1.5 Trigonometrijske nejednakosti i metode za njihovo rješavanje

1.5.1 Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih nejednačina

Većina autora modernih udžbenika matematike predlaže da se počne sa razmatranjem ove teme rješavanjem najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti. Princip rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti temelji se na znanju i vještinama određivanja na trigonometrijskom krugu vrijednosti ne samo glavnih trigonometrijskih uglova, već i drugih vrijednosti.

U međuvremenu, rješenje nejednakosti oblika , , , može se provesti na sljedeći način: prvo pronađemo neki interval () na kojem je ova nejednakost zadovoljena, a zatim zapišemo konačni odgovor dodavanjem krajeva pronađenog intervala a broj koji je višekratnik perioda sinusa ili kosinusa: ( ). U ovom slučaju, vrijednost je lako pronaći, jer ili . Potraga za značenjem zasniva se na intuiciji učenika, njihovoj sposobnosti da primjećuju jednakost lukova ili segmenata, koristeći simetriju pojedinačni dijelovi graf sinusa ili kosinusa. A to je ponekad izvan mogućnosti prilično velikog broja učenika. U cilju prevazilaženja uočenih poteškoća u udžbenicima u poslednjih godina Za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti korišteni su različiti pristupi, ali to nije dalo poboljšanja u rezultatima učenja.

Već niz godina prilično uspješno koristimo formule za korijene odgovarajućih jednadžbi da bismo pronašli rješenja trigonometrijskih nejednačina.

Ovu temu proučavamo na sljedeći način:

1. Gradimo grafove i y = a, uz pretpostavku da je .

Zatim zapisujemo jednačinu i njeno rješenje. Davanje n 0; 1; 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe: . Vrijednosti su apscisa tri uzastopne točke presjeka grafika i y = a. Očigledno je da nejednakost uvijek vrijedi na intervalu (), a nejednakost uvijek vrijedi na intervalu ().

Dodavanjem na krajeve ovih intervala broja koji je višekratnik perioda sinusa, u prvom slučaju dobijamo rješenje nejednakosti u obliku: ; a u drugom slučaju rješenje nejednakosti u obliku:

Samo za razliku od sinusa iz formule, koji je rješenje jednadžbe, za n = 0 dobijamo dva korijena, a treći korijen za n = 1 u obliku . I opet, oni su tri uzastopne apscise točaka presjeka grafova i . U intervalu () vrijedi nejednakost, u intervalu () nejednakost

Sada nije teško zapisati rješenja nejednakosti i . U prvom slučaju dobijamo: ;

a u drugom: .

Sažmite. Da biste riješili nejednakost ili, potrebno je kreirati odgovarajuću jednačinu i riješiti je. Iz dobivene formule pronađite korijene i , i napišite odgovor na nejednakost u obliku: .

Prilikom rješavanja nejednačina , iz formule za korijene odgovarajuće jednadžbe nalazimo korijene i , a odgovor na nejednačinu zapisujemo u obliku: .

Ova tehnika vam omogućava da naučite sve učenike kako da rješavaju trigonometrijske nejednakosti, jer Ova tehnika se u potpunosti oslanja na vještine kojima učenici dobro vladaju. Ovo su vještine rješavanja jednostavnih problema i pronalaženja vrijednosti varijable pomoću formule. Osim toga, postaje potpuno nepotrebno pažljivo rješavati veliki broj vježbi pod vodstvom nastavnika kako bi se demonstrirali sve vrste tehnika zaključivanja ovisno o znaku nejednakosti, vrijednosti modula broja a i njegovog predznaka. . I sam proces rješavanja nejednakosti postaje kratak i, što je vrlo važno, ujednačen.

Još jedna prednost ovu metodu je da vam omogućava da lako riješite nejednakosti čak i kada desna strana nije tablična vrijednost sinusa ili kosinusa.

Pokažimo to na konkretnom primjeru. Pretpostavimo da trebamo riješiti nejednakost. Kreirajmo odgovarajuću jednačinu i riješimo je:

Nađimo vrijednosti i .

Kada je n = 1

Kada je n = 2

Zapisujemo konačni odgovor na ovu nejednakost:

U razmatranom primjeru rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti može postojati samo jedan nedostatak - prisustvo određene količine formalizma. Ali ako se sve procjenjuje samo s ovih pozicija, onda će se korijenske formule moći optužiti za formalizam kvadratna jednačina, i sve formule rješenja trigonometrijske jednačine, i mnogo više.

Iako predložena metoda zauzima dostojno mjesto u formiranju vještina rješavanja trigonometrijskih nejednačina, važnost i karakteristike drugih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednačina ne mogu se podcijeniti. To uključuje metodu intervala.

Hajde da razmotrimo njegovu suštinu.

Set uredio A.G. Mordkovich, mada ne treba zanemariti ni ostatak udžbenika. § 3. Metodika izvođenja nastave iz predmeta „Trigonometrijske funkcije“ u okviru algebre i počeci analize U proučavanju trigonometrijskih funkcija u školi mogu se izdvojiti dvije glavne etape: ü Početno upoznavanje sa trigonometrijskim funkcijama...

U sprovođenju istraživanja rešeni su sledeći zadaci: 1) Analizirani su aktuelni udžbenici algebre i počeci matematičke analize kako bi se identifikovale metode koje su u njima predstavljene za rešavanje iracionalnih jednačina i nejednačina. Analiza nam omogućava da izvučemo sljedeće zaključke: srednja škola nedovoljno pažnje se posvećuje metodama za rješavanje raznih iracionalnih jednačina, uglavnom...

METODE ZA RJEŠAVANJE TRIGONOMETRIJSKIH NEJEDINAČINA

Relevantnost. Istorijski gledano, trigonometrijskim jednačinama i nejednačinama je dato posebno mjesto školski kurs. Možemo reći da je trigonometrija jedan od najvažnijih dijelova školskog predmeta i cjelokupne matematičke nauke općenito.

Trigonometrijske jednadžbe i nejednačine zauzimaju jedno od centralnih mjesta u srednjoškolskom predmetu matematike, kako po sadržaju nastavnog materijala, tako i po metodama obrazovno-spoznajne aktivnosti koje se mogu i trebaju formirati u toku učenja i primijeniti na rješavanje velikog broja. problema teorijske i primijenjene prirode.

Rješavanje trigonometrijskih jednačina i nejednačina stvara preduslove za sistematizaciju znanja učenika o svemu edukativni materijal u trigonometriji (npr. svojstva trigonometrijskih funkcija, metode transformacije trigonometrijskih izraza, itd.) i omogućava uspostavljanje efektivnih veza sa proučavanim materijalom iz algebre (jednačine, ekvivalencije jednačina, nejednačine, identične transformacije algebarskih izraza itd. .).

Drugim riječima, razmatranje tehnika rješavanja trigonometrijskih jednačina i nejednačina podrazumijeva svojevrsno prenošenje ovih vještina na nove sadržaje.

Značaj teorije i njene brojne primjene dokaz su relevantnosti odabrane teme. To vam zauzvrat omogućava da odredite ciljeve, ciljeve i predmet istraživanja nastavnog rada.

Svrha studije: generalizovati dostupne vrste trigonometrijskih nejednačina, osnovne i posebne metode za njihovo rješavanje, odabrati skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednačina od strane školaraca.

Ciljevi istraživanja:

1. Na osnovu analize dostupne literature o temi istraživanja sistematizovati materijal.

2. Navedite skup zadataka neophodnih za konsolidaciju teme “Trigonometrijske nejednakosti”.

Predmet proučavanja su trigonometrijske nejednakosti u školskom kursu matematike.

Predmet studija: vrste trigonometrijskih nejednačina i metode za njihovo rješavanje.

Teorijski značaj je sistematizacija gradiva.

Praktični značaj: primjena teorijskih znanja u rješavanju problema; analiza glavnih uobičajenih metoda za rješavanje trigonometrijskih nejednačina.

Metode istraživanja : analiza naučne literature, sinteza i generalizacija stečenih znanja, analiza rješenja zadataka, pretraživanje optimalne metode rješenja nejednakosti.

§1. Vrste trigonometrijskih nejednačina i osnovne metode za njihovo rješavanje

1.1. Najjednostavnije trigonometrijske nejednakosti

Dva trigonometrijska izraza povezana znakom ili > nazivaju se trigonometrijske nejednakosti.

Rješavanje trigonometrijske nejednakosti znači pronalaženje skupa vrijednosti nepoznanica koje su uključene u nejednakost za koju je nejednakost zadovoljena.

Glavni dio trigonometrijskih nejednačina rješava se svođenjem na najjednostavnije rješenje:

Ovo može biti metoda faktorizacije, promjena varijable (
,
itd.), gdje se prvo rješava uobičajena nejednakost, a zatim nejednakost oblika
itd., ili drugim metodama.

Najjednostavnije nejednačine se mogu riješiti na dva načina: pomoću jediničnog kruga ili grafički.

Nekaf(x  – jedna od osnovnih trigonometrijskih funkcija. Za rješavanje nejednakosti
dovoljno je pronaći njegovo rješenje na jednom periodu, tj. na bilo kom segmentu čija je dužina jednaka periodu funkcijef  x  . Tada će se naći rješenje izvorne nejednakostix , kao i one vrijednosti koje se razlikuju od onih pronađenih za bilo koji cijeli broj perioda funkcije. U ovom slučaju, zgodno je koristiti grafičku metodu.

Navedimo primjer algoritma za rješavanje nejednačina
(
) I
.

Algoritam za rješavanje nejednakosti
(
).

1. Formulirajte definiciju sinusa brojax na jediničnom krugu.

3. Na osi ordinata označite tačku sa koordinatoma .

4. Via ovu tačku nacrtajte pravu liniju paralelnu sa OX osi i označite njene presečne tačke kružnicom.

5. Odaberite luk kružnice, čije sve tačke imaju ordinatu manju oda .

6. Označite smjer kruga (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu) i zapišite odgovor dodavanjem perioda funkcije na krajeve intervala2πn ,
.

Algoritam za rješavanje nejednakosti
.

1. Formulirajte definiciju tangente brojax na jediničnom krugu.

2. Nacrtajte jedinični krug.

3. Nacrtajte liniju tangenta i označite tačku sa ordinatom na njoja .

4. Povežite ovu tačku sa ishodištem i označite tačku preseka rezultujućeg segmenta sa jediničnim krugom.

5. Odaberite luk kružnice čije sve točke imaju ordinatu na tangentnoj liniji manju oda .

6. Označite smjer prelaska i napišite odgovor uzimajući u obzir domen definicije funkcije, dodajući tačkuπn ,
(broj na lijevoj strani unosa je uvijek manji od broja na desnoj strani).

Grafička interpretacija rješenja jednostavnih jednačina i formula za rješavanje nejednačina u opšti pogled navedeni su u dodatku (Prilozi 1 i 2).

Primjer 1. Riješite nejednakost
.

Nacrtajte pravu liniju na jediničnom krugu
, koji siječe kružnicu u tačkama A i B.

Sva značenjay na intervalu NM je veći , sve tačke AMB luka zadovoljavaju ovu nejednakost. Pod svim uglovima rotacije, veliki , ali manji ,
poprimiće veće vrednosti (ali ne više od jednog).

Fig.1

Dakle, rješenje nejednakosti će biti sve vrijednosti u intervalu
, tj.
. Da bismo dobili sva rješenja ove nejednakosti, dovoljno je dodati krajeve ovog intervala
, Gdje
, tj.
,
. Imajte na umu da vrijednosti
I
su korijeni jednadžbe
,

one.
;
.

odgovor:
,
.

1.2. Grafička metoda

U praksi se grafička metoda rješavanja trigonometrijskih nejednakosti često pokazuje korisnim. Razmotrimo suštinu metode na primjeru nejednakosti
:

1. Ako je argument složen (različit odX ), a zatim ga zamijenite sat .

2. Gradimo u jednom koordinatna ravan igračka grafovi funkcija
I
.

3. Nalazimo takvedve susedne tačke preseka grafova, između kojihsinusni talasnalaziviši ravno
. Nalazimo apscise ovih tačaka.

4. Napišite dvostruku nejednakost za argumentt , uzimajući u obzir period kosinusa (t će biti između pronađenih apscisa).

5. Napravite obrnutu zamjenu (vratite se na originalni argument) i izrazite vrijednostX iz dvostruke nejednakosti zapisujemo odgovor u obliku brojčanog intervala.

Primjer 2. Riješite nejednakost: .

Prilikom rješavanja nejednačina grafičkom metodom potrebno je što preciznije konstruirati grafove funkcija. Transformirajmo nejednakost u oblik:

Napravimo grafove funkcija u jednom koordinatnom sistemu
I
(Sl. 2).

Fig.2

Grafovi funkcija seku se u tačkiA sa koordinatama
;
. Između
tačke grafa
ispod tačaka grafikona
. I kada
vrijednosti funkcije su iste. Zbog toga
at
.

odgovor:
.

1.3. Algebarska metoda

Vrlo često se originalna trigonometrijska nejednakost može svesti na algebarsku (racionalnu ili iracionalnu) nejednakost dobro odabranom zamjenom. Ova metoda uključuje transformaciju nejednakosti, uvođenje zamjene ili zamjenu varijable.

Hajde da pogledamo konkretni primjeri primjena ove metode.

Primjer 3. Svođenje na najjednostavniji oblik
.

(sl. 3)

Fig.3

,
.

odgovor:
,

Primjer 4. Riješite nejednakost:

ODZ:
,
.

Koristeći formule:
,

Zapišimo nejednakost u obliku:
.

Ili, verujući
nakon jednostavnih transformacija dobijamo

,

,

.

Rješavajući posljednju nejednačinu metodom intervala, dobijamo:

Fig.4

, odnosno
. Zatim sa sl. 4 slijedi
, Gdje
.

Sl.5

odgovor:
,
.

1.4. Intervalna metoda

Opća shema rješavanje trigonometrijskih nejednačina metodom intervala:

Korišćenjem trigonometrijske formule faktorisati.

Pronađite tačke diskontinuiteta i nule funkcije i postavite ih na kružnicu.

Uzmi bilo koju tačkuTO (ali nije pronađen ranije) i saznajte znak proizvoda. Ako je proizvod pozitivan, onda postavite tačku izvan jediničnog kruga na zraku koja odgovara kutu. U suprotnom, postavite tačku unutar kruga.

Ako se tačka pojavi paran broj puta, nazivamo je tačkom parne višestrukosti; ako se neparan broj puta, nazivamo je tačkom neparne višestrukosti. Nacrtajte lukove na sljedeći način: počnite od tačkeTO , ako je sljedeća tačka neparne višestrukosti, tada luk siječe kružnicu u ovoj tački, ali ako je tačka parne višestrukosti, onda se ne siječe.

Lukovi iza kruga su pozitivni intervali; unutar kruga postoje negativni prostori.

Primjer 5. Riješite nejednakost

,
.

Bodovi prve serije:
.

Poeni druge serije:
.

Svaka tačka se javlja neparan broj puta, odnosno sve tačke su neparne višestrukosti.

Hajde da saznamo znak proizvoda na
: . Označimo sve tačke na jediničnom krugu (slika 6):

Rice. 6

odgovor:
,
;
,
;
,
.

Primjer 6 . Riješite nejednakost.

Rješenje:

Nađimo nule izraza .

Primiteaem :

,
;

,
;

,
;

,
;

Na jediničnom krugu serijske vrijednostiX 1 predstavljena tačkama
. SerijeX 2 daje bodove
. SerijeX 3 dobijamo dva boda
. Konačno, serijaX 4 predstavljaće bodove
. Ucrtajmo sve ove tačke na jediničnu kružnicu, označavajući njenu višestrukost u zagradama pored svake od njih.

Neka sada broj biće jednaki. Napravimo procjenu na osnovu znaka:

Dakle, tačkaA treba odabrati na zraci koja formira ugao sa gredomOh, izvan jediničnog kruga. (Imajte na umu da je pomoćni snopO A Uopšte ga nije potrebno prikazati na crtežu. DotA bira se otprilike.)

Sada iz tačkeA nacrtajte valovitu kontinuiranu liniju uzastopno do svih označenih tačaka. I to u tačkama
naša linija ide od jednog područja do drugog: ako je bila izvan jediničnog kruga, onda ide unutar njega. Približavam se tački , linija se vraća u unutrašnju regiju, pošto je višestrukost ove tačke paran. Slično u tački (sa parnim brojem) linija mora biti okrenuta prema vanjskoj regiji. Dakle, nacrtali smo određenu sliku prikazanu na Sl. 7. Pomaže da se istaknu željena područja na jediničnom krugu. Označeni su znakom “+”.

Fig.7

Konačan odgovor:

Bilješka. Ako se valovita linija, nakon prelaska svih tačaka označenih na jediničnom krugu, ne može vratiti u tačkuA , bez prelaska kruga na „nedozvoljenom“ mjestu, to znači da je napravljena greška u rješenju, naime, promašen je neparan broj korijena.

Odgovori: .

§2. Skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednačina

U procesu razvijanja sposobnosti učenika da rješavaju trigonometrijske nejednakosti mogu se izdvojiti i 3 faze.

1. pripremni,

2. razvijanje sposobnosti rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednačina;

3. uvođenje trigonometrijskih nejednakosti drugih vrsta.

Svrha pripremne faze je da je potrebno razviti kod školaraca sposobnost korištenja trigonometrijskog kruga ili grafa za rješavanje nejednakosti, i to:

Sposobnost rješavanja jednostavnih nejednačina oblika
,
,
,
, korištenje svojstava sinusnih i kosinusnih funkcija;

Sposobnost konstruisanja dvostrukih nejednačina za lukove brojčani krug ili za lukove funkcijskih grafova;

Sposobnost izvođenja različitih transformacija trigonometrijskih izraza.

Preporučuje se implementacija ove faze u procesu sistematizacije znanja učenika o svojstvima trigonometrijskih funkcija. Glavno sredstvo mogu biti zadaci koji se nude učenicima i izvode pod vodstvom nastavnika ili samostalno, kao i vještine koje se razvijaju u rješavanju trigonometrijskih jednačina.

Evo primjera takvih zadataka:

1 . Označite tačku na jediničnom krugu , Ako

.

2. U kojoj četvrtini koordinatne ravni se nalazi tačka? , Ako jednako:

3. Označite tačke na trigonometrijskom krugu , Ako:

4. Pretvorite izraz u trigonometrijske funkcijeIčetvrtine.

A)
, b)
, V)

5. Arc MR je dat.M – srednjiI-th kvartal,R – srednjiIIth kvartal. Ograničite vrijednost varijablet za: (napravi dvostruku nejednakost) a) luk MR; b) RM lukovi.

6. Zapišite dvostruku nejednakost za odabrane dijelove grafikona:

Rice. 1

7. Riješite nejednačine
,
,
,
.

8. Pretvori izraz .

U drugoj fazi učenja rješavanja trigonometrijskih nejednakosti možete ponuditi sljedeće preporuke vezano za metodologiju organizovanja studentskih aktivnosti. U ovom slučaju potrebno je fokusirati se na postojeće vještine učenika u radu sa trigonometrijskim krugom ili grafom koji se formira prilikom rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Prvo, svrsishodnost dobivanja opće metode za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih nejednakosti može se motivirati okretanjem, na primjer, nejednakosti oblika
. Koristeći znanja i vještine stečene na pripremna faza, učenici će predloženu nejednakost svesti na oblik
, ali može biti teško pronaći skup rješenja rezultirajuće nejednakosti, jer Nemoguće ga je riješiti samo korištenjem svojstava sinusne funkcije. Ova poteškoća se može izbjeći okretanjem odgovarajuće ilustracije (rješavanje jednadžbe grafički ili korištenjem jediničnog kruga).

Drugo, nastavnik treba da skrene pažnju učenika razne načine ispunite zadatak, navedite odgovarajući primjer rješavanja nejednakosti grafički i pomoću trigonometrijskog kruga.

Razmotrimo sljedeća rješenja nejednakosti
.

1. Rješavanje nejednačine pomoću jediničnog kruga.

U prvoj lekciji o rješavanju trigonometrijskih nejednačina ponudićemo učenicima detaljan algoritam rješenja, koji u postupnoj prezentaciji odražava sve osnovne vještine potrebne za rješavanje nejednakosti.

Korak 1.Nacrtajmo jediničnu kružnicu i označimo tačku na osi ordinata i kroz njega povuci pravu liniju paralelnu sa x-osi. Ova prava će preseći jediničnu kružnicu u dve tačke. Svaka od ovih tačaka predstavlja brojeve čiji je sinus jednak .

Korak 2.Ova ravna linija je podijelila krug na dva luka. Odaberimo onaj koji prikazuje brojeve koji imaju sinus veći od . Naravno, ovaj luk se nalazi iznad nacrtane prave linije.

Rice. 2

Korak 3.Odaberite jedan od krajeva označenog luka. Zapišimo jedan od brojeva koji je predstavljen ovom tačkom jediničnog kruga .

Korak 4.Da bismo odabrali broj koji odgovara drugom kraju odabranog luka, "šetamo" duž ovog luka od imenovanog kraja do drugog. U isto vrijeme, podsjetimo da kada se krećemo u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, brojevi kroz koje ćemo proći se povećavaju (kada se krećemo u suprotnom smjeru, brojevi bi se smanjivali). Zapišimo broj koji je prikazan na jediničnom krugu na drugom kraju označenog luka .

Dakle, vidimo tu nejednakost
zadovoljavaju brojeve za koje je tačna nejednakost
. Riješili smo nejednakost za brojeve koji se nalaze na istom periodu sinusne funkcije. Stoga se sva rješenja nejednakosti mogu zapisati u obliku

Učenike treba zamoliti da pažljivo pregledaju crtež i otkriju zašto su sva rješenja nejednakosti
može se napisati u formi
,
.

Rice. 3

Potrebno je skrenuti pažnju studentima da prilikom rješavanja nejednačina za kosinusnu funkciju povlačimo pravu liniju paralelnu sa ordinatnom osom.

Grafička metoda rješavanja nejednačina.

Mi gradimo grafikone
I
, s obzirom na to
.

Rice. 4

Zatim pišemo jednačinu
i njegovu odluku
,
,
, pronađen pomoću formula
,
,
.

(Davanjen vrijednosti 0, 1, 2, nalazimo tri korijena sastavljene jednadžbe). Vrijednosti
su tri uzastopne apscise presječnih tačaka grafova
I
. Očigledno, uvijek na intervalu
važi nejednakost
, i na intervalu
– nejednakost
. Zanima nas prvi slučaj, a zatim dodavanjem na krajeve ovog intervala broja koji je višekratnik perioda sinusa, dobijamo rješenje nejednakosti
kao:
,
.

Rice. 5

Sažmite. Za rješavanje nejednakosti
, potrebno je kreirati odgovarajuću jednačinu i riješiti je. Pronađite korijene iz rezultirajuće formule I , i napiši odgovor na nejednakost u obliku: ,
.

Treće, činjenica o skupu korijena odgovarajuće trigonometrijske nejednakosti vrlo je jasno potvrđena pri grafičkom rješavanju.

Rice. 6

Učenicima je potrebno pokazati da se okret, koji je rješenje nejednačine, ponavlja kroz isti interval, jednak periodu trigonometrijske funkcije. Također možete razmotriti sličnu ilustraciju za graf sinusne funkcije.

Četvrto, preporučljivo je izvršiti rad na ažuriranju učeničkih tehnika za pretvaranje zbira (razlike) trigonometrijskih funkcija u proizvod, te skrenuti pažnju učenika na ulogu ovih tehnika u rješavanju trigonometrijskih nejednačina.

Ovaj rad se može organizovati kroz samoizvršenje učenicima zadataka koje je predložio nastavnik, među kojima izdvajamo sljedeće:

Peto, od učenika se mora tražiti da ilustriraju rješenje svake jednostavne trigonometrijske nejednakosti koristeći graf ili trigonometrijski krug. Svakako treba obratiti pažnju na njegovu svrsishodnost, posebno na korištenje kruga, jer pri rješavanju trigonometrijskih nejednačina odgovarajuća ilustracija služi kao vrlo zgodno sredstvo za snimanje skupa rješenja date nejednačine

Preporučljivo je upoznati učenike sa metodama rješavanja trigonometrijskih nejednačina koje nisu najjednostavnije prema sljedećoj shemi: adresiranje određene trigonometrijske nejednakosti adresiranje odgovarajuće trigonometrijske jednačine zajedničko traženje rješenja (nastavnik - učenici) samoprenos pronađena metoda za druge nejednakosti istog tipa.

U cilju sistematizacije znanja učenika o trigonometriji, preporučujemo da se posebno odaberu takve nejednačine, za čije rješavanje su potrebne različite transformacije koje se mogu implementirati u procesu rješavanja, te usmjeriti pažnju učenika na njihove karakteristike.

Kao takve produktivne nejednakosti možemo predložiti, na primjer, sljedeće:

U zaključku dajemo primjer skupa zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednačina.

1. Riješite nejednačine:

2. Riješite nejednačine: 3. Pronađite sva rješenja nejednačina: 4. Pronađite sva rješenja nejednačina:

A)
, zadovoljavajući uslov
;

b)
, zadovoljavajući uslov
.

5. Pronađite sva rješenja nejednačina:

A) ;

b) ;

V)
;

G)
;

d)
.

6. Riješite nejednačine:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d) ;

e) ;

i)
.

7. Riješite nejednačine:

A)
;

b) ;

V) ;

G) .

8. Riješite nejednačine:

A) ;

b) ;

V) ;

G)
;

d)
;

e) ;

i)
;

h) .

Zadatke 6 i 7 preporučljivo je ponuditi učenicima koji studiraju matematiku na naprednom nivou, zadatak 8 učenicima u odjeljenjima sa naprednim učenjem matematike.

§3. Posebne metode za rješavanje trigonometrijskih nejednačina

Posebne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina - odnosno one metode koje se mogu koristiti samo za rješavanje trigonometrijskih jednačina. Ove metode se zasnivaju na korištenju svojstava trigonometrijskih funkcija, kao i na korištenju različitih trigonometrijskih formula i identiteta.

3.1. Sektorska metoda

Razmotrimo sektorsku metodu za rješavanje trigonometrijskih nejednačina. Rješavanje nejednačina oblika

, GdjeP ( x ) IQ ( x ) – racionalno trigonometrijske funkcije(u njih su racionalno uključeni sinus, kosinus, tangenta i kotangens), slično rješavanju racionalnih nejednačina. Zgodno je rješavati racionalne nejednakosti metodom intervala na brojevnoj pravoj. Njen analog za rješavanje racionalnih trigonometrijskih nejednačina je metoda sektora u trigonometrijskom krugu, zasinx Icosx (
) ili trigonometrijski polukrug zatgx Ictgx (
).

U metodi intervala, svaki linearni faktor brojnika i nazivnika oblika
na brojevnoj osi odgovara tački , i prilikom prolaska kroz ovu tačku
menja znak. U metodi sektora, svaki faktor oblika
, Gdje
- jedna od funkcijasinx ilicosx I
, u trigonometrijskom krugu odgovaraju dva ugla I
, koji dijele krug na dva sektora. Prilikom prolaska I funkcija
menja znak.

Treba zapamtiti sljedeće:

a) Faktori forme
I
, Gdje
, zadržati znak za sve vrijednosti . Takvi faktori brojnika i nazivnika se odbacuju promjenom (ako
) sa svakim takvim odbacivanjem, predznak nejednakosti se obrće.

b) Faktori forme
I
takođe se odbacuju. Štaviše, ako su ovo faktori nazivnika, onda se nejednakosti oblika dodaju ekvivalentnom sistemu nejednačina
I
. Ako su ovo faktori brojioca, onda u ekvivalentnom sistemu ograničenja odgovaraju nejednačinama
I
u slučaju stroge početne nejednakosti i jednakosti
I
u slučaju nestroge početne nejednakosti. Prilikom odbacivanja množitelja
ili
znak nejednakosti je obrnut.

Primjer 1. Riješite nejednačine: a)
, b)
. imamo funkciju b) . Riješite nejednakost koju imamo,

3.2. Metoda koncentričnog kruga

Ova metoda je analogna metodi paralelnih brojevnih osa za rješavanje sistema racionalnih nejednačina.

Razmotrimo primjer sistema nejednakosti.

Primjer 5. Riješiti sistem jednostavnih trigonometrijskih nejednačina

Prvo rješavamo svaku nejednačinu posebno (slika 5). U gornjem desnom uglu slike naznačićemo za koji argument se razmatra trigonometrijski krug.

Sl.5

Zatim gradimo sistem koncentričnih krugova za argumentX . Nacrtamo krug i osjenčimo ga prema rješenju prve nejednakosti, zatim nacrtamo krug većeg polumjera i osjenčimo ga prema rješenju druge, zatim konstruiramo krug za treću nejednačinu i osnovnu kružnicu. Crtamo zrake iz središta sistema kroz krajeve lukova tako da sijeku sve kružnice. Na osnovu kružnice formiramo rješenje (slika 6).

Fig.6

odgovor:
,
.

Zaključak

Svi ciljevi istraživanja kursa su ispunjeni. Sistematizovan je teorijski materijal: date su glavne vrste trigonometrijskih nejednačina i glavne metode za njihovo rešavanje (grafički, algebarski, metoda intervala, sektora i metoda koncentričnih krugova). Za svaku metodu dat je primjer rješavanja nejednakosti. Nakon teorijskog dijela uslijedio je praktični dio. Sadrži skup zadataka za rješavanje trigonometrijskih nejednačina.

Ovaj rad studenti mogu koristiti za samostalan rad. Školarci mogu provjeriti stepen savladanosti ove teme i uvježbati izvršavanje zadataka različite složenosti.

Proučivši relevantnu literaturu o ovaj problem Očigledno, možemo zaključiti da su sposobnosti i vještine rješavanja trigonometrijskih nejednakosti u školskom kursu algebre i počecima analize veoma važne, za čiji razvoj je potreban značajan napor nastavnika matematike.

Zbog toga ovo djelo bit će korisno za nastavnike matematike, jer omogućava efikasnu organizaciju obuke učenika na temu „Trigonometrijske nejednakosti“.

Istraživanje se može nastaviti proširivanjem na završni kvalifikacioni rad.

Spisak korišćene literature

Bogomolov, N.V. Zbirka zadataka iz matematike [Tekst] / N.V. Bogomolov. – M.: Drfa, 2009. – 206 str.

Vygodsky, M.Ya. Priručnik za osnovnu matematiku [Tekst] / M.Ya. Vygodsky. – M.: Drfa, 2006. – 509 str.

Zhurbenko, L.N. Matematika u primjerima i problemima [Tekst] / L.N. Zhurbenko. – M.: Infra-M, 2009. – 373 str.

Ivanov, O.A. Osnovna matematika za školarce, studente i nastavnike [Tekst] / O.A. Ivanov. – M.: MTsNMO, 2009. – 384 str.

Karp, A.P. Zadaci iz algebre i počeci analize za organizaciju završnog ponavljanja i ovjere u 11. razredu [Tekst] / A.P. Šaran. – M.: Obrazovanje, 2005. – 79 str.

Kulanin, E.D. 3000 takmičarskih zadataka iz matematike [Tekst] / E.D. Kulanin. – M.: Iris-press, 2007. – 624 str.

Leibson, K.L. Zbirka praktičnih zadataka iz matematike [Tekst] / K.L. Leibson. – M.: Drfa, 2010. – 182 str.

Lakat, V.V. Problemi s parametrima i njihovo rješavanje. Trigonometrija: jednačine, nejednačine, sistemi. 10. razred [Tekst] / V.V. Lakat. – M.: ARKTI, 2008. – 64 str.

Manova, A.N. Matematika. Ekspres tutor za pripremu za Jedinstveni državni ispit: student. priručnik [Tekst] / A.N. Manova. – Rostov na Donu: Feniks, 2012. – 541 str.

Mordkovich, A.G. Algebra i početak matematičke analize. 10-11 razredi. Udžbenik za studente obrazovne institucije[Tekst] / A.G. Mordkovich. – M.: Iris-press, 2009. – 201 str.

Novikov, A.I. Trigonometrijske funkcije, jednačine i nejednačine [Tekst] / A.I. Novikov. – M.: FIZMATLIT, 2010. – 260 str.

Oganesyan, V.A. Metodika nastave matematike u srednjoj školi: Opća tehnika. Udžbenik priručnik za studente fizike - mat. fak. ped. Inst. [Tekst] / V.A. Oganesyan. – M.: Obrazovanje, 2006. – 368 str.

Olehnik, S.N. Jednačine i nejednačine. Metode nestandardnih rješenja [Tekst] / S.N. Olehnik. – M.: Izdavačka kuća Factorial, 1997. – 219 str.

Sevryukov, P.F. Trigonometrijski, eksponencijalni i logaritamske jednačine i nejednakosti [Tekst] / P.F. Sevryukov. – M.: Narodno obrazovanje, 2008. – 352 str.

Sergejev, I.N. Jedinstveni državni ispit: 1000 zadataka sa odgovorima i rješenjima iz matematike. Svi zadaci grupe C [Tekst] / I.N. Sergejev. – M.: Ispit, 2012. – 301 str.

Sobolev, A.B. Osnovna matematika [Tekst] / A.B. Sobolev. – Ekaterinburg: Državna obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja USTU-UPI, 2005. – 81 str.

Fenko, L.M. Metoda intervala u rješavanju nejednačina i proučavanju funkcija [Tekst] / L.M. Fenko. – M.: Drfa, 2005. – 124 str.

Friedman, L.M. Teorijske osnove metode nastave matematike [Tekst] / L.M. Friedman. – M.: Book House“LIBROKOM”, 2009. – 248 str.

Aneks 1

Grafička interpretacija rješenja jednostavnih nejednačina

Rice. 1

Rice. 2

Fig.3

Fig.4

Sl.5

Fig.6

Fig.7

Fig.8

Dodatak 2

Rješenja jednostavnih nejednačina

Rješavanje nejednačina na mreži na web stranici Math24.biz će pružiti maksimalna tačnost u proračunima. Nejednakost u matematici je izjava o relativnoj veličini ili redu dva objekta (jedan od objekata je manji ili nije veći od drugog), ili da dva objekta nisu ista (poricanje jednakosti). U elementarnoj matematici proučavaju se numeričke nejednakosti, au opštoj algebri, analizi i geometriji razmatraju se i nejednakosti između objekata nenumeričke prirode. Da bi se riješila nejednakost, oba njena dijela moraju biti određena jednim od znakova nejednakosti između njih. Stroge nejednakosti podrazumijevaju nejednakost između dva objekta. Za razliku od strogih nejednakosti, nestroge nejednakosti dopuštaju jednakost objekata koji su u nju uključeni. Linearne nejednakosti predstavljaju najjednostavnije izraze sa stanovišta početka proučavanja izraza, a da se takve nejednakosti najviše rješavaju jednostavne tehnike. Glavna greška učenika u rješavanju nejednakosti online je to što ne razlikuju karakteristike strogih i nestrogih nejednakosti, što određuje hoće li ili neće granične vrijednosti biti uključene u konačni odgovor. Nekoliko nejednakosti međusobno povezanih sa nekoliko nepoznanica naziva se sistem nejednakosti. Rješenje nejednačina iz sistema je određena površina na ravni, ili volumetrijska figura u trodimenzionalnom prostoru. Uz to, oni su apstrahovani n-dimenzionalnim prostorima, međutim, pri rješavanju takvih nejednakosti često je nemoguće bez posebnih kompjuteri. Za svaku nejednakost posebno, potrebno je pronaći vrijednosti nepoznate na granicama područja rješenja. Skup svih rješenja nejednakosti je njen odgovor. Zamjena jedne nejednakosti drugom nejednakošću koja joj je ekvivalentna naziva se ekvivalentnim prijelazom iz jedne nejednakosti u drugu. Sličan pristup se nalazi u drugim disciplinama jer pomaže da se izrazi dovedu u standardni oblik. Cijenit ćete sve prednosti rješavanja nejednakosti na mreži na našoj web stranici. Nejednakost je izraz koji sadrži jedan od znakova =>. U suštini ovo je logičan izraz. Može biti istinito ili netačno - ovisno o tome što je desno i lijevo u ovoj nejednakosti. Objašnjenje značenja nejednačina i osnovne tehnike rješavanja nejednačina izučavaju se na raznim predmetima, kao iu školi. Rješavanje bilo koje nejednakosti online - nejednakosti sa modulima, algebarske, trigonometrijske, transcendentalne nejednakosti online. Identične nejednakosti, poput strogih i nestrogih nejednakosti, pojednostavljuju proces postizanja konačnog rezultata i predstavljaju pomoćno sredstvo za rješavanje problema. Rješenje za sve nejednakosti i sisteme nejednakosti, bilo da se radi o logaritamskim, eksponencijalnim, trigonometrijskim ili kvadratnim nejednačinama, daje se korištenjem inicijalno pravi pristup ovom važnom procesu. Rješavanje nejednakosti online na stranici uvijek je dostupno svim korisnicima i apsolutno besplatno. Rješenja nejednakosti u jednoj varijabli su vrijednosti varijable koje je pretvaraju u ispravan numerički izraz. Jednačine i nejednačine sa modulom: modul realnog broja je apsolutna vrijednost tog broja. Standardna metoda za rješavanje ovih nejednakosti je podizanje obje strane nejednakosti na željeni stepen. Nejednačine su izrazi koji označavaju poređenje brojeva, pa se pravilnim rješavanjem nejednačina osigurava tačnost takvih poređenja. Oni mogu biti strogi (veći od, manji od) i nestrogi (veći ili jednaki, manji ili jednaki). Rješavanje nejednakosti znači pronalaženje svih onih vrijednosti varijabli koje, kada se zamijene u originalni izraz, pretvaraju ga u ispravan numerički prikaz.Pojam nejednakosti, njena suština i karakteristike, klasifikacija i varijeteti - to je ono što određuje specifičnosti nejednakosti. ovaj matematički dio. Osnovna svojstva numeričkih nejednačina, primjenjiva na sve objekte ovog razreda, moraju proučavati učenici u početna faza upoznavanje sa ovom temom. Nejednakosti i rasponi brojevnih linija su vrlo usko povezani kada je u pitanju rješavanje nejednakosti na mreži. Grafička oznaka rješavanje nejednakosti jasno pokazuje suštinu takvog izraza; postaje jasno čemu treba težiti pri rješavanju bilo kojeg datog problema. Koncept nejednakosti uključuje poređenje dva ili više objekata. Nejednačine koje sadrže varijablu rješavaju se kao slično sastavljene jednačine, nakon čega se vrši odabir intervala koji će se uzeti kao odgovor. Možete jednostavno i trenutno riješiti sve algebarske nejednakosti, trigonometrijske nejednakosti ili nejednakosti koje sadrže transcendentalne funkcije koristeći našu besplatnu uslugu. Broj je rješenje nejednakosti ako zamjenom ovog broja umjesto varijable dobijemo ispravan izraz, odnosno znak nejednakosti pokazuje pravi pojam.

Prilikom rješavanja nejednačina koje sadrže trigonometrijske funkcije one se svode na najjednostavnije nejednačine oblika cos(t)>a, sint(t)=a i slične. I već su riješene najjednostavnije nejednakosti. Hajde da pogledamo razni primjeri načini rješavanja jednostavnih trigonometrijskih nejednačina.

Primjer 1. Riješite nejednačinu sin(t) > = -1/2.

Nacrtajte jedinični krug. Pošto je sin(t) po definiciji y koordinata, označavamo tačku y = -1/2 na Oy osi. Kroz njega povlačimo ravnu liniju paralelnu s osom Ox. Na presjeku prave linije sa grafikom jedinične kružnice označite tačke Pt1 i Pt2. Početak koordinata sa tačkama Pt1 i Pt2 povezujemo sa dva segmenta.

Rješenje ove nejednakosti će biti sve tačke jedinične kružnice koje se nalaze iznad ovih tačaka. Drugim riječima, rješenje će biti luk l. Sada je potrebno naznačiti uslove pod kojima će proizvoljna tačka pripadati luku l.

Pt1 leži u desnom polukrugu, njegova ordinata je -1/2, tada je t1=arcsin(-1/2) = - pi/6. Da biste opisali tačku Pt1, možete napisati sljedeću formulu:
t2 = pi - arcsin(-1/2) = 7*pi/6. Kao rezultat, dobijamo sljedeću nejednakost za t:

Čuvamo nejednakosti. A pošto je sinusna funkcija periodična, to znači da će se rješenja ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet rezultirajućoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.

Odgovor: -pi/6+2*pi*n< = t < = 7*pi/6 + 2*pi*n, при любом целом n.

Primjer 2. Riješite cos(t) nejednakost<1/2.

Nacrtajmo jedinični krug. Kako je, prema definiciji, cos(t) x koordinata, označavamo tačku x = 1/2 na grafu na osi Ox.
Kroz ovu tačku povlačimo pravu liniju paralelnu sa Oy osom. Na presjeku prave linije sa grafikom jedinične kružnice označite tačke Pt1 i Pt2. Početak koordinata sa tačkama Pt1 i Pt2 povezujemo sa dva segmenta.

Rješenja će biti sve tačke jedinične kružnice koje pripadaju luku l. Nađimo tačke t1 i t2.

t1 = arccos(1/2) = pi/3.

t2 = 2*pi - arccos(1/2) = 2*pi-pi/3 = 5*pi/6.

Dobili smo nejednakost za t: pi/3

Pošto je kosinus periodična funkcija, rješenja će se ponavljati svakih 2*pi. Dodamo ovaj uvjet rezultirajućoj nejednakosti za t i zapišemo odgovor.

Odgovor: pi/3+2*pi*n

Primjer 3. Riješiti nejednakost tg(t)< = 1.

Period tangente je jednak pi. Nađimo rješenja koja pripadaju intervalu (-pi/2;pi/2) desnom polukrugu. Zatim, koristeći periodičnost tangente, zapisujemo sva rješenja ove nejednakosti. Nacrtajmo jedinični krug i označimo liniju tangenta na njemu.

Ako je t rješenje nejednakosti, onda ordinata tačke T = tg(t) mora biti manja ili jednaka 1. Skup takvih tačaka će činiti zraku AT. Skup tačaka Pt koji će odgovarati tačkama ovog zraka je luk l. Štaviše, tačka P(-pi/2) ne pripada ovom luku.