu X naziva se tranzitivna ako je za bilo koje elemente x, y, z O X ispunjen sljedeći uvjet: ako je x u odnosu R sa y i y je u relaciji R sa z, tada je element x je u odnosu R sa elementom z.

Ukratko: R je tranzitivan na X Û xRu i uRz? xRz.

Na primjer, relacija “prava x je paralelna pravoj y”, definirana na skupu pravih u ravni, je tranzitivna.

Graf tranzitivnih relacija ima posebnost da za svaki par strelica koje idu od x do y i od y do z, sadrži i strelicu koja ide od x do z. I obrnuto je tačno.

Imajte na umu da postoje relacije koje nemaju svojstvo tranzitivnosti. Na primjer, relacija “stoje jedno do drugog na polici” nije tranzitivna.

Sve opšta svojstva odnosi se mogu podijeliti u tri grupe:

refleksivnost (svaka veza je refleksivna ili antirefleksivna),

simetrija (odnos je uvijek ili simetričan, asimetričan ili antisimetričan),

tranzitivnost (svaka relacija je tranzitivna ili netranzitivna). Relacijama koje imaju određeni skup svojstava daju se posebna imena.

Bliska povezanost elemenata u sistemu određena je fizičkim, odnosno prirodnim odnosima između njih, ili drugim temeljnim svojstvima sistema, na primjer, ekonomskim, društvenim, koji karakteriziraju razvoj ljudskog društva.

Dubina takvih veza zavisi od nivoa sistema u hijerarhiji sistema vezanih za predmetnu oblast postojanja kompleksnog objekta koji se proučava. Veze obuhvataju kako opšte odnose između elemenata prirode i društva koji čine sistem, tako i privatne koji se odnose na određeni ograničeni raspon njegovih elemenata. U vezi sa gore navedenim, ove veze se nazivaju ili opšti zakoni priroda (osnovno) ili privatni, koji se odnosi na ograničeni skup fenomena (empirijski zakoni) ili na trendove koji se manifestuju u vidu nekih ponavljanja u masovnim pojavama i tzv pravilnosti.

Fundamentalne veze se nazivaju zakoni. Pravo je filozofska kategorija koja ima svojstva univerzalnosti u odnosu na sve prirodne objekte, pojave i događaje. S tim u vezi, definicija zakona je sljedeća: zakon je suštinski, stabilan, ponavljajući odnos između bilo koje pojave.

Zakon izražava određenu povezanost između samih sistema, sastavnih elemenata asocijacija predmeta i pojava, kao i unutar samih objekata i pojava.

Nije svaka veza zakon. Može biti neophodno i slučajno, Zakon je neophodna veza. Ona izražava suštinsku vezu između stvari koje koegzistiraju u prostoru (materijalne formacije, u opštem smislu).

Sve gore rečeno se odnosi na zakoni rada(postojanje prirodno okruženje ili umjetno stvorio čovjek). Postoje također zakoni razvoja, izražavajući trend, pravac ili redosled događaja u vremenu. Sve prirodne zakone ne stvara čovjek, oni postoje u svijetu objektivno i izražavaju odnose stvari, a odražavaju se i u ljudskoj svijesti.

Kao što je već spomenuto, zakoni se dijele prema stepenu općenitosti. Univerzalni zakoni su filozofski zakoni. Osnovni zakoni prirode, u svojoj opštosti, takođe su podeljeni u dve velike klase. Na općenitije, proučavane od strane brojnih, ili čak apsolutnih različitih nauka (to uključuje, na primjer, zakone održanja energije i informacija, itd.). I manje opšti zakoni, koji se protežu na ograničena područja koja proučavaju određene nauke (fizika, hemija, biologija).

Empirijske zakone proučavaju posebne nauke, koje uključuju sve tehničke nauke. Kao primjer možemo uzeti disciplinu čvrstoće materijala. Proučava objekte i sisteme u kojima funkcionišu svi fundamentalni zakoni i empirijski zakoni, na osnovu eksperimentalnih podataka, koji se odnose na subjekte discipline samo ona mehanička tela koja se povinuju Hookeovom zakonu: deformacija tela je direktno proporcionalna sili koja deluje na tijelo (i obrnuto).

U tehničkim naukama postoje delovi koji se zasnivaju na konkretnijim empirijskim vezama prihvaćenim kao aksiomi.

Neki zakoni izražavaju strogu kvantitativnu zavisnost i fiksirani su matematičkim formulama, dok se drugi još ne mogu formalizirati, što ukazuje na obaveznu prirodu jedne vrste događaja zbog pojave druge, na primjer.

Neki zakoni - odlučan, odnosno uspostavljaju precizne kvantitativne odnose na osnovu uzročno-posledičnih veza, drugi - statistički, utvrđivanje vjerovatnoće nastanka događaja pod određenim uslovima.

U prirodi, zakoni djeluju kao spontana sila. Međutim, poznavajući zakone, mogu se svrsishodno koristiti u praktičnim aktivnostima (kao sila pritiska pare u parnim mašinama, kao sila komprimovanog gasa u motorima sa unutrašnjim sagorevanjem).

Društveno-istorijski zakoni se ne razlikuju mnogo od zakona prirode, ali djeluju između misleći ljudi. Poznavanje ovih zakona pomaže bolja organizacija ekonomija i društvo.

Stoga je proučavanje zakona prirode i društva primarni zadatak čovječanstva. Samo poznavanje zakona i razvijanje mjera za njihovu ispravnu upotrebu može obezbijediti razvoju i rastućem čovječanstvu hranu i okruženje umjetno stvorenih uslova u kojima ono može postojati.

Brzina rješavanja novih problema koji se pojavljuju ovisi o tome kolika je rezerva naučna saznanja ljudi štedeli za ovog trenutka i kako je to obrađeno i shvaćeno. Razumijevanje naučnog znanja vodi do formulacije naučni problem, čije rješenje može dovesti do završetka teorije o ovom nizu pitanja i korištenja rigoroznijih zaključaka u praktičnim stvarima. Naučni problem- ne samo filozofska kategorija u opisanom smislu, već i praktična, od koje zavise i teorijska nauka i njena praktična implementacija u živote ljudi.

Iz ovog eksplanatornog dijela značaja naučnog problema za cjelovitost teorije slijedi i njegova definicija: znanstveni problem je kontradiktorna situacija koja se pojavljuje u obliku suprotstavljenih pozicija u objašnjenju bilo koje pojave, predmeta, procesa i zahtjeva. adekvatnu jedinstvenu teoriju da to riješi.

Važan preduvjet za njegovo uspješno rješenje je njegova ispravna formulacija. Uvidjeti kontradiktornosti u dobijenom empirijskom znanju, obratiti pažnju na njih i postaviti pitanje otklanjanja ove kontradikcije znači početi rješavati naučni problem i napredovati nauku ka napretku. Nije bez razloga da su u nauci ljudi koji su sposobni formulirati probleme čak i više poštovani od istraživača koji su konkretno riješili formulirani problem. Formulisanje pogrešnih problema dovodi do velike stagnacije nauke.

Kategorija “naučni problem” je direktno povezana sa kategorijom "hipoteza". Hipoteze se, prije svega, koriste za teorijsko uklanjanje kontradiktornosti naučnog problema. Takve hipoteze (pretpostavke), ako su uspješne, čak se pretvaraju u fundamentalne teorije (Newtonova pretpostavka o sili privlačenja između dva fizička tijela).

Hipoteze se koriste i u tehničkim naukama, gde su posebne prirode i predstavljaju opis načina interakcije faktora koji određuju ponašanje predmeta koji se proučava i njegovih elemenata. U ovom slučaju, hipoteza se naziva radnom hipotezom, koja se, kao iu naučnom problemu, može dokazati ili odbaciti na osnovu eksperimentalnih podataka.

Dakle, hipoteza je pretpostavka o vjerovatnom (mogućem) obrascu promjene neke pojave, objekta, događaja koji nije dokazan, ali se čini vjerovatnim.

Korisnost hipoteze je da mobiliše istraživače da formulišu probleme eksperimentalni rad kako bi se dokazala tačnost postavljene hipoteze. A ako se dobije drugačiji rezultat, akumulirani materijal će nam omogućiti da ispravimo hipotezu i planiramo daljnji znanstveno-istraživački rad.

U opštijoj formulaciji, modeliranje kao metod naučne metodologije sastoji se u prelasku sa neformalno smislenih ideja o objektu koji se proučava na korišćenje matematičkih modela.

Teorijski nivo modeli dobijeni na osnovu aksioma, pravila za izvođenje teorema, pravila korespondencije dodatno se unapređuju na osnovu hipotiko-deduktivnih odredbi sa formulisanjem posledica koje se dobijaju analizom postavljenih hipoteza. Matematički aparat koji se koristi u ovom slučaju samo je sredstvo za sticanje novog znanja i ni na koji način konačni cilj metodološka analiza.

Nakon sastavljanja matematičkog modela slijedi njegova upotreba, čija je svrha dobivanje informacija koje su nedostajale prije njegovog kreiranja, tj. rezultirajući model mora biti heuristički. Upravo ova radnja pretvara metodologiju u eksperimentalnu nauku koja omogućava provjeru svojih zaključaka u praksi.

Model i njegova svojstva.

Formalizacijom postojećeg znanja o sistemu koji se proučava (od strane kompajlera modela) kreira se model za dobijanje neophodnih svojstava sistema: konzistentnost; potpunost; nezavisnost aksiomskog sistema; sadržaja. Dobar primjer ispunjenje ovih svojstava su teorije neeuklidske geometrije Lobačevskog, Gausa, Boljaija u 19. veku. Italijan Beltrami je pokazao da postoje stvarna tijela na čijoj su površini zadovoljeni zakoni geometrije Lobačevskog.

U zoru teorijskog shvatanja ljudskog znanja, razvoj teorija je uvek išao od pojedinačnih slučajeva ka opštim. Trenutno su se pojavile metode za modeliranje objekata zasnovane na strukturiranju matematičkog modela. Lanac razvoja takvog znanja ide obrnutim redoslijedom. Prvo se pojavljuje aksiomatski matematički opis događaja (objekta) koji se proučava, a na osnovu njega se formuliše konceptualni model – paradigma. Uz to se mijenjaju i principi usklađenosti. prirodni procesi i teorijske sheme (modeli). Umjesto jednostavne podudarnosti rezultata proračuna prema modelu sa eksperimentalnim podacima eksperimenata, smatramo komparativne karakteristike njihove matematičke algoritme za postizanje rezultata na osnovu drugih (indirektnih) parametara. Ovi principi uključuju, na primjer, principe jednostavnost i lepota naučne teorije . Štaviše, u ovom slučaju model se uvodi sa novim matematičkim aparatom uz interpretaciju, tj. Polazište u njemu je matematički formalizam koji je u stanju da objasni jezikom matematike određenu suštinu koja se manifestuje u iskustvu. Upravo ovaj korak otežava empirijsku verifikaciju, jer se ne samo jednačina opisa, već i njeno tumačenje mora provjeriti iskustvom.

Uvedeni matematički aparat u ovom slučaju sadrži nekonstruktivne elemente koji naknadno mogu dovesti do neusklađenosti između teorije i iskustva. Treba napomenuti da je upravo to specifičnost modernog naučno istraživanje. S druge strane, ova karakteristika modernog naučnog istraživanja ugrožava mogućnost odbacivanja predloženog perspektivnog aparata. Da se to ne bi dogodilo, potrebno je posebno pozabaviti ovu stranu stvari - otklanjanje neslaganja na osnovu eksperimenta (kao primjer mogu poslužiti kvantna fizika i elektrodinamika).

Stari sistem interpretacija klasične fizike naučne činjenice Istovremeno, to se pretvorilo u “kreiranje” korak po korak približne matematički oblikovane teorije stvarnog procesa originalnom modelu. Postavlja se pitanje šta tjera istraživače na takav algoritam djelovanja, tj. Koji su porivi za ovakav način formiranja teorijske slike? Na ovo, metodologija nauke daje vrlo definitivan odgovor: suštinska vrednost istine; vrijednost novosti.

Sve navedeno postiže se korištenjem sljedećih istraživačkih principa: a) zabrana plagijata; b) prihvatljivost kritičke revizije osnova naučnog istraživanja; c) jednakost svih (uključujući i genije) pred istinom; d) zabrana falsifikovanja i prevare

Primjer za to je Einstein-Lorentz veza. Prva je, prema tada nezvaničnoj ocjeni, u to vrijeme bila manje mjerodavna, ali su se njeni elementi teorije relativnosti pretvorili u temeljnu teoriju. .

Unatoč brojnim radovima na matematičkom modeliranju, pojavile su se neke poteškoće u formulaciji tačan koncept matematičko modeliranje. Oni (modeli) i njihov sadržaj su previše raznoliki. Općenito, jasno je da se od modela traži nešto više od poređenja sa stvarnošću: model nužno mora pružiti informacije o svojstvima simuliranih objekata i pojava. Stoga bi prihvatljiva definicija modela trebala biti ona koja ne uključuje djelomične neizvjesnosti. Na primjer: model ovog objekta poziva se drugi objekat, koji se upoređuje sa originalnim, modeliranim i određena svojstva koji odražava (čuva) odabrana svojstva objekta na zadati način.

Model mora prikazati sve što je poznato (ponekad i neke poznate karakteristike) o objektu i predvidjeti ili generirati nove informacije o njemu u svim novim uvjetima postojanja. Svrha modeliranja je, dakle, funkcija reprezentacije (opisa) u slučaju objašnjenja fenomena koje model razmatra. U ovom slučaju model djeluje kao teorija. I, uprkos tome, oštra suprotnost između matematičke (formalne) i sadržajne strane modela u cjelini je neodrživa. Uzimajući u obzir specifičnu stranu formiranja modela, možemo rezimirati da matematika djeluje kao najvažnijim sredstvima razvijanje smislenih ideja o fenomenu koji se proučava tokom studije.

Tema 8. Odnosi i prepiske

Koncept binarnog odnosa između elemenata skupa

IN običan život mi stalno govorimo o odnosu između dva objekta. Na primjer, x radi za menadžment, x je otac, x i y su prijatelji - to su odnosi među ljudima. Brojevi više broja m, broj je djeljiv sa y, brojevi i y kada se podijeli sa 3 daje isti ostatak - to su odnosi između brojeva.

Svaka matematička teorija se bavi skupom nekih objekata ili elemenata. Da biste izgradili matematičku teoriju, potrebni su vam ne samo elementi, već i odnosi između njih. Za brojeve, koncept odnosa ima smisla: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Svi ovi odnosi se tiču ​​dva objekta. Zbog toga se nazivaju binarni odnosi.

Kada razmatramo određene relacije, uvijek imamo posla sa uređenim parovima formiranim od elemenata datog skupa. Na primjer, za relaciju „broj x je 4 veći od broja y“, koji se razmatra na skupu X = (2, 6, 10, 14), to će biti uređeni parovi (6,2), (10 , 6), (14, 10 ). Oni su podskup kartezijanskog proizvoda X X .

Definicija. Binarna relacija između elemenata skupa X ili relacija na skupu X je bilo koji podskup kartezijanskog proizvoda X X.

Binarne relacije se obično označavaju velikim slovima latinice: P, T, S, R, Q, itd. Dakle, ako je P relacija na skupu X, onda je P X X. Skup svih prvih elemenata parova iz P naziva se domenom definicije relacije P. Skup vrijednosti relacije P je skup svih drugih elemenata parova iz P.

U mnogim slučajevima je zgodan za upotrebu grafička slika binarnu relaciju.

Elementi skupa X su predstavljeni tačkama, a strelice povezuju odgovarajuće elemente tako da ako se pojavi (x,y)P(xPy), onda se strelica povlači od tačaka do tačaka. Dobijeni crtež naziva se graf relacija P, a tačke koje predstavljaju elemente skupa X

vrhovima grafa.

Na primjer, graf relacije P: „broj - djelitelj broja“, definisan na skupu X = (5, 10, 20, 30,40), prikazan je na Sl. 54.

Strelice grafa čiji su početak i kraj ista tačka nazivaju se petlje. Ako na grafu odnosa P promijenite smjer svih strelica u

suprotno, tada će se dobiti nova relacija, koja se zove inverzna za P. Označava se P -1. Imajte na umu da xPy yP -1 x.

Metode specificiranja binarnih relacija, njihova svojstva

Budući da je relacija R između elemenata skupa X skup čiji su elementi uređeni parovi, može se specificirati na isti način kao i svaki skup.

Najčešće se relacija R na skupu X specificira korištenjem karakterističnog svojstva parova elemenata koji se nalaze u relaciji R. Ovo svojstvo je formulisano kao rečenica sa dve varijable. Na primjer, među relacijama na skupu X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) možemo uzeti u obzir sljedeće: “broj je 2 puta manji od broja y”, “ broj je djelitelj broja”, itd. .

Relacija R na skupu X također se može definirati navođenjem svih parova elemenata uzetih iz skupa X i povezanih relacijom R.

Na primjer, ako zapišemo skup parova (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,

4), zatim na setu	X = (1, 2, 3, 4) postavićemo neke
stav
R = ((x, y)| x X, y	X, x< y} .

Ista relacija R može se specificirati pomoću grafa (Sl.). Hajde da istaknemo najvažnija svojstva binarne veze.

Definicija 1. Relacija R na skupu X naziva se refleksivnom ako je svaki element iz skupa X u toj vezi sa samim sobom.

Ukratko, ova definicija se može napisati na sljedeći način: R je refleksivan na X xRx za bilo koji x X.

Očigledno, ako je relacija R na skupu X refleksivna, tada postoji petlja na svakom vrhu grafa relacija. Tačna je i suprotna izjava.

Primjeri refleksivnih odnosa su relacije: „biti jednak na skupu svih trouglova ravni“, „x ≤ y“.

Imajte na umu da postoje relacije koje nemaju svojstvo refleksivnosti, na primjer, odnos okomitosti linija.

Definicija 2. Relacija R na skupu X naziva se simetrična ako je za bilo koji element od X ispunjen sljedeći uvjet: ako su x i y u relaciji R, onda je i y u ovoj relaciji.

Ukratko: R je simetričan na X xRy yRx.

Graf simetrične relacije ima svojstvo: ako postoji strelica koja povezuje par elemenata, onda nužno postoji i druga koja povezuje iste elemente, ali ide u suprotnom smjeru. I obrnuto je tačno.

Primjeri simetričnih relacija su relacije: „biti međusobno okomiti na skup svih pravih ravnine“, „biti sličan na skupu svih pravougaonika ravnine“.

Definicija 3. Ako se za nijedan element i y iz skupa X može dogoditi da su istovremeno prisutni i xRy i yRx, tada se relacija R na skupu X naziva asimetrična. Primjer asimetričnog odnosa: "biti otac" (ako ih - ocu, onda ne možete biti otac).

Definicija 4. Relacija R na skupu X naziva se antisim-

Na primjer, relacija "manje od" na skupu cijelih brojeva je antisimetrična.

Antisimetrični relacioni graf ima posebnu osobinu: ako su dva vrha grafa povezana strelicom, onda postoji samo jedna strelica. Tačna je i suprotna izjava. Svojstvo asimetrije je kombinacija svojstva antisimetrije i nedostatka refleksivnosti.

Definicija 5. Relacija R na skupu X naziva se tranzitivna ako je za bilo koje elemente x, y, z X ispunjen sljedeći uvjet: ako je x u relaciji R, a y u relaciji R cz, tada je element x u odnosu R sa elementom z.

Ukratko: R je tranzitivan na X xRy i yRz xRz.

Na primjer, relacija "prava x je paralelna pravoj", definirana na skupu pravih u ravni, je tranzitivna.

Graf tranzitivnih odnosa ima posebnu karakteristiku: sa svakim parom strelica koje idu od x do ky i oty do z, on takođe sadrži strelicu koja ide od x do z. I obrnuto je tačno.

Imajte na umu da postoje relacije koje nemaju svojstvo tranzitivnosti. Na primjer, relacija “stoje jedno do drugog na polici” nije tranzitivna.

Relacija ekvivalencije

Neka je X skup ljudi. Na ovom skupu definišemo binarnu relaciju R koristeći zakon: aRb, ako su a i b rođeni iste godine.

Lako je provjeriti da relacija R ima svojstva refleksivnosti, simetrije i tranzitivnosti. Za relaciju R se kaže da je relacija ekvivalencije.

Definicija 1. Binarna relacija R na skupu X naziva se relacija ekvivalencije ako je refleksivna, simetrična i tranzitivna.

Vratimo se ponovo na relaciju R, definisanu na skupu ljudi zakonom: aRb, ako su a i b rođeni iste godine.

Zajedno sa svakom osobom a, razmotrite skup ljudi K a koji su rođeni iste godine sa. Dva skupa K a i K b nemaju zajednički elementi, ili se potpuno poklapaju.

Skup skupova K a predstavlja podjelu skupa svih ljudi na klase, jer iz njegove konstrukcije proizilazi da su ispunjena dva uslova: svaka osoba je uključena u neku klasu i svaka osoba je uključena u samo jednu klasu. Imajte na umu da se svaki razred sastoji od ljudi rođenih iste godine.

Dakle, relacija ekvivalencije R generiše particiju skupa X na klase (klase ekvivalencije). Vrijedi i suprotno.

Teorema. Svaka relacija ekvivalencije na skupu X odgovara particiji skupa X na klase (klase ekvivalencije). Svaka particija skupova odgovara odnosu ekvivalencije na skupu X.

Ovu teoremu prihvatamo bez dokaza.

Iz teoreme slijedi da je svaka klasa koja se dobije kao rezultat podjele skupa na klase određena bilo kojim (jedan) od njenih predstavnika, što omogućava, umjesto proučavanja svih elemenata datog skupa, proučavanje samo totaliteta pojedinačnih predstavnika svake klase.

Odnos reda

Stalno koristimo odnose poretka u Svakodnevni život. Definicija 1. Svaka antisimetrična i tranzitivna relacija R on

neki skup X naziva se relacija poretka.

Skup X na kojem je data relacija reda naziva se uređenim.

Uzmimo skup X = (2, 4, 10, 24). Poređuje se relacijom „x je veće“ (slika 63).

Razmotrimo sada na njemu još jednu relaciju reda „x dijeli

y" (Sl. 64).

Rezultat ovog pregleda može izgledati čudno. Relacije „x je veće“ i „x deli“ uređuju skup X na različite načine. Relacija x veći omogućava vam da uporedite bilo koja dva broja iz

skup X. Što se tiče relacije “x dijeli”, ona nema takvo svojstvo. Dakle, par brojeva 10 i 24 nije povezan ovim odnosom.

Definicija 2. Relacija poretka R na nekom skupu X naziva se linearna relacija reda ako ima sljedeće svojstvo: za bilo koji element u

skup X je ili xRy ili yRx.

Skup X na kojem je data linearna relacija reda naziva se linearno uređenim.

Linearno uređeni skupovi imaju niz svojstava. Neka su a, b, c elementi skupa X na kojem je specificirana linearna relacija reda R. Ako su aRb i bRc, onda kažemo da element b leži između elemenata a i .

Linearno uređen skup X naziva se diskretnim ako između bilo koja dva njegova elementa leži samo konačan skup elemenata.

Ako za bilo koja dva razni elementi linearno uređeni skup X postoji element skupa koji leži između njih, tada se skup X naziva gustim.

Koncept korespondencije između skupova. Metode za određivanje korespondencije

Neka su data dva skupa X i Y. Ako je za svaki element x X specificiran za element Y s kojim je uparen, onda se kaže da je uspostavljena korespondencija između skupova X i Y.

Drugim riječima, korespondencija između elemenata skupova X i Y je bilo koji podskup G kartezijanskog proizvoda X i Y ovih skupova: G X Y .

Pošto je podudaranje skup, može se specificirati na isti način kao i bilo koji skup: navođenjem svih parova (x, y), gdje

Kada su skupovi X i Y konačni, onda se korespondencija između elemenata može specificirati u tabeli gdje su elementi skupa X upisani u lijevom stupcu, a elementi skupa Y u gornjem redu. Parovi elemenata koji odgovaraju G bit će na sjecištu odgovarajućih kolona i redova.

Korespondencija između dva konačna skupa se takođe može prikazati pomoću grafa. Skupovi X i Y su prikazani kao ovali, elementi skupova X i Y označeni su tačkama, a odgovarajući elementi su povezani strelicama tako da ako se pojavi (x,y) G, onda se strelica povlači od tačaka do bodova.

Na primjer, grafikon prikazan na Sl. 16, postavlja korespondenciju "Pisac x je napisao djelo."

Kada su skupovi i Y numerički, tada je moguće konstruisati graf korespondencije G na koordinatnoj ravni.

Korespondencija je inverzna od datog. Prepiske jedan na jedan

Neka je R korespondencija „Broj je pet puta manji od broja“ između elemenata skupova X = (1, 2, 4, 5, 6) i

Y = (10, 5, 20, 13, 25).

Grafikon ove korespondencije će biti kao na sl. 23. Ako promijenite smjer strelica ovog grafikona u

suprotno, tada dobijamo graf (slika 22) nove korespondencije "Broj y je pet puta veći od broja x", smatra se

između skupova Y i X.

Ova korespondencija se naziva inverzna korespondencija

korespondira sa R, i označava se sa R ​​-1.
Definicija. Neka	R - usklađenost
elementi skupova X i Y. Usklađenost R-1
elemenata skupova Y i X naziva se inverzno od datog,
kada (y, x) R -1 ako i samo ako (x,		y) R.
Korespondencije R i R -1 nazivaju se međusobno inverzne.
Ako su skupovi X i Y numerički, onda graf
korespondencija R -1, inverzna korespondenciji R, sastoji se od
bodovi, simetrične tačke R odgovarajuća grafika
u odnosu na simetralu prvog i	treće

koordinatni uglovi.

Zamislimo situaciju: u gledalištu je gledalac na svakom mjestu i za svakog gledatelja ima mjesta. U ovom slučaju kažu da između seta

mjesta u gledalištu i mnoštvo gledalaca uspostavili su prepisku jedan na jedan.

Definicija. Neka su data dva skupa X i Y. Korespondencija između elemenata skupova X i Y, u kojoj svaki element skupa X odgovara jednom elementu skupa Y, a svaki element skupa Y odgovara samo jednom elementu iz skupa X, naziva se jedan prema jedan.

Pogledajmo primjere korespondencije jedan na jedan. Primjer 1. U svakoj školi, svakom razredu

odgovara cool magazinu. Ova prepiska je jedan na jedan.

Primer 2. Dat trougao ABC (slika 25).A 1 C 1 srednja linija trougla. Neka je X skup tačaka na segmentu A 1 C 1, Y skup tačaka na AC.

Povezujemo proizvoljnu tačku x segmenta A 1 C 1 sa vrhom B trougla sa ravnim segmentom i

Nastavimo dok se ne ukrsti sa AC u tački. Uparimo tačke sa tako konstruisanom tačkom. U ovom slučaju će se uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan između skupova X i Y.

Definicija. Skupovi X i Y nazivaju se ekvivalentnim, ili jednako moćnim, ako se među njima može na neki način uspostaviti korespondencija jedan-na-jedan. Ekvivalencija dva skupa se označava na sljedeći način: X ~ Y.

Koncept moći je generalizacija pojma količine. Ovo je proširenje koncepta količine na beskonačne skupove.

1. Matrični rang

3
5
2
4

2. Algebarski komplement elementa

A 23 = 12
A 23 = -34
A 23 = 34
A 23 = -12

3. Proizvod matrica

- Dobro

4. Ako se svi elementi jednog reda pravougaone matrice A dimenzije n x m pomnože sa dva, onda je rang matrice A ...
će se povećati za 2
Neće se promijeniti
će se udvostručiti

5. Tačan odnos

- Dobro

6. Determinantna vrijednost

2
4
5
3

7. Međusobni dogovor prave 4x - 2y - 6 = 0 i 8x - 4y - 2 = 0 na ravni - prave ...
paralelno
presecati
okomito
match

8. Neka su x i y rješenja sistema

4
7
5
6

9. Među dole navedenim jednačinama navedite jednačinu elipse

10. Neka je prava linija data normalnom jednačinom x sinα + y sinα – p = 0. Tačna izjava
Ako je OA okomita, vraćena od početka do prave linije, tada je α ugao koji formira okomita OA sa osom Ox
Ako je OA okomica, vraćena od početka do prave, tada je α dužina ove okomice
p - veličina segmenta odsječenog ravnom linijom na osi Ox
α je ugao nagiba prave linije prema pozitivnom smjeru ose Ox

11. Dat je linearni sistem

sistem ima bezbroj rješenja
sistem nema rješenja
sistem ima jedinstveno rešenje
ne može se ništa reći o postojanju rješenja (sistem može, ali i ne mora imati rješenje)

5x - 3y - 7 = 0
3x + y – 7 = 0
4x - 2y - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Pronađite skalarni proizvod vektora