Wiskunde. Algebra en analytische meetkunde

Het concept van naleving. Methoden voor het specificeren van overeenkomsten

Aanvankelijk was algebra de studie van het oplossen van vergelijkingen. In de loop van de vele eeuwen van ontwikkeling is algebra uitgegroeid tot een wetenschap die operaties en relaties op verschillende verzamelingen bestudeert. Het is dan ook geen toeval dat dit al binnen is Lagere school kinderen raken vertrouwd met algebraïsche concepten zoals uitdrukking (numeriek en variabel), numerieke gelijkheid, numerieke ongelijkheid, de vergelijking. Ze zijn aan het leren diverse eigendommen rekenkundige bewerkingen over getallen waarmee u rationeel berekeningen kunt uitvoeren. En natuurlijk maken ze er in de initiële wiskundecursus mee kennis verschillende afhankelijkheden relaties, maar om ze te kunnen gebruiken met het doel de mentale activiteit van kinderen te ontwikkelen, moet de leraar enkele algemene concepten van de moderne algebra beheersen - het concept van correspondentie, relaties, algebraïsche operaties, enz. Bovendien moet de leraar door het beheersen van de wiskundige taal die in de algebra wordt gebruikt, zal de leraar de essentie van het wiskundig modelleren van echte verschijnselen en processen beter kunnen begrijpen.

Bij het bestuderen van de wereld om ons heen houdt de wiskunde niet alleen rekening met de objecten ervan, maar vooral ook met de verbindingen daartussen. Deze verbindingen worden afhankelijkheden, correspondenties, relaties en functies genoemd. Bij het berekenen van de lengtes van objecten worden bijvoorbeeld overeenkomsten tot stand gebracht tussen objecten en getallen, wat de waarden van hun lengtes zijn; bij het oplossen van bewegingsproblemen wordt bij een constante bewegingssnelheid een relatie gelegd tussen de afgelegde afstand en de tijd.

Specifieke afhankelijkheden, overeenkomsten en relaties tussen objecten in de wiskunde zijn vanaf het begin bestudeerd. Maar de vraag wat een verscheidenheid aan correspondenties gemeen hebben, wat de essentie is van elke correspondentie, werd gesteld aan het einde van de 19e - begin 20e eeuw, en het antwoord daarop werd gevonden binnen het raamwerk van de verzamelingenleer.

In de initiële wiskundecursus worden verschillende relaties tussen elementen van één, twee of meer verzamelingen bestudeerd. Daarom moet de leraar hun essentie begrijpen, wat hem zal helpen eenheid te garanderen in de methodologie voor het bestuderen van deze relaties.

Laten we eens kijken naar drie voorbeelden van correspondenties die zijn bestudeerd in een initiële wiskundecursus.

In het eerste geval stellen we een overeenkomst tot stand tussen gegeven uitdrukkingen en hun numerieke waarden. In de tweede ontdekken we welk nummer overeenkomt met elk van deze cijfers, die het gebied karakteriseren. In de derde zoeken we naar een getal dat een oplossing is voor de vergelijking.

Wat hebben deze correspondenties met elkaar gemeen?

We zien dat we in alle gevallen twee sets hebben: in de eerste is dit een set van drie numerieke uitdrukkingen en een set N natuurlijke cijfers(de waarden van deze uitdrukkingen zijn van hem), in de tweede - dit is een set van drie geometrische vormen en de verzameling N van natuurlijke getallen; in de derde is het een set van drie vergelijkingen en een set van N natuurlijke getallen.

Door de voorgestelde taken uit te voeren, brengen we een verbinding (correspondentie) tot stand tussen de elementen van deze sets. Het kan visueel worden weergegeven met behulp van grafieken (Fig. 1).

U kunt deze overeenkomsten specificeren door alle paren elementen op te sommen die in een bepaalde overeenkomst voorkomen:

I. ((in 1, 4), (in 3, 20));

II. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

De resulterende sets laten zien dat elke correspondentie tussen twee sets X en Y als zodanig kan worden beschouwd set bestelde paren , gevormd uit hun elementen. En aangezien geordende paren elementen zijn van een cartesiaans product, komen we tot de volgende definitie algemeen concept naleving.

Definitie. Een overeenkomst tussen elementen van de verzameling X en Y is elke subset van het cartesiaanse product van deze verzamelingen.

Correspondenties worden meestal aangegeven met de letters P, S, T, R, enz. Als S een correspondentie is tussen elementen van de verzamelingen X en Y, dan, volgens de definitie, S X x Y.

Laten we nu eens kijken hoe we overeenkomsten tussen twee verzamelingen kunnen definiëren. Omdat correspondentie een subset is, kan deze als elke set worden gespecificeerd, d.w.z. ofwel door alle paren elementen op te sommen die zich in een bepaalde correspondentie bevinden, ofwel door een karakteristieke eigenschap van de elementen van deze subset aan te geven. Zo kan de overeenkomst tussen de sets X = (1, 2, 4, 6) en Y = (3, 5) worden gespecificeerd:

1) een zin gebruiken met twee variabelen:< b при условии, что а X, b Y;

2) het opsommen van getallenparen die behoren tot een subset van het cartesiaanse product XxY: ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Deze toewijzingsmethode omvat ook de toewijzing van correspondentie met behulp van een grafiek (Fig. 2) en een grafiek (Fig. 3).

Rijst. 2 Afb. 3

Vaak moet men bij het bestuderen van overeenkomsten tussen elementen van de verzamelingen X en Y rekening houden met de overeenkomst die het tegenovergestelde is. Laat bijvoorbeeld

S - "meer dan 2" correspondentie tussen elementen van sets

X = (4,5,8, 10) en Y= (2,3,6). Dan is S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) en de grafiek zal hetzelfde zijn als in figuur 4a.

Het omgekeerde van de gegeven match is de match "minder dan 2". Het wordt beschouwd tussen de elementen van de sets Y en X, en om het duidelijk weer te geven, volstaat het om de richting van de pijlen op de relatiegrafiek S naar het tegenovergestelde te veranderen (Fig. 4b). Als de correspondentie “minder met 2” wordt aangegeven met S -1, dan is S -1 = ((2,4), (3,5), (6,8)).

Laten we afspreken om de zin “het element x is in overeenstemming met het element y” als volgt te schrijven: xSy. De invoer xSy kan worden beschouwd als een generalisatie van de gegevens voor specifieke overeenkomsten: x = 2y; x > 3y+1, enz.

Laten we de geïntroduceerde notatie gebruiken om het concept van correspondentie omgekeerd aan de gegeven correspondentie te definiëren.

Definitie. Laat S een correspondentie zijn tussen elementen van de verzamelingen X en Y. Van een correspondentie S -1 tussen elementen van de verzamelingen Y en X wordt gezegd dat deze het omgekeerde is als yS -x dan en slechts dan als xSy .

De correspondenties S en S-1 worden onderling invers genoemd. Laten we eens kijken naar de kenmerken van hun grafieken.

Laten we een correspondentiegrafiek S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) construeren (Fig. 5a). Bij het construeren van een correspondentiegrafiek S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)), moeten we de eerste component uit de verzameling Y = (2, 3, 6) selecteren, en de tweede uit de verzameling X = (4, 5, 8, 10). Als gevolg hiervan zal de correspondentiegrafiek S -1 samenvallen met de correspondentiegrafiek S. Om onderscheid te maken tussen de correspondentiegrafieken S en S -1,

kwamen overeen om de eerste component van het correspondentiepaar S -1 als de abscis te beschouwen, en de tweede als de ordinaat. Als bijvoorbeeld (5, 3) S, dan (3, 5) S -1. Punten met coördinaten (5, 3) en (3, 5), en in het algemene geval (x, y) en (y, x) zijn symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van de eerste en derde coördinaathoek. Bijgevolg zijn de grafieken met onderling inverse correspondenties S en S-1 symmetrisch ten opzichte van de bissectrice van de eerste en derde coördinaathoeken.

Om een correspondentiegrafiek S -1 te bouwen, volstaat het om af te beelden coördinaat vlak punten symmetrisch ten opzichte van de punten van de grafiek S ten opzichte van de bissectrice van de eerste en derde coördinaathoeken.

Bouwen wiskundige theorie We hebben niet alleen de elementen zelf nodig, maar ook de relaties daartussen. Voor getallen is het concept van gelijkheid zinvol: a = b. Als de getallen a en b verschillend zijn, toch? b, dan is het mogelijk a > b, of a

Twee rechte vlakken kunnen loodrecht, evenwijdig of onder een bepaalde hoek snijden.

Al deze relaties hebben betrekking op twee objecten. Daarom worden ze binaire relaties genoemd.

Om de relaties tussen objecten in de wiskunde te bestuderen, werd de theorie van binaire relaties gecreëerd.

Wanneer we bepaalde relaties beschouwen, hebben we altijd te maken met geordende paren gevormd uit de elementen van een gegeven verzameling. Voor de relatie ‘groter met 4’, die wordt beschouwd op de verzameling X = (2, 6, 10, 14), worden dit bijvoorbeeld geordende paren (2, 6), (6, 10), (10, 14), en voor relaties "verdeeld" - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Opgemerkt kan worden dat de reeks paren die de relaties “groter dan 4”, “deelbaar” definiëren, subsets zijn van het Cartesiaanse product

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

Definitie 1. Een binaire relatie tussen elementen van een verzameling X of een relatie op een verzameling X is elke deelverzameling van het Cartesiaanse product X ´ X.

Binaire relaties worden meestal aangegeven in hoofdletters van het Latijnse alfabet: P, T, S, R, Q, enz. Dus als P een relatie is op de verzameling X, dan is P Ì X ´ X. Vaak verschillend Speciale symbolen, bijvoorbeeld =, >, ~, ½½, ^, etc. De verzameling van alle eerste elementen van paren uit P wordt het definitiedomein van de relatie P genoemd. De verzameling waarden van de relatie P is de verzameling van alle tweede elementen van paren uit P.

Voor de duidelijkheid worden binaire relaties grafisch weergegeven met behulp van een speciale grafiektekening. Elementen van de verzameling X worden weergegeven door punten. Als (x, y) Î Р(хРу) geldt, wordt er een pijl getrokken van punt x naar punt y. Zo'n tekening wordt een relatiegrafiek P genoemd, en de punten die de elementen van de verzameling X vertegenwoordigen, zijn de hoekpunten van de grafiek. pijlen als randen van de grafiek.

Voorbeeld. Laat de relatie P: “het getal x is een deler van het getal y” op de set staan

X = (5, 10, 20, 30, 40), weergegeven in Figuur 25.

Pijlen van een grafiek waarvan het begin en het einde in hetzelfde punt liggen, worden lussen genoemd. Als je de richtingen van alle pijlen op de relatiegrafiek P in de tegenovergestelde richting verandert, krijg je een nieuwe relatie, die de inverse voor P wordt genoemd. Deze wordt aangeduid met P–1. Merk op dat xРу Û уР–1х.

Methoden voor het specificeren van binaire relaties.

Omdat de relatie R tussen de elementen van de verzameling X een verzameling is waarvan de elementen geordende paren zijn, kan deze op dezelfde manier worden gespecificeerd als elke andere verzameling.

1. Meestal wordt de relatie R op de verzameling X gespecificeerd met behulp van de karakteristieke eigenschap van paren elementen die zich in de relatie R bevinden. Deze eigenschap is geformuleerd in de vorm van een zin met twee variabelen.

Onder de relaties op de verzameling X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) kunnen we bijvoorbeeld het volgende overwegen: “het getal x is 2 keer kleiner dan het getal y”, “het getal x is een delergetal y”, “het getal x is groter dan het getal y” en andere.

2. De relatie R op de verzameling X kan ook worden gedefinieerd door alle paren elementen van de verzameling X op te sommen die verband houden met de relatie R.

Als we bijvoorbeeld een reeks paren (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) opschrijven, dan set X = (1, 2, 3, 4) we zullen een relatie R definiëren. Dezelfde relatie R kan ook worden gegeven

3. met behulp van een grafiek (Fig. 26).

Eigenschappen van binaire relaties.

Definitie 2. Een relatie R op een verzameling X heet reflexief als elk element uit de verzameling X in deze relatie met zichzelf staat.

Kortom: R is reflexief op X Û xRx voor elke x О X.

of, wat hetzelfde is: bij elk hoekpunt van de relatiegrafiek bevindt zich een lus. Het omgekeerde is ook waar: als niet elk hoekpunt van een relatiegrafiek een lus heeft, dan is het een reflexieve relatie.

Voorbeeld. Reflexieve relaties: “gelijk zijn op de verzameling van alle driehoeken van het vlak”, “? en £ op de verzameling van alle reële getallen."

Merk op dat er relaties zijn die niet de eigenschap van reflexiviteit hebben (geef een voorbeeld “x is groter dan y”)

Definitie 3. Een binaire relatie R op een verzameling X wordt anti-reflexief op X genoemd als voor elke x uit X (x, x) Ï R, d.w.z. voor elke x van X is niet voldaan aan de voorwaarde xRx.

Als een relatie R anti-reflexief is, heeft geen enkel hoekpunt van de grafiek een lus. Omgekeerd: als geen enkel hoekpunt van de grafiek een lus heeft, vertegenwoordigt de grafiek een anti-reflexieve relatie.

Voorbeelden van antireflexieve relaties: ‘ouder zijn’, ‘kleiner zijn’, ‘een dochter zijn’, enz.

Definitie 4. Een relatie R op een verzameling X wordt symmetrisch genoemd als, voor elk element x, Î X aan de voorwaarde is voldaan: als x en y in een relatie R staan, dan staan y en x ook in deze relatie.

Kortom: R is symmetrisch op X Û xRу Û yRx.

Een symmetrische relatiegrafiek heeft de eigenschap: als er een pijl is die een paar elementen verbindt, dan is er noodzakelijkerwijs een tweede pijl die dezelfde elementen verbindt, maar in de tegenovergestelde richting gaat. Het omgekeerde is ook waar.

Voorbeelden van symmetrische relaties zijn de relaties: “onderling loodrecht staan op de verzameling van alle rechte lijnen van het vlak”, “gelijksoortig zijn op de verzameling van alle rechthoeken van het vlak”.

Definitie 5. Als het voor geen elementen x en y uit de verzameling X kan voorkomen dat zowel xRy als yRx gelijktijdig voorkomen, dan heet de relatie R op de verzameling X asymmetrisch.

Een voorbeeld van een asymmetrische relatie: “de vader zijn” (als x de vader is van y, dan kan y niet de vader zijn van x).

Definitie 6. Een relatie R op een verzameling X wordt antisymmetrisch genoemd als for verschillende elementen x, y О X Uit het feit dat element x in relatie R staat met element y, volgt dat element y niet in relatie R staat met element x.

Kortom: R is antisymmetrisch op X Û xRу en x? jij? .

De relatie "kleiner dan" op de reeks gehele getallen is bijvoorbeeld antisymmetrisch.

Merk op dat er relaties zijn die noch de eigenschap van symmetrie, noch de eigenschap van antisymmetrie hebben.

Definitie7. Een relatie R op een verzameling X wordt transitief genoemd als voor elk element x, y, z О X aan de volgende voorwaarde is voldaan: als x in de relatie R met y staat en y in de relatie R met z is, dan is het element x bevindt zich in de relatie R met het element z.

Kortom: R is transitief op X Û xRу en уRz? xRz.

De relatie ‘lijn x is evenwijdig aan lijn y’, gedefinieerd op de reeks lijnen in een vlak, is bijvoorbeeld transitief.

De transitieve relatiegrafiek heeft de eigenaardigheid dat voor elk paar pijlen die van x naar y en van y naar z gaan, deze ook een pijl bevat die van x naar z gaat. Het omgekeerde is ook waar.

Merk op dat er relaties zijn die niet de eigenschap van transitiviteit hebben. De relatie ‘naast elkaar op een plank staan’ is bijvoorbeeld niet transitief.

Alle algemene eigenschappen relaties kunnen in drie groepen worden verdeeld:

reflexiviteit (elke relatie is reflexief of anti-reflexief),

symmetrie (de relatie is altijd symmetrisch, asymmetrisch of antisymmetrisch),

transitiviteit (elke relatie is transitief of niet-transitief). Relaties die een bepaalde reeks eigenschappen hebben, krijgen speciale namen.

De nauwe samenhang tussen elementen in een systeem wordt bepaald door de fysieke, of beter gezegd, natuurlijke relaties daartussen, of door andere fundamentele eigenschappen van het systeem, bijvoorbeeld economisch en sociaal, die de ontwikkeling van de menselijke samenleving kenmerken.

De diepte van dergelijke verbindingen hangt af van het niveau van het systeem in de hiërarchie van systemen die verband houden met het vakgebied van het bestaan van het complexe object dat wordt bestudeerd. Verbindingen omvatten zowel algemene relaties tussen de elementen van de natuur en de samenleving die deel uitmaken van het systeem, als privérelaties die betrekking hebben op een bepaald beperkt aantal van de elementen ervan. In verband met het bovenstaande worden deze verbindingen ook wel genoemd algemene wetten natuur (fundamenteel) of privaat, die betrekking hebben op een beperkt aantal verschijnselen (empirische wetten) of aan trends die zich manifesteren in de vorm van enkele herhalingen in massaverschijnselen en zogenaamde regelmatigheden.

Fundamentele verbindingen worden wetten genoemd. Het recht is een filosofische categorie die de eigenschappen van universaliteit heeft met betrekking tot alle natuurlijke objecten, verschijnselen en gebeurtenissen. In dit opzicht is de definitie van de wet als volgt: een wet is een essentiële, stabiele, zich herhalende relatie tussen alle verschijnselen.

De wet drukt een bepaald verband uit tussen de systemen zelf, de samenstellende elementen van associaties van objecten en verschijnselen, maar ook binnen de objecten en verschijnselen zelf.

Niet elk verband is wet. Het kan noodzakelijk en toevallig zijn, de wet is een noodzakelijke verbinding. Het drukt de essentiële verbinding uit tussen dingen die naast elkaar bestaan in de ruimte (materiële formaties, in algemene zin).

Alles wat hierboven is gezegd, is van toepassing op wetten van functioneren(bestaan natuurlijke omgeving of kunstmatig door de mens gecreëerd). Er zijn ook wetten van ontwikkeling, die de trend, richting of volgorde van gebeurtenissen in de tijd uitdrukt. Alle natuurwetten zijn niet door de mens gemaakt, ze bestaan objectief in de wereld en geven uitdrukking aan de relaties tussen de dingen, en worden ook weerspiegeld in het menselijk bewustzijn.

Zoals reeds vermeld, zijn wetten onderverdeeld naar mate van algemeenheid. Universele wetten zijn filosofische wetten. De fundamentele natuurwetten zijn in hun algemeenheid ook verdeeld in twee grote klassen. Tot meer algemene wetenschappen, bestudeerd door een aantal, of zelfs een absolute verscheidenheid aan wetenschappen (waaronder bijvoorbeeld de wetten van behoud van energie en informatie, enz.). En minder algemene wetten, die zich uitstrekken tot beperkte gebieden die door specifieke wetenschappen worden bestudeerd (natuurkunde, scheikunde, biologie).

Empirische wetten worden bestudeerd door speciale wetenschappen, waartoe alle technische wetenschappen behoren. Als voorbeeld kunnen we de discipline van de sterkte van materialen nemen. Het bestudeert objecten en systemen waarin alle fundamentele wetten en empirische wetten van kracht zijn, gebaseerd op experimentele gegevens, en heeft alleen betrekking op de onderwerpen van de discipline die mechanische lichamen die de wet van Hooke gehoorzamen: de vervorming van een lichaam is direct evenredig aan de kracht die erop inwerkt. het lichaam (en omgekeerd).

In de technische wetenschappen zijn er secties die gebaseerd zijn op meer specifieke empirische verbanden die als axioma's worden aanvaard.

Sommige wetten drukken een strikte kwantitatieve afhankelijkheid uit en worden vastgelegd door wiskundige formules, terwijl andere nog niet kunnen worden geformaliseerd, wat bijvoorbeeld de verplichte aard van het ene type gebeurtenis aangeeft als gevolg van het plaatsvinden van een ander type.

Sommige wetten - bepaald, dat wil zeggen dat ze nauwkeurige kwantitatieve relaties tot stand brengen, gebaseerd op oorzaak-en-gevolgrelaties. statistisch, waarbij de waarschijnlijkheid wordt vastgesteld dat een gebeurtenis zich onder bepaalde omstandigheden zal voordoen.

In de natuur fungeren wetten als een spontane kracht. Als ze de wetten echter kennen, kunnen ze doelbewust worden gebruikt bij praktische activiteiten (zoals de kracht van stoomdruk in stoommachines, zoals de kracht van gecomprimeerd gas in verbrandingsmotoren).

Sociaal-historische wetten verschillen niet veel van de natuurwetten, maar werken daartussenin denkende mensen. Kennis van deze wetten helpt betere organisatie economie en samenleving.

De studie van de wetten van de natuur en de samenleving is dus de primaire taak van de mensheid. Alleen kennis van de wetten en de ontwikkeling van maatregelen voor het juiste gebruik ervan kunnen de ontwikkelende en groeiende mensheid voorzien van voedsel en de omgeving van kunstmatig gecreëerde omstandigheden waarin zij kan bestaan.

De snelheid waarmee nieuwe problemen worden opgelost, hangt af van hoeveel reserve er is wetenschappelijke kennis waar mensen voor hebben gespaard dit moment en hoe het werd verwerkt en begrepen. Het begrijpen van wetenschappelijke kennis leidt tot de formulering wetenschappelijk probleem, waarvan de oplossing kan leiden tot de voltooiing van de theorie over dit scala aan kwesties en het gebruik van rigoureuzere conclusies in praktische zaken. Wetenschappelijk probleem- niet alleen een filosofische categorie in de beschreven zin, maar ook een praktische categorie, waarvan zowel de theoretische wetenschap als de praktische implementatie ervan in het leven van mensen afhankelijk zijn.

Uit dit verklarende deel van de betekenis van een wetenschappelijk probleem voor de volledigheid van een theorie volgt ook de definitie ervan: een wetenschappelijk probleem is een tegenstrijdige situatie die verschijnt in de vorm van tegengestelde posities bij de verklaring van verschijnselen, objecten, processen en vereisten. een adequate enkele theorie om het op te lossen.

Een belangrijke voorwaarde voor een succesvolle oplossing is de juiste formulering. Als we tegenstrijdigheden zien in de verkregen empirische kennis, er aandacht aan besteden en de vraag stellen hoe we deze tegenstrijdigheid kunnen elimineren, betekent dit dat we een begin moeten maken met het oplossen van een wetenschappelijk probleem en de wetenschap vooruit moeten helpen. Niet voor niets worden in de wetenschap mensen die problemen kunnen formuleren nog meer vereerd dan onderzoekers die het geformuleerde probleem specifiek hebben opgelost. Het formuleren van de verkeerde problemen leidt tot grote stagnatie in de wetenschap.

De categorie ‘wetenschappelijk probleem’ houdt rechtstreeks verband met de categorie "hypothese". Hypotheses worden in de eerste plaats gebruikt om de tegenstrijdigheden van een wetenschappelijk probleem theoretisch te elimineren. Dergelijke hypothesen (aannames) veranderen, als ze succesvol zijn, zelfs in fundamentele theorieën (de aanname van Newton over de aantrekkingskracht tussen twee fysieke lichamen).

Hypothesen worden ook gebruikt in de technische wetenschappen, waar ze van een bepaalde aard zijn en een beschrijving vertegenwoordigen van de methode van interactie van factoren die het gedrag van het bestudeerde object en zijn elementen bepalen. In dit geval wordt de hypothese een werkhypothese genoemd, die, net als bij een wetenschappelijk probleem, kan worden bewezen of verworpen op basis van experimentele gegevens.

Daarom is een hypothese een aanname over een waarschijnlijk (mogelijk) veranderingspatroon in een fenomeen, object of gebeurtenis die niet bewezen is, maar waarschijnlijk lijkt.

Het nut van de hypothese is dat zij onderzoekers mobiliseert om problemen te formuleren experimenteel werk om de juistheid van de gestelde hypothese te bewijzen. En als er een ander resultaat wordt verkregen, zal het verzamelde materiaal ons in staat stellen de hypothese te corrigeren en verder wetenschappelijk onderzoek te plannen.

In een meer algemene formulering bestaat modellering als methode van wetenschappelijke methodologie uit de overgang van informeel betekenisvolle ideeën over het object dat wordt bestudeerd naar het gebruik van wiskundige modellen.

Theoretisch niveau modellen verkregen op basis van axioma's, regels voor het afleiden van stellingen en correspondentieregels worden verder verbeterd op basis van hypotico-deductieve bepalingen met de formulering van consequenties die worden verkregen door het analyseren van de naar voren gebrachte hypothesen. Het wiskundige apparaat dat in dit geval wordt gebruikt, is slechts een middel om nieuwe kennis te verkrijgen en op geen enkele manier einddoel methodologische analyse.

De compilatie van een wiskundig model wordt gevolgd door het gebruik ervan, met als doel informatie te verkrijgen die vóór de creatie ervan ontbrak, d.w.z. het resulterende model moet heuristisch zijn. Het is deze actie die de methodologie verandert in een experimentele wetenschap die verificatie van de conclusies in de praktijk mogelijk maakt.

Model en zijn eigenschappen.

Door de bestaande kennis over het onderzochte systeem te formaliseren (door de modelcompiler) ontstaat een model om de noodzakelijke eigenschappen van het systeem te verkrijgen: consistentie; volledigheid; onafhankelijkheid van het axiomasysteem; inhoud. Een goed voorbeeld de vervulling van deze eigenschappen zijn de theorieën van niet-Euclidische meetkunde van Lobatsjevski, Gauss en Bolyai in de 19e eeuw. De Italiaan Beltrami toonde aan dat er echte lichamen op het oppervlak zijn waarvan de wetten van de Lobatsjevski-geometrie vervuld zijn.

Aan het begin van het theoretisch begrip van de menselijke kennis verliep de ontwikkeling van theorieën altijd van specifieke gevallen naar algemene gevallen. Momenteel zijn er methoden voor het modelleren van objecten ontstaan, gebaseerd op de structurering van een wiskundig model. De ontwikkelingsketen van dergelijke kennis verloopt in omgekeerde volgorde. Eerst verschijnt er een axiomatische wiskundige beschrijving van de gebeurtenis (object) die wordt bestudeerd, en op basis daarvan wordt een conceptueel model – een paradigma – geformuleerd. Tegelijkertijd veranderen ook de principes van compliance. natuurlijke processen en theoretische schema's (modellen). In plaats van een simpele samenloop van de rekenresultaten volgens het model met de experimentele gegevens van experimenten, overwegen we vergelijkende kenmerken hun wiskundige algoritmen voor het bereiken van resultaten op basis van andere (indirecte) parameters. Tot deze beginselen behoren bijvoorbeeld de beginselen eenvoud en schoonheid wetenschappelijke theorieën . Bovendien wordt in dit geval het model geïntroduceerd met een nieuw wiskundig apparaat, samen met interpretatie, d.w.z. Het uitgangspunt daarbij is een wiskundig formalisme dat in staat is in de taal van de wiskunde een bepaalde essentie, die zich in de ervaring manifesteert, te verklaren. Het is deze stap die empirische verificatie moeilijk maakt, omdat niet alleen de beschrijvingsvergelijking, maar ook de interpretatie ervan door ervaring moet worden geverifieerd.

Het geïntroduceerde wiskundige apparaat bevat in dit geval niet-constructieve elementen die vervolgens kunnen leiden tot een mismatch tussen theorie en ervaring. Opgemerkt moet worden dat dit precies de specificiteit van het moderne is wetenschappelijk onderzoek. Aan de andere kant bedreigt dit kenmerk van modern wetenschappelijk onderzoek de mogelijkheid om het voorgestelde veelbelovende apparaat terzijde te schuiven. Om te voorkomen dat dit gebeurt, is het noodzakelijk om deze kant van de zaak apart aan te pakken – het elimineren van discrepanties op basis van experimenten (kwantumfysica en elektrodynamica kunnen als voorbeeld dienen).

Oud systeem klassieke natuurkundige interpretatie wetenschappelijke feiten Tegelijkertijd veranderde het in een stapsgewijze ‘creatie’ van een benaderende wiskundig gevormde theorie van het werkelijke proces naar het oorspronkelijke model. De vraag rijst wat onderzoekers tot een dergelijk algoritme van acties drijft, d.w.z. Wat zijn de drijfveren voor deze manier om een theoretisch beeld te vormen? Hierop geeft de methodologie van de wetenschap een zeer definitief antwoord: de intrinsieke waarde van waarheid; nieuwigheidswaarde.

Al het bovenstaande wordt bereikt met behulp van de volgende onderzoeksprincipes: a) verbod op plagiaat; b) de toelaatbaarheid van een kritische herziening van de gronden van wetenschappelijk onderzoek; c) gelijkheid van iedereen (inclusief genieën) tegenover de waarheid; d) verbod op vervalsing en fraude

Een voorbeeld hiervan is de Einstein-Lorentz-verbinding. De eerste was volgens de toenmalige onofficiële beoordeling in die tijd minder gezaghebbend, maar de elementen van de relativiteitstheorie veranderden in een fundamentele theorie. .

Ondanks de talrijke werkzaamheden op het gebied van wiskundige modellering zijn er bij de formulering enkele moeilijkheden naar voren gekomen exacte concept wiskundige modellering. Zij (modellen) en hun inhoud zijn te divers. Over het algemeen is het duidelijk dat er iets meer van het model wordt verlangd dan een vergelijking met de werkelijkheid: het model moet noodzakelijkerwijs informatie verschaffen over de eigenschappen van de gesimuleerde objecten en verschijnselen. Daarom zou een aanvaardbare definitie van een model er een moeten zijn die geen gedeeltelijke onzekerheden omvat. Bijvoorbeeld: model van dit voorwerp er wordt een ander object aangeroepen, dat wordt vergeleken met het origineel, gemodelleerd en bepaalde eigenschappen die de geselecteerde eigenschappen van het object op een bepaalde manier weerspiegelt (opslaat).

Het model moet alles wat bekend is (soms enkele bekende kenmerken) over het object weergeven en nieuwe informatie erover voorspellen of genereren in alle nieuwe bestaansomstandigheden. Het doel van modellering is daarom de functie van representatie (beschrijving) in het geval van een verklaring van de verschijnselen die door het model worden beschouwd. In dit geval fungeert het model als een theorie. En desondanks is de scherpe tegenstelling tussen de wiskundige (formele) en de inhoudelijke kant van het model als geheel onhoudbaar. Rekening houdend met de specifieke kant van de vorming van het model, kunnen we samenvatten dat wiskunde fungeert als het belangrijkste middel het ontwikkelen van betekenisvolle ideeën over het fenomeen dat tijdens het onderzoek wordt bestudeerd.

Onderwerp 8. Relaties en correspondenties

Het concept van een binaire relatie tussen elementen van een set

IN het gewone leven we praten voortdurend over de relatie tussen twee objecten. X werkt bijvoorbeeld voor het management, x is een vader, x en y zijn vrienden - dit zijn relaties tussen mensen. Nummers meer nummer m, een getal is deelbaar door y, getallen en y geven, gedeeld door 3, dezelfde rest - dit zijn de relaties tussen getallen.

Elke wiskundige theorie behandelt een reeks objecten of elementen. Om een wiskundige theorie op te bouwen heb je niet alleen de elementen zelf nodig, maar ook de relaties daartussen. Voor getallen is het concept van relaties zinvol: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.

Al deze relaties hebben betrekking op twee objecten. Daarom worden ze binaire relaties genoemd.

Wanneer we bepaalde relaties beschouwen, hebben we altijd te maken met geordende paren gevormd uit de elementen van een gegeven verzameling. Voor de relatie ‘het getal x is 4 groter dan het getal y’, die wordt beschouwd op de verzameling X = (2, 6, 10, 14), worden deze bijvoorbeeld geordende paren (6,2), (10 , 6), (14, 10). Ze zijn een subset van het cartesiaanse product X X.

Definitie. Een binaire relatie tussen elementen van een verzameling X of een relatie op een verzameling X is elke subset van het cartesiaanse product X X.

Binaire relaties worden meestal aangegeven met hoofdletters van het Latijnse alfabet: P, T, S, R, Q, enz. Dus als P een relatie is op een verzameling X, dan is P X X. De verzameling van alle eerste elementen van paren uit P wordt het definitiedomein van de relatie P genoemd. De verzameling waarden van de relatie P is de verzameling van alle tweede elementen van paren uit P.

In veel gevallen is het handig in gebruik grafisch beeld binaire relatie.

Elementen van de verzameling X worden weergegeven door punten, en pijlen verbinden de overeenkomstige elementen, zodat als (x,y)P(xPy) voorkomt, de pijl van punt naar punt wordt getrokken. De resulterende tekening wordt een relatiegrafiek P genoemd, en de punten vertegenwoordigen de elementen van de verzameling X

hoekpunten van de grafiek.

De grafiek van de relatie P: “getal - deler van getal”, gedefinieerd op de verzameling X = (5, 10, 20, 30,40), wordt bijvoorbeeld getoond in Fig. 54.

Pijlen van een grafiek waarvan het begin en het einde in hetzelfde punt liggen, worden lussen genoemd. Als u op de relatiegrafiek P de richting van alle pijlen wijzigt naar

het tegenovergestelde, dan wordt een nieuwe relatie verkregen, die de inverse voor P wordt genoemd. Deze wordt aangeduid met P -1. Merk op dat xPy yP -1 x.

Methoden voor het specificeren van binaire relaties, hun eigenschappen

Meestal wordt de relatie R op de verzameling X gespecificeerd met behulp van de karakteristieke eigenschap van paren elementen die zich in de relatie R bevinden. Deze eigenschap wordt geformuleerd als een zin met twee variabelen. Onder de relaties op de verzameling X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) kunnen we bijvoorbeeld het volgende overwegen: "getal is 2 keer kleiner dan getal y", " getal is een deler van getal”, enz. .

Een relatie R op een verzameling X kan ook worden gedefinieerd door alle paren elementen op te sommen die uit de verzameling X zijn gehaald en die verband houden met de relatie R.

Als we bijvoorbeeld een reeks paren (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,

4), en vervolgens op de set	X = (1, 2, 3, 4) we zullen er enkele instellen
houding
R = ((x, y)\| x X, y	X, X< y} .

Dezelfde relatie R kan worden gespecificeerd met behulp van een grafiek (Fig.). Laten we benadrukken de belangrijkste eigenschappen binaire relaties.

Definitie 1. Een relatie R op een verzameling X heet reflexief als elk element uit de verzameling X in deze relatie met zichzelf staat.

In het kort kan deze definitie als volgt worden geschreven: R is reflexief op X xRx voor elke x X.

Als een relatie R op een verzameling X reflexief is, is er uiteraard een lus bij elk hoekpunt van de relatiegrafiek. De tegenovergestelde bewering is ook waar.

Voorbeelden van reflexieve relaties zijn de relaties: “gelijk zijn op de verzameling van alle driehoeken van het vlak”, “x ≤ y”.

Merk op dat er relaties zijn die niet de eigenschap van reflexiviteit hebben, bijvoorbeeld de relatie van de loodrechtheid van lijnen.

Definitie 2. Een relatie R op een verzameling X wordt symmetrisch genoemd als voor elk element van X aan de volgende voorwaarde is voldaan: als x en y in relatie R staan, dan bevindt y zich ook in deze relatie.

Kortom: R is symmetrisch op X xRy yRx.

Definitie 3. Als het voor geen elementen en y uit de verzameling X kan voorkomen dat zowel xRy als yRx tegelijkertijd aanwezig zijn, dan heet de relatie R op de verzameling X asymmetrisch. Een voorbeeld van een asymmetrische relatie: “vader zijn” (als ih - voor een vader, dan kun je geen vader zijn).

Definitie 4. De relatie R op de verzameling X heet antisym-

De relatie "kleiner dan" op de reeks gehele getallen is bijvoorbeeld antisymmetrisch.

Een antisymmetrische relatiegrafiek heeft een speciaal kenmerk: als twee hoekpunten van de grafiek met elkaar zijn verbonden door een pijl, dan is er maar één pijl. De tegenovergestelde bewering is ook waar. De eigenschap van asymmetrie is een combinatie van de eigenschap van antisymmetrie en gebrek aan reflexiviteit.

Definitie 5. Een relatie R op een verzameling X wordt transitief genoemd als voor elk element x, y, z X aan de volgende voorwaarde is voldaan: als x in de relatie R ligt en y in de relatie R cz, dan is het element x in de relatie R met het element z.

Kortom: R is transitief op X xRy en yRz xRz.

De relatie 'een lijn x is evenwijdig aan een lijn', gedefinieerd op de reeks lijnen in een vlak, is bijvoorbeeld transitief.

De transitieve relatiegrafiek heeft een speciaal kenmerk: bij elk paar pijlen die van x naar ky en oty naar z gaan, bevat deze ook een pijl die van x naar z gaat. Het omgekeerde is ook waar.

Merk op dat er relaties zijn die niet de eigenschap van transitiviteit hebben. De relatie ‘naast elkaar op een plank staan’ is bijvoorbeeld niet transitief.

Equivalentierelatie

Laat X een verzameling mensen zijn. Op deze set definiëren we een binaire relatie R met behulp van de wet: aRb, als a en b in hetzelfde jaar geboren zijn.

Het is gemakkelijk te verifiëren dat de relatie R de eigenschappen reflexiviteit, symmetrie en transitiviteit heeft. Er wordt gezegd dat de relatie R een equivalentierelatie is.

Definitie 1. Een binaire relatie R op een verzameling X wordt een equivalentierelatie genoemd als deze reflexief, symmetrisch en transitief is.

Laten we weer terugkeren naar de relatie R, gedefinieerd voor een groep mensen door de wet: aRb, als a en b in hetzelfde jaar geboren zijn.

Beschouw samen met elke persoon a de groep mensen Ka die in hetzelfde jaar sa zijn geboren. Twee sets K a en K b hebben dat ook niet gemeenschappelijke elementen of volledig samenvallen.

De verzameling verzamelingen Ka vertegenwoordigt een verdeling van de verzameling van alle mensen in klassen, aangezien uit de constructie ervan volgt dat aan twee voorwaarden wordt voldaan: elke persoon is opgenomen in een bepaalde klasse en elke persoon is slechts opgenomen in één klasse. Merk op dat elke klas bestaat uit mensen die in hetzelfde jaar zijn geboren.

De equivalentierelatie R genereert dus een verdeling van de verzameling X in klassen (equivalentieklassen). Het tegendeel is ook waar.

Stelling. Elke equivalentierelatie op de verzameling X komt overeen met een verdeling van de verzameling X in klassen (equivalentieklassen). Elke partitie van sets komt overeen met een equivalentierelatie op de set X.

Wij aanvaarden deze stelling zonder bewijs.

Uit de stelling volgt dat elke klasse die wordt verkregen als resultaat van het opdelen van een verzameling in klassen, wordt bepaald door een (één) van zijn vertegenwoordigers, wat het mogelijk maakt om, in plaats van alle elementen van een gegeven verzameling te bestuderen, alleen de totaliteit te bestuderen. van individuele vertegenwoordigers van elke klasse.

Bestelrelatie

We gebruiken voortdurend orderrelaties in Alledaagse leven. Definitie 1. Elke antisymmetrische en transitieve relatie R on

een verzameling X wordt een orderelatie genoemd.

Een verzameling X waarop een orderelatie is gespecificeerd, wordt geordend genoemd.

Laten we de verzameling X = (2, 4, 10, 24) nemen. Het wordt geordend volgens de relatie “x is groter” (Fig. 63).

Laten we nu eens een andere relatie bekijken van de orde ‘x deelt’

y" (Afb. 64).

Het resultaat van deze beoordeling lijkt misschien vreemd. De relaties “x is groter” en “x deelt” rangschikken de verzameling X op verschillende manieren. Met de x-grotere relatie kunt u twee willekeurige getallen vergelijken

stel X in. De relatie “x deelt” heeft niet zo'n eigenschap. Het paar getallen 10 en 24 is dus niet gerelateerd door deze relatie.

Definitie 2. Een orderelatie R op een verzameling X wordt een lineaire orderelatie genoemd als deze de volgende eigenschap heeft: voor alle elementen u

de verzameling X is xRy of yRx.

Een verzameling X waarop een lineaire orderelatie wordt gegeven, wordt lineair geordend genoemd.

Lineair geordende verzamelingen hebben een aantal eigenschappen. Laat a, b, c elementen zijn van de verzameling X waarop de lineaire orderelatie R is gespecificeerd. Als aRb en bRc, dan zeggen we dat element b tussen de elementen a en .

Een lineair geordende verzameling X wordt discreet genoemd als er tussen twee van zijn elementen slechts een eindige verzameling elementen ligt.

Als voor twee verschillende elementen lineair geordende verzameling X, er ligt een element van de verzameling ertussen, dan wordt de verzameling X compact genoemd.

Het concept van correspondentie tussen sets. Methoden voor het specificeren van overeenkomsten

Laat twee sets X en Y gegeven worden. Als voor elk element x X wordt gespecificeerd met het element Y waarmee het gepaard gaat, dan wordt er gezegd dat er een overeenkomst tot stand is gebracht tussen de verzamelingen X en Y.

Met andere woorden, de correspondentie tussen elementen van de verzamelingen X en Y is elke deelverzameling G van het Cartesiaanse product X en Y van deze verzamelingen: G X Y.

Omdat een match een set is, kan deze op dezelfde manier worden gespecificeerd als elke set: door alle paren op te sommen (x, y), waarbij

Wanneer de verzamelingen X en Y eindig zijn, kan de overeenkomst tussen de elementen worden gespecificeerd in een tabel waarin de elementen van de verzameling X in de linkerkolom worden geschreven, en de elementen van de verzameling Y in de bovenste rij. Paren van elementen die overeenkomen met G bevinden zich op het snijpunt van de overeenkomstige kolommen en rijen.

De overeenkomst tussen twee eindige verzamelingen kan ook worden weergegeven met behulp van een grafiek. De verzamelingen X en Y worden weergegeven als ovalen, de elementen van de verzamelingen X en Y worden aangegeven met punten, en de corresponderende elementen worden met pijlen verbonden, zodat als (x,y) G voorkomt, de pijl van punt naar punt wordt getrokken. punten.

De grafiek in Fig. 16, stelt de correspondentie “Schrijver x schreef het werk.”

Wanneer de verzamelingen en Y numeriek zijn, is het mogelijk een correspondentiegrafiek van G op het coördinatenvlak te construeren.

Correspondentie is het omgekeerde van het gegeven. Eén-op-één correspondentie

Laat R de correspondentie zijn “Het getal is vijf keer minder dan het getal” tussen de elementen van de verzamelingen X = (1, 2, 4, 5, 6) en

Y = (10, 5, 20, 13, 25).

De grafiek van deze correspondentie zal zijn zoals in figuur 1. 23. Als u de richting van de pijlen van deze grafiek verandert in

het tegenovergestelde, dan krijgen we een grafiek (Fig. 22) van de nieuwe correspondentie “Het getal y is vijf keer groter dan het getal x”, beschouwd

tussen verzamelingen Y en X.

Deze correspondentie wordt inverse correspondentie genoemd

correspondeert met R, en wordt aangegeven met R-1.
Definitie. Laten	R - naleving
elementen van de verzamelingen X en Y. Naleving R-1
elementen van de verzamelingen Y en X worden de inverse van de gegeven verzameling genoemd,
wanneer (y, x) R -1 dan en slechts dan als (x,		j) R.
De correspondenties R en R -1 worden onderling invers genoemd.
Als de verzamelingen X en Y numeriek zijn, dan is de grafiek
correspondentie R -1 , het omgekeerde van correspondentie R, bestaat uit
punten, symmetrische punten R bijpassende afbeeldingen
ten opzichte van de bissectrice van de eerste en	derde

hoeken coördineren.

Laten we ons een situatie voorstellen: in de zaal zit op elke stoel een toeschouwer en voor elke toeschouwer is er een plaats. In dit geval zeggen ze dat tussen de set

zitplaatsen in de zaal en de veelheid aan toeschouwers hebben een één-op-één correspondentie tot stand gebracht.

Definitie. Laat twee sets X en Y gegeven worden. De correspondentie tussen elementen van verzameling X en Y, waarbij elk element van verzameling X correspondeert met een enkel element van verzameling Y, en elk element van verzameling Y correspondeert met slechts één element uit verzameling X, wordt één-op-één genoemd.

Laten we eens kijken naar voorbeelden van één-op-één-correspondenties. Voorbeeld 1. In elke school, elke klas

komt overeen met een cool tijdschrift. Deze correspondentie is één op één.

Voorbeeld 2. Gegeven driehoek ABC (Fig. 25).A 1 C 1 middellijn van de driehoek. Laat X de verzameling punten op het lijnstuk A 1 C 1 zijn, en Y de verzameling punten op AC.

We verbinden een willekeurig punt x van het segment A 1 C 1 met het hoekpunt B van de driehoek met een recht lijnsegment en

Laten we ermee doorgaan totdat het puntig kruist met AC. Laten we de punten matchen met het punt dat op deze manier is geconstrueerd. In dit geval zal er een één-op-één correspondentie tot stand komen tussen de sets X en Y.

Definitie. Verzamelingen X en Y worden gelijkwaardig of even krachtig genoemd als er op de een of andere manier een één-op-één-correspondentie tussen hen tot stand kan worden gebracht. De gelijkwaardigheid van twee sets wordt als volgt aangegeven: X ~ Y.

Het concept van macht is een generalisatie van het concept van kwantiteit. Dit is een uitbreiding van het concept van kwantiteit naar oneindige verzamelingen.

1. Matrixrang

3
5
2
4

2. Algebraïsch complement van een element

Een 23 = 12
Een 23 = -34
EEN 23 = 34
Een 23 = -12

3. Product van matrices

- Rechts

4. Als alle elementen van één rij van een rechthoekige matrix A met afmeting n x m met twee worden vermenigvuldigd, dan is de rangorde van matrix A ...
zal met 2 toenemen
Zal niet veranderen
zal in omvang verdubbelen

5. Juiste verhouding

- Rechts

6. Bepalende waarde

2
4
5
3

7. Onderlinge regeling rechte lijnen 4x - 2y - 6 = 0 en 8x - 4y - 2 = 0 op het vlak - rechte lijnen ...
parallel
snijden
loodrecht
overeenkomst

8. Laat x en y oplossingen voor het systeem zijn

4
7
5
6

9. Geef uit de onderstaande vergelijkingen de vergelijking van de ellips aan

10. Laat de rechte lijn gegeven worden door de normaalvergelijking x sinα + y sinα – p = 0. Juiste bewering
Als OA een loodlijn is, hersteld van de oorsprong naar de rechte lijn, dan is α de hoek gevormd door de loodrechte OA met de Ox-as
Als OA een loodlijn is, hersteld van de oorsprong naar de lijn, dan is α de lengte van deze loodlijn
p - de grootte van het segment afgesneden door een rechte lijn op de Ox-as
α is de hellingshoek van de rechte lijn ten opzichte van de positieve richting van de Ox-as

11. Gegeven een lineair systeem

het systeem kent talloze oplossingen
het systeem heeft geen oplossingen
het systeem heeft een unieke oplossing
er kan niets worden gezegd over de aanwezigheid van oplossingen (het systeem heeft wel of geen oplossing)

5x - 3j - 7 = 0
3x + y – 7 = 0
4x - 2j - 6 = 0
6x - y - 11 = 0

13. Vind het scalaire product van vectoren