Kita operacija, kurią galima atlikti su paprastosiomis trupmenomis, yra daugyba. Bandysime paaiškinti pagrindines jo taisykles spręsdami uždavinius, parodysime, kaip paprastoji trupmena dauginama iš natūraliojo skaičiaus ir kaip teisingai padauginti tris paprastąsias trupmenas ar daugiau.

Pirmiausia užsirašykime pagrindinę taisyklę:

1 apibrėžimas

Jei padauginsime vieną bendrąją trupmeną, tada gautos trupmenos skaitiklis bus lygus produktui pradinių trupmenų skaitikliai, o vardiklis yra jų vardiklių sandauga. Tiesiogine forma dviem trupmenoms a / b ir c / d tai gali būti išreikšta kaip a b · c d = a · c b · d.

Pažvelkime į pavyzdį, kaip teisingai taikyti šią taisyklę. Tarkime, kad turime kvadratą, kurio kraštinė lygi vienam skaitiniam vienetui. Tada figūros plotas bus 1 kvadratas. vienetas. Jei kvadratą padalinsime į lygius stačiakampius, kurių kraštinės yra lygios 1 4 ir 1 8 skaitiniais vienetais, gausime, kad dabar jis susideda iš 32 stačiakampių (nes 8 4 = 32). Atitinkamai, kiekvieno iš jų plotas bus lygus 1 32 visos figūros ploto, t.y. 132 kv. vienetų.

Turime nuspalvintą fragmentą, kurio kraštinės yra lygios 5 8 skaitiniams vienetams ir 3 4 skaitiniams vienetams. Atitinkamai, norėdami apskaičiuoti jo plotą, turite padauginti pirmąją trupmeną iš antrosios. Jis bus lygus 5 8 · 3 4 kv. vienetų. Bet galime tiesiog suskaičiuoti, kiek stačiakampių yra fragmente: jų yra 15, o tai reiškia, kad bendras plotas yra 15 32 kvadratiniai vienetai.

Kadangi 5 3 = 15 ir 8 4 = 32, galime parašyti tokią lygybę:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Tai patvirtina mūsų suformuluotą paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę, kuri išreiškiama kaip a b · c d = a · c b · d. Jis veikia vienodai tinkamas ir netinkamas trupmenas; Jis gali būti naudojamas trupmenoms su skirtingais ir vienodais vardikliais padauginti.

Pažvelkime į kelių problemų, susijusių su paprastųjų trupmenų dauginimu, sprendimus.

1 pavyzdys

Padauginkite 7 11 iš 9 8.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuokime nurodytų trupmenų skaitiklių sandaugą, padaugindamos 7 iš 9. Turime 63. Tada apskaičiuojame vardiklių sandaugą ir gauname: 11 · 8 = 88. Sudarykime du skaičius ir atsakymas yra: 63 88.

Visą sprendimą galima parašyti taip:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Atsakymas: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Jei savo atsakyme gauname redukuojamą trupmeną, turime užbaigti skaičiavimą ir atlikti jo sumažinimą. Jei gauname netinkamą trupmeną, turime nuo jos atskirti visą dalį.

2 pavyzdys

Apskaičiuokite trupmenų sandaugą 4 15 ir 55 6 .

Sprendimas

Pagal aukščiau išnagrinėtą taisyklę turime padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį iš vardiklio. Sprendimo įrašas atrodys taip:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Gavome redukuojamą trupmeną, t.y. toks, kuris dalijasi iš 10.

Sumažinkime trupmeną: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Dėl to gavome netinkamą trupmeną, iš kurios pasirenkame visą dalį ir gauname mišrų skaičių: 22 9 = 2 4 9.

Atsakymas: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Kad būtų lengviau skaičiuoti, taip pat galime sumažinti pradines trupmenas prieš atlikdami daugybos operaciją, kuriai reikia trupmeną sumažinti iki formos a · c b · d. Išskaidykime kintamųjų reikšmes į pagrindiniai veiksniai ir sumažinsime tuos pačius.

Paaiškinkime, kaip tai atrodo, naudodami konkrečios užduoties duomenis.

3 pavyzdys

Apskaičiuokite sandaugą 4 15 55 6.

Sprendimas

Užrašykime skaičiavimus pagal daugybos taisyklę. Mes gausime:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Kadangi 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ir 6 = 2 3, tada 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Atsakymas: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Skaitinė išraiška, kurioje padauginamos paprastosios trupmenos, turi komutacinę savybę, tai yra, jei reikia, galime pakeisti veiksnių eilę:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Kaip padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus

Iš karto užsirašykime pagrindinę taisyklę, o tada pabandykime tai paaiškinti praktiškai.

2 apibrėžimas

Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, tos trupmenos skaitiklį turite padauginti iš šio skaičiaus. Šiuo atveju galutinės trupmenos vardiklis bus lygus originalo vardikliui bendroji trupmena. Tam tikros trupmenos a b padauginimas iš natūraliojo skaičiaus n gali būti parašytas formule a b · n = a · n b.

Šią formulę lengva suprasti, jei atsimenate, kad bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta trupmena su vardikliu lygus vienam, tai yra:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Paaiškinkime savo idėją konkrečiais pavyzdžiais.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite sandaugą 2 27 kartus 5.

Sprendimas

Pradinės trupmenos skaitiklį padauginę iš antrojo koeficiento, gauname 10. Pagal aukščiau pateiktą taisyklę gausime 10 27. Visas sprendimas pateiktas šiame įraše:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Atsakymas: 2 27 5 = 10 27

Kai dauginame natūralųjį skaičių iš trupmenos, dažnai turime sutrumpinti rezultatą arba pateikti jį kaip mišrų skaičių.

5 pavyzdys

Sąlyga: apskaičiuokite sandaugą 8 iš 5 12.

Sprendimas

Pagal aukščiau pateiktą taisyklę, natūralųjį skaičių padauginame iš skaitiklio. Dėl to gauname, kad 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Galutinė trupmena turi dalijimosi iš 2 ženklų, todėl turime ją sumažinti:

LCM (40, 12) = 4, taigi 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Dabar tereikia pasirinkti visą dalį ir užsirašyti paruoštą atsakymą: 10 3 = 3 1 3.

Šiame įraše galite pamatyti visą sprendimą: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Taip pat galėtume sumažinti trupmeną, suskirstydami skaitiklį ir vardiklį į pirminius veiksnius, ir rezultatas būtų visiškai toks pat.

Atsakymas: 5 12 8 = 3 1 3.

Skaitinė išraiška, kurioje natūralusis skaičius padauginamas iš trupmenos, taip pat turi poslinkio savybę, tai yra, veiksnių tvarka neturi įtakos rezultatui:

a b · n = n · a b = a · n b

Kaip padauginti tris ar daugiau bendrųjų trupmenų

Į paprastųjų trupmenų dauginimo veiksmą galime išplėsti tas pačias savybes, kurios būdingos daugybai natūraliuosius skaičius. Tai išplaukia iš paties šių sąvokų apibrėžimo.

Dėl žinių apie kombinavimo ir komutavimo savybes galite padauginti tris ar daugiau paprastųjų trupmenų. Priimtinas veiksnius pertvarkyti, kad būtų patogiau, arba išdėstyti skliaustus taip, kad būtų lengviau skaičiuoti.

Parodykime pavyzdžiu, kaip tai daroma.

6 pavyzdys

Padauginkite keturias bendrąsias trupmenas iš 1 20, 12 5, 3 7 ir 5 8.

Sprendimas: pirmiausia įrašykime darbą. Gauname 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Turime padauginti visus skaitiklius ir visus vardiklius: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Prieš pradėdami dauginti, galime šiek tiek palengvinti save ir kai kuriuos skaičius įtraukti į pagrindinius veiksnius, kad būtų galima toliau mažinti. Tai bus lengviau nei sumažinti gautą frakciją, kuri jau yra paruošta.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Atsakymas: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280.

7 pavyzdys

Padauginkite 5 skaičius 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Sprendimas

Kad būtų patogiau, trupmeną 7 8 galime sugrupuoti su skaičiumi 8, o skaičių 12 - su trupmena 5 36, nes būsimi sutrumpinimai mums bus akivaizdūs. Dėl to gausime:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 5 31 6 3 2 3

Atsakymas: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Norėdami teisingai padauginti trupmeną iš trupmenos arba trupmeną iš skaičiaus, turite žinoti paprastos taisyklės. Dabar mes išsamiai išanalizuosime šias taisykles.

Paprastosios trupmenos dauginimas iš trupmenos.

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite apskaičiuoti skaitiklių sandaugą ir šių trupmenų vardiklių sandaugą.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį taip pat padauginame iš antrosios trupmenos vardiklio.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ kartus 3)(7 \kartai 3) = \frac(4)(7)\\\)

Trupmena \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) buvo sumažinta 3.

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus.

Pirma, prisiminkime taisyklę, bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas trupmena \(\bf n = \frac(n)(1)\) .

Naudokime šią taisyklę daugindami.

' (20) (7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Netinkama trupmena \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) konvertuojama į mišri frakcija.

Kitaip tariant, Dauginant skaičių iš trupmenos, skaičių dauginame iš skaitiklio, o vardiklį paliekame nepakeistą. Pavyzdys:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Mišrių trupmenų dauginimas.

Norėdami padauginti mišrias trupmenas, pirmiausia turite pateikti kiekvieną mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną ir tada naudoti daugybos taisyklę. Skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį – iš vardiklio.

Pavyzdys:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \kartai 6) = \frac(3 \kartai \spalva(raudona) (3) \kartai 23)(4 \kartai 2 \kartai \spalva(raudona) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Atvirkštinių trupmenų ir skaičių daugyba.

Trupmena \(\bf \frac(a)(b)\) yra atvirkštinė trupmenos \(\bf \frac(b)(a)\, jei a≠0,b≠0.
Trupmenos \(\bf \frac(a)(b)\) ir \(\bf \frac(b)(a)\) vadinamos abipusėmis trupmenomis. Atvirkštinių trupmenų sandauga yra lygi 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Pavyzdys:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Susiję klausimai:
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Atsakymas: Paprastųjų trupmenų sandauga yra skaitiklio daugyba iš skaitiklio, vardiklio iš vardiklio. Norėdami gauti mišrių frakcijų sandaugą, turite jas paversti netinkama trupmena ir padauginti pagal taisykles.

Kaip padauginti trupmenas su skirtingus vardiklius?
Atsakymas: nesvarbu, ar trupmenos vardikliai yra vienodi, ar skirtingi, daugyba vyksta pagal skaitiklio sandaugos su skaitikliu, vardiklio su vardikliu sandaugos radimo taisyklę.

Kaip padauginti mišrias trupmenas?
Atsakymas: pirmiausia reikia paversti mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną ir tada pagal daugybos taisykles rasti sandaugą.

Kaip padauginti skaičių iš trupmenos?
Atsakymas: skaičių padauginame iš skaitiklio, bet vardiklį paliekame tą patį.

1 pavyzdys:
Apskaičiuokite sandaugą: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Sprendimas:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \color( raudona) (5)) (3 \kartai \spalva(raudona) (5) \kartai 13) = \frac(4)(39)\)

2 pavyzdys:
Apskaičiuokite skaičiaus ir trupmenos sandaugas: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Sprendimas:
a) \(3 \times \frac(17) (23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

3 pavyzdys:
Parašykite trupmenos \(\frac(1)(3)\) atvirkštinį koeficientą?
Atsakymas: \(\frac(3)(1) = 3\)

4 pavyzdys:
Apskaičiuokite dviejų atvirkštinių trupmenų sandaugą: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Sprendimas:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

5 pavyzdys:
Ar atvirkštinės trupmenos gali būti:
a) kartu su tinkamomis trupmenomis;
b) tuo pačiu metu netinkamos trupmenos;
c) vienu metu natūraliuosius skaičius?

Sprendimas:
a) Norėdami atsakyti į pirmąjį klausimą, pateiksime pavyzdį. Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama, jos atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(3)(2)\) - netinkama trupmena. Atsakymas: ne.

b) beveik visoms trupmenoms ši sąlyga netenkinama, tačiau yra keletas skaičių, kurie tenkina sąlygą nebūti tuo pačiu metu tinkama trupmena. Pavyzdžiui, netinkama trupmena yra \(\frac(3)(3)\), atvirkštinė jos trupmena lygi \(\frac(3)(3)\). Gauname dvi netinkamas trupmenas. Atsakymas: ne visada tam tikromis sąlygomis, kai skaitiklis ir vardiklis yra lygūs.

c) natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami, pavyzdžiui, 1, 2, 3, .... Jei imsime skaičių \(3 = \frac(3)(1)\), tada jo atvirkštinė trupmena bus \(\frac(1)(3)\). Trupmena \(\frac(1)(3)\) nėra natūralusis skaičius. Jei eisime per visus skaičius, skaičiaus atvirkštinė vertė visada yra trupmena, išskyrus 1. Jei imsime skaičių 1, tada jo grįžtamoji trupmena bus \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Skaičius 1 yra natūralusis skaičius. Atsakymas: jie vienu metu gali būti natūralūs skaičiai tik vienu atveju, jei tai yra skaičius 1.

6 pavyzdys:
Atlikite mišrių trupmenų sandaugą: a) \(4 \times 2\frac(4) (5)\) b) \(1\frac(1) (4) \times 3\frac(2) (7)\ )

Sprendimas:
a) \(4 \kartai 2\frak(4)(5) = \frac(4)(1) \kartai \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

7 pavyzdys:
Ar du atvirkštiniai skaičiai gali būti mišrūs skaičiai vienu metu?

Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime mišrią trupmeną \(1\frac(1)(2)\, suraskime atvirkštinę trupmeną, kad tai padarytume, paverskime ją netinkamąja trupmena \(1\frac(1)(2) = \frac(3 )(2) \) . Jo atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac(2)(3)\) . Trupmena \(\frac(2)(3)\) yra tinkama trupmena. Atsakymas: Dvi viena kitai atvirkštinės trupmenos negali būti mišriais skaičiais vienu metu.

Vidurinės ir vidurinės mokyklos kursuose studentai nagrinėjo temą „Trupmenos“. Tačiau ši sąvoka yra daug platesnė, nei pateikiama mokymosi procese. Šiandien su trupmenos sąvoka susiduriama gana dažnai, ir ne kiekvienas gali apskaičiuoti kokią nors išraišką, pavyzdžiui, padauginti trupmenas.

Kas yra trupmena?

Istoriškai trupmeniniai skaičiai atsirado dėl poreikio matuoti. Kaip rodo praktika, dažnai yra pavyzdžių, kaip nustatyti segmento ilgį ir stačiakampio stačiakampio tūrį.

Iš pradžių mokiniai supažindinami su akcijos sąvoka. Pavyzdžiui, jei padalysite arbūzą į 8 dalis, kiekvienas žmogus gaus vieną aštuntąją arbūzo. Ši viena aštuonių dalis vadinama akcija.

Dalis, lygi ½ bet kokios vertės, vadinama puse; ⅓ - trečia; ¼ - ketvirtadalis. 5/8, 4/5, 2/4 formos įrašai vadinami paprastosiomis trupmenomis. Paprastoji trupmena skirstoma į skaitiklį ir vardiklį. Tarp jų yra trupmenos juosta arba trupmenos juosta. Trupmeninė linija gali būti nubrėžta kaip horizontali arba įstriža linija. Šiuo atveju jis žymi padalijimo ženklą.

Vardiklis parodo, į kiek lygių dalių yra padalintas kiekis arba objektas; o skaitiklis – kiek paimama vienodų akcijų. Virš trupmenos linijos rašomas skaitiklis, po ja – vardiklis.

Patogiausia paprastąsias trupmenas rodyti koordinačių spindulyje. Jei vienas segmentas yra padalintas į 4 lygias dalis, kiekviena dalis žymima lotyniška raide, tada rezultatas gali būti puiki vaizdinė priemonė. Taigi taškas A rodo dalį, lygią 1/4 viso vieneto segmento, o taškas B žymi 2/8 tam tikros atkarpos.

Trupmenų rūšys

Trupmenos gali būti paprastieji, dešimtainiai ir mišrūs skaičiai. Be to, trupmenas galima suskirstyti į tinkamas ir netinkamas. Ši klasifikacija labiau tinka paprastosioms frakcijoms.

Tinkama trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra mažesnis už jo vardiklį. Atitinkamai, neteisinga trupmena yra skaičius, kurio skaitiklis yra didesnis už jo vardiklį. Antrasis tipas paprastai rašomas kaip mišrus skaičius. Ši išraiška susideda iš sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies. Pavyzdžiui, 1½. 1 - visa dalis, ½ - trupmena. Tačiau jei jums reikia atlikti kai kurias manipuliacijas su išraiška (dalinti ar dauginti trupmenas, jas sumažinti arba konvertuoti), mišrus skaičius paverčiamas netinkama trupmena.

Visada teisinga trupmenos išraiška mažiau nei vienas, o neteisingas – didesnis arba lygus 1.

Kalbant apie šią išraišką, turime omenyje įrašą, kuriame pavaizduotas bet koks skaičius, kurio trupmeninės išraiškos vardiklis gali būti išreikštas vienetu su keliais nuliais. Jei trupmena yra tinkama, sveikoji dalis dešimtainėje žymėjime bus lygi nuliui.

Įrašyti dešimtainis, pirmiausia turite parašyti visą dalį, atskirti ją nuo trupmeninės dalies kableliu, o tada užrašyti trupmeninę išraišką. Reikia atsiminti, kad po kablelio skaitiklyje turi būti tiek pat skaitmeninių simbolių, kiek vardiklyje yra nulių.

Pavyzdys. Išreikškite trupmeną 7 21/1000 dešimtainiu žymėjimu.

Netinkamos trupmenos konvertavimo į mišrų skaičių ir atvirkščiai algoritmas

Neteisinga užduoties atsakyme rašyti netinkamą trupmeną, todėl ją reikia konvertuoti į mišrų skaičių:

• padalykite skaitiklį iš esamo vardiklio;
• konkrečiame pavyzdyje nepilnas koeficientas yra visuma;
• o likusi dalis yra trupmeninės dalies skaitiklis, o vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Netinkamą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių: 47/5.

Sprendimas. 47: 5. Dalinis koeficientas yra 9, likusioji dalis = 2. Taigi, 47 / 5 = 9 2 / 5.

Kartais mišrų skaičių reikia pavaizduoti kaip netinkamą trupmeną. Tada turite naudoti šį algoritmą:

• sveikoji dalis dauginama iš trupmeninės išraiškos vardiklio;
• gautas produktas pridedamas prie skaitiklio;
• rezultatas rašomas skaitiklyje, vardiklis lieka nepakitęs.

Pavyzdys. Atvaizduokite skaičių mišri forma kaip netinkama trupmena: 9 8/10.

Sprendimas. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 yra skaitiklis.

Atsakymas: 98 / 10.

Trupmenų dauginimas

Su paprastosiomis trupmenomis galima atlikti įvairias algebrines operacijas. Norėdami padauginti du skaičius, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio. Be to, trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas nesiskiria nuo trupmenų su tais pačiais vardikliais dauginimo.

Taip atsitinka, kad radus rezultatą reikia sumažinti frakciją. IN privalomas reikia kiek įmanoma supaprastinti gautą išraišką. Žinoma, negalima sakyti, kad neteisinga trupmena atsakyme yra klaida, tačiau sunku ją pavadinti teisingu atsakymu.

Pavyzdys. Raskite dviejų paprastųjų trupmenų sandaugą: ½ ir 20/18.

Kaip matyti iš pavyzdžio, radus sandaugą buvo gautas redukuojamas trupmeninis žymėjimas. Tiek skaitiklis, tiek vardiklis šiuo atveju dalijami iš 4, o rezultatas yra 5/9.

Dešimtainių trupmenų dauginimas

Dešimtainių trupmenų sandauga savo principu gerokai skiriasi nuo paprastųjų trupmenų sandaugos. Taigi, trupmenų dauginimas yra toks:

• dvi dešimtainės trupmenos turi būti rašomos viena po kita, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas po kito;
• reikia padauginti užrašytus skaičius, nepaisant kablelių, tai yra kaip natūraliuosius skaičius;
• suskaičiuokite skaitmenų skaičių po kablelio kiekviename skaičiuje;
• rezultate, gautame po daugybos, reikia iš dešinės suskaičiuoti tiek skaitmeninių simbolių, kiek yra abiejų koeficientų sumoje po kablelio, ir įdėti skiriamąjį ženklą;
• jei gaminyje yra mažiau skaičių, tada prieš juos reikia parašyti tiek nulių, kad šis skaičius būtų padengtas, dėti kablelį ir pridėti visą nuliui lygią dalį.

Pavyzdys. Apskaičiuokite dviejų dešimtainių trupmenų sandaugą: 2,25 ir 3,6.

Sprendimas.

Mišrių trupmenų dauginimas

Norėdami apskaičiuoti dviejų mišrių frakcijų sandaugą, turite naudoti trupmenų dauginimo taisyklę:

• mišrius skaičius konvertuoti į netinkamas trupmenas;
• rasti skaitiklių sandaugą;
• rasti vardiklių sandaugą;
• užrašykite rezultatą;
• kiek įmanoma supaprastinti išraišką.

Pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4½ ir 6 2/5.

Skaičiaus padauginimas iš trupmenos (trupmenos iš skaičiaus)

Be dviejų trupmenų ir mišriųjų skaičių sandaugos radimo, yra užduočių, kuriose reikia padauginti iš trupmenos.

Taigi, norint rasti dešimtainės trupmenos ir natūraliojo skaičiaus sandaugą, jums reikia:

• parašykite skaičių po trupmena taip, kad dešiniausi skaitmenys būtų vienas virš kito;
• rasti produktą nepaisant kablelio;
• gautame rezultate kableliu atskirkite sveikąją dalį nuo trupmeninės dalies, skaičiuodami iš dešinės skaitmenų, esančių po trupmenos kablelio, skaičių.

Norėdami padauginti bendrąją trupmeną iš skaičiaus, turite rasti skaitiklio ir natūraliojo koeficiento sandaugą. Jei atsakymo rezultatas yra trupmena, kurią galima sumažinti, ją reikia konvertuoti.

Pavyzdys. Apskaičiuokite sandaugą iš 5/8 ir 12.

Sprendimas. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Atsakymas: 7 1 / 2.

Kaip matote iš ankstesnio pavyzdžio, gautą rezultatą reikėjo sumažinti ir neteisingą trupmeninę išraišką paversti mišriu skaičiumi.

Trupmenų dauginimas taip pat susijęs su mišrios formos skaičiaus ir natūralaus koeficiento sandauga. Norėdami padauginti šiuos du skaičius, visą mišraus koeficiento dalį turėtumėte padauginti iš skaičiaus, skaitiklį padauginti iš tos pačios reikšmės ir vardiklį palikti nepakeistą. Jei reikia, turite kiek įmanoma supaprastinti gautą rezultatą.

Pavyzdys. Raskite 9 5/6 ir 9 sandaugą.

Sprendimas. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Atsakymas: 88 1 / 2.

Padauginimas iš koeficientų 10, 100, 1000 arba 0,1; 0,01; 0,001

Ši taisyklė išplaukia iš ankstesnės pastraipos. Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš 10, 100, 1000, 10 000 ir t. t., dešimtainį tašką reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek koeficiente yra nulių po vieneto.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 0,065 ir 1000.

Sprendimas. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Atsakymas: 65.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 3,9 ir 1000.

Sprendimas. 3,9 x 1 000 = 3 900 x 1 000 = 3 900.

Atsakymas: 3900.

Jei reikia padauginti natūralųjį skaičių ir 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 ir tt, gautame sandaugoje kablelį turėtumėte perkelti į kairę tiek skaitmenų simbolių, kiek nulių yra prieš vieną. Jei reikia, prieš natūralųjį skaičių rašomas pakankamas nulių skaičius.

1 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 56 ir 0,01.

Sprendimas. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.

Atsakymas: 0,56.

2 pavyzdys. Raskite sandaugą iš 4 ir 0,001.

Sprendimas. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.

Atsakymas: 0,004.

Taigi, ieškant skirtingų trupmenų sandaugos neturėtų kilti sunkumų, išskyrus galbūt rezultato apskaičiavimą; šiuo atveju tiesiog neapsieisite be skaičiuotuvo.

Šiame straipsnyje mes apžvelgsime padauginus mišrius skaičius. Pirmiausia apibūdinsime mišrių skaičių dauginimo taisyklę ir apsvarstysime šios taisyklės taikymą sprendžiant pavyzdžius. Toliau kalbėsime apie mišraus skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus padauginimą. Galiausiai išmoksime padauginti mišrų skaičių ir bendrąją trupmeną.

Puslapio naršymas.

Mišrių skaičių dauginimas.

Mišrių skaičių dauginimas gali būti sumažintas iki paprastųjų trupmenų dauginimo. Norėdami tai padaryti, pakanka mišrius skaičius konvertuoti į netinkamas trupmenas.

Užsirašykime mišraus skaičiaus daugybos taisyklė:

• Pirma, dauginami mišrūs skaičiai turi būti pakeisti netinkamomis trupmenomis;
• Antra, reikia naudoti trupmenų dauginimo iš trupmenų taisyklę.

Pažvelkime į šios taisyklės taikymo pavyzdžius, kai mišrus skaičius dauginamas iš mišraus skaičiaus.

Atlikite mišrių skaičių daugybą ir .

Pirmiausia pavaizduokime mišrius skaičius, padaugintus kaip netinkamas trupmenas: Ir . Dabar mišrių skaičių dauginimą galime pakeisti paprastųjų trupmenų dauginimu: . Taikydami trupmenų dauginimo taisyklę, gauname . Gauta trupmena yra neredukuojama (žr. redukuojamąsias ir neredukcines trupmenas), tačiau ji yra netinkama (žr. tinkama ir netinkama trupmena), todėl norint gauti galutinį atsakymą, belieka atskirti visą dalį nuo netinkamos trupmenos: .

Parašykime visą sprendimą vienoje eilutėje: .

.

Norėdami sustiprinti mišrių skaičių dauginimo įgūdžius, apsvarstykite galimybę išspręsti kitą pavyzdį.

Atlikite dauginimą.

Juokingi skaičiai ir yra lygūs trupmenoms 13/5 ir 10/9, atitinkamai. Tada . Šiame etape laikas prisiminti apie trupmenos sumažinimą: pakeiskite visus trupmenos skaičius jų skaidymais į pirminius veiksnius ir atlikite identiškų koeficientų sumažinimą.

Mišraus skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus dauginimas

Pakeitus mišrų skaičių netinkama trupmena, padauginus mišrųjį skaičių iš natūraliojo skaičiaus veda prie paprastosios trupmenos ir natūraliojo skaičiaus daugybos.

Padauginkite mišrų skaičių ir natūralųjį skaičių 45.

Tada mišrus skaičius yra lygus trupmenai . Pakeiskime gautoje trupmenoje esančius skaičius jų išskaidymais į pirminius veiksnius, atlikime redukciją ir tada pažymime visą dalį: .

.

Mišraus skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus daugyba kartais patogiai atliekama naudojant daugybos paskirstymo savybę sudėjimo atžvilgiu. Šiuo atveju mišraus skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus sandauga yra lygi sveikosios dalies sandaugų sumai iš duoto natūraliojo skaičiaus ir trupmeninės dalies iš duotojo natūraliojo skaičiaus, tai yra, .

Apskaičiuokite produktą.

Pakeiskime mišrųjį skaičių sveikųjų ir trupmeninių dalių suma, po kurios pritaikome daugybos skirstomąją savybę: .

Mišrių skaičių ir trupmenų dauginimas Patogiausia jį redukuoti iki paprastųjų trupmenų daugybos, pateikus mišrųjį skaičių, dauginamą kaip netinkamą trupmeną.

Sumaišytą skaičių padauginkite iš bendrosios trupmenos 4/15.

Pakeitę mišrų skaičių trupmena, gauname .

www.cleverstudents.ru

Trupmenų dauginimas

§ 140. Sąvokos. 1) Trupmenos dauginimas iš sveikojo skaičiaus apibrėžiamas taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių dauginimas, būtent: padauginti skaičių (daugiklį) iš sveikojo skaičiaus (koeficiento) reiškia sudaryti identiškų narių sumą, kurioje kiekvienas narys yra lygus dauginimui, o narių skaičius lygus daugikliui.

Taigi, padauginus iš 5, reikia rasti sumą:
2) Padauginti skaičių (daugiklį) iš trupmenos (koeficiento) reiškia rasti šią daugiklio trupmeną.

Taigi, dabar duoto skaičiaus, kurį mes svarstėme anksčiau, trupmenos radimą vadinsime padauginimu iš trupmenos.

3) Padauginti skaičių (daugiklį) iš mišraus skaičiaus (koeficiento) reiškia, kad daugiklį pirmiausia reikia padauginti iš sveikojo daugiklio skaičiaus, tada iš daugiklio trupmenos ir sudėti šių dviejų daugybos rezultatus.

Pavyzdžiui:

Skaičius, gautas padauginus visais šiais atvejais, vadinamas dirbti, t.y. taip pat, kaip ir dauginant sveikuosius skaičius.

Iš šių apibrėžimų aišku, kad trupmeninių skaičių dauginimas yra veiksmas, kuris visada įmanomas ir visada nedviprasmiškas.

§ 141. Šių apibrėžimų tikslingumas. Norėdami suprasti, ar tikslinga į aritmetiką įtraukti du paskutinius daugybos apibrėžimus, paimkime šią problemą:

Užduotis. Traukinys, judantis tolygiai, įveikia 40 km per valandą; kaip sužinoti, kiek kilometrų šis traukinys nuvažiuos per tam tikrą valandų skaičių?

Jei liktume prie to vieno daugybos apibrėžimo, kuris nurodomas sveikųjų skaičių aritmetikoje (lygių narių pridėjimas), tada mūsų uždavinys turėtų tris įvairių sprendimų, būtent:

Jei nurodytas valandų skaičius yra sveikas skaičius (pavyzdžiui, 5 valandos), tada norint išspręsti problemą, reikia padauginti 40 km iš šio valandų skaičiaus.

Jei tam tikras valandų skaičius išreiškiamas trupmena (pavyzdžiui, valanda), tada šios trupmenos vertę turėsite rasti iš 40 km.

Galiausiai, jei nurodytas valandų skaičius yra mišrus (pavyzdžiui, valandos), tada 40 km reikės padauginti iš sveikojo skaičiaus, esančio mišriajame skaičiuje, ir prie rezultato pridėti dar vieną 40 km trupmeną, kuri yra mišriajame skaičiuje. numerį.

Pateikti apibrėžimai leidžia mums pateikti vieną bendrą atsakymą į visus šiuos galimus atvejus:

reikia padauginti 40 km iš nurodyto valandų skaičiaus, kad ir koks jis būtų.

Taigi, jei problema pavaizduota bendras vaizdas Taigi:

Traukinys, judantis tolygiai, per valandą įveikia v km. Kiek kilometrų traukinys nuvažiuos per t valandas?

tada, kad ir kokie būtų skaičiai v ir t, galime duoti vieną atsakymą: norimas skaičius išreiškiamas formule v · t.

Pastaba. Pagal mūsų apibrėžimą rasti tam tikrą tam tikro skaičiaus trupmeną reiškia tą patį, kaip padauginti tam tikrą skaičių iš šios trupmenos; todėl, pavyzdžiui, rasti 5 % (t. y. penkias šimtąsias dalis) tam tikro skaičiaus reiškia tą patį, kaip duotą skaičių padauginti iš arba iš ; rasti 125% nurodyto skaičiaus reiškia tą patį, kaip padauginti šį skaičių iš arba iš ir pan.

§ 142. Pastaba apie tai, kada skaičius didėja, o kada mažėja nuo daugybos.

Padauginus iš tinkamos trupmenos skaičius sumažėja, o padauginus iš netinkamos trupmenos skaičius padidėja, jei ši neteisingoji trupmena yra didesnė už vienetą, ir lieka nepakitusi, jei ji lygi vienetui.
komentuoti. Dauginant trupmeninius skaičius, taip pat sveikuosius skaičius, sandauga laikoma lygi nuliui, jei kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui, taigi .

§ 143. Daugybos taisyklių išvedimas.

1) trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus. Tegul trupmena padauginama iš 5. Tai reiškia, padidinta 5 kartus. Norint padidinti trupmeną 5 kartus, pakanka padidinti jos skaitiklį arba sumažinti vardiklį 5 kartus (§ 127).

Štai kodėl:
1 taisyklė. Norėdami padauginti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, turite padauginti skaitiklį iš šio sveikojo skaičiaus, bet vardiklį palikti tą patį; vietoj to taip pat galite padalyti trupmenos vardiklį iš pateikto sveikojo skaičiaus (jei įmanoma), o skaitiklį palikti tą patį.

komentuoti. Trupmenos ir jos vardiklio sandauga yra lygi jos skaitikliui.

Taigi:
2 taisyklė. Norėdami padauginti sveiką skaičių iš trupmenos, turite padauginti sveiką skaičių iš trupmenos skaitiklio ir padaryti šį sandaugą skaitikliu, o vardikliu pažymėti šios trupmenos vardiklį.
3 taisyklė. Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį - iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį - sandaugos vardikliu.

komentuoti. Šią taisyklę taip pat galima taikyti trupmenai dauginant iš sveikojo skaičiaus ir sveikąjį skaičių iš trupmenos, jei tik sveikąjį skaičių laikysime trupmena, kurios vardiklis yra vienetas. Taigi:

Taigi trys dabar išdėstytos taisyklės yra vienoje, kurią apskritai galima išreikšti taip:
4) Mišrių skaičių daugyba.

4 taisyklė. Norėdami padauginti mišrius skaičius, turite juos konvertuoti į netinkamas trupmenas ir tada padauginti pagal trupmenų dauginimo taisykles. Pavyzdžiui:
§ 144. Sumažinimas dauginimo metu. Dauginant trupmenas, jei įmanoma, būtina atlikti išankstinį sumažinimą, kaip matyti iš šių pavyzdžių:

Tokį sumažinimą galima padaryti, nes trupmenos reikšmė nepasikeis, jei jos skaitiklis ir vardiklis bus sumažinti tiek pat kartų.

§ 145. Prekės keitimas su besikeičiančiais veiksniais. Pasikeitus veiksniams, trupmeninių skaičių sandauga keisis lygiai taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių sandauga (§ 53), būtent: jei kurį nors koeficientą padidinsite (arba sumažinsite) kelis kartus, sandauga padidės (arba sumažės) ta pačia suma.

Taigi, jei pavyzdyje:
norint padauginti kelias trupmenas, reikia padauginti jų skaitiklius tarpusavyje ir vardiklius ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį – sandaugos vardikliu.

komentuoti. Šią taisyklę galima taikyti ir tokiems sandaugams, kuriuose kai kurie skaičiaus faktoriai yra sveikieji arba mišrūs, jei tik sveikąjį skaičių laikysime trupmena, kurios vardiklis yra vienetas, o mišrius skaičius paverčiame netinkamomis trupmenomis. Pavyzdžiui:
§ 147. Pagrindinės daugybos savybės. Tos daugybos savybės, kurias nurodėme sveikiesiems skaičiams (§ 56, 57, 59), taip pat taikomos trupmeninių skaičių dauginimui. Nurodykime šias savybes.

1) Pakeitus veiksnius, produktas nesikeičia.

Pavyzdžiui:

Iš tiesų, pagal ankstesnės pastraipos taisyklę pirmasis sandaugas yra lygus trupmenai, o antrasis – trupmenai. Bet šios trupmenos yra vienodos, nes jų nariai skiriasi tik sveikųjų skaičių eilės tvarka, o sveikųjų skaičių sandauga nesikeičia keičiant veiksnių vietas.

2) Produktas nepasikeis, jei kuri nors veiksnių grupė bus pakeista jų produktu.

Pavyzdžiui:

Rezultatai tokie patys.

Iš šios daugybos savybės galime padaryti tokią išvadą:

norėdami padauginti skaičių iš sandaugos, galite padauginti šį skaičių iš pirmojo koeficiento, gautą skaičių padauginti iš antrojo ir pan.

Pavyzdžiui:
3) Daugybos skirstymo dėsnis (sudėties atžvilgiu). Norėdami padauginti sumą iš skaičiaus, galite padauginti kiekvieną terminą atskirai iš to skaičiaus ir pridėti rezultatus.

Šį įstatymą mes paaiškinome (§ 59) kaip taikomą sveikiesiems skaičiams. Tai išlieka teisinga be jokių pakeitimų trupmeniniams skaičiams.

Iš tikrųjų parodykime, kad lygybė

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(daugybos dėsnis, susijęs su pridėjimu) išlieka teisingas net tada, kai raidės reiškia trupmeninius skaičius. Panagrinėkime tris atvejus.

1) Pirmiausia darykime prielaidą, kad koeficientas m yra sveikas skaičius, pavyzdžiui, m = 3 (a, b, c – bet kokie skaičiai). Pagal daugybos iš sveikojo skaičiaus apibrėžimą galime parašyti (paprastumo dėlei apsiribodami trimis terminais):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Remdamiesi asociatyviniu sudėjimo dėsniu, galime praleisti visus dešinėje pusėje esančius skliaustus; Taikydami komutacinį sudėjimo dėsnį, o po to vėl asociacinį dėsnį, akivaizdu, kad dešinę pusę galime perrašyti taip:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Tai reiškia, kad šiuo atveju pasitvirtina paskirstymo dėsnis.

Trupmenų dauginimas ir dalijimas

Paskutinį kartą išmokome sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausia tų veiksmų dalis buvo suvesti trupmenas į bendrą vardiklį.

Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar paprastesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirma, panagrinėkime paprasčiausią atvejį, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskirtos sveikojo skaičiaus dalies.

Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.

Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš „apverstos“ antrosios trupmenos.

Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas redukuojasi iki daugybos. Norėdami „apversti“ trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl per visą pamoką daugiausia svarstysime daugybą.

Dėl dauginimo gali atsirasti redukuojama trupmena (ir dažnai atsiranda) - ji, žinoma, turi būti sumažinta. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, reikia paryškinti visą dalį. Tačiau dauginant tikrai nepavyks, tai sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių veiksnių ir mažiausiai bendrų kartotinių.

Pagal apibrėžimą mes turime:

Trupmenų dauginimas iš sveikųjų dalių ir neigiamų trupmenų

Jei trupmenose yra sveikoji dalis, jas reikia konvertuoti į netinkamas ir tik tada padauginti pagal aukščiau pateiktas schemas.

Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:

1. Plius prie minuso duoda minusą;
2. Du neigiami dalykai daro teigiamą.

Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Kūriniui juos galima apibendrinti, kad vienu metu būtų „sudeginti“ keli trūkumai:

1. Neiginius perbraukiame poromis, kol jie visiškai išnyks. Kraštutiniais atvejais gali išlikti vienas minusas – tas, kuriam nebuvo poros;
2. Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nenubrauktas, nes jam nebuvo poros, išimame iš daugybos ribų. Rezultatas yra neigiama trupmena.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada iš daugybos išimame minusus. Padauginame tai, kas liko normalios taisyklės. Mes gauname:

Dar kartą priminsiu, kad minusas, esantis prieš trupmeną su paryškinta visa dalimi, konkrečiai reiškia visą trupmeną, o ne tik visą jos dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).

Taip pat atkreipkite dėmesį neigiami skaičiai: Dauginant jie rašomi skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.

Dalių mažinimas skrydžio metu

Daugyba yra labai daug darbo reikalaujanti operacija. Skaičiai čia yra gana dideli, o norėdami supaprastinti problemą, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Pagal apibrėžimą mes turime:

Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.

Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vietoj jų lieka vienetai, kurių paprastai nereikia rašyti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.

Tačiau niekada nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:

Jūs negalite to padaryti!

Klaida atsiranda dėl to, kad pridedant trupmenos skaitiklį pasirodo suma, o ne skaičių sandauga. Vadinasi, neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes ši savybė konkrečiai susijusi su skaičių daugyba.

Tiesiog nėra kitų priežasčių mažinti trupmenas, todėl teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip:

Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.

Trupmenų dauginimas.

Norėdami teisingai padauginti trupmeną iš trupmenos arba trupmeną iš skaičiaus, turite žinoti paprastas taisykles. Dabar mes išsamiai išanalizuosime šias taisykles.

Paprastosios trupmenos dauginimas iš trupmenos.

Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite apskaičiuoti skaitiklių sandaugą ir šių trupmenų vardiklių sandaugą.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį taip pat padauginame iš antrosios trupmenos vardiklio.

Trupmenos padauginimas iš skaičiaus.

Pirma, prisiminkime taisyklę, bet kuris skaičius gali būti pavaizduotas trupmena \(\bf n = \frac \) .

Naudokime šią taisyklę daugindami.

Netinkama trupmena \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) buvo konvertuota į mišrią trupmeną.

Kitaip tariant, Dauginant skaičių iš trupmenos, skaičių dauginame iš skaitiklio, o vardiklį paliekame nepakeistą. Pavyzdys:

Mišrių trupmenų dauginimas.

Norėdami padauginti mišrias trupmenas, pirmiausia turite pateikti kiekvieną mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną ir tada naudoti daugybos taisyklę. Skaitiklį dauginame iš skaitiklio, o vardiklį – iš vardiklio.

Atvirkštinių trupmenų ir skaičių daugyba.

Susiję klausimai:
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Atsakymas: Paprastųjų trupmenų sandauga yra skaitiklio daugyba iš skaitiklio, vardiklio iš vardiklio. Norėdami gauti mišrių frakcijų sandaugą, turite jas paversti netinkama trupmena ir padauginti pagal taisykles.

Kaip padauginti trupmenas su skirtingais vardikliais?
Atsakymas: nesvarbu, ar trupmenos vardikliai yra vienodi, ar skirtingi, daugyba vyksta pagal skaitiklio sandaugos su skaitikliu, vardiklio su vardikliu sandaugos radimo taisyklę.

Kaip padauginti mišrias trupmenas?
Atsakymas: pirmiausia reikia paversti mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną ir tada pagal daugybos taisykles rasti sandaugą.

Kaip padauginti skaičių iš trupmenos?
Atsakymas: skaičių padauginame iš skaitiklio, bet vardiklį paliekame tą patį.

1 pavyzdys:
Apskaičiuokite sandaugą: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

2 pavyzdys:
Apskaičiuokite skaičiaus ir trupmenos sandaugą: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

3 pavyzdys:
Parašykite trupmenos \(\frac \) atvirkštinį skaičių?
Atsakymas: \(\frac = 3\)

4 pavyzdys:
Apskaičiuokite dviejų tarpusavyje atvirkštinių trupmenų sandaugą: a) \(\frac \times \frac \)

5 pavyzdys:
Ar atvirkštinės trupmenos gali būti:
a) kartu su tinkamomis trupmenomis;
b) tuo pačiu metu netinkamos trupmenos;
c) vienu metu natūraliuosius skaičius?

Sprendimas:
a) Norėdami atsakyti į pirmąjį klausimą, pateiksime pavyzdį. Trupmena \(\frac \) yra tinkama, jos atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac \) - netinkama trupmena. Atsakymas: ne.

b) beveik visuose trupmenų sąrašuose ši sąlyga netenkinama, tačiau yra keletas skaičių, kurie atitinka sąlygą, kad kartu yra ir netinkama trupmena. Pavyzdžiui, netinkama trupmena yra \(\frac \) , jos atvirkštinė trupmena lygi \(\frac \). Gauname dvi netinkamas trupmenas. Atsakymas: ne visada tam tikromis sąlygomis, kai skaitiklis ir vardiklis yra lygūs.

c) natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami, pavyzdžiui, 1, 2, 3, .... Jei imsime skaičių \(3 = \frac \), tada jo atvirkštinė trupmena bus \(\frac \). Trupmena \(\frac \) nėra natūralusis skaičius. Jei einame per visus skaičius, skaičiaus atvirkštinė vertė visada yra trupmena, išskyrus 1. Jei imsime skaičių 1, tai jo grįžtamoji trupmena bus \(\frac = \frac = 1\). Skaičius 1 yra natūralusis skaičius. Atsakymas: jie vienu metu gali būti natūralūs skaičiai tik vienu atveju, jei tai yra skaičius 1.

6 pavyzdys:
Atlikite mišrių trupmenų sandaugą: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Sprendimas:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

7 pavyzdys:
Ar du atvirkštiniai skaičiai gali būti mišrūs skaičiai vienu metu?

Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime mišrią trupmeną \(1\frac \), suraskime jos atvirkštinę trupmeną, kad tai padarytume, paverčiame ją netinkama trupmena \(1\frac = \frac \) . Jo atvirkštinė trupmena bus lygi \(\frac \) . Trupmena \(\frac\) yra tinkama trupmena. Atsakymas: Dvi viena kitai atvirkštinės trupmenos negali būti mišriais skaičiais vienu metu.

Dešimtainės dalies dauginimas iš natūraliojo skaičiaus

Pamokos pristatymas

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jeigu tu susidomėjai Šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

• Smagiai supažindinkite mokinius su dešimtainės trupmenos dauginimo iš natūraliojo skaičiaus, vietos vertės vieneto taisykle ir dešimtainės trupmenos išreiškimo procentais taisykle. Ugdyti gebėjimą pritaikyti įgytas žinias sprendžiant pavyzdžius ir problemas.
• Ugdyti ir aktyvinti mokinių loginį mąstymą, gebėjimą atpažinti dėsningumus ir juos apibendrinti, stiprinti atmintį, gebėjimą bendradarbiauti, teikti pagalbą, vertinti savo ir vienas kito darbą.
• Ugdykite domėjimąsi matematika, aktyvumu, mobilumu ir bendravimo įgūdžiais.

Įranga: interaktyvi lenta, plakatas su šifru, plakatai su matematikų teiginiais.

1. Laiko organizavimas.
2. Žodinė aritmetika – anksčiau studijuotos medžiagos apibendrinimas, pasirengimas studijuoti naują medžiagą.
3. Naujos medžiagos paaiškinimas.
4. Namų darbų užduotis.
5. Matematinis fizinis lavinimas.
6. Įgytų žinių apibendrinimas ir sisteminimas in žaidimo forma naudojant kompiuterį.
7. Įvertinimas.

2. Vaikinai, šiandien mūsų pamoka bus kiek neįprasta, nes aš ją mokysiu ne vienas, o su draugu. O mano draugas irgi neįprastas, dabar jį pamatysite. (Ekrane pasirodo animacinis kompiuteris.) Mano draugas turi vardą ir gali kalbėti. Koks tavo vardas, drauge? Komposha atsako: „Mano vardas Kompoša“. Ar esate pasirengęs man padėti šiandien? TAIP! Na, tada pradėkime pamoką.

Šiandien gavau užšifruotą šifruotę, vaikinai, kurią turime kartu išspręsti ir iššifruoti. (Plakatas su žodinis skaičiavimas dėl dešimtainių trupmenų pridėjimo ir atėmimo, todėl vaikai gauna tokį kodą 523914687. )

Komposha padeda iššifruoti gautą kodą. Dekodavimo rezultatas yra žodis MULTIPLICATION. Daugyba yra pagrindinis šios dienos pamokos temos žodis. Pamokos tema rodoma monitoriuje: „Dešimtainės trupmenos dauginimas iš natūraliojo skaičiaus“

Vaikinai, mes žinome, kaip padauginti natūraliuosius skaičius. Šiandien mes pažvelgsime į daugybą dešimtainiai skaičiai iki natūraliojo skaičiaus. Dešimtainės trupmenos padauginimas iš natūraliojo skaičiaus gali būti laikomas terminų suma, kurių kiekvienas yra lygus šiai dešimtainei trupmenai, o narių skaičius yra lygus šiam natūraliajam skaičiui. Pavyzdžiui: 5,21 · 3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Taigi, 5,21 · 3 = 15,63. Pateikę 5,21 kaip natūraliojo skaičiaus bendrąją trupmeną, gauname

Ir šiuo atveju gavome tą patį rezultatą: 15,63. Dabar, ignoruodami kablelį, vietoj skaičiaus 5,21 paimkite skaičių 521 ir padauginkite jį iš šio natūraliojo skaičiaus. Čia turime prisiminti, kad viename iš veiksnių kablelis buvo perkeltas dviem vietomis į dešinę. Padauginus skaičius 5, 21 ir 3, gauname sandaugą, lygią 15,63. Dabar šiame pavyzdyje perkeliame kablelį į kairę dvi vietas. Taigi, kiek kartų buvo padidintas vienas iš veiksnių, kiek kartų sumažintas produktas. Remdamiesi šių metodų panašumais, padarysime išvadą.

Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, turite:
1) nekreipdami dėmesio į kablelį, dauginkite natūraliuosius skaičius;
2) gautoje sandaugoje kableliais atskirkite tiek skaitmenų iš dešinės, kiek yra dešimtainėje trupmenoje.

Monitoriuje rodomi šie pavyzdžiai, kuriuos analizuojame kartu su Komposha ir vaikinais: 5.21 ·3 = 15.63 ir 7.624 ·15 = 114.34. Tada rodau daugybą iš apvalaus skaičiaus 12,6 · 50 = 630. Toliau pereinu prie dešimtainės trupmenos padauginimo iš vietos vertės vieneto. Pateikiu šiuos pavyzdžius: 7.423 · 100 = 742.3 ir 5.2 · 1000 = 5200. Taigi, pristatau dešimtainės trupmenos padauginimo iš skaitmens vieneto taisyklę:

Norėdami padauginti dešimtainę trupmeną iš skaitmenų vienetų iš 10, 100, 1000 ir tt, šios trupmenos kablelį reikia perkelti į dešinę tiek vietų, kiek yra nulių skaitmenų vienete.

Baigiu paaiškinimą išreikšdama dešimtainę trupmeną procentais. Pristatau taisyklę:

Norėdami išreikšti dešimtainę trupmeną procentais, turite ją padauginti iš 100 ir pridėti % ženklą.

Pateiksiu pavyzdį kompiuteryje: 0,5 100 = 50 arba 0,5 = 50%.

4. Paaiškinimo pabaigoje duodu vaikinams namų darbai, kuris taip pat rodomas kompiuterio monitoriuje: № 1030, № 1034, № 1032.

5. Kad vaikinai šiek tiek pailsėtų, temos įtvirtinimui kartu su Komposha darome matematinį kūno kultūros užsiėmimą. Visi atsistoja, parodo klasei išspręstus pavyzdžius, o jie turi atsakyti, ar pavyzdys buvo išspręstas teisingai, ar neteisingai. Jei pavyzdys išspręstas teisingai, tada jie pakelia rankas virš galvų ir ploja delnais. Jei pavyzdys neišspręstas teisingai, vaikinai ištiesia rankas į šonus ir ištiesia pirštus.

6. O dabar šiek tiek pailsėjote, galite spręsti užduotis. Atidarykite savo vadovėlį į 205 puslapį, № 1029. Šioje užduotyje turite apskaičiuoti išraiškų reikšmę:

Užduotys pasirodo kompiuteryje. Jas išsprendus, pasirodo paveikslėlis su valties, kuri visiškai surinkta, plūduriuoja.

Sprendžiant šią užduotį kompiuteryje, raketa palaipsniui susilanksto išsprendus paskutinį pavyzdį, raketa nuskrenda; Mokytojas pateikia šiek tiek informacijos mokiniams: „Kiekvienais metais iš Kazachstano žemės, iš Baikonuro kosmodromo, jie pakyla į žvaigždes. erdvėlaivių. Kazachstanas netoli Baikonūro stato savo naują Baiterek kosmodromą.

Kiek toli lengvasis automobilis nuvažiuos per 4 valandas, jei lengvojo automobilio greitis yra 74,8 km/val.

Dovanų kuponas Nežinote ką padovanoti savo antrajai pusei, draugams, darbuotojams, artimiesiems? Pasinaudokite mūsų specialiu pasiūlymu: „Dovanų sertifikatas Blue Sedge Country Hotel“ sertifikatas suteikia […]

Dujų skaitiklio keitimas: kaina ir keitimo taisyklės, tarnavimo laikas, dokumentų sąrašas Kiekvienas nekilnojamojo turto savininkas yra suinteresuotas kokybišku veikimu dujų skaitiklis. Jei laiku nepakeisite, tada [...]

Išmokos vaikams Krasnodare ir Krasnodaro sritis 2018 metais šiltojo (palyginti su daugeliu kitų Rusijos regionų) Kubano gyventojų skaičius nuolat auga dėl migracijos ir gimstamumo padidėjimo. Tačiau subjekto autoritetai […]

Karių personalo invalidumo pensija 2018 metais Karo tarnyba – tai veikla, kuriai būdingas ypatingas pavojus sveikatai. Nes teisės aktuose Rusijos Federacija jeigu specialios sąlygos neįgaliųjų išlaikymas, [...]

Išmokos vaikams Samaroje ir Samaros regionas 2018 metais pašalpos Samaros regione nepilnamečiams skirtos piliečiams, auginantiems ikimokyklinukus ir moksleivius. Skiriant lėšas, ne tik [...]

Pensijų aprūpinimas Krasnodaro ir Krasnodaro sritis 2018 metais įstatymais tokiais pripažinti neįgalieji gauna valstybės finansinę paramą. Apsimesti biudžeto išteklių […]

Pensijų aprūpinimas Čeliabinsko ir Čeliabinsko srities gyventojams 2018 m apibrėžta įstatymu amžiaus, piliečiai gauna teisę į pensiją. Jis gali būti skirtingas, o paskyrimo sąlygos skiriasi. Pvz., […]

Išmokos vaikams Maskvos regione 2018 m. Maskvos srities socialine politika siekiama nustatyti šeimas, kurioms reikia papildomos paramos iš iždo. Federalinės paramos šeimoms su vaikais priemonės 2018 m.

V amžiuje prieš Kristų senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos suformulavo savo garsiąsias aporijas, iš kurių garsiausia yra „Achilas ir vėžlys“. Štai kaip tai skamba:

Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, per kurį Achilas nubėgs šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti prie bendros nuomonės apie paradoksų esmę... į klausimo tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai; ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.

Matematikos požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. SU fizinis taškasŽvelgiant iš perspektyvos, atrodo, kad laikas sulėtėja, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje pritaikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Bet taip nėra pilnas sprendimas Problemos. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norėdami nustatyti atstumą iki automobilio, jums reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingų erdvės taškų vienu metu, tačiau iš jų negalite nustatyti judėjimo fakto (žinoma, vis tiek reikia papildomų duomenų skaičiavimams, trigonometrija jums padės ). Į ką noriu atkreipti dėmesį Ypatingas dėmesys, yra tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.

2018 m. liepos 4 d., trečiadienis

Vikipedijoje labai gerai aprašyti rinkinio ir kelių rinkinių skirtumai. Pažiūrėkime.

Kaip matote, „rinkinyje negali būti dviejų identiškų elementų“, tačiau jei rinkinyje yra identiškų elementų, toks rinkinys vadinamas „multisetu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdiškos logikos. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kurie neturi intelekto iš žodžio „visiškai“. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.

Kadaise tiltą statę inžinieriai, bandydami tiltą, buvo valtyje po tiltu. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.

Kad ir kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš esu namuose“, tiksliau, „matematika tiria abstrakčias sąvokas“, yra viena virkštelė, neatskiriamai susiejanti jas su tikrove. Ši virkštelė yra pinigai. Taikoma matematinė teorija rinkinius patiems matematikams.

Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, išdaliname atlyginimus. Taigi matematikas ateina pas mus už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada iš kiekvienos krūvos paimame po vieną sąskaitą ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Paaiškinkime matematikui, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.

Visų pirma, pasiteisins deputatų logika: „Tai gali būti taikoma kitiems, bet ne man! Tada jie pradės mus patikinti, kad turi to paties nominalo banknotai skirtingi skaičiai vekseliai, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi tapačiais elementais. Gerai, skaičiuokime atlyginimus monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės pašėlusiai prisiminti fiziką: skirtingos monetos turi skirtingą kiekį nešvarumų, kristalų struktūra o atomų išsidėstymas kiekvienoje monetoje yra unikalus...

O dabar turiu daugiausia palūkanos Klausti: kur yra ta linija, už kurios multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo nemeluoja.

Paziurek cia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotai yra vienodi – tai reiškia, kad turime multiset. Bet jei pažiūrėtume į tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys yra ir rinkinys, ir kelių rinkinys. Kuris yra teisingas? O štai matematikas-šamanas-aštrininkas iš rankovės išsitraukia kozirių tūzą ir pradeda pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.

Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai operuoja su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „neįsivaizduojamų kaip viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.

2018 m. kovo 18 d., sekmadienis

Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet todėl jie yra šamanai, mokyti savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.

Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kuriais rašome skaičius, o matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti lengvai.

Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad surastume tam tikro skaičiaus skaitmenų sumą. Taigi, turėkime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.

1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į grafinį skaičiaus simbolį. Tai nėra matematinė operacija.

2. Iškirpkite vieną paveikslėlį į kelias nuotraukas su atskirais skaičiais. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.

3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.

4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai yra matematika.

Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai šamanų „kirpimo ir siuvimo kursai“, kuriuos naudoja matematikai. Bet tai dar ne viskas.

Matematiniu požiūriu nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje rašome skaičių. Taigi, į skirtingos sistemos Skaičiuojant to paties skaičiaus skaitmenų suma bus skirtinga. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. SU didelis skaičius 12345 Nenoriu suklaidinti galvos, pažiūrėkime į skaičių 26 iš straipsnio apie . Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nežiūrėsime į kiekvieną žingsnį po mikroskopu, mes jau tai padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.

Kaip matote, skirtingose ​​skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tas pats, kaip jei nustatytumėte stačiakampio plotą metrais ir centimetrais, gautumėte visiškai skirtingus rezultatus.

Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas už tai, kad. Klausimas matematikams: kaip matematikoje yra įvardijamas tai, kas nėra skaičius? O matematikams nieko nėra, išskyrus skaičius? Galiu tai leisti šamanams, bet ne mokslininkams. Realybė yra ne tik skaičiai.

Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais lemia skirtingus rezultatus jas palyginus, tai reiškia, kad tai neturi nieko bendra su matematika.

Kas yra tikroji matematika? Štai tada rezultatas matematinis veiksmas nepriklauso nuo skaičiaus dydžio, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas atlieka veiksmą.

Užrašas ant durų Jis atidaro duris ir sako:

Oi! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta sielų nedefiliniam šventumui joms kylant į dangų tirti! Halo viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?

Moteriška... Aureole viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriškos lyties.

Jei toks dizaino meno kūrinys prieš akis blyksteli kelis kartus per dieną,

Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:

Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiojančiame žmoguje (viena nuotrauka) (kelių paveikslėlių kompozicija: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnių žymėjimas). Ir nemanau, kad ši mergina yra kvailė, kuri neišmano fizikos. Ji tiesiog turi stiprų grafinių vaizdų suvokimo stereotipą. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.

1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktaine tvarka. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, skaičių ir raidę automatiškai suvokia kaip vieną grafinį simbolį.