Formule za cilindar, konus i sferu. Tijela i površine okretanja

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu Email itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

Prikupljeno od nas lična informacija nam omogućava da vas kontaktiramo i informiramo o jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

Po potrebi - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, pravnim postupkom, odnosno na osnovu javnog zahtjeva ili zahtjeva vladine agencije na teritoriji Ruske Federacije - otkrijte svoje lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Ciljevi lekcije:

edukativni: razvijanje znanja o formulama za površine cilindra i stošca, sposobnost njihove primjene u rješavanju problema, kao i pokazivanje primjene ovih formula u praktičnim situacijama iu proizvodnji.
edukativni: razviti interesovanje za proučavanje matematike, otkrivajući praktičan značaj materijala koji se proučava.
razvojni: formiranje vještina prepoznavanja geometrijskih modela tijela, primjene matematičkih znanja u praktičnim situacijama opisanim uslovima zadataka.

Vrsta lekcije: komuniciranje novih znanja.

Nastavne metode: usmena i praktična kontrola znanja.

Oprema: posteri, kartice za studente, kartice za laboratorijske i praktične radove, kompjuter.

TOKOM NASTAVE

1. Organiziranje vremena (1 minuta).

2. Saopštavanje ciljeva i tema lekcije, motivacija obrazovne aktivnosti(3 minute). Učenici uz pomoć nastavnika formulišu temu i svrhu časa. Nastavnik zapisuje temu na tabli, učenici u svoje sveske.

3. Ažuriranje znanja se vrši prema opcijama(Opcija 1 – cilindar, Opcija 2 – konus) (7-8 minuta) (vidi dolje).

4. Komunikacija novih znanja(10 minuta).

4. 1. Izvođenje formule za površinu cilindra.

Poster 1.– Cilindar je upisan i opisan u 4. prizmi.

Poster 2.- Cilindar je upisan i opisan u 6. prizmi.

zaključak: Ako povećamo broj strana prizme, tada će površina cilindra biti što je moguće bliža površinama prizme i na nekom n-koraku površina cilindra će se poklopiti sa prizmom, tj. njihove površine se poklapaju.

Površina prizme:

Spov = Sside + 2 Sbas

Sside=RosnN (slajd2)

Površina cilindra:

Sbas = PR2 Obim = 2PR

Spov=2PRH+2PR2 (slajd3)

Izvođenje formule za površinu konusa.

Poster 3.- Konus je upisan i opisan u 4. piramidi.

Poster 4.- Konus je upisan i opisan u 6. piramidi.

zaključak: Ako povećamo broj strana piramide, tada će površina stošca biti što je moguće bliža površinama piramide i na nekom n-koraku površina konusa će se poklopiti sa piramidom, tj. njihove površine se poklapaju.

Površina piramide:

Spov = Sside + Sbas

Sside=1/2RosnL (slajd4)

Površina konusa:

Spov=PRL+PR 2 (slajd5)

5. Primarno razumijevanje i primjena materijala koji se proučava(15 minuta).

Zadatak 1. Neka je S površina bočne površine cilindra, D prečnik osnove, H visina, popuni prazne ćelije.

№	S (cm 2)	D(cm)	N(cm)
1		12	5
2	100P		25
3	225P	15

Zadatak 2. Neka je S površina bočne površine stošca, R polumjer osnove, L generator stošca, popunite prazne ćelije.

№	S (cm 2)	R(cm)	L(cm)
1		2√2	√2
2	60P		0,4
3	30P	√3

Zadatak 3. Tijelo ima oblik cilindra sa konusnim vrhom. Poluprečnik njegove osnove je 2 m, visina 4 m, a cilindrični dio ima visinu od 2,5 m. Odredite ukupnu površinu tijela.

6. Istorijska referenca (učenička poruka) (8 minuta).

7. Zadaća (1-2 minute) prema naplati

Na “3” V-4(7) str.81, V-11(7) str.83

Na “4” V-16(7) strana 85, V-19(7) stranica 86

Na “5” 3.72, 3.78 str.121

8. Laboratorijski i praktični rad(30 minuta) (vidi Aneks 1)

9. Sažetak lekcije(1-2 minute)

Bibliografija

Aleshina T.N. Lekcija matematike. - M., " postdiplomske škole“, 1991
Bedenko N.K. Časovi geometrije - M., “Viša škola”, 1988.
Denishcheva L.O. i dr. Testovi u sistemu diferencirane nastave matematike - M.: Obrazovanje, 1993.
Dorofejev G.V. Zbirka zadataka za pripremu i izvođenje pismenog ispita za predmet srednja škola. - M.: Drfa, 2009.
Dubinchuk E.E. Nastava geometrije u stručnim školama - M., “Viša škola”, 1989.
Ovsyannik D.P. Matematička radionica u metaloprerađivačkim stručnim školama. – Uljanovsk, 1997.

Literatura za studente

Glaser Istorija matematike u školi - M.: Prosveta, 1964.
Enciklopedija za djecu “Matematika” - M.: “Avanta”, 2002.

Tela rotacije koja se proučavaju u školi su cilindar, konus i lopta.

Ako u zadatku na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike trebate izračunati volumen konusa ili površinu kugle, smatrajte da ste sretnici.

Primijenite formule za volumen i površinu cilindra, konusa i sfere. Svi su na našoj tabeli. Naučiti napamet. Ovdje počinje poznavanje stereometrije.

Ponekad je dobro crtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.

2. Koliko puta je zapremina konusa opisanog oko pravilne četvorougaone piramide veća od zapremine konusa upisanog u ovu piramidu?

Jednostavno je - nacrtajte pogled odozdo. Vidimo da je poluprečnik većeg kruga puta veći od poluprečnika manjeg. Visine oba konusa su iste. Stoga će volumen većeg konusa biti dvostruko veći.

Drugi važna tačka. Zapamtite da u problemima dijela B Opcije objedinjenog državnog ispita u matematici se odgovor piše kao cijeli ili konačan broj decimalni. Prema tome, ne bi trebalo da ih ima ili u vašem odgovoru u dijelu B. Nema potrebe za zamjenom približne vrijednosti broja! Definitivno se mora smanjiti! U tu svrhu je u nekim problemima zadatak formuliran, na primjer, na sljedeći način: "Pronađi površinu bočne površine cilindra podijeljenu sa."

Gdje se još koriste formule za volumen i površinu okretnih tijela? Naravno, u zadatku C2 (16). Takođe ćemo vam reći o tome.

Primijenite formule za volumen i površinu cilindra, konusa i sfere. Svi su na našoj tabeli. Naučiti napamet. Ovdje počinje poznavanje stereometrije.

1. Zapremina konusa je 16.Kroz sredinu visine, paralelno sa osnovom konusa, povučen je presjek, koji je osnova manjeg konusa sa istim vrhom. Pronađite zapreminu manjeg konusa.

Očigledno, zapremina manjeg konusa je 8 puta manja od zapremine većeg i jednaka je dva.

Za rješavanje nekih problema korisno je osnovno poznavanje stereometrije. Na primjer - šta je pravilne piramide ili ravnu prizmu. Korisno je zapamtiti da cilindar, konus i sfera također imaju uobičajeno ime- tijela revolucije. Ono što se zove sfera je površina lopte. I, na primjer, fraza "generatrisa konusa je nagnuta prema ravni baze pod uglom od 30 stepeni" pretpostavlja da znate koliki je ugao između prave i ravni. Možda će vam biti korisni i Pitagorina teorema i jednostavne formule za područja figura.

Ponekad je dobro crtati pogled odozgo. Ili, kao u ovom problemu, odozdo.

Vježbe za samostalan rad.

1. Mjerenje pravokutnog paralelepipeda od 15, 50 i 36 m. Pronađite ivicu kocke jednake veličine.

2. U pravilnoj 4-ugaonoj piramidi visina je 3 cm, bočno rebro 5 cm Nađite zapreminu piramide.

3. Aksijalni presjek cilindra je pravougaonik sa stranicama 8 dm i 12 dm. Pronađite zapreminu cilindra.

4. Generator konusa je nagnut u odnosu na ravan osnove pod uglom od 30°, poluprečnik osnove je 3 dm. Pronađite zapreminu konusa.

5. Poluprečnik sfere je 4 m. Nađite zapreminu sfernog segmenta visine 3 m.

Bibliografija

Geometrija, 10-11: Udžbenik. Za obrazovne institucije/ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S. B. Kadomcev i drugi - Moskva: Obrazovanje, 2009

2. Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S. Nezavisni i test papiri iz geometrije za 10. razred - 4. izdanje, prerađeno. i dodatne - M.: Ilexa, 2007, - 175 str.

3. Geometrija. 10-11 razredi: testovi za stručnu i opštu kontrolu / autor G.I. Kovaleva, N.I. Mazurova - Volgograd: Učitelj, 2009, 187 str.

4. Virtuelna škola Ćirila i Metodija. Tutor matematike. Moskva. 2007

5. Obrazovni elektronsko izdanje. Matematika 5-11 razred. Radionica. Uredio Dubrovsky V.N., 2004.

PRAKTIČNI RAD br. 16

“Korišćenje koordinata i vektora prilikom rješavanja matematički problemi»

Svrha lekcije:

1) Sažmite teorijska znanja na temu: “Upotreba koordinata i vektora u rješavanju matematičkih problema.”

2) Razmotriti algoritme za rješavanje zadataka na temu “Upotreba koordinata i vektora u rješavanju matematičkih zadataka”, riješiti zadatke.

3) Formirati potrebu za samospoznajom, samokontrolom i postizanjem ciljeva.

Teorijski materijal

Povezane informacije:

F. Novi maksimum cijene je praćen povećanjem obima, slično kao u tački A. Nastavite držati poziciju bika

Cilindar je geometrijsko tijelo omeđeno dvama paralelne ravni I cilindrična površina. U članku ćemo govoriti o tome kako pronaći površinu cilindra i, koristeći formulu, riješit ćemo nekoliko problema kao primjer.

Cilindar ima tri površine: vrh, bazu i bočna površina.

Vrh i baza cilindra su krugovi i lako ih je prepoznati.

Poznato je da je površina kruga jednaka πr 2. Stoga će formula za površinu dva kruga (vrh i baza cilindra) biti πr 2 + πr 2 = 2πr 2.

Treća, bočna površina cilindra, je zakrivljeni zid cilindra. Kako bismo što bolje zamislili ovu površinu, pokušajmo je transformirati da dobije prepoznatljiv oblik. Zamislite da je cilindar obična limena limenka koja nema gornji ili donji poklopac. Napravimo okomiti rez na bočnom zidu od vrha do dna limenke (korak 1 na slici) i pokušajmo otvoriti (ispraviti) rezultirajuću figuru što je više moguće (korak 2).

Nakon što se dobijena staklenka potpuno otvori, vidjet ćemo poznatu figuru (korak 3), ovo je pravougaonik. Površinu pravougaonika je lako izračunati. Ali prije toga, vratimo se na trenutak originalnom cilindru. Vrh originalnog cilindra je krug, a znamo da se obim izračunava po formuli: L = 2πr. Na slici je označeno crvenom bojom.

Kada bočni zid cilindar je potpuno otvoren, vidimo da obim postaje dužina rezultirajućeg pravokutnika. Stranice ovog pravougaonika biće obim (L = 2πr) i visina cilindra (h). Površina pravokutnika jednaka je proizvodu njegovih stranica - S = dužina x širina = L x h = 2πr x h = 2πrh. Kao rezultat toga, dobili smo formulu za izračunavanje površine bočne površine cilindra.

Formula za bočnu površinu cilindra
S strana = 2πrh

Ukupna površina cilindra

Konačno, ako zbrojimo površinu sve tri površine, dobićemo formulu za ukupnu površinu cilindra. Površina cilindra jednaka je površini vrha cilindra + površini osnove cilindra + površini bočne površine cilindra ili S = πr 2 + πr 2 + 2πrh = 2πr 2 + 2πrh. Ponekad se ovaj izraz piše identično formuli 2πr (r + h).

Formula za ukupnu površinu cilindra
S = 2πr 2 + 2πrh = 2πr(r + h)
r – poluprečnik cilindra, h – visina cilindra